MathemaTriX ⋅ Kürzen mit Primfaktorzerlegung

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Theorie

Was sind Primzahlen

Primzahlen sind die natürlichen Zahlen (Zahlen ohne Komma und Minus), die nur durch 1 und sich selbst geteilt werden können. (teilbar: dividieren, ohne dass eine Kommazahl entsteht)

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
geht auch durch			2		2 3		2 4	3	2 5		2 3 4 6
Prim- zahl	✔	✔	✘	✔	✘	✔	✘	✘	✘	✔	✘	✔

Z.B.:

2 ist nur durch 2 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

3 ist nur durch 3 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

4 ist nur durch 4 und 1, aber auch durch 2 teilbar und daher keine Primzahl.

5 ist nur durch 5 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

6 ist nur durch 6 und 1, aber auch durch 2 und 3 teilbar und daher keine Primzahl.

usw.

Was bedeutet in diesen Sätzen "teilbar"? Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn das Ergebnis der Division kein Nachkommastellen enthält.

Nehmen wir die Zahl 5.

$5:1=5$

$5:2=2{,}5$

$5:3=1{,}{\dot {3}}$ 

$5:4=1{,}25$

$5:5=1$

Dividiert man 5 durch jede größere natürlich Zahl (also: 6,7,8…), erhält man als Ergebnis eine Kommazahl kleiner als 1 (also Null-Komma-irgendwas). Beispielsweise:

$5:6=0{,}8{\dot {3}}$

Teilbar ist die Zahl 5 also nur durch eins (5:1=5) und sich selbst (5:5=1). Da bei unserem Beispiel alle anderen Ergebnisse ein Komma enthalten ist die Zahl 5 eine Primzahl.

Für 6 hingegen ist das nicht der Fall. 6 ist selbstverständlich durch 1 und 6 teilbar, aber eben auch durch 2 (6:2=3) und durch 3 (6:3=2). Daher ist 6 KEINE Primzahl.

Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ...

Faktor ist ein Teil einer Multiplikation.

Primfaktorzerlegung (PFZ) bedeutet daher, eine Zahl als Produkt von Primzahlen auszudrücken (die dann Faktoren sind; Primzahlen die auch Faktoren sind, nennt man Primfaktoren; wenn man eine Zahl in Primfaktoren zerlegt, hat man die PFZ).

Primfaktorzerlegung Vorgangsweise

Nehmen wir die Zahl 7800. Wir versuchen sie durch die Primzahlen der Reihe nach und soweit es jedes Mal geht zu dividieren. Die erste Primzahl ist 2 7800 : 2 = 3900. Geht es weiter durch 2? Ja! 3900 : 2 = 1950. Geht es noch weiter? Ja! 1950:2=975. Weiter durch 2 geht es aber nicht.

Probieren wir dann durch 3. Geht es? Ja! 975:3=325. Geht es weiter durch 3? Nein! (325:3 = 108,33

Probieren wir die nächste Primzahl: 325:5=65. Das geht nochmal: 65:5=13.

Die nächsten Primzahlen sind 7 und 11, da geht es nicht. Es geht wieder durch 13 13:13=1.

Hier sind wir fertig. Wir haben 7800 drei mal durch 2, ein mal durch 3, zwei mal durch 5 und ein mal durch 13 dividiert und dann war das Ergebnis 1. Es gilt daher: 7800:2:2:2:3:5:5:13=1 und umgekehrt (Gegenrechnung) 7800=2·2·2·3·5·5·13.

Kürzen mit Primfaktorzerlegung

Wir haben schon das Kürzen von Brüchen gesehen:

${\frac {45}{35}}={\frac {45:5}{35:5}}={\frac {9}{7}}$

Hier sieht man sofort, dass man sowohl den Zähler als auch den Nenner durch 5 teilen kann. Was ist aber, wenn man große Zahlen hat. In diesem Fall ist es besser, die PFZ der Zahlen erst durchzuführen:

${\frac {6664}{8820}}=$?

6664	2
3332	2
1666	2
833	7
119	7
17	17
1

8820	2
4410	2
2205	3
735	3
245	5
49	7
7	7
1

Man schreibt Zähler und Nenner als Produkt von Primzahlen und kürzt den Bruch (also Primzahlen, die oben und unten vorkommen, werden gestrichen)

${\frac {6664}{8820}}={\frac {{\cancel {2}}\cdot {\cancel {2}}\cdot 2\cdot {\cancel {7}}\cdot {\cancel {7}}\cdot 17}{{\cancel {2}}\cdot {\cancel {2}}\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot {\cancel {7}}\cdot {\cancel {7}}}}={\frac {2\cdot 17}{3\cdot 3\cdot 5}}={\frac {34}{45}}$

Aufgaben

1. 
   

   $\ {\frac {6664}{8820}}=\qquad$ $\ {\frac {15288}{16632}}=\qquad$ $\ {\frac {53361}{47124}}=\qquad$

2. 
   

   $\ {\frac {3920}{3528}}=\qquad$ $\ {\frac {5929}{11025}}=\qquad$ $\ {\frac {25480}{25025}}=\qquad$

3. 
   

   $\ {\frac {68796}{72072}}=\qquad$ $\ {\frac {25025}{29645}}=\qquad$ $\ {\frac {2448}{4914}}=\qquad$

4. 
   

   $\ {\frac {6552}{4410}}=\qquad$ $\ {\frac {2184}{5544}}=\qquad$ $\ {\frac {56056}{32760}}=\qquad$

5. 
   

   $\ {\frac {6664}{3528}}=\qquad$ $\ {\frac {25480}{16632}}=\qquad$ $\ {\frac {59290}{47124}}=\qquad$

6. 
   

   $\ {\frac {3920}{8820}}=\qquad$ $\ {\frac {53361}{11025}}=\qquad$ $\ {\frac {15288}{25025}}=\qquad$

7. 
   

   $\ {\frac {68796}{56056}}=\qquad$ $\ {\frac {25025}{29645}}=\qquad$ $\ {\frac {6552}{4914}}=\qquad$

8. 
   

   $\ {\frac {2448}{4410}}=\qquad$ $\ {\frac {2184}{5544}}=\qquad$ $\ {\frac {72072}{32760}}=\qquad$