Benutzer:Siliurp/P101-de-Analytische Mechanik

Liebe Community, ich schreibe dieses Buch begleitend zu meinem Studium. So lange das Buch nur hier als Unterseite meiner Benutzerseite existiert, möchte ich bitte für den Moment alleiniger Autor bleiben. Sobald ich es nicht mehr dafür verwende (nach der Prüfung), werde ich es als reguläres Wikibook einstellen, und gerne mit anderen Autoren daran weiter arbeiten. Hinweise auf Fehler nehme ich gerne jederzeit entgegen.

Gruß, --Siliurp 23:35, 17. Dez. 2012 (CET)

Analytische Mechanik

aka. theoretische Mechanik

Arbeitsbücher/Quellen:

• Theoretische Physik 2 - Rainer J. Jelitto, ISBN 3-923944-96-9
• Repetetorium theoretische Physik - Wachter, Hoeber, ISBN 3-540-21457-7
• Grundkurs theoretische Physik 2 - Wolfgang Nolting, ISBN 3-540-30660-9
• Vorlesung Physik III WiSe 2003-2004 von Prof. Dr. Herbert Müther und Prof. David Wharam

Über dieses Buch

Kein Lehrbuch wäre komplett ohne Aufgaben. Damit Arbeit nicht tausendmal wieder gemacht werden muss, werden die Aufgaben aus diesem Buch in der Aufgabensammlung Physik ausgelagert und dann nur in dieses Buch eingebunden. Aufgaben aus diesem Buch finden sich zu den einzelnen Kapiteln in der Unterseite Theoretische Mechanik. Wie alle Aufgabensammlungen freut sich auch diese Erweitert zu werden.

Lagrange Mechanik

Die newtonsche Mechanik ist für die Beschreibung von Inertialsystemen sinnvoll. Ein Inertialsystem, ist ein System, welches sich:

• gleichförmig, d.h. nicht beschleunigt und mit konstanter Geschwindigkeit
• geradlinig, d.h. der Bewegungsverlauf des Systems weist keine Richtungsänderung im Bewegungsverlauf, konstante Richtung; bzw. kräftefrei, d.h. ohne Einwirkung äußerer Kräfte.

Die Beschreibung der Newtonschen Mechanik ist aber schon im System mit Zwangskräften (z.B. Zentripetalkraft) vergleichsweise kompliziert und unübersichtlich; in einem irgendwie beschleunigten System dann sogar ganz unmöglich.
Daher wird nun eine neue mathematische Betrachtung Mechanik eingeführt, die Lagrange-Mechanik. In dieser Betrachtung werden die Zwangsbedingungen eines Systems geschickt in Koordinaten untergebracht, sodass die Zwangskräfte nur noch indirekt auftauchen.

1.1 Zwangsbedingungen eines Systems:

Was ist eine Zwangsbedingung?

Fadenpendel

Unter einer Zwangsbedingung versteht man eine Einschränkung der Freiheitsgrade im physikalischen System. So kann sich bspw. ein Fadenpendel an einem endlich langen Faden $l$ nicht mehr beliebig frei bewegen, sondern wird durch die Fadenspannung an eine bestimmte Bahn gebunden. Die Zwangsbedingung hierzu lautet:
$l^{2}=x^{2}+y^{2}$

Man unterscheidet zwischen verschiedenen Typen von Zwangsbedingungen, welche z.T. bereits einen auf die Komplexität des Systems geben können.

Typen von Zwangsbedingungen

Es gibt verschiedene Charakteristika der Zwangsbedingungen (ZWB), die bereits einen Hinweis auf die Komplexität des des zu lösenden Problems geben werden:

• holonome ZWB
• nicht-holonome ZWB
• rheonome ZWB, die zeitabhängig sind
• skleronome ZWB, die zeitunabhängig sind.
  

holonome ZWB

Die holonomen Zwangsbedingungen können mithilfe der Systemkoordinaten $x_{i}$ mit $i=1,...,3N$ in $l$ Gleichungen der Form:

$f_{l}(x_{1},x_{2},...,x_{3N},t)=0$ mit $l=1,...,s$

formuliert werden, sodass sich die Anzahl der Koordinaten auf $n=(3N-s)$ unabhängige Koordinaten reduzieren, so genannte generalisierte Koordinaten. Diese Koordinaten beschreiben das System dann vollständig.

Mathematisch betrachtet stellt eine holonome Zwangsbedingung die Bindung eines Teilchens an eine Fläche im 3-dimensionalen Raum dar. Im Falle mehrerer holonomer Zwangsbedingungen ergibt sich die mögliche Bewegung des Teilchens aus den Schnittkurven dieser Bindungsflächen. Sind mehrere N Teilchen aneinander gekoppelt, so ist die Bewegung nicht mehr durch eine Bindung an den 3-dimensoinalen Realitätsraum zu verstehen, sondern als Bindung an eine Hyperfläche im 3N-dimensionalen Raum.

nicht-holonome ZWB

Es gibt noch weitere nicht-holonome Zwangsbedingungen. Diese können verschiedene Formen annehmen, gemein ist ihnen jedoch, dass die Koordinaten dann nicht mehr unabhängig voneinander sind und sich die Anzahl der Koordinaten durch diese Zwangsbedingungen nicht reduzieren lässt, da die Freiheitsgrade dann nur noch einschränkt nicht aber eingefroren werden.

