Terme: Umformungen – „Mathe für Nicht-Freaks“

Terme sind mathematische Ausdrücke, die aus Zahlen, Funktionszeichen (wie $+$, $÷$ usw.), Variablen und Klammern gebildet werden können. Terme können durch Termumformungen verändert werden.

Notwendige Termumformungen finden

Aufgabe

Finde die notwendigen Termumformungen, um den Term $\frac{n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}+2n\cdot (n+1)+(n+1)$ in den Term $\frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}$ umzuwandeln.

Herangehensweise

Eine solche Problemstellung wird dir sicherlich häufig im Studium begegnen. Oftmals bekommst du, während du den Beweis für einen Satz suchst, einen Term α heraus und stehst vor dem Problem, zu beweisen, dass dieser gleich einem gewissen Term β ist (so wie ihn zum Beispiel die Aufgabe fordert). Du musst also eine Kette von Termumformungen finden, so dass

$\text{Term }\alpha =\dots =\dots \dots \dots =\dots =\text{Term }\beta$

Um dieses Problem zu lösen, kannst du folgendermaßen vorgehen: Du schreibst beide Terme nebeneinander und versuchst beide durch Termumformungen auf die gleiche Gestalt zu bringen. Also in etwa so:

$\begin{array}{ccc}\text{Term }\alpha & & \text{Term }\beta \\ ⋮& & ⋮\\ \text{Termumformungen}& & \text{Termumfomungen}\\ ⋮& & ⋮\\ \text{Zwischenterm}& =& \text{Zwischenterm}\end{array}$

Die Lösung ergibt sich dann, indem du aufschreibst

$\begin{array}{cc}& \text{Term }\alpha \\ =& \dots \text{(Termumformungen der linken Seite)}\\ =& \text{Zwischenterm}\\ =& \dots \text{(Termumformungen der rechten Seite)}\\ =& \text{Term }\beta \end{array}$

Aufgabe: Finde die notwendigen Termumformungen für die obige Aufgabe heraus.

Mit der obigen Methode erhältst du folgende Lösung:

$\begin{array}{ccc}\frac{n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}+2n\cdot (n+1)+(n+1)& & \frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}\\ \frac{n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}+(n+1)\cdot (2n+1)& & \frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}\\ \frac{n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)+6\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}& & \frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}\\ \frac{(n+1)\cdot (n\cdot (4n-1)+6\cdot (2n+1))}{6}& & \frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}\\ \frac{(n+1)\cdot (4n^2-n+12n+6)}{6}& & \frac{(n+1)\cdot (4n^2+3n+8n+6)}{6}\\ \frac{(n+1)\cdot (4n^2+11n+6)}{6}& =& \frac{(n+1)\cdot (4n^2+11n+6)}{6}\end{array}$

Damit ergibt sich folgende Lösung:

$\begin{array}{cc}\frac{n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}+2n\cdot (n+1)+(n+1)& =\frac{n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}+(n+1)\cdot (2n+1)\\ & =\frac{n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)+6\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\\ & =\frac{(n+1)\cdot (n\cdot (4n-1)+6\cdot (2n+1))}{6}\\ & =\frac{(n+1)\cdot (4n^2-n+12n+6)}{6}\\ & =\frac{(n+1)\cdot (4n^2+3n+8n+6)}{6}\\ & =\frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}\end{array}$