Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen: Topologie

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Im vorigen Absatz wurde gezeigt, wie über Betragsfunktion, Abstand, Metrik und offene Mengen eine Topologie auf erzeugt werden kann. Das Verfahren lässt sich auf andere metrische Räume anwenden. Eine Topologie wird daher allgemein über offene Teilmengensysteme nichtleerer Mengen definiert.


Topologie[Bearbeiten]

Definition (topologischer Raum)
Sei eine nichtleere Menge . Eine Topologie auf ist eine Teilmenge der Potenzmenge , d. h. , für die gilt:
  1. Seien für eine beliebige Indexmenge  
Das Paar heißt topologischer Raum. Die Mengen heißen offen (in ). Die Komplemente der offenen Mengen heißen abgeschlossen.



Satz (Eigenschaften abgeschlossener Mengen)
  1. und sind abgeschlossen.
  2. Vereinigungen endlich vieler angeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
  3. Durchschnitte beliebig vieler abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.


Beweis
Der Beweis ergibt sich aus den Regeln der Komplement-Bildung und den Eigenschaften offener Mengen.


Eine weitere Charakterisierung von offenen und abgeschlossenen Mengen ist über ihre Beziehung zu bestimmten Punkten möglich. Diese Punkte sind folgendermaßen definiert:


Definition (Berührungspunkt, Häufungspunkt)
Sei
  1. Ein Punkt heißt ein Berührungspunkt der Menge , wenn in jeder Umgebung von mindestens ein Punkt von liegt. Die Menge aller Berührungspunkte von wird mit bezeichnet.

  2. Ein Punkt heißt ein Häufungspunkt der Menge , wenn in jeder Umgebung von mindestens ein Punkt von liegt, der von verschieden ist. Die Menge aller Häufungspunkte von wird mit bezeichnet.


Bei anderen Definitionen des Häufungspunktes wird häufig auch verlangt, dass in jeder Umgebung von unendlich viele Punkte von liegen müssen. Dies lässt sich aus der obigen Definition aber leicht folgern.


Beispiele
  1. ist Häufungspunkt.
    Ist U eine Umgebung von , dann gibt es ein so, dass: . Da archimedisch ist, gibt es ein mit . Dann ist und . Es liegt also in jeder Umgebung von ein Punkt von , der von verschieden ist, d. h. Ist ein Häufungspunkt von .

  2. Die Menge besitzt als Teilmenge von keinen Häufungspunkt!


Mit Häufungspunkten lassen sich nun die abgeschlossenen Mengen wie folgt charakterisieren:


Satz (Charakterisierung abgeschlossener Mengen)
Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkt enthält, wenn also gilt.


Beweis
Sei also eine abgeschlossene Menge. Dann ist eine offene Menge. Für ein ist Umgebung von . Diese Umgebung enthält keinen Punkt von . Also kann kein Berührungspunkt und erst recht kein Häufungspunkt von sein. Dann muss aber alle seine Häufungspunkte selbst enthalten.

Es gelte also . Sei . kann kein Häufungspunkt von sein, denn enthält alle seine Häufungspunkte. Es muss also eine Umgebung von geben, die höchstens als Punkt von enthält. Es wurde aber vorausgesetzt ., d. h. und sind punktfremd. Also ist und offen. Dann ist aber geschlossen.


Dass die Menge der natürlichen Zahlen in keine Häufungspunkte hat kann man sich leicht "anschaulich" klar machen. Wie sieht aber die Menge der Häufungspunkte von aus? Kann es sein, dass jede reelle Zahl ein Häufungspunkt von ist, also gilt? Der folgende Satz schafft Klarheit:


Satz (offenes Intervall enthält rationale Zahl)


Ein nichtleeres, offenes Intervall enthält eine rationale Zahl.


Beweis
Sei ein beliebiges, nichtleeres und offenes Intervall.
Falls addiert man zu jedem Element des Intervalls eine natürliche Zahl , so dass man von ausgehen kann und die rationalen Zahlen im Intervall erhalten bleiben. Es gilt also ist und .
Da archimedisch ist, gibt es mit und . Dabei sei für die kleinste natürliche Zahl gewählt, die diese Bedingung erfüllt und nach dem Wohlordnungssatz auch existiert.
  1. Mit dieser Bedingung kann man wie folgt schließen: .

  2. Mit folgt weiter .

Also ist eine rationale Zahl im Intervall .


Jedes Intervall lässt sich natürlich in mehrere Intervalle unterteilen und diese lassen sich wieder unterteilen usw. In einem Intervall liegen damit mindestens zwei verschiedene rationale Zahlen. Also ist jede reelle Zahl ein Häufungspunkt von .


Eine Menge heißt dicht in , wenn . Wegen (Beweisen Sie dies!) lassen sich die gerade gewonnenen Erkenntnisse folgendermaßen festhalten:


Satz ( ist dicht in )
Jeder Punkt von ist ein Häufungspunkt von .

Wegen ist dicht in .


Diese Erkenntnis kommt hier vielleicht in einem etwas "ungewohnten Gewandt" daher. Sie besagt, dass es zu jeder reellen Zahl rationale Zahlen gibt, die dieser reellen Zahl beliebig nahe kommen. Es gibt also zu jeder reellen Zahl und jedem rationale Zahlen mit . Eine erste wichtige Erkenntnis der Beziehung zwischen und .


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