Mathematik: Analysis: Grundlagen: Natürliche Zahlen

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Einleitung[Bearbeiten]

Jeder kommt bereits in frühester Kindheit mit Zahlen in Berührung und hat, zumindest von den natürlichen Zahlen, eine sehr genaue Vorstellung. Für mathematische Zwecke ist es aber erforderlich, die Struktur von Zahlenmengen eindeutig festzulegen. Dies beantwortet leider nicht die Frage was Zahlen sind, beschreibt aber ihre typischen Merkmale. Diese mathematischen Merkmale müssen natürlich in Übereinstimmung mit den intuitiven Vorstellungen sein. Andererseits muss die Beschreibung so genau sein, dass es eben nur eine Zahlenmenge mit genau diesen Eigenschaften gibt, d. h. die Charakterisierung muss in diesem Sinne vollständig sein.

Natürliche Zahlen[Bearbeiten]

Der italienische Mathematiker G. Peano hat eine solche formale Beschreibung für die natürlichen Zahlen aufgestellt, die sich an dem Vorgang des Zählens orientiert und davon ausgeht, dass es einen Zählanfang gibt und eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl einen Nachfolger zuordnet und dass diese beiden Eigenschaften die natürlichen Zahlen vollständig beschreiben. Formal lässt sich das Axiomensystem wie folgt angeben:


Axiomensystem von Peano[Bearbeiten]

(N0) ist eine Menge
(N1)
(N2) Es gibt eine injektive Abbildung , für die gilt:
(N3) (Induktionsaxiom)
Gelten für eine Teilmenge die beiden Eigenschaften:
  1. und
  2. gilt: Aus folgt
dann folgt


Die Abbildung ordnet zwei verschiedenen natürlichen Zahlen auch zwei verschiedene Nachfolger ( ist injektiv) zu und diese Nachfolger können nicht die sein.


Definition
heißt der Nachfolger von und nennt man den Vorgänger von .


Als ein Beispiel für die Anwendung des Induktionsaxioms soll nun folgender Satz gezeigt werden:


Satz
für jedes


Beweis
Sei . Dann gilt:
denn: dann falls würde gelten also , was ein Widerspruch wäre.
Aus folgt denn: Falls für ein gelten würde, folgt , also wegen der Injektivität von , was aber nach Voraussetzung ein Widerspruch ist.
Aus dem Induktionsaxiom folgt und das beweist den Satz!


Schreibweisen
Für die Menge der natürlichen Zahlen sind folgende Schreibweisen üblich: .
Die Menge der natürlichen Zahlen ist hier ohne die NULL definiert worden und wird im Folgenden auch so verwendet.
Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der "Null"


Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine ideale Indexmenge und wird für Abzählbarkeitsaussagen (s. Mächtigkeit) verwendet.

Vollständige Induktion[Bearbeiten]

Satz
Sei eine Eigenschaft, die auf natürliche Zahlen zutrifft oder auch nicht, d. h es gilt "" oder "nicht " für alle .
Wenn
  1. Induktionsanfang: und
  2. Induktionsschritt: gilt: ,
so gilt für alle .
Beweis
Man wendet einfach das obige Induktionsaxiom auf die Menge an.


Beweise über Eigenschaften von natürlichen Zahlen erfolgen häufig mit Hilfe der gerade besprochenen vollständigen Induktion. Diese Beweisführung ist Ihnen wahrscheinlich bekannt. Sie erfolgt in zwei Schritten.

  1. Induktionsanfang: Es wird gezeigt, dass die behauptete Eigenschaft für gilt.
  2. Induktionsschritt: Es wird die Gültigkeit der Eigenschaft für vorausgesetzt. Mit Hilfe dieser Voraussetzung zeigt man, dass auch sie auch für gilt.

Der Satz über die vollständige Induktion sagt nun gerade, dass diese Eigenschaft dann für die Menge gilt.

Addition und Multiplikation[Bearbeiten]

Multiplikation und Addition werden nun als Abbildung von einer " Relation auf " nach rekursiv (oder durch vollständige Induktion) definiert. Es werden also Bedingungen definiert, wie man schrittweise die Summe oder das Produkt zu bilden hat.

Genau genommen ist es nicht nur eine Definition sondern ein Satz, denn die Existenz dieser Abbildungen kann nicht einfach vorausgesetzt werden, sondern ist nachzuweisen. In einem zweiten Schritt ist dann noch zu zeigen, dass es, wie allgemein im Alltagsleben unterstellt, jeweils nur genau eine Abbildung für Addition und Multiplikation gibt.


Definition und Satz
Sei und für alle gelte:
  1. und
 
und sei und für alle gelte:
mit
  1. und
 
Es gibt genau eine Abbildung (genannt Addition) und genau eine Abbildung (genannt Multiplikation) mit diesen Eigenschaften.


Beweis
Der Beweis dieses "selbstverständlichen" Satzes ist nicht besonders trival. Er wird hier beispielhaft für die Addition gezeigt. Der Beweis für die Multiplikation verläuft genauso und wird dem Leser zur Übung empfohlen.
Es sind zwei Dinge zu zeigen: die Existenz der Addition und die Eindeutigkeit. Die Eindeutigkeitsaussage wird für den Beweis der Existenz benötigt und daher zuerst gezeigt.
 
