MathemaTriX ⋅ Erweitern und Kürzen

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Theorie

Erweitern und Kürzen

Erweitern

Erweitern ist, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multipliziert. Der neue Bruch bleibt dann doch gleich:

${\frac {4}{7}}={\frac {4\cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {20}{35}}$

Bruchkürzen

Kürzen ist, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl dividiert. Der neue Bruch bleibt dann doch gleich:

${\frac {12}{8}}={\frac {12:4}{8:4}}={\frac {3}{2}}$

In all diesen Fällen arbeitet man mit natürlichen Zahlen (positive Zahlen ohne Komma).

Erklärung des Erweiterns und des Kürzens

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Vergleichen wir die beiden Bilder. Im ersten Bild wird das Ganze im $5$ geteilt, zwei Teile davon werden dunkel dargestellt. Das ist also eine Repräsentation des Bruches $\textstyle \ {\frac {2}{5}}$. Im zweiten Bild wird das Ganze nicht nur in $5$ (waagerecht) sondern auch in $7$ (senkrecht) geteilt. Dadurch entstehen im Ganzen $\ 5\cdot 7=35\$ kleine "Quadrate". Jedes kleines Quadrat ist daher $\textstyle \ {\frac {1}{35}}\$ des Ganzen. Die dunkle Region ($\textstyle \ {\frac {2}{5}}$) beinhaltet allerdings $\ 2\cdot 7=14\$ solche "Quadrate" also $\textstyle \ {\frac {14}{35}}$. Man folgt daraus, dass $\textstyle \ {\frac {2}{5}}={\frac {14}{35}}\$ ist. Man hat in diesem Fall sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen Zahl (hier $7$) multipliziert: $\textstyle \ {\frac {2}{5}}={\frac {2\cdot 7}{5\cdot 7}}={\frac {14}{35}}\$. Diesen Prozess nennt man erweitern.

Der Gegenprozess ist dann das Kürzen. Im ersten Bild wird das Ganze in $5$ Zeilen und $7$ Spalten also insgesamt in $\ 7\cdot 5=35\$ kleine "Quadrate" geteilt (das könnte selbstverständlich eine andere Austeilung sein). Die blaue Region ist $\ 3\cdot 5=15\$ solche Teile, also $\textstyle \ {\frac {15}{35}}$. Wenn man jetzt die waagerechte Austeilung (in Fünf Zeilen geteilt) entfernt (zweites Bild), dann ist das ganze nur in $7$ (Spalten) geteilt, wobei jetzt die blaue Region $3$ Spalten davon ist also $\textstyle \ {\frac {3}{7}}$. In diesem Fall haben wir sowohl Zähler als auch Nenner durch die gleichen Zahl (hier $5$) dividiert: $\textstyle \ {\frac {15}{35}}={\frac {15:5}{35:5}}={\frac {3}{7}}$. Diesen Prozess nennt man kürzen.

Aufgaben

Erweitern

1. 
   

   Erweitern Sie folgende Brüche mit der jeweils in Klammern angegebenen Zahl bzw. Variable! $\ {\frac {3}{5}}=\ (6)\qquad$ $\ {\frac {2}{7}}=\ (7)\qquad$ $\ {\frac {5}{4}}=\ (3)\qquad$ $\ {\frac {7}{14}}=\ (11)\qquad$ $\ {\frac {3}{4}}=\ (b)\qquad$

2. 
   

   Erweitern Sie folgende Brüche mit der jeweils in Klammern angegebenen Zahl bzw. Variable! $\ {\frac {3}{4}}=\ (4)\qquad$ $\ {\frac {4}{7}}=\ (3)\qquad$ $\ {\frac {5}{4}}=\ (5)\qquad$ $\ {\frac {7}{8}}=\ (13)\qquad$ $\ {\frac {3}{11}}=\ (w)\qquad$

3. 
   

   Erweitern Sie folgende Brüche mit der jeweils in Klammern angegebenen Zahl bzw. Variable! $\ {\frac {7}{5}}=\ (7)\qquad$ $\ {\frac {2}{3}}=\ (5)\qquad$ $\ {\frac {8}{6}}=\ (9)\qquad$ $\ {\frac {11}{14}}=\ (6)\qquad$ $\ {\frac {7}{4}}=\ (x)\qquad$

4. 
   

   Erweitern Sie folgende Brüche mit der jeweils in Klammern angegebenen Zahl bzw. Variable! $\ {\frac {9}{6}}=\ (4)\qquad$ $\ {\frac {12}{7}}=\ (5)\qquad$ $\ {\frac {5}{8}}=\ (8)\qquad$ $\ {\frac {11}{4}}=\ (6)\qquad$ $\ {\frac {5}{7}}=\ (m)\qquad$

Kürzen

1. 
   

   Kürzen Sie folgende Brüche! $\ {\frac {6}{15}}=\qquad$ $\ {\frac {15}{35}}=\qquad$ $\ {\frac {21}{14}}=\qquad$ $\ {\frac {35}{14}}=\qquad$ $\ {\frac {42}{24}}=\qquad$

2. 
   

   Kürzen Sie folgende Brüche! $\ {\frac {10}{15}}=\qquad$ $\ {\frac {21}{35}}=\qquad$ $\ {\frac {33}{44}}=\qquad$ $\ {\frac {10}{12}}=\qquad$ $\ {\frac {30}{45}}=\qquad$

3. 
   

   Kürzen Sie folgende Brüche! $\ {\frac {6}{9}}=\qquad$ $\ {\frac {20}{22}}=\qquad$ $\ {\frac {45}{55}}=\qquad$ $\ {\frac {55}{66}}=\qquad$ $\ {\frac {42}{28}}=\qquad$

4. 
   

   Kürzen Sie folgende Brüche! $\ {\frac {21}{14}}=\qquad$ $\ {\frac {21}{12}}=\qquad$ $\ {\frac {12}{39}}=\qquad$ $\ {\frac {39}{52}}=\qquad$ $\ {\frac {33}{99}}=\qquad$