Beispiele für die Form nicht-holonomer ZWB:

• differenzielle, nicht-integrierbare Form: $\sum _{j}a_{lj}dq_{j}+a_{lt}dt$ mit $l=1,...,r$
• geschwindigkeitsabhängige Beziehung: $f(x_{1},...,x_{3N},{\dot {x_{1}}},...,{\dot {x_{3N}}},t)=0$
• Ungleichungen, z.B. $z>0$

zeit(un)abhängige ZWB

• skleronom, also zeitunabhängig nennt man solche Zwangsbedingungen, für die gilt:

${\frac {df}{dt}}=0$

• rheonom, also zeitabhängig nennt man solche Zwangsbedingungen, für die entsprechend gilt:

$0\neq {\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial {\vec {r}}_{i}}}{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}$

• • Wenn ausschließlich eine explizite Zeitabhängigkeit vorliegt, also die Teilchen-Koordinaten nicht Zeitabhängig sind, so vereinfacht sich die Ableitung zu: ${\frac {\partial f}{\partial t}}\neq 0$

Zusammenfassung Zwangsbedingungen

Aufgaben zum Kapitel Zwangsbedingungen

Teilchen auf Kugelschale Ein Teilchen kann sich nur auf einer Kugeloberfläche / Kugelschale mit Radius $R$ bewegen. Formuliere die Zwangsbedingung hierzu mathematisch in kartesischen Koordinaten. Das Teilchen kann sich nun auch innerhalb der Kugel bewegen, jedoch niemals darüber hinaus. Wie lautet die zugehörige Zwangsbedingung? Teilchen auf schiefer Ebene Ein Teilchen ist an eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel $\alpha$ gebunden. Formuliere die Zwangsbedingung in zwei Dimensionen. Die Hantel Zwei Massen sind durch eine Stange der Länge $L$ fest miteinander verbunden. Formuliere die Zwangsbedingung in drei Dimensionen. Um was für eine Zwangsbedingung handelt es sich, und warum?

Generalisierte Koordinaten

generalisierte Koordinaten

Generalisierten Koordinaten eines Systems spannen zwischen sich den Konfigurationsraum des Systems auf. Sie müssen einzeln keine physikalische Größe darstellen, sondern in ihrer Gesamtheit das physikalische System zu jedem gegebenen Zeitpunkt eindeutig beschreiben. Die Wahl der Koordinaten ist, unter Beachtung der o.g. Vorgaben frei, allerdings ist ihre Zahl durch die Freiheitsgrade des Systems (3N - Anzahl der ZWB) eingeschränkt. Die Koordinaten werden so gewählt, dass das gestellte Problem hierdurch mathematisch möglichst einfach zu lösen ist; häufig büßt das System dadurch seine physikalische Anschaulichkeit ein.

Um die Symmetrie eines Systems optimal auszunutzen bietet sich der Übergang in generalisierte Koordinaten an.

Dazu beschreibt man ein System mit einem Satz aus Koordinaten, die die folgenden Bedingungen erfüllen müssen:

1. Die momentane Konfiguration des physikalischen Systems ist durch die generalisierten Koordinaten $q_{1},...,q_{n}$ eindeutig festgelegt. D.h. insbesondere, dass die Transformationsformeln: $x_{i}=x_{i}(q_{i},...,q_{n},t)$ gelten. Diese enthalten bekanntlich implizit die holonomen Zwangsbedingungen.
2. Die generalisierten Koordinaten $q_{1},...,q_{n}$ sind unabhängig voneinander. D.h. es kann keine Gleichung der Form $f(q_{i},...,q_{n},t)=0$ gefunden werden.

Einige Anmerkungen:

1. Die generalisierten Koordinaten spannen zwischen sich den Konfigurationsraum Q auf. Der Konfigurationsraum ist n-dimensional. In ihm leben die verschiedenen Konfigurationszustände $\mathbf {q} =\mathbf {q} (q_{1},...,q_{n},t)$ eines Systems. Jeder dieser Punkte beschreibt einen möglichen Zustand des physikalischen Systems.
2. Die ${\dot {q_{1}}},...,{\dot {q_{n}}}$ heißen generalisierte Geschwindigkeiten.
3. Sind die Anfangsbedingungen eines Systems bekannt, so kann jeder Zustand im Konfigurationsraum für alle Zeiten berechnet werden.
4. Die generalisierten Koordinaten sind nicht eindeutig festgelegt; man wählt die Koordinaten so, dass sie das System zweckmäßig, z.B. unter Berücksichtigung von Symmetrien, beschreiben. Die Anzahl der Koordinaten ist jedoch auf n festgelegt.
5. Die Einheiten der generalisierten Koordinaten ist beliebig, da sie in ihrer Gesamtheit das System beschreiben, und nicht unbedingt jedes einzelne Teilchen des Systems.
6. Durch das Verwenden generalisierter Koordinaten verliert ein physikalisches System häufig an Anschaulichkeit. Dafür wird aber die mathematische Beschreibung des Systems einfacher. - Krummlinige Koordinaten werden die Regel sein.

