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Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.
Bei einer Rechnung muss die Reihenfolge der Rechnungen klar sein, sonst ist das Ergebnis nicht eindeutig:
:
Wenn man von links nach rechts liest, dann: also Ergebnis 7.
Wenn man von rechts nach links liest, dann: also Ergebnis 15.
Das Ergebnis ist nicht das Gleiche! In den meisten Sprachen der Welt fängt man links an. Dann ist das richtige (und eindeutige) Ergebnis 7. Nur bei Addition oder Multiplikation spielt die Leserichtung und allgemein die Reihenfolge keine Rolle:
In diesem Buch wird die Deutsche Leserichtung benutzt, also von links nach rechts.
Was ist, wenn man Strich- und Punktrechnungen gleichzeitig hat? Spielt hier die Reihenfolge wieder keiner Rolle, wie bei der Addition oder der Multiplikation?
Machen wir die Rechnung einfach von links nach rechts, ist das Ergebnis:
Ändern wir die Reihenfolge der Multiplikation:
und machen wir die Rechnung einfach von links nach rechts, bekommen wir ein anderes Ergebnis:
Es gilt auch:
Wenn man erst die Strichrechnung macht, ist das Ergebnis:
Wenn man erst die Punktrechnung macht, ist das Ergebnis:
Das Ergebnis ist wieder unterschiedlich.Ein unterschiedliches Ergebnis kommt auch dann vor, wenn die Reihenfolge bei der Addition geändert wird und die Multiplikation erst gemacht wird:
und
Hier haben wir die Reihenfolge bei der Addition geändert (einmal steht 2+3 und dann 3+2). Machen wir in beiden Fällen erst die Multiplikation:
und
Das Ergebnis ist wieder unterschiedlich. Wenn wir aber einen mathematischen Ausdruck haben, wollen wir ein eindeutiges Ergebnis. Damit das Ergebnis eindeutig ist, muss es eine Regel geben. In Mathematik haben die Punktrechnungen (mal und durch) immer Vorrang vor den Strichrechnungen (Plus und Minus). Man muss zuerst die Punktrechnungen machen und dann die Strichrechungen. Also ist hier 14 das richtige Ergebnis. Wenn es also in einer Rechnung Strich- und Punktrechnungen gibt, dann muss man zuerst die Punktrechnungen machen!
Wenn es aber eine Klammer gibt, dann muss man erst die Rechnung in der Klammer machen:
Hier ist das Ergebnis doch
...und hier ist das Ergebnis wieder .
Wenn in einem mathematischen Ausdruck mehrere Rechenarten vorkommen, dann muss eine Regel gelten, damit das Ergebnis eindeutig ist. Die grundlegende Regel lautet:
Klammer vor Punkt vor Strich.
(Zu Erinnerung: Punktrechnungen sind mal und durch, Strichrechnungen sind plus und minus)
Wenn es wiederum innerhalb einer Klammer mehrere Rechnungen gibt, dann muss man die Klammer erst machen und in der Klammer an die Regeln halten:
Unterstreichen wir zuerst die Rechnungen in den Klammern:
In beiden Klammern muss man zuerst die Punktrechnung machen
und dann die Strichrechnung in Klammer
Man kann also die Klammer durch das jeweilige Ergebnis ersetzen
Kompakter geschrieben ist die Rechnung jetzt:
Hier muss man erst die Punktrechnungen machen
Hier das Ganze noch einmal übersichtlicher und in einer Animation:
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