Aufgaben zu Gleichungsumformungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Die Note 6 ist genauso gut wie die Note 1

Aufgabe 1

Aufgabe

Ein Schüler möchte beweisen, dass die Note 6 eigentlich genauso gut wie die Note 1 ist. Er will also $6=1$ zeigen. Hierzu präsentiert er dir folgenden Beweis:

Seien $a,b,c\in \mathbb {R}$ beliebige reelle Zahlen mit $a=b+c$. Es ist dann:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rcll}a&=&b+c&\left|\ \cdot 5\right.\\5a&=&5b+5c&\left|\ +a\right.\\6a&=&a+5b+5c&\left|\ -6(b+c)\right.\\6a-6b-6c&=&a-b-c\\6(a-b-c)&=&a-b-c&\left|\ :(a-b-c)\right.\\6&=&1\end{array}}\end{aligned}}$

Damit ist $6=1$, also die Note 6 so gut wie die Note 1. qed.

Wo liegt der Fehler?

Beweis

Es ist nach Voraussetzung im Beweis $a=b+c$ und damit $a-b-c=0$. Als im letzten Umformungsschritt durch den Term $a-b-c$ geteilt wurde, wurde also durch 0 geteilt, was nicht definiert ist.

Aufgabe 2

Aufgabe

Nachdem du seinen Fehler aufgedeckt hast, gibt er noch nicht auf und präsentiert dir einen weiteren Beweis:

Es ist offensichtlich $6>0$ und damit muss nur noch $6\leq 1$ gezeigt werden, um zu beweisen, dass $6=1$ ist. Widerspruchsbeweis: Sei $6>1$. Setze $a=6$ und $b=1$. Es ist:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rcll}a&>&b&\left|\ -6b\right.\\a-6b&>&-5b&\left|\ \cdot (a-6b)\right.\\(a-6b)^{2}&>&-5b(a-6b)\\(a-6b)^{2}&>&30b^{2}-5ab&\left|\ {\text{Einsetzen von }}a=6{\text{ und }}b=1\right.\\(6-6\cdot 1)^{2}&>&30\cdot 1^{2}-5\cdot 6\cdot 1\\0&>&0\end{array}}\end{aligned}}$

Die letzte Aussage ist falsch und damit folgt aus $6>1$ ein Widerspruch. Es muss also $6\leq 1$ sein. Da außerdem $6>0$ ist, folgt $6=1$. qed.

Welcher Fehler wurde im obigen Beweis gemacht?

Beweis

Wegen $a=6$ und $b=1$ ist $a-6b=0$. In der zweiten Ungleichungsumformung wurden also beide Seiten der Ungleichung mit 0 multipliziert. Dies ist aber keine valide Umformung für eine Ungleichung, denn aus $x>y$ folgt nur dann $x\cdot z>y\cdot z$, wenn $z>0$ ist.