Zwangskräfte und das d'Alambertsche Prinzip

Teilchen auf einer schiefen Ebene

Teilchen mit wirkenden Kräften

Im zeitunabhängigen System:

Die Zwangsbedingungen eines Systems erzeugen Zwangskräfte, die auf das Teilchen einwirken, um es in der zugelassenen Bahn zu halten. Als Beispiel nehmen wir ein Teichen auf einer schiefen Ebene: Die wirkende Kraft $F_{W}$ mit der sich das Teilchen auf der Ebene nach unten bewegt ergibt sich wie folgt: $F_{W}=F_{G}+F_{\text{Zwang}}$ Die holonome Zwangsbedingung für das System lautet: $f_{z}\rightarrow 0={\frac {y}{x}}-\tan {\alpha }$ mit: $\tan(\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}$ $\longrightarrow f_{z}\rightarrow 0=y\cdot \cos(\alpha )-x\cdot \sin(\alpha )$

Die Zwangskraft verrichtet niemals Arbeit, d. h. sie muss immer senkrecht zur Bewegungsrichtung des Teilchens stehen, also:

${\vec {F}}_{z}\cdot \delta _{\vec {r_{i}}}$ wobei $\delta _{\vec {r_{i}}}$ die erlaubte Bewegungsrichtung darstellt.

Im zeitabhängigen System:

Teilchen im Aufzug mit Bewegungsfreiheit in x-Richtung; der Aufzug bewegt sich gleichmäßig in z-Richtung nach oben. Wir sehen die reelle Verrückung dr = r(t+dt) - r(t)

Betrachten wir die Bewegung eines Teilchens in einem nach oben fahrenden Aufzug, so lautet die rheonome Zwangsbedingung des Systems: $f\rightarrow 0=z-v_{z}\cdot t$. Die reelle Verrückung, die stattfindet, während der Aufzug die Strecke $z=v_{z}\cdot t$ nach oben fährt wird wie folgt formuliert:

$d{\vec {r}}={\vec {r}}(q_{1}(t+dt),\dots ,q_{3N-l}(t+dt),t+dt)-{\vec {r}}(q_{1}(t),\dots ,q_{3N-l}(t),t)$

Wie in der Skizze zu sehen ist, steht die Zwangskraft $F_{Z}$, die das Teilchen nach oben hebt, nicht mehr senkrecht zur Bewegungsrichtung, sodass es aussieht, als würde die Zwangskraft Arbeit am Teilchen verrichten. Um das d'alambertsche Prinzip anwenden zu können verwenden wir also das Prinzip der virtuellen Verrückung.

Teichen im Aufzug zum Zeitpunkt t ist die z-Richtung festgehalten, wir sehen die virtuelle Verrückung $\delta r$.

Dazu halten wir unser System zum Zeitpunkt $t$ fest, lassen aber weiterhin infinitesimale Verrückungen in x-Richtung, also senkrecht zur Zwangskraft $F_{Z}$ zu:

$\delta {\vec {r}}={\vec {r}}(q_{1}(t+dt),\dots ,q_{3N-l}(t+dt),t+dt)-{\vec {r}}(q_{1}(t),\dots ,q_{3N-l}(t),t)$

Allgemein, für ein Mehrteilchensystem formuliert, bedeutet dies, das die Summe der Skalarprodukte der n Teilchen von Zwangskraft auf das Teilchen i und dessen virtuelle Verrückung $\delta {\vec {r}}_{i}$ immer gleich null sein muss, also Zwangskräfte und Verrückungen senkrecht aufeinander stehen:

$\sum _{i=0}^{n}F_{Z_{i}}\cdot \delta r_{i}=0$

Lagrangegleichungen 1. Art

Die Lagrangegleichungen 1. Art, die sich direkt aus dem d'Alembertschen Prinzip und den Newtonschen Bewegungsgleichungen ergeben sollen hier nur kurz angerissen werden. Der Vorteil der Lagrangegleichungen 1. Art besteht darin, dass sich aus ihnen direkt die wirkenden Zwangskräfte bestimmen lassen. Gerade für die Konstruktion von Systemen, z.B. in der Bauindustrie, ist dies eine wichtige Information. Der Nachteil gegenüber den Lagrangegleichungen 2. Art, die in der Physik vor allem genutzt werden, besteht darin, dass um die Bewegungsgleichungen des Systems zu erhalten mehr Gleichungen gelöst werden müssen. Des weiteren, kann man mit den Lagrangegleichungen 1. Art Systeme mit nicht-holonomen Zwangsbedingungen lösen.

