Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen: Ungleichungen

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Folgen und Reihen

Ungleichungen[Bearbeiten]

In den folgenden Kapiteln über Folgen und Reihen werden, z. B. um die Konvergenz nachzuweisen, immer wieder Ungleichungen verwendet. Die wichtigsten Regeln sind hier zusammengestellt und werden teilweise auch bewiesen. Im Anschluss werden noch drei bekannte und wichtige Ungleichungen eingeführt:

  • Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittelwert
  • Bernoullische Ungleichung und die
  • Schwarzsche Ungleichung.


Rechenregeln für Ungleichungen[Bearbeiten]

Zur besseren Übersichtlich werden zwei Ungleichungen manchmal zusammengefasst:

und   ⇔  

und auch die übliche Sprechweise negativ und positiv benutzt:

ist positiv   ⇔       und     ist negativ   ⇔  


Satz
Für alle gilt:
  1.   ⇒  
    (Verträglichkeit von < mit der Addition)

  2. und   ⇒   und
    und   ⇒  
    (Ungleichungen, die gleichgerichtet sind, kann man addieren)

  3. und   ⇒  
    und   ⇒  
    (Verträglichkeit von < mit der Multiplikation)

  4. und   ⇒   und
    und   ⇒  
    (Ungleichungen nichtnegativer Zahlen, die gleichgerichtet sind, kann man multiplizieren)

  5. und   ⇒   und
    und   ⇒  
    (Die Multiplikation mit einer negativen Zahl kehrt die Ungleichung um.)

  6. für alle
    (Die natürlichen Zahlen sind positiv)

  7.   ⇒  

  8. für und gilt:
      ⇔   und
      ⇔  


Beweis
Die Behauptungen lassen sich aus den Eigenschaften der linearen Ordnung von beweisen. Die Beweise werden hier allerdings nur zu einigen Punkten gezeigt und die übrigen Ihnen zur Übung empfohlen.


zu 1. Widerspruchsbeweis
Wenn   ⇔   oder gilt, ergibt sich wegen der Verträglichkeit der linearen
Ordnung mit der Addition: .
Da aus ebenfalls folgen würde, entsteht ein Widerspruch zur Voraussetzung.


zu 6. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion.
Induktionsanfang
Annahme:
Addiert man auf beiden Seiten (Verträglichkeit mit der Addition) so folgt:
Die beiden Ungleichungen lassen sich (Verträglichkeit mit der Multiplikation) kombinieren zu:
d. h.
Aus und folgt wegen der Antisymmetrie der Ordnung   und daraus (Verträglichkeit mit der Addition) .
muss als Körper mindestens zwei Elemente enthalten, also neben der noch mindestens ein weiteres Element mit . Mit diesem Element folgt weiter:
. Dies ist aber ein Widerspruch zu .
Also muss die Annahme falsch sein. Dann kann aber nur gelten und das zeigt den Induktionsanfang.

Induktionsschritt
Aus folgt mit 1.: .
Mit und wegen der Transitivität der Ordnung folgt weiter: .


zu 7.
Da gibt es ein Inverses bezüglich der Multiplikation, nämlich .
kann nicht negativ sein, denn dann würde mit 3. folgen:
, das bedeutet aber und das ist ein Widerspruch zu 6.
Ist nun , so folgt aus dem gerade bewiesenen ( ist wegen 4. auch positiv):
.
Wegen und folgt mit 3.: also

Die reellen Zahlen sind archimedisch geordnet[Bearbeiten]

Satz
Zu jedem gibt es ein mit .


Wegen dieser Eigenschaft heißt ein archimedisch geordneter Körper.


Beweis
wurde als Obermenge von konstruiert.
Wenn nicht nach oben beschränkt wäre, kann es kein geben, das eine obere Schranke von ist. (Wäre obere Schranke würde gelten für alle . Wenn es nicht gilt, muss es also mindestens ein geben mit ).
Der Satz ist daher bewiesen, wenn gezeigt werden kann, dass, nicht beschränkt ist.

Annahme: ist nach oben beschränkt.
Da die reellen Zahlen vollständig sind gibt es ein Supremum von mit
für alle . Wegen der Verträglichkeit von Ungleichungen mit der Addition folgt:
. Setzt man jetzt für alle so folgt weiter:
für alle , also ist auch eine obere Schranke von .
wegen folgt mit den Rechenregeln von Ungleichungen:
. Also ist keine obere Schranke. Wegen dieses Widerspruches muss aber die Annahme, dass nach oben beschränkt ist, falsch sein.


Mit der Eigenschaft, dass ein archimedisch geordneter Körper ist, lässt sich bereits so etwas wie ein erster Grenzwert zeigen.


Satz
Sei , und für alle . Dann folgt: .


Beweis

Der Beweis erfolgt durch Fallunterscheidung: und

  1. : Mit den Rechenregeln für Ungleichungen gilt: für alle . Es gilt also und für alle . Für ist der Satz damit erfüllt.
  1. : Der Beweis erfolgt hier durch Widerspruch.
    Annahme: Es gibt ein mit für alle .
    Wegen gilt auch . Multipliziert man mit den beiden positiven Zahlen und , so erhält man:
                ⇒             für alle .
    Dann wäre aber kein archimedisch geordneter Körper . Also kann es kein solches geben.





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