Mathematik: Analysis: Grundlagen: Rationale Zahlen

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Rationale Zahlen[Bearbeiten]

Die Entdeckung der rationalen Zahlen ergab sich aus dem Wunsch, Brüche auch dann darstellen zu können, wenn der Quotient keine ganze Zahl ist. Nicht nur die Zielsetzung für die Konstruktion von aus ist analog zur Konstruktion von aus , auch eine analoge Vorgehensweise ist möglich, da für Brüche gilt:

Aus diesem Grund werden die Definitionen und Sätze hier ohne weitere Ausführungen angegeben.


Definition der rationalen Zahlen[Bearbeiten]

Definition und Satz
  1. Sei eine Relation auf definiert durch

    .

    Für zwei Elemente gilt also:

    "" "".

    Dann ist eine Äquivalenzrelation.

  2. Die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation heißen rationale Zahlen, d. h.

    "" und "" .

    Die Klasse wird mit "Null" bzw. "0" bezeichnet.


Addition und Multiplikation[Bearbeiten]

Definition und Satz
Seien und zwei rationale Zahlen. Auf wird durch




  1. eine Abbildung, die Addition , definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.





  1. eine Abbildung, die Multiplikation , definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.


Hinweis
Für Addition und Multiplikation wurden die Regeln     und     verwendet.


"Einbettung" der ganzen in die rationalen Zahlen[Bearbeiten]

Satz
Die Abbildung




ist injektiv, additions- und multiplikationserhaltend, d. h. es gilt:

und
.


Hinweis
Hier wurde die Regel   verwendet.


Quotienten[Bearbeiten]

Definition und Satz
Sei . Dann gibt es genau ein mit .
Dieses schreibt man auch     und nennt es den Quotienten von und .



Die rationalen Zahlen lassen sich also als Menge aller Brüche aus ganzen Zahlen darstellen:


Der Fall ist per Definition ausgeschlossen.



Mächtigkeit der rationalen Zahlen[Bearbeiten]

Satz
und sind gleichmächtig , d. h. ist abzählbar.


Beweis
Eine Beweisidee beruht auf dem Cantorschen Diagonalverfahren. Details hierzu enthält der Wiki-Artikel Cantors erstes Diagonalargument.

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