Problem: Wie bestimmt man die virtuellen Verrückungen $\delta r_{i}$ und die Zwangskräfte $F_{Z_{i}}$ ?

Wie wir im d'alembertschen Prinzip gesehen haben gilt für die Zwangsbedingungen: $f_{s}(r_{i}+\delta r_{i})=f_{s}(r_{i})=0$

Da die virtuellen Verrückungen infinitesimal klein sind stellen wir die Funktion in der Umgebung der virtuellen Verrückungen durch ein Taylor-Polynom dar.

${\begin{aligned}T_{n}f(x;a)=&\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}\\=&f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}}$

Wir entwickeln bis zum Polynom 1. Ordnung; die übrigen Terme sind vernachlässigbar, da sie mit noch höheren Potenzen der infinitesimalen Verrückung multipliziert werden.

$\Rightarrow 0=Tf_{s}(r_{i}+\delta r_{i})=f_{s}(r_{i})+\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial f_{s}}{\partial {\vec {r_{i}}}}}\delta {\vec {r_{i}}}=f_{s}(r_{i})+\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}f_{s}\cdot \delta r_{i}$

Dabei ist $f_{s}(r_{i})=0$, laut Anfangsbedingungen. Daher bleibt für die Zwangsbedingungen nur noch die folgende Bedingung zu erfüllen:

$\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}f_{s}\cdot \delta r_{i}=0$

Diese Bedingung gilt für alle s Zwangsbedingungen des Systems; sie ist mathematischer Ausdruck dafür, dass Zwangskräfte keine Arbeit leisten dürfen. Die erlaubten virtuellen Verrückungen des Systems werden durch diese Gleichungen vollständig bestimmt.

Vergleichen wir nun $\sum _{i=1}^{N}F_{Zw_{i}}\cdot \delta r_{i}=0$ (1.1) und $\sum _{i=1}^{N}{\vec {\nabla }}f_{s}\cdot \delta r_{i}$ (1.2), so sehen wir, dass Gl. (1.1) eine Linearkombination der Gleichung (1.2) ist:

$0=\sum _{i=1}^{N}F_{Zw_{i}}\cdot \delta r_{i}=\lambda _{s}\sum _{i=1}^{N}{\vec {\nabla }}f_{s}\cdot \delta r_{i}$ Also: $\Rightarrow F_{Zw_{i}}=\lambda _{s}\sum _{i=1}^{N}{\vec {\nabla }}f_{s}$

Stellen wir nun das Gleichungssystem auf:

• Newton: ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}mr_{i}={\vec {F_{i}}}+{\vec {F_{Zw_{i}}}}={\vec {F_{i}}}+\lambda _{s}\sum _{i=1}^{N}{\vec {\nabla }}f_{s}$ Dies ergibt 3N Gleichungen…
• $f_{s}(r_{i},t)=0$ … + s Gleichungen

Die Unbekannten des Systems:

• ${\vec {r_{i}}}(t)$ - 3N Unbekannte …
• $\lambda _{s}(t)$ - …+ s Unbekannte

Ergibt also 3N+s Gleichungen um 3N+s Unbekannte zu finden; zum einen die Bewegungsgleichungen und die Zwangskräfte des Systems.

Will man die Zwangskräfte eines Systems nicht berechnen, so kann man in einem System mit ausschließlich holonomen Zwangsbedingungen die Bewegungsgleichungen eines Systems auch mit den Lagrangegleichungen 2. Art berechnen.

Zusammenfassung Zwangskräfte und das d'Alambertsche Prinzip

Aufgaben zum Kapitel Zwangskräfte und das d'Alambertsche Prinzip

Die allgemeine Formulierung des d'Alambertschen Prinzips: $\sum _{i=0}^{n}F_{Z_{i}}\cdot \delta r_{i}=0$ Die Bewegungsgleichungen und Zwangskräfte des Systems können durch den Formalismus der Lagrangen Multiplikatoren berechnet werden, in dem die Unbekannten des Systems: ${\vec {r_{i}}}(t)$ - 3N Unbekannte … $\lambda _{s}(t)$ - …+ s Unbekannte durch Lösung der Gleichungen: Newton: ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}mr_{i}={\vec {F_{i}}}+{\vec {F_{Zw_{i}}}}={\vec {F_{i}}}+\lambda _{s}\sum _{i=1}^{N}{\vec {\nabla }}f_{s}$ Dies ergibt 3N Gleichungen… $f_{s}(r_{i},t)=0$ … + s Gleichungen gefunden werden.

