MathemaTriX ⋅ Baumdiagramm

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ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 von Urnentyp und
1 bis 3 von Maturatyp probieren,
sie sind unterschiedlich!

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	uf-

Theorie in Kürze (mit Geogebra)

Aufpassen! Wenn der Vorgang MIT zurücklegen ist, dann kann es wohl sein, dass KEIN Baumdiagramm notwendig ist (sondern Binomialverteilung).

Sind die Wahrscheinlichkeiten untereinander: multiplizieren. Beispiel: Wahrscheinlichkeit das eine Person Gruppe A und Rhesus positiv ist:
P(A+)=0,31⋅0,82
Gibt es mehrere "Pfade" nebeneinander: die entsprechenden Produkte addieren! Beispiel: Wahrscheinlichkeit das eine Person Rhesus positiv ist:
P(Rhesus +)=0,31⋅0,82+0,14⋅0,8+0,43⋅0,82+0,12⋅0,82
Die Summe der Produkte bei jeder "Zeile" soll immer 1 sein: beim Gegenereignis benutzen!
Die Wahrscheinlichkeit kann auch durch ein Bruch angegeben sein! Gibt es beispielsweise 2 Personen, die rote Kondome benutzen und 7, die andere Verhütungsmittel benutzen, müssen beim ersten Schritt die Brüche ${\tfrac {2}{9}}$ bzw. ${\tfrac {7}{9}}$ benutzt werden (also im Nenner immer die Summe und im Zähler die entsprechende Anzahl). Ist der Versuch ohne Zurücklegen, wird der Nenner bei jedem Schritt um 1 weniger, sonst bleibt er gleich.
Vorsicht "Zumindest 1" deutet auf die Gegenwahrscheinlichkeit an! Wenn dieser Ausdruck vorkommt, dann rechnet man 1 minus die Wahrscheinlichkeit von "keins" (das ist dann nur ein Pfad im Baumdiagramm)

Urne

alle 3 Kugel rot sind?
die ersten zwei schwarz und die dritte rot sind?
wir zwei schwarze und eine rote Kugel ziehen?
wir zwei rote und eine schwarze Kugel ziehen?
das Letztere passiert, wenn wir doch zurücklegen?

Antwort

$\ {\frac {1}{21}}\quad$
$\ {\frac {10}{63}}\quad$
$\ {\frac {10}{21}}\quad$
$\ {\frac {5}{14}}\quad$
$\ {\frac {240}{729}}\quad$

alle 3 Kugel rot sind?
die ersten zwei schwarz und die dritte rot sind?
wir zwei schwarze und eine rote Kugel ziehen?
wir zwei rote und eine schwarze Kugel ziehen?
das Letztere passiert, wenn wir doch zurücklegen?

Antwort

$\ {\frac {5}{182}}\quad$
$\ {\frac {15}{91}}\quad$
$\ {\frac {45}{91}}\quad$
$\ {\frac {45}{182}}\quad$
$\ {\frac {675}{2744}}\quad$

alle 3 Kugel rot sind?
alle 3 Kugel schwarz sind?
die ersten zwei schwarz und die dritte rot sind?
wir zwei schwarze und eine rote Kugel ziehen?
wir zwei rote und eine schwarze Kugel ziehen?
das Letztere passiert, wenn wir doch zurücklegen?
alle drei schwarz sind, wenn wir doch zurücklegen?

Antwort

$\ {\frac {15}{26}}\quad$
$\ 0\quad$
$\ {\frac {1}{78}}\quad$
$\ {\frac {1}{26}}\quad$
$\ {\frac {5}{13}}\quad$
$\ {\frac {726}{2197}}\quad$
$\ {\frac {8}{2197}}\quad$

alle 3 Kugel rot sind?
alle 3 Kugel schwarz sind?
die ersten zwei schwarz und die dritte rot sind?
wir zwei schwarze und eine rote Kugel ziehen?
wir zwei rote und eine schwarze Kugel ziehen?
das Letztere passiert, wenn wir doch zurücklegen?
alle drei schwarz sind, wenn wir doch zurücklegen?

Antwort

$\ {\frac {7}{33}}\quad$
$\ {\frac {4}{165}}\quad$
$\ {\frac {14}{165}}\quad$
$\ {\frac {14}{55}}\quad$
$\ {\frac {28}{55}}\quad$
$\ {\frac {588}{1331}}\quad$
$\ {\frac {64}{1331}}\quad$

Matura

ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 bis 5 probieren,
sie sind unterschiedlich!

Vervollständigen Sie das der Situation entsprechende nachstehende Diagramm!

Beschreiben Sie das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch $0{,}43\cdot 0{,}18\$ berechnet wird!
Beschreiben Sie das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch $0{,}31\cdot 0{,}18+0{,}14\cdot 0{,}2+0{,}43\cdot 0{,}18+0{,}12\cdot 0{,}18\$ berechnet wird!
Beschreiben Sie das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch $0{,}14\cdot 0{,}2+0{,}43\cdot 0{,}18\$ berechnet wird!
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person nicht B Rhesus negativ ist!

Eine Variante eines Brettspiels läuft wie im Folgenden:
Es wird mit einem fairen Würfel gespielt. Man rückt so viele Felder vor, wie die Augenzahl. Wenn allerdings die Augenzahl 4 ist, muss man genau noch ein mal würfeln. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Felder, die man vorrückt.

