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Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Unendlichkeit der Primzahlenmenge

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Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung
Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz
Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von · Primzahlsatz


Sei die Menge aller Primzahlen, so ist nicht endlich.

Beweis[Bearbeiten]

Beweisen kann man dies mittels eines Widerspruchsbeweises: Nehme man an, sei die größte Primzahl ( ist also endlich), so bildet man nun das Produkt über alle Primzahlen und addiere eins dazu:

Hierbei ist als Primfakultät bekannt. Nun gelten folgende Teilbarkeiten:

Da jede Primzahl ist, kann keine die Teilbarkeit erfüllen, da stets nur die Aussage erfüllt. Somit ist entweder prim (und damit ), oder in Primfaktoren zerlegbar, die ebenso sind. Also ist nicht die größte Primzahl der Primzahlenmenge, weshalb allgemein keine größte Primzahl existiert und somit die Menge aller Primzahlen unendlich ist.