Aufgabensammlung Physik: Lagrange Gleichungen 1. Art

Lagrange Gleichungen 2. Art

Herleitung der Lagrangegleichungen 2. Art aus den Newtonschen Bewegungsgleichungen und dem d'Alembertschen Prinzip

Definitionen

Allgemeine Definition einer Verrückung: $d{\vec {r_{i}}}=\sum _{j=1}^{3N-k}{\frac {\partial {\vec {r_{i}}}}{\partial q_{j}}}dq_{j}+{\frac {\partial {\vec {r_{i}}}}{\partial t}}dt$ (1) Leitet man die Verrückung nach der Zeit t ab, so erhält man die allgemeine Darstellung der Teilchengeschwindigkeiten durch generalisierte Koordinaten: ${\frac {d}{dt}}{\vec {r_{i}}}={\dot {\vec {r_{i}}}}=\sum _{j=1}^{3N-k}{\frac {\partial {\vec {r_{i}}}}{\partial q_{j}}}{\dot {q_{j}}}+{\frac {\partial {\vec {r_{i}}}}{\partial t}}$ (2) Allgemeine Definition einer virtuellen Verrückung: $\delta {\vec {r_{i}}}=\sum _{j=1}^{3N-k}{\frac {\partial {\vec {r_{i}}}}{\partial q_{j}}}dq_{j}$ - All zulässigen , virtuellen Verrückungen sind auf diese Weise darstellbar.

Das System hat N Teilchen, und k holonome Zwangsbedingungen, und somit 3N-k Freiheitsgrade. Das System soll durch $q_{j}$ generalisierte Koordinaten beschrieben werden, mit j = 1, …, 3N-k. Die erlaubten Positionen der Teilchen $r_{i}$ werden durch die generalisierten Koordinaten ausgedrückt: $r_{i}(q_{1},...,q_{3N-k},t)$. Beispiel:

Teilchen: $r_{1},r_{2}$

$y_{i},z_{i}=0$ - 4 holonome Zwangsbedingen; die Teilchen bewegen sich nur in der x-Ebene.

$x_{1}-x_{2}-\alpha t=0$ - Der Abstand zwischen $x_{1}$ und $x_{2}$ vergrößert sich mit der Zeit t proportional zu $\alpha$

Damit ergeben sich 5 Zwangsbedingungen, das System besitzt also $2\cdot 3-5=1$ Freiheitsgrad und entsprechend eine generalisierte Koordinate q. Wir stellen die Koordinatengleichungen in generalisierten Koordinaten auf:

$r_{1}=\left({\begin{array}{ccc}q\\0\\0\end{array}}\right)$

$r_{1}=\left({\begin{array}{ccc}q-\alpha t\\0\\0\end{array}}\right)$

Die Geschwindigkeiten in generalisierten Koordinaten:

${\frac {d}{dt}}{\vec {r_{1}}}={\dot {\vec {r_{1}}}}={\frac {\partial {\vec {r_{1}}}}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial {\vec {r_{1}}}}{\partial t}}=\left({\begin{array}{ccc}1\\0\\0\end{array}}\right){\dot {q}}+0$

${\frac {d}{dt}}{\vec {r_{2}}}={\dot {\vec {r_{2}}}}={\frac {\partial {\vec {r_{2}}}}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial {\vec {r_{2}}}}{\partial t}}=\left({\begin{array}{ccc}1\\0\\0\end{array}}\right){\dot {q}}+\left({\begin{array}{ccc}\alpha \\0\\0\end{array}}\right)$

Was für eine Kraft ${\vec {F}}_{i}$ wirkt auf das Teilchen i?

$\sum _{i=1}^{N}{\vec {F}}_{i}\delta {\vec {r}}_{i}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}\delta {\vec {r}}_{i}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {F}}_{i}^{ex}\delta {\vec {r}}_{i}+{\vec {F}}_{i}^{Zw}\delta {\vec {r}}_{i}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {F}}_{i}^{ex}\delta {\vec {r}}_{i}$

mit ${\vec {F}}_{i}$ - resultierende Kraft und ${\vec {F}}_{i}^{Zw}\delta {\vec {r}}_{i}=0$, vgl. d'Alembertsches Prinzip.

$\sum _{i=1}^{N}{\vec {F}}_{i}^{ex}\delta {\vec {r}}_{i}=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j}{\vec {F}}_{i}^{ex}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}=\sum _{ij}m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}$

Klammert man nun die totale Zeitableitung aus, so ergibt sich:

$\Rightarrow \sum _{ij}\left\{{\frac {d}{dt}}\left(m_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\right)-m_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\right\}\cdot dq_{j}$ (3)

Es folgen 2 Nebenrechnungen, die wir für den weiteren Verlauf benötigen:

NR 1: Wir bilden die totale zeitliche Ableitung von ${\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}$:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}\cdot {\frac {dq_{k}}{dt}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial }{\partial q_{j}}}\sum _{k}\left({\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial t}}\right)$

mit Gleichung (2) ergibt dies:

$\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial q_{j}}}{\dot {\vec {r_{i}}}}$

NR 2: Wir bilden die Ableitung von ${\frac {\partial {\dot {\vec {r}}}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}$:

Aus der Betrachtung von Gleichung (2) ergibt sich leicht, dass ${\frac {\partial {\dot {\vec {r}}}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}={\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}$.

