Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen: Metrik

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TopologieSätze v. Bolzano-Weierstraß u. Heine-Borel  
Folgen und Reihen


In diesem Abschnitt werden Eigenschaften der reellen Zahlen beschrieben, die sich unter dem Begriff Topologie zusammenfassen lassen. Topologie ist die Lehre von "Lage und Anordnung der Dinge im Raum". Nach Einführung des absoluten Betrages wird der Abstand zweier Punkte (reeller Zahlen) definiert. Dies führt zum Begriff des metrischen Raumes. Die Untersuchung bestimmter Teilmengen von zeigt dann, dass durch die Metrik (den Abstand) die reellen Zahlen auch eine topologische Struktur tragen.


Absoluter Betrag[Bearbeiten]

Bisher haben wir uns hauptsächlich mit der Ordnungsstruktur von beschäftigt. Mit Hilfe dieser Ordnungsstruktur lässt sich eine metrische Struktur auf einführen wenn man den Abstand zwischen 2 Elementen von definiert. Über die Folgen ergibt sich dadurch später auch eine Verbindung zur Vollständigkeit.


Definition - Absoluter Betrag[Bearbeiten]

Für eine reelle Zahl heißt:


der absolute Betrag von .


Rechenregeln und Eigenschaften[Bearbeiten]

Für gilt:
  1. für


  2.   (Dreiecksungleichung)




Der Name Dreiecksungleichung kommt aus der Geometrie und besagt anschaulich, dass eine Gerade Strecke die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist. Man bezeichnet eine reelle Zahl in diesem Zusammenhang auch oft als Punkt.


Beweis
Die Behauptungen lassen sich durch Fallunterscheidung (< 0, > 0 und = 0) und vollständige Induktion leicht zeigen.
Die Dreiecksungleichung lässt sich wie folgt zeigen:
Aus           und           bzw.           und  
folgt                       bzw.         .
Wählt man die Gleichung, bei der die linke Seite nicht negativ ist (also steht), so folgt die eigentliche Dreiecksungleichung.
Der andere Teil folgt mit der eben bewiesenen Ungleichung:
              ⇒    
              ⇒     .
Wählt man die Gleichung, bei der die linke Seite nicht negativ ist so folgt wieder die Behauptung.

Metrischer Raum[Bearbeiten]

Bei den folgenden Betrachtungen der Topologie von sollen Eigenschaften bestimmter Untermengen von gezeigt werden. Hierzu wird zunächst der Begriff des Abstandes zweier Punkte mit Hilfe des absoluten Betrages definiert:


Definition (Abstand)[Bearbeiten]

Für heißt der Abstand der Punkte und .


Diese Definition entspricht sehr anschaulich der Länge einer Strecke. Es lassen sich auch Eigenschaften zeigen, die von Strecken zu erwarten sind:


Satz
Für alle gilt:


Übersetzt in Umgangssprache bedeuten die drei Eigenschaften:
  • Zwei Punkte haben genau dann den Abstand Null, wenn sie aufeinander liegen.
  • Es ist unerheblich für den Abstand, ob ich den Abstand von nach messe oder umgekehrt.
  • Fahre ich von nach und besuche dazwischen noch einen weiteren Punkt , so kann der Gesamtabstand dadurch nicht kleiner werden. Letztere Eigenschaft ist als Dreiecksungleichung bekannt.
Dreiecksungleichung.jpg
Dreiecksungleichung
Beweis
Die Beweise ergeben sich unmittelbar aus den Eigenschaften und Rechenregeln des Absoluten Betrages.


Mit geeigneten Abstandsdefinitionen lassen sich die drei Eigenschaften auch für andere Mengen, beispielsweise die komplexen Zahlen, nachweisen. Mengen, die diese Struktur aufweisen, sind von allgemeinem Interesse, man hat ihnen den Namen metrischer Raum gegeben.

Definition (Metrischer Raum)[Bearbeiten]

Sei eine Menge, und eine Funktion, dann heißt das Tupel genau dann Metrischer Raum falls für alle gilt:

Intervalle[Bearbeiten]

Die folgenden Untersuchungen der reellen Zahlen betreffen bestimmte Teilmengen von ihnen, die offenen und abgeschlossenen Mengen. Um diese Begriffe einführen zu können werden zunächst offene und abgeschlossene Intervalle von definiert.


Für die Definition von unendlichen Intervallen muss zuvor noch geklärt werden, welche Bedeutung das Zeichen hat, da unendlich keine reelle Zahl ist. Charakteristisch für die reellen Zahlen war ja, dass genau jede nichtleere nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen ein Supremum in besitzt und gleiches gilt sinngemäß auch für das Infimum. Die Existenz von Supremum und Infimum nicht beschränkter Mengen wird deshalb durch folgende Definition "erzwungen":


Definitionen
Für eine nichtleere Teilmenge von wird definiert:
    ist nicht nach oben beschränkt
    ist nicht nach unten beschränkt


Mit diesen Definitionen lassen sich jetzt eine ganze Reihe unterschiedlicher Intervalle festlegen:


Definitionen (Intervalle)


Für heißen:
    offenes Intervall
    links halboffenes Intervall
    rechts halboffenes Intervall
    abgeschlossenes Intervall
    unendliches Intervall
    unendliches Intervall
    unendliches Intervall
    unendliches Intervall
    unendliches Intervall
Die Punkte und nennt man Randpunkte des Intervalls.


