Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen: Wichtige Ungleichungen

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In diesem Kapitel werden 3 bekannte Ungleichungen eingeführt, die auch immer wieder verwendet werden. Mit einer dieser Ungleichungen lassen sich ganzzahlige Potenzen abschätzen. Bei dieser Ungleichung wird kurz auf die Rechenregeln für ganzzahlige Exponenten eingegangen.


Mittel-Ungleichung[Bearbeiten]

Für nichtnegative Zahlen , und bezeichnet man als arithmetisches Mittel und als geometrisches Mittel dieser Zahlen.
Es gilt:     .
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn .


Wegen der Rechenregeln für Ungleichungen ist diese Behauptung äquivalent zu
    .
Für den Beweis ist daher die Existenz von Wurzeln aus nichtnegativen reellen Zahlen keine Voraussetzung.


Beweis
Zu zeigen ist also .
Subtrahiert man auf beiden Seiten , so ergibt sich:
.
Diese Ungleichung ist offensichtlich richtig, das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn .

Ganzzahlige Potenzen[Bearbeiten]

Mit der Bernoullischen Ungleichung lassen sich Potenzen nach unten abschätzen. An dieser Stelle sollen kurz die ganzzahligen Potenzen und paar Rechenregeln eingeführt werden. Die Eindeutigkeit der -ten Potenz für positive wurde schon im Abschnitt über natürliche Zahlen gezeigt.


Definition und Satz


Sei und . Definiert man
  1.       ,   ,
  2.       für :     und
  3.      
so nennt man den Exponenten und die Basis der Potenz .

Seien und und bei negativem Exponenten die zugehörige Basis von Null verschieden. Dann gelten folgende Rechenregeln:
  1.      
  2.      
  3.       und
  4.       .


Beweis
Die Beweise können einfach mit vollständiger Induktion über oder gezeigt werden. Eine Fallunterscheidung in und für oder ist in einigen Fällen hilfreich.

Bernoullische Ungleichung[Bearbeiten]

Für alle , , und alle gilt:
      .
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann wenn oder wenn und .


Beweis
Der Beweis erfolgt über vollständige Induktion über :
 : ist klar, hier gilt auch für alle das Gleichheitszeichen.
 : .
Durch ausmultiplizieren ergibt sich: .
 : Für ist auch also und das zeigt die Gültigkeit der Ungleichung für .
und  : Dann ist , also .
Das Gleichheitszeichen kann also höchstens dann auftreten, wenn . Wenn aber gilt, rechnet man leicht nach, dass das Gleichheitszeichen für alle gilt.


Satz
Sei mit . Dann gilt für alle
     


Beweis
Setzt man in der Bernoullischen Ungleichung, so folgt:   .


Schwarzsche Ungleichung[Bearbeiten]

Satz
Sei und seien , reelle Zahlen. Dann gilt:
     
 
Gleichheit gilt genau dann, wenn es reelle Zahlen gibt, so dass für alle :
      und


Zunächst wird das Summenzeichen (mit zwei Rechenregeln) definiert und eine äquivalente Schreibweise der Schwarzschen Ungleichung, ohne Wurzeln, angegeben. Die Rechenregeln lassen sich mit vollständiger Induktion zeigen (und bleiben Ihnen zur Übung überlassen).


Definition und Satz;


Seien und , , reelle Zahlen.
  1. Eine Summe sei mit dem Summenzeichen wie folgt definiert:
    sowie

    .       nennt man Summationsindex.

    Dann gilt:
  2.   und

  3. .


Die Schwarzsche Ungleichung lässt sich jetzt wie folgt darstellen und wird auch in dieser Form bewiesen:


      .


Beweis
1. Hilfssatz
        für  

Beweis des Hilfssatzes
Mit den Rechenregeln für Ungleichungen lässt sich leicht zeigen, dass     für  . Daraus folgt (mit vollständiger Induktion):
.

Wegen       " für   " (was sich wiederum leicht mit den Rechenregel für Ungleichungen zeigen lässt) folgt unmittelbar der Hilfssatz.

2. Mit etwas Rechenaufwand wird nun die Schwarzsche Ungleichung direkt bewiesen (zunächst noch nicht für das Gleichheitszeichen):
Seien: .       Zu zeigen ist (1):

Es gilt:
 
Wählt man nun so erhält man

      oder mit Ungleichung (1)

Für   muss auch     für     gelten. Es folgt     und das zeigt die Behauptung.
Mit   folgt     , damit ergibt sich aus obiger Ungleichung (1)     und das zeigt die Behauptung.

3. Nun für das Gleichheitszeichen:

3.1. Es gelte also das Gleichheitszeichen:
Für   muss auch     für     gelten und die reellen Zahlen     erfüllen die die Behauptung (analog für   ).

Sei . Dann gilt das Gleichheitszeichen auch in allen oben stehenden Ungleichungen. Mit dem Hilfssatz folgt     für  . Mit den oben definierten   ist die Behauptung also erfüllt.

3.2. Es gelte   für   :
Sei   (falls verfährt man mit entsprechend).
Es folgt   , also und das zeigt die Behauptung.


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