Mathematik: Analysis: Grundlagen: Ganze Zahlen

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Ganze Zahlen[Bearbeiten]

Problem der Subtraktion[Bearbeiten]

Jede Addition oder Multiplikation zweier natürlicher Zahlen hat eine Lösung, die wiederum eine natürliche Zahl ist. Dies gilt jedoch nicht für die Subtraktion. Beispiel:

hat keine Lösung in .

Um dieses Problem zu lösen, muss erweitert werden. Das Ergebnis ist die Menge der ganzen Zahlen.


Lösungsidee und Definition der ganzen Zahlen[Bearbeiten]

Seinen zwei natürliche Zahlen. Die Differenz zu bilden ist einfach, wenn gilt. Nach der Definition von gibt es ein mit . Wenn man noch zeigt, dass dieses eindeutig bestimmt ist, kann es als die Differenz der beiden Zahlen und definiert werden.

Wie lässt sich aber die Differenz definieren, wenn  ? Es gibt dann kein Element mit . Die Grundidee ist, alle möglichen Differenzen von natürlichen Zahlen und zu einem neuen Element , einer Äquivalenzklasse zusammenzufassen, wenn sie das gleiche "Differenzergebnis" liefern. Diese Äquivalenzklassen definiert man dann einfach als ganze Zahlen.

Möglich wird dies durch einen kleinen Trick: Die Paare sollen dann zur gleichen Äquivalenzklasse gehören, wenn

gilt, sie also die gleiche "Differenz" haben. Da diese Differenz für "negative Ergebnisse" aber nicht definiert ist, fordert man einfach trickreich
.


Formal kann man die ganzen Zahlen also wie folgt definieren:


Definition und Satz
  1. Sei eine Relation auf definiert durch:

    .

    Für zwei Elemente gilt also: "" "".
    Dann ist eine Äquivalenzrelation.

  2. Die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation heißen ganze Zahlen, d. h.

    "" und ""

    Die Klasse wird mit "Null" bzw. "" bezeichnet.


Beweis
Zu zeigen sind also Reflexivität, Symmetrie und Transitivität von .
  1. Reflexivität:
    Da für alle gilt: folgt
    und damit die Reflexivität.

  2. Symmetrie:
    Sei . Dann gilt:
    und damit
    , also
    und das zeigt die Symmetrie.

  3. Transitivität:
    Sei also und . Dann gilt:
    und . Hieraus ergibt sich:
    also
    , d. h. und das zeigt die Transitivität.

Addition und Multiplikation[Bearbeiten]

Seien und zwei ganze Zahlen. Wegen der Rechenregeln

und

ist klar, wie man Addition und Multiplikation definiert:


Definition und Satz
Seien und zwei ganze Zahlen. Auf wird durch




  1. eine Abbildung, die Addition , definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.





  2. eine Abbildung, die Multiplikation , definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.


Beweis


Der Beweis wird nur für die Addition skizziert.
Zunächst ist zu zeigen, dass die Addition (in ) wohldefiniert ist. Das Problem ist hier, dass das Ergebnis einer Addition von der (zufälligen) Auswahl eines Repräsentanten der beteiligten Klassen abhängen könnte, also verschiedene Repräsentanten auch zu verschiedenen Ergebnissen (Funktionswerten) führen könnten. Wenn dies zutreffen würde wäre keine Funktion und nicht "wohldefiniert".

Seien also mit jeweils zwei unterschiedliche Repräsentanten gegeben, d. h.
und
Zu zeigen ist: .
Hinweise: bei der Einführung von Äquivalenzrelationen wurde gezeigt, dass Äquivalenzklassen disjunkt oder gleich sein müssen. Dies besagt aber gerade, dass aus
und folgt:
und .
Hieraus lässt sich nun (unter Anwendung der Addition in ) einfach zeigen, dass
gilt. Hieraus folgt dann, wiederum mit dem eben erwähnten Satz, das gewünschte Ergebnis.


Kommutativität (der Beweis für die Assoziativität verläuft ähnlich):
Mit den oben definierten gilt:
. Hierbei wurde die Kommutativität in benutzt.

"Einbettung" der natürlichen in die ganzen Zahlen[Bearbeiten]

Manche Leser stellen sich hier vielleicht die Frage, ob durch diese Definitionen das Rechnen mit den natürlichen Zahlen noch irgend eine Gemeinsamkeit mit den ganzen Zahlen hat oder hier etwas völlig Neues kreiert wurde. Die Frage ist berechtigt. Der folgende Satz zeigt aber, dass man als Teilmenge von auffassen kann und dass Addition und Multiplikation in und das Gleiche bedeuten.


Satz
Die Abbildung




ist injektiv, additions- und multiplikationserhaltend, d. h. es gilt:

und
.


Beweis
  1. Injektivität: Es gelte . Zu zeigen ist .
    Aus folgt . Wie im obigen Beweis gezeigt gilt also: , also , woraus folgt.

  2. Additionserhaltend: Es gilt .

  3. Multiplikationserhaltend: Es gilt
    .


Man kann also beruhigt statt und wieder und schreiben und einfach statt , was im Folgenden auch getan wird. Allerdings ist noch nicht geklärt, wie mit den "neuen" Elementen, den "negativen" Zahlen umgegangen werden soll. Dies wird im nächsten Abschnitt präzisiert.

Negative Zahlen[Bearbeiten]

Um die gewohnte Schreibweise der negativen Zahlen einzuführen und mit der obigen Definition der ganzen Zahlen in Einklang zu bringen, zeigt man folgenden Satz und kann dann die negativen Zahlen definieren:


Definition und Satz
Sei . Dann gibt es genau ein mit .
Dieses nennt man auch .
Für kürzt man zu ab und bezeichnet als die zu negative Zahl.


Beweis
Sei gegeben. Setzt man , so gilt:
.
Es gibt also zu mindestens eine negative Zahl und mit dieser gilt: .
Für dieses folgt weiter:
                  =  
  =        (Kommutativität in )
  =        (Assoziativität in )
  =   .


Zu zeigen ist noch, dass die Gleichung höchstens eine Lösung hat. Sei also eine weitere Lösung mit . Es folgt:
.

Rechenregeln und weitere Eigenschaften[Bearbeiten]

Mit den obigen Definitionen und Sätzen lassen sich nun leicht die bekannten Rechenregeln und Eigenschaften der ganzen Zahlen definieren und beweisen.

Das sind insbesondere die Assoziativitäts-, Kommutativitäts- und Distributivgesetze sowie die Vorzeichenregeln für das Rechnen, aber auch weitere Eigenschaften wie die Teilbarkeit oder Primfaktoren. Da in der Analysis die reellen Zahlen im Mittelpunkt stehen, wird das hier nicht weiter ausgeführt.



Es gilt also wie gewohnt:

und


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