Intervalle sind also zusammenhängende Teilstrecken der Zahlengeraden und können auch leer (eine leere Menge) sein. Wenn die Randpunkte dazugehören, heißen sie geschlossen, sonst offen.


Umgebung[Bearbeiten]

Mit Hilfe der offenen Intervalle wird jetzt der grundlegende Begriff der Umgebung einer reellen Zahl, der in den folgenden Abschnitten dann exzessiv benutzt wird, eingeführt:


Definition (Umgebung)

  1. Für     heißt
          ε-Umgebung von .
  2. Eine Menge heißt Umgebung von wenn es ein     mit
    gibt.
Umgebung.jpg
Umgebung in einer Zahlenebene



Auf Intervalle und Umgebungen lassen sich natürlich Mengenoperationen wie Vereinigung und Durchschnitt anwenden. Das Ergebnis soll dann möglichst wieder eine Umgebung sein. Dies ist bei Intervallen im Allgemeinen nicht der Fall und bei der Durchschnittsbildung von Umgebungen nur mit Einschränkungen für die Anzahl der beteiligten Umgebungen.


Satz (Vereinigung , Durchschnitt von Umgebungen)


Sei eine Umgebung von . Dann gilt:
  1. Jede Obermenge von ist eine Umgebung des Punktes , d. h. die Vereinigung von (beliebig vielen) Umgebungen des Punktes ist eine Umgebung von .
  2. Der Durchschnitt von endlich vielen Umgebungen eines Punktes ist wieder eine Umgebung von .


Beweis
  1. Der Beweis ist einfach: Sei eine Obermenge der Umgebung von . Also gibt es ein ε > 0 mit . Da eine Obermenge von ist, folgt: . Die Vereinigung von Mengen ist stets eine Obermenge aller zu vereinigenden Mengen. Daraus folgt die zweite Behauptung.

  2. Für seien die endlich vielen Umgebungen von mit . Dann gibt es ein ε mit .

    Wegen

    ist auch eine Umgebung von .


Wie das folgende Beispiel zeigt kann bei der Durchschnittsbildung beliebig vieler Umgebungen nur noch ein Punkt übrig bleiben, der dann aber keine Umgebung seiner selbst ist, da das ε bei Umgebungen positiv sein muss.


Beispiel
Sei   .   Dann gilt:   .
  ist archimedisch. Es gibt also zu jedem     ein     , so dass     bzw.     .

Für und dieses folgt:

  .

Der Nullpunkt ist aber in allen Umgebungen enthalten, wie man leicht durch vollständige Induktion zeigen kann.


Der folgende Trennungssatz ist an dieser Stelle selbstverständlich. Er besagt, dass es zu zwei verschiedenen Punkten disjunkte, also punktfremde, Umgebungen gibt.


Satz (Trennungssatz)
Seien     mit   . Dann gibt es Umgebungen     mit   .


Beweis (Trennungssatz)
Wegen ist . Sei , und .
Annahme: . Dann gilt wegen der Dreiecksungleichung: . Das ist aber ein Widerspruch. Also ist die Annahme falsch und damit die Behauptung gezeigt.

Offene Mengen[Bearbeiten]

Wenn eine Teilmenge der reellen Zahlen für jedes ihrer Element eine Umgebung ist, nennt man diese Teilmenge eine offene Menge. Die offenen Intervalle sind solche Mengen, denn für alle Elemente des Intervalls, auch für die fast am Rand liegenden, lassen sich Umgebungen ausschließlich aus Intervallelementen konstruieren.


Definition (offene Menge)
Eine Menge heißt offen, falls es zu jedem ein gibt, so daß ist.


Eine offene Menge ist also Umgebung jedes ihrer Punkte.


Beispiele für offene Mengen:

  • Natürlich ist offen, da sie keine Punkte enthält und damit "leicht" Umgebung ihrer Punkte sein kann.

  • Auch ist offen, da es zu jedem ein gibt mit


Satz (Eigenschaften offener Mengen)
  1. und sind offen.
  2. Vereinigungen beliebig vieler offener Mengen sind offen.
  3. Durchschnitte endlich vieler offener Mengen sind offen.
  4. Jede ε-Umgebung ist eine offene Menge.


Mit Hilfe von 4. ist es nun einfach zu zeigen, dass ein offenes Intervall auch eine offene Menge ist.


Beweis
  1. ist trivial, siehe Beispiele weiter oben.
  2. Es sei eine Indexmenge, eine Familie von offenen Mengen, deren Vereinigung und . Dann gibt es ein mit . Da offen ist, folgt die Existenz eines , so daß . Dann gilt aber auch .

  3. Sei und eine endliche Anzahl offener Mengen. Sei weiter und . Da die Mengen Umgebung von sind, ist nach dem obigen Satz auch deren Durchschnitt eine Umgebung von .

  4. Sei eine ε-Umgebung von und . Gesucht ist ein δ für das gilt: .
    Sei . Dann ist also .
    Sei .
    Für gilt dann . Damit ergibt sich . Das zeigt wie gewünscht: .



Die offenen Mengen von sind eine Teilmenge der Potenzmengen . Teilmengen der Potenzmengen , die die obigen Eigenschaften 1, 2 und 3 für offene Mengen aufweisen, sind von allgemeinem mathematischen Interesse. Man hat ihnen den Namen Topologie gegeben.



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