Daraus folgt also insgesamt für Gleichung (3):

$\Rightarrow \sum _{ij}\left\{{\frac {d}{dt}}\left(m_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}{\frac {\partial {\dot {{\vec {r}}_{i}}}}{\partial {\dot {q_{j}}}}}\right)-m_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}{\frac {\partial {\dot {\vec {r}}}_{i}}{\partial q_{j}}}\right\}\cdot \delta q_{j}$ Mit ${\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {r}}}_{i}}}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}^{2}=m_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}$ und "Kürzen" der ${\partial {\dot {\vec {r}}}_{i}}$ für die beider Terme, erhält man:

$=\sum _{ij}\left\{{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q_{j}}}}}\left({\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}^{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}\left({\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}^{2}\right)\right\}\cdot \delta q_{j}$

Bekanntermaßen ist die kinetische Energie $E_{kin}=T={\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}^{2}$, sodass man zusammenfassend sagen kann:

$\sum _{j}\left(\sum _{i}{\vec {F}}_{i}^{ex}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\right)\delta q_{j}=\sum _{j}Q_{j}\delta q_{j}=\sum _{ij}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q_{j}}}}}-{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}\right)T\cdot \delta q_{j}$

$Q_{j}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}^{ex}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}$ ist die generalisierte Kraft der Koordinate $q_{j}$. $Q_{j}$ gibt an, welch Arbeit bei Variation von $q_{j}$ geleistet wird. Da die $\delta q_{j}$ unabhängig voneinander variiert werden können, gilt dies nicht nur für die Summe der generalisierten Koordinaten, sondern für jede einzelne der $q_{j}$. Hier sieht man einen Vorteil der generalisierten Koordinaten, gegenüber den Ortsvektoren ${\vec {r}}_{i}$, da diese nicht notwendigerweise immer unabhängig voneinander sind.

Verallgemeinernd ist also: $\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q_{j}}}}}-{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}\right)T=Q_{j}$ (4) mit $j=1,...,3N-k$.

Definition der generalisierten Koordinaten und Bedeutung der generalisierten Kräfte in Kraftfeldern:

a) konservatives Kraftfeld

Ein konservatives Kraftfeld ist definiert als: ${\vec {F}}_{i}=-{\vec {\nabla }}_{i}V=-{\frac {\partial V}{\partial {\vec {r}}_{i}}}$, wobei V das Potential des Kraftfelds ist.

Bildet man nun die generalisierte Kraft, so erhält man:

$Q_{j}=-\sum _{i}{\frac {\partial V}{\partial {\vec {r}}_{i}}}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial {\vec {q}}_{j}}}=-{\frac {\partial V({\vec {r}}_{1},...,{\vec {r}}_{N})}{\partial {\vec {q}}_{j}}}$ mit ${\vec {r}}_{i}(q_{1},...,q_{3N-k})$

Leitet man das Potential nach ${\partial {\vec {r}}_{i}}$ ab, multipliziert mit ${\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial {\vec {q}}_{j}}}$ und summiert über $i$, so ergibt sich die o.g. Gleichung. Daher ist es sinnvoll das Potential $V$ direkt in generalisierten Koordinaten auszudrücken, um ${\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}$ ohne Umwege berechnen zu können.

b) allgemeiner Fall eines Kraftfeldes

Dieser Fall schließt auch geschwindigkeitsabhängige Kraftfelder (z.B. elektro-magnetische) mit ein.

Die generalisierte Kraft eines geschwindigkeitsabhängigen Potentials $V(q_{j},{\dot {q}}_{j})$ lautet:

$Q_{j}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}$ (5)

Man sieht sofort: handelt es sich um ein konservatives Potential, also ein geschwindigkeitsunabhängiges Potential, so erhält man sofort wieder die Gleichung aus a)

Die Lagrangegleichung 2. Art

Setzt man nun Gleichung (4) und Gleichung (5) gleich, so erhält man:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}$

$\Rightarrow 0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (T-V)}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial (T-V)}{\partial q_{j}}}$

Dabei ist $(T-V)=L$, die sogenannte Lagrange Funktion.

$\Rightarrow 0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}$ ist die Lagrange-Gleichung 2. Art.

Mit der Lagrange-Gleichung 2. Art können Bewegungsgleichungen von Systemen mit holonomen Zwangsbedingungen auf die zeit(un)abhängige Kraftfelder wirken deutlich schneller berechnet werden, als mit der Lagrange-Gleichungen 1. Art.

Es ist auch möglich die Lagrange-Gleichungen 2. Art aus dem übergeordneten Hamiltonsches Prinzip herzuleiten. Dies wird in einem späteren Kapitel noch gezeigt werden.

Insgesamt konnten wir zeigen, dass sich die Lagrange-Gleichungen aus den Newtonschen Bewegungsgleichungen und dem d'alembertschen Prinzip herleiten lassen. In den Aufgaben zu diesem Kapitel kann gezeigt werden, dass hierdurch keine Informationen verloren gehen, und sich aus den Lagrange-Gleichungen 2. Art direkt die Newtonschen Bewegungsgleichungen berechnet werden können.

