Terme sind mathematische Ausdrücke, die aus Zahlen, Funktionszeichen (wie
+
{\displaystyle +}
÷
{\displaystyle \div }
Notwendige Termumformungen finden [ Bearbeiten ] Finde die notwendigen Termumformungen, um den Term
n
⋅
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
−
1
)
6
+
2
n
⋅
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
{\displaystyle {\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+2n\cdot (n+1)+(n+1)}
(
n
+
1
)
⋅
(
n
+
2
)
⋅
(
4
n
+
3
)
6
{\displaystyle {\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}}
Eine solche Problemstellung wird dir sicherlich häufig im Studium begegnen. Oftmals bekommst du, während du den Beweis für einen Satz suchst, einen Term α heraus und stehst vor dem Problem, zu beweisen, dass dieser gleich einem gewissen Term β ist (so wie ihn zum Beispiel die Aufgabe fordert). Du musst also eine Kette von Termumformungen finden, so dass
Term
α
=
…
=
…
…
…
=
…
=
Term
β
{\displaystyle {\text{Term }}\alpha =\ldots =\ldots \ldots \ldots =\ldots ={\text{Term }}\beta }
Um dieses Problem zu lösen, kannst du folgendermaßen vorgehen: Du schreibst beide Terme nebeneinander und versuchst beide durch Termumformungen auf die gleiche Gestalt zu bringen. Also in etwa so:
Term
α
Term
β
⋮
⋮
Termumformungen
Termumfomungen
⋮
⋮
Zwischenterm
=
Zwischenterm
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\text{Term }}\alpha &&{\text{Term }}\beta \\\vdots &&\vdots \\{\color {Gray}{\text{Termumformungen}}}&&{\color {Gray}{\text{Termumfomungen}}}\\\vdots &&\vdots \\{\text{Zwischenterm}}&=&{\text{Zwischenterm}}\end{array}}}
Die Lösung ergibt sich dann, indem du aufschreibst
Term
α
=
…
(Termumformungen der linken Seite)
=
Zwischenterm
=
…
(Termumformungen der rechten Seite)
=
Term
β
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Term }}\alpha \\=&\ldots \ {\color {Gray}{\text{(Termumformungen der linken Seite)}}}\\=&{\text{Zwischenterm}}\\=&\ldots \ {\color {Gray}{\text{(Termumformungen der rechten Seite)}}}\\=&{\text{Term }}\beta \end{aligned}}}
Aufgabe: Finde die notwendigen Termumformungen für die obige Aufgabe heraus.
Mit der obigen Methode erhältst du folgende Lösung:
n
⋅
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
−
1
)
6
+
2
n
⋅
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
(
n
+
1
)
⋅
(
n
+
2
)
⋅
(
4
n
+
3
)
6
n
⋅
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
−
1
)
6
+
(
n
+
1
)
⋅
(
2
n
+
1
)
(
n
+
1
)
⋅
(
n
+
2
)
⋅
(
4
n
+
3
)
6
n
⋅
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
−
1
)
+
6
⋅
(
n
+
1
)
⋅
(
2
n
+
1
)
6
(
n
+
1
)
⋅
(
n
+
2
)
⋅
(
4
n
+
3
)
6
(
n
+
1
)
⋅
(
n
⋅
(
4
n
−
1
)
+
6
⋅
(
2
n
+
1
)
)
6
(
n
+
1
)
⋅
(
n
+
2
)
⋅
(
4
n
+
3
)
6
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
2
−
n
+
12
n
+
6
)
6
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
2
+
3
n
+
8
n
+
6
)
6
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
2
+
11
n
+
6
)
6
=
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
2
+
11
n
+
6
)
6
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+2n\cdot (n+1)+(n+1)&&{\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\\[0.5em]{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+(n+1)\cdot (2n+1)&&{\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\\[0.5em]{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)+6\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}}&&{\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\\[0.5em]{\frac {(n+1)\cdot (n\cdot (4n-1)+6\cdot (2n+1))}{6}}&&{\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\\[0.5em]{\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}-n+12n+6)}{6}}&&{\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}+3n+8n+6)}{6}}\\[0.5em]{\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}+11n+6)}{6}}&=&{\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}+11n+6)}{6}}\end{array}}}
Damit ergibt sich folgende Lösung:
n
⋅
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
−
1
)
6
+
2
n
⋅
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
=
n
⋅
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
−
1
)
6
+
(
n
+
1
)
⋅
(
2
n
+
1
)
=
n
⋅
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
−
1
)
+
6
⋅
(
n
+
1
)
⋅
(
2
n
+
1
)
6
=
(
n
+
1
)
⋅
(
n
⋅
(
4
n
−
1
)
+
6
⋅
(
2
n
+
1
)
)
6
=
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
2
−
n
+
12
n
+
6
)
6
=
(
n
+
1
)
⋅
(
4
n
2
+
3
n
+
8
n
+
6
)
6
=
(
n
+
1
)
⋅
(
n
+
2
)
⋅
(
4
n
+
3
)
6
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+2n\cdot (n+1)+(n+1)&={\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+(n+1)\cdot (2n+1)\\[0.5em]&={\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)+6\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}}\\[0.5em]&={\frac {(n+1)\cdot (n\cdot (4n-1)+6\cdot (2n+1))}{6}}\\[0.5em]&={\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}-n+12n+6)}{6}}\\[0.5em]&={\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}+3n+8n+6)}{6}}\\[0.5em]&={\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+2n\cdot (n+1)+(n+1)&&{\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\\[0.5em]{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+(n+1)\cdot (2n+1)&&{\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\\[0.5em]{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)+6\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}}&&{\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\\[0.5em]{\frac {(n+1)\cdot (n\cdot (4n-1)+6\cdot (2n+1))}{6}}&&{\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\\[0.5em]{\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}-n+12n+6)}{6}}&&{\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}+3n+8n+6)}{6}}\\[0.5em]{\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}+11n+6)}{6}}&=&{\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}+11n+6)}{6}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a914783fb4332f07bc713aa2e5ae141cbb5a8411)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+2n\cdot (n+1)+(n+1)&={\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+(n+1)\cdot (2n+1)\\[0.5em]&={\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)+6\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}}\\[0.5em]&={\frac {(n+1)\cdot (n\cdot (4n-1)+6\cdot (2n+1))}{6}}\\[0.5em]&={\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}-n+12n+6)}{6}}\\[0.5em]&={\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}+3n+8n+6)}{6}}\\[0.5em]&={\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af68cdb07ce498fdeb4742afd8951cd4008862a7)
