Aufgaben zu Gleichungsumformungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Die Note 6 ist genauso gut wie die Note 1[Bearbeiten]

Aufgabe 1[Bearbeiten]

Aufgabe

Ein Schüler möchte beweisen, dass die Note 6 eigentlich genauso gut wie die Note 1 ist. Er will also zeigen. Hierzu präsentiert er dir folgenden Beweis:

Seien beliebige reelle Zahlen mit . Es ist dann:

Damit ist also die Note 6 so gut wie die Note 1. qed.

Wo liegt der Fehler?

Beweis

Es ist nach Voraussetzung im Beweis und damit . Als im letzten Umformungsschritt durch den Term geteilt wurde, wurde also durch 0 geteilt, was nicht definiert ist.

Aufgabe 2[Bearbeiten]

Aufgabe

Nachdem du seinen Fehler aufgedeckt hast, gibt er noch nicht auf und präsentiert dir einen weiteren Beweis:

Es ist offensichtlich und damit muss nur noch gezeigt werden, um zu beweisen, dass ist. Widerspruchsbeweis: Sei . Setze und . Es ist:

Die letzte Aussage ist falsch und damit folgt aus ein Widerspruch. Es muss also sein. Da außerdem ist, folgt . qed.

Welcher Fehler wurde im obigen Beweis gemacht?

Beweis

Wegen und ist . In der zweiten Ungleichungsumformung wurden also beide Seiten der Ungleichung mit 0 multipliziert. Dies ist aber keine valide Umformung für eine Ungleichung, denn aus folgt nur dann , wenn ist.