Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen
Die Definition der Frobenius-Pseudoprimzahlen kann mit Lucas-Folgen und , wobei keine Quadratzahl ist, wie folgt ausgedrückt werden.[1]
Eine zusammengesetze Zahl n ist genau dann eine Frobenius-Pseudoprimzahl, wenn
(d. h. ist ungerade und teilerfremd zu und ), | (1) |
und | (2) |
, | (3) |
wobei der Wert des Jacobi-Symbols ist.
Wenn Bedingung (2) erfüllt ist, ist Bedingung (3) äquivalent zu
. | (3') |
.
Bezug zu anderen Pseudoprimzahlen[Bearbeiten]
Jede Frobenius-Pseudoprimzahl ist auch
- eine Lucas-Pseudoprimzahl mit den Parametern , da für diese die Bedingungen (1) and (2) gelten
- eine Dickson-Pseudoprimzahl mit den Parametern , da für diese die Bedingungen (1) and (3') gelten
- eine Fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis , wenn .
Damit sind die Frobenius-Pseudoprimzahlen eine echte Teilmenge der Lucas- and Dickson-Pseudoprimzahlen mit denselben Parametern und der Fermatschen Pseudoprimzahlen zur Basis , wenn ist.
Stärkere Kongruenzbedingung[Bearbeiten]
In einem Primzahltest können statt Kongruenz 1 auch die Kongruenzbedingungen für starke Baillie-Wagstaff-Lucas-Pseudoprimzahlen angewandt werden, um den Test sicherer zu machen.
Da die Bezeichnung "starke Frobenius-Pseudoprimzahl" anderweitig vergeben ist, sollte sie hierfür nicht verwendet werden.
Frobenius-Fibonacci-Pseudoprimzahlen[Bearbeiten]
Frobenius-Fibonacci-Pseudoprimzahlen sind Frobenius-Pseudoprimzahlen mit den Parametern P = 1 und Q = -1.
gleichzeitig Frobenius(1,-1)- & | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Obergrenze x | Frob(1,-1)[2] | f(x)(I) | Frob(1,-1)sl | PsP(2) | sPsp(2) | lpsp | slpsp |
10 3 | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
10 4 | 3 | 0.002 | 2 | 0 | 0 | 1 | 1 |
10 5 | 16 | 0.033 | 14 | 0 | 0 | 3 | 3 |
10 6 | 56 | 0.041 | 41 | 7 | 2 | 11 | 11 |
10 7 | 210 | 0.032 | 142 | 34 | 7 | 38 | 38 |
10 8 | 653 | 0.030 | 399 | 90 | 22 | 105 | 105 |
10 9 | 1929 | 0.027 | 1165 | 255 | 50 | 304 | 304 |
1010 | 5241 | 0.024 | 3096 | 628 | 121 | 757 | 757 |
1011 | 14149 | 0.022 | 8165 | 1632 | 329 | 2034 | 2034 |
1012 | 37527 | 0.021 | 21354 | 3975 | 832 | 5339 | 5339 |
1013 | 98702 | 0.021 | 55909 | 9827 | 2247 | 14070 | 14070 |
1015 | 15952 | 101788 |
(I) Mittlerer Anteil falscher Zeugen beim Miller-Rabin-Test.
Frobenius(3,-5)-Pseudoprimzahlen[Bearbeiten]
Die Häufigkeit von Frobenius-Pseudoprimzahlen kann abhängig von den Parametern sehr unterschiedlich sein. Mit den Parametern P = 3 und Q = -5 gibt es besonders wenige Pseudoprimzahlen. Die ersten sind 13333, 44801, 486157, 1615681, 3125281, 4219129, 9006401.
gleichzeitig Frobenius(3,-5)- & | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Obergrenze x | Frob(3,-5)[2] | f(x)(I) | Frob(3,-5)sl | PsP(2) | sPsp(2) | lpsp |
10 3 | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 |
10 4 | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 |
10 5 | 2 | 0.109 | 1 | 0 | 0 | 0 |
10 6 | 3 | 0.084 | 1 | 0 | 0 | 0 |
10 7 | 7 | 0.088 | 4 | 3 | 2 | 0 |
10 8 | 27 | 0.092 | 8 | 10 | 6 | 0 |
10 9 | 82 | 0.108 | 30 | 29 | 8 | 0 |
1010 | 238 | 0.096 | 76 | 101 | 24 | 0 |
1011 | 604 | 0.097 | 201 | 258 | 60 | 0 |
1012 | 1532 | 0.098 | 550 | 676 | 171 | 0 |
1013 | 3897 | 0.101 | 1423 | 1644 | 409 | 0 |
1014 | 1032 | 0 | ||||
1015 | 2864 | 0 |
Quellen[Bearbeiten]