1. Eindeutigkeit der Addition
Hilfssatz
Zu einem gibt es höchstens eine Abbildung für die gilt:
mit und
 
Der Beweis dieses Hilfssatzes erfolgt über das Induktionsaxiom:
Sei eine Abbildung für die gilt: und .
Zu beweisen ist, dass gilt.
Definition- und Bildbereich von und sind gleich.
Sei .
Dann gilt:
also .
Sei . Dann gilt und es folgt:
also gilt auch .
Mit dem Induktionsaxiom gilt , d. h. für alle , daraus folgt was die Eindeutigkeit zeigt.
 
Mit diesem Hilfssatz ist es einfach zu zeigen, dass es höchstens eine Möglichkeit gibt die Addition wie oben zu definieren. Sei also die oben definierte Addition gegeben und sei eine beliebige Zahl. Dann definiert
mit eine Abbildung für die gilt:
und .
Mit dem Hilfssatz folgt, dass es für jedes höchstens eine solche Abbildung gibt. Und dies zeigt, dass die oben definierte Addition eindeutig ist, wenn es sie geben sollte.
 
2. Existenz der Addition
Zunächst zeigt man mit Hilfe des Induktionsaxioms, dass für jedes genau eine Abbildung mit:
mit
und existiert.
Mit den Funktionen lässt sich die Addition wie folgt definieren:
für alle , denn für alle gilt: und .
 
Hilfssatz
Für jedes gibt es genau eine Abbildung mit
mit und
 
Der Beweis erfolgt wieder mit Hilfe des Induktionsaxioms:
 
Für definiert man mit .
Dann gilt: und
Diese Abbildung existiert und erfüllt die o. g. Bedingungen. Der Hilfssatz bei der Eindeutigkeitsaussage zeigt weiter, dass es höchstens eine solche Abbildung gibt mit .
 
Sei also ein vorgegeben für das gilt: und .
Für eine Funktion gilt:
(da nach Voraussetzung ) und
.
Nach dem Hilfssatz beim Beweis der Eindeutigkeit gibt es höchstens eine Abbildung und da nach Voraussetzung existiert, also genau eine Abbildung. Damit ist die Existenz und Eindeutigkeit der Abbildung auch für bewiesen und nach dem Induktionsaxiom für alle .


Rechenregeln[Bearbeiten]

Satz
Für alle gilt:
1.     (Assoziativität)
2.     (Kommutativität)
3.     (Assoziativität)
4.     (Distributivität)


Beweis
Die Beweise lassen sich mit Hilfe des Induktionsaxioms führen.


Beispiel -te Potenz[Bearbeiten]

Durch vollständige Induktion lässt sich folgender Satz leicht zeigen:


Satz
Sei eine Menge, eine Abbildung und ein Element von . Dann gibt es genau eine Abbildung mit
  1. und
  2. für alle


Mit diesem Satz lassen sich nun einfach die Existenz und Eindeutigkeit der -ten Potenz nachweisen:

Setzt man ( ist die Menge der reellen Zahlen)

und für
die Abbildung
, für ein,
so liefert obiger Satz eine Abbildung mit
  1. für alle .


Ordnung[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Addition lässt sich nun sehr einfach eine weitere Struktur auf den natürlichen Zahlen nachweisen:


Definition - "natürliche" Ordnung
Für alle definiert man:
  1. (lies: kleiner ) oder
    (lies: größer )
    wenn es ein gibt mit
     
  2. (lies: kleiner-gleich ) oder
    (lies: größer-gleich )
    wenn oder .


Satz
  1. Die Relation , d. h. ist eine Ordnungsrelation auf
  2. ist linear geordnet
  3. Für alle git:
    und
    .
    Die Ordnungsrelation ist also verträglich mit der Addition und Multiplikation.


Hinweise zum Beweis
Reflexivität und Antisymmetrie sind durch Rechnungen einfach nachzuweisen.
Die übrigen Beweise verwenden wieder das Induktionsaxiom. Beispielsweise kann man für den Beweis der linearen Ordnung (zu 2.) für ein vorgegebenes eine Menge
oder definieren und zeigen, dass gilt. Beim Nachweis der Antisymmetrie unterstützt folgender Hilfssatz: , der ebenfalls über das Induktionsaxiom bewiesen werden kann. Die Ausführung der Beweise ist Ihnen zur Übung überlassen.


Wohlordnungssatz
ist mit der natürlichen Ordnung wohlgeordnet.


Dieser Satz besagt, dass jede nichtleere Teilmenge von ein kleinstes Element, , enthält. Dieser Satz mag Ihnen reichlich überflüssig vorkommen. Bedenken Sie aber, dass für allgemeine Mengen die Aussagen Zornsches Lemma, Wohlordnungssatz und Auswahlaxiom äquivalent und von großer Tragweite sind.


Hinweise zum Beweis
Wieder wird das Induktionsaxiom verwendet, diesmal wird aber folgende Eigenschaft induktiv nachgewiesen:
"Jede Teilmenge von , die die Zahl enthält, besitzt ein kleinstes Element".
Für ist die Behauptung sicher richtig, da .
Die Behauptung gelte nun für ein .
Zu zeigen ist, dass "jede Teilmenge von ein kleinstes Element besitzt". Man unterscheidet zwei Fälle:
1. Fall: Für alle gilt und
2. Fall: Es gibt ein mit .
Der erste Fall ist klar, für den Beweis des zweiten Falls verwendet man die Injektivität von und die Induktionsvoraussetzung.
Da jede nichtleere Teilmenge von ein enthält ist der Satz bewiesen.


Primzahlen[Bearbeiten]

Eine wichtige Teilmenge der Natürlichen Zahlen sind die Primzahlen. Primzahlen sind alle natürliche Zahlen mit genau zwei Teilern.



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