Zusammenfassung Lagrange Gleichungen 2. Art

Aufgaben zum Kapitel Lagrange Gleichungen 2. Art

Lösungsweg der Lagrange-Gleichung: Man finde die 3N-k generalisierte Koordinaten des Systems $q_{j}$: ${\vec {r}}(t)={\vec {r}}(q_{j},{\dot {q}}_{j},t)$ Man stelle die Lagrange Funktion $L(q_{j},{\dot {q}}_{j})=T(q_{j},{\dot {q}}_{j})-V(q_{j},{\dot {q}}_{j})$ für jedes Teichen auf. Die Lagragegleichung $0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{q_{j}}}$ wird für jede der $q_{j}$ gelöst, und die Bewegungsgleichungen des Systems aufgestellt.

Bewegungsgleichung eines freien Teilchens mit der Lagrange Gleichung Berechne mithilfe der Lagrangegleichungen 2. Art die Bewegungsgleichung eines freien Teilchens das sich in einem konservativen Potential bewegt. Lagrange Bewegungsgleichungen eines mathematischen Pendels Notiere und berechne für das mathematische Pendel: a) Die Zwangsbedingungen des Systems b) Die Anzahl der Freiheitsgrade c) Die Transformationsgleichungen der generalisierten Koordinaten d) Die kinetischen und potentielle Energie in generalisierten Koordinaten e) Die Lagrangen Bewegungsgleichungen mit den Lagrangegleichungen 2.Art Pendulum2 Lagrange Bewegungsgleichungen eines Doppelpendels Notiere und berechne für das Doppelpendel: a) Die Zwangsbedingungen des Systems b) Die Anzahl der Freiheitsgrade c) Die Transformationsgleichungen der generalisierten Koordinaten d) Die kinetischen und potentielle Energie in generalisierten Koordinaten e) Die Lagrangen Bewegungsgleichungen mit den Lagrangegleichungen 2.Art Lagrange Bewegungsgleichungen eines mathematischen Pendels auf Schiene Notiere und berechne für das Pendel auf einer geraden Schiene in x-Richtung: a) Die Zwangsbedingungen des Systems b) Die Anzahl der Freiheitsgrade c) Die Transformationsgleichungen der generalisierten Koordinaten d) Die kinetischen und potentielle Energie in generalisierten Koordinaten e) Die Lagrangen Bewegungsgleichungen mit den Lagrangegleichungen 2.Art Pendulum2 Lagrange Bewegungsgleichungen eines Teilchens im elektromagnetischen Potential Berechne mithilfe der Lagrangegleichungen 2. Art die Bewegungsgleichung eines freien Teilchens, das sich in einem elektromagnetischen Potential bewegt. Lagrange Bewegungsgleichungen eines sphärischen Pendels Ein Pendel bewege sich im festen Abstand $l$ in der der x,y,z-Ebene. Skizze eines sphärischen Pendels Berechne die Bewegungsgleichung eines sphärischen Pendels, mithilfe der Lagrangen-Bewegungsgleichung.

Hamiltonsches Prinzip und die Lagrangeschen Gleichungen

Vorbemerkungen zu dem Verfahren

Das nun einzuführende Verfahren ist zwar nicht so allgemein, wie das Newtonsche Verfahren zur Bestimmung der Bewegungsgleichungen. Es hat allerdings den Vorteil, dass zur Ableitung der Bewegungsgleichungen keine Umrechnung der Kräfte und Beschleunigungen mehr notwendig ist, was ja die Verwendung des Newtonschen Verfahrens in der Praxis (spätestens bei Mehrteilchensystemen) so umständlich macht. Das Verfahren der Lagrangschen Gleichungen ist logisch äquivalent mit dem Newtonschen Verfahren, solange bestimmte Bedingungen an die Krafttypen beachtet werden. Nach der Einführung wird dies noch zu zeigen sein. Zu Anfang werden wir das Verfahren für Systeme mit konservativen Kräften und holonomen Zwangsbedingungen (ZWB) einführen. Diese Bedingungen werden später noch aufgeweicht.

Hamiltonsches Prinzip und Wirkungsfunktional

Im Gegensatz zum Newtonschen Verfahren ist das Hamiltonsche Prinzip ein integrales, nicht lokales Prinzip. Dies wird im Verfahren sowie in den Anfangsbedingungen deutlich.

Für das newt. Verfahren wird, um die Bewegungsgleichungen aufzustellen das Kräftegleichgewicht im System aufgestellt. Als Anfangsbedingungen werden zu einem bestimmten Zeitpunkt $t_{0}$, Ort $x(t_{0})$ und Geschwindigkeit ${\dot {x}}(t_{0})$ angegeben, aus denen sich durch Differentiation nach der Zeit die Beschleunigung feststellen lässt. Bzw: Der Kraft ${\vec {F}}$ wird an einem Ort im System die Zeitableitung des Impulses ${\vec {\dot {p}}}$ am selben Ort zugeordnet.

Als Anfangsbedingungen für das Hamiltosche Prinzip werden Anfangs- und Endpunkt einer Bahn zu den Zeitpunkten $t_{1}$ und $t_{2}$ angegeben. Für die Berechnung der Wirkung im System spielt die Bahn als ganze eine Rolle. Das Hamiltonsche Prinzip ist also ein teleologischen, also auf das Endergebnis ausgerichtetes, Prinzip.

Hier: Das Finden der stationären Bahn ${\underline {q}}(t)$.

Ist das Hamiltosche Prinzip in einer Theorie gültig, so bezeichnet man diese Theorie als Lagrange Theorie. Ist in dieser Theorie die zugehörige Lagrange Gleichung bekannt, so kann aus ihr die restliche Theorie abgeleitet werden.

Das Hamiltonsche Prinzip ist also ein der Mechanik übergeordnetes Prinzip, welches auch bspw. für die Elektrodynamik und in der Elementarteilchenphysik verwendet wird.

Das weitere Vorgehen wird später erläutert. Zunächst wollen wir uns der Herleitung des Prinzips widmen:

(1) Definition der Größen im Hamiltoschen Prinzip:

• $q(t_{0})$ - generalisierte Koordinaten (diese spannen den Konfigurationsraum auf)
• ${\dot {q}}(t_{0})$ - generalisierte Geschwindigkeiten; zeitl. Abelitung der generalisierten Koordinaten
• ${\underline {q}}(t)$ - Trajektorie, Bahn des Systems, welche mit den Zwangsbeingungen vereinbar ist; Konfigurationsbahn

(2) Herleitung des Hamiltonschen Prinzips

1. Wir haben eine zunächst nicht näher spezifizierte Funktion $L(q,{\dot {q}},t)$, die von der Zeit, den generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeit abhängig ist.

2. In diese setzen wir die Konfigurationsbahn des Systems ein:
$L({\underline {q}},{\underline {\dot {q}}},t)\rightarrow {\tilde {L}}(t)$
Wie wir sehen wird die Funktion L dadurch rein zeitabhängig.

3. Integirert man man diese Funktion über die Anfangs- und Endzeiten, so erhält man eine Zahl
$S=\int _{t1}^{t2}{\tilde {L}}(t)dt$

Mit $t_{1}$ und $t_{2}$ fest, hängt S von der Konfigurationsbahn ${\underline {q}}(t)$ ab, mit der ${\tilde {L}}(t)$ gebildet wird.
Jeder ${\underline {q}}(t)$ wird also ein eindeutiges $S[{\underline {q}}(t)]$ zu geordnet werden. S ist also ein Funktional auf der Menge der Konfigurationsbahnen; es wird Wirkungsfunktional genannt.

4. Nun werden die Bahnen des Funktionals auf alle Bahnen eingeschränkt, die jeweils für $t_{1}$ und $t_{2}$ die selben Konfigurationen durchlaufen, da diese in unserem System durch die Anfangsbedingungen vorgegeben sind.
$D=[{\underline {q}}(t):{\underline {q}}(t_{1})=q_{1},{\underline {q}}(t_{2})=q_{2}]$

5. Dann wird die Behauptung aufgestellt, dass es genau eine universelle Funktion L gibt, auf der das Funktional S für genau die Bahn aus D, die das System tatsächlich durchläuft, stationär wird.
Diese Behauptung ist etwas unscharf, da diese universelle Funktion uns noch nicht bekannt ist. Sie wird aber bald noch bestimmt werden.
Dies ist aber bereits eine Form des Hamiltonschen Prinzips.
Die Funktion L wird als Lagrangefunktion oder kinetisches Potential bezeichnet. Wir werden sie später noch finden.

Am Beispiel des harmonischen Oszillators wird nun verdeutlicht, dass Forderungen nicht in Konflikt mit den gewählten Anfangsbedingungen stehen.

Die bekannte Lösung für den ungedämpften, harmonischen Oszillator lautet:
$x(t)=x_{0}cos(\omega t)+{\frac {v_{0}}{\omega }}sin(\omega t)$
Wären als Anfangsbedingungen nur $x(t_{1})=x_{0}$ und $x(t_{2})$ gegeben, so können wir sehen, dass wir durch Einsetzen von $x(t_{2})$ in die obige Gleichung, $v_{0}$ dadurch eindeutig bestimmt werden kann (solange wir in diesem speziellen Fall $t_{2}\neq {\frac {\pi n}{\omega }}$ wählen).
$x(t)=x_{0}cos(\omega t)+{\frac {x(t_{2})-x_{0}sin(\omega t_{2})}{sin\omega t_{2}}}sin(\omega t)$

Damit wäre $x(t)$ auch durch die Anfangsbedingungen des Hamiltonschen Prinzips eindeutig bestimmt.