Schreiben Sie alle mögliche Ergebnisse und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle auf!

Was bedeutet in diesem Zusammenhang der Erwartungswert und wie viel ist er?

Antwort

Gruppe 0, R-
R-
B oder 0 R-
97,48%

1	2	3	5	6	7	8	9	10
$\ {\tfrac {1}{6}}\$	$\ {\tfrac {1}{6}}\$	$\ {\tfrac {1}{6}}\$	$\ {\tfrac {7}{36}}\$	$\ {\tfrac {7}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{36}}\$

$\ 4{,}08{\dot {3}}$ vorgerückte Felder durchschnittlich

Wie lautet die Formel (mit Hilfe von c) für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nicht rot ist? ${\text{P}}(''{\text{Kugel nicht rot}}'')={\tfrac {\qquad }{\qquad }}$
Es wird zwei mal ohne bzw. mit zurücklegen gezogen. Erstellen Sie die entsprechenden Baumdiagramme!
Wir ziehen zwei Kugeln auf einmal. Zur welchen Situation ist das ähnlich? Ist es, als ob wir zwei mal nacheinander mit oder ohne Zurücklegen ziehen?
Die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Fall (ohne zurücklegen) genau eine rote Kugel gezogen wird, ist ${\tfrac {10}{21}}.\$ Wie viele sind die nicht roten Kugeln?

Schreiben Sie in einer Tabelle alle mögliche Ergebnisse und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten auf! Benutzen Sie dafür erst ein geeignetes Diagramm!
Was ist mehr, die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 5 und höchstens 8 ist oder das Gegenereignis?
Sie wiederholen den Vorgang (mit 2 Würfeln würfeln) 7 mal. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Augensumme von höchstens 6 zumindest drei mal vorkommt?

Antwort

${\text{P}}(''{\text{Kugel nicht rot}}'')={\tfrac {c-5}{c}}$
ohne
2 oder 10

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$\ {\tfrac {1}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{18}}\$	$\ {\tfrac {1}{12}}\$	$\ {\tfrac {1}{9}}\$	$\ {\tfrac {5}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{6}}\$	$\ {\tfrac {5}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{9}}\$	$\ {\tfrac {1}{12}}\$	$\ {\tfrac {1}{18}}\$	$\ {\tfrac {1}{36}}\$

mindestens 5 und höchstens 8
ca. 61,59%

Beschreiben Sie das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch $0{,}97\cdot 0{,}018\cdot 0{,}988\$ berechnet wird!
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest 1 Element nicht funktioniert?

Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 1 Element nicht funktioniert?

Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 Elemente nicht funktionieren?

Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät funktioniert, wenn alle 3 Elemente notwendig sind? Warum ist diese Frage zur zweiten Frage relevant und welcher Zusammenhang besteht zwischen den in der zwei Fragen beschriebenen Ereignissen?
Wir haben 55 elektronische Geräte. Welche ist die wahrscheinlichste Anzahl von defekten A Teile?
Wir haben 55 elektronische Geräte. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir höchstens 2 defekte B Teile haben?

Antwort

in einem Gerät funktioniert nur das Element B nicht
ca. 5,89%
ca. 99,8897%
ca. 99,9994%
ca. 94,11%, Gegenereignisse
1
ca. 92,32%

In einer Tute gibt es 7 Schokoladen, 4 von 20 g und 3 von 40 g. Es wird gezogen ohne Zurücklegen, bis insgesamt zumindest 60g vorhanden sind. Die Zufallsvariable Y zeigt wie oft es gezogen wird, bis zumindest 60 g vorhanden sind.

Erstellen Sie das entsprechende Baumdiagramm!

Schreiben Sie alle mögliche Ergebnisse und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle auf!

Wie viel ist der Erwartungswert?

Um ein Spiel zu beginnen gibt es folgenden Vorgang: Eine Person würfelt. Ist die Augenzahl 3 oder mehr, soll die nächste Person würfeln. Im Gegenfall darf die erste Person genau noch einmal würfeln. Ist die Summe der Augenzahlen 4 oder weniger, dann darf diese Person in der nächsten Runde mit dem Spiel anfangen, sonst ist die nächste Person dran.

Erstellen Sie das entsprechende Baumdiagramm!
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit für eine Person in einem Durchgang das Spiel anzufangen?
5 Personen spielen. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest drei Personen im ersten Durchgang mit dem Spiel anfangen dürfen?

Die Zufallsvariable R zeigt uns, wie viele Runden notwendig sind, damit eine Person mit dem Spiel beginnt. Wie viel ist der Erwartungswert von R?

Antwort

$20\ \left({\tfrac {4}{7}}\right)\$	$\ \ 40\ \left({\tfrac {3}{7}}\right)\$
$\swarrow \ \searrow$	$\swarrow \ \searrow$
$20\ \left({\tfrac {1}{2}}\right)\quad 40\ \left({\tfrac {1}{2}}\right)\$	egal
$\swarrow \ \searrow \qquad \qquad$
egal $\qquad \qquad$

2	3
$\ {\tfrac {5}{7}}\$	$\ {\tfrac {2}{7}}\$

$\ {\tfrac {16}{7}}\approx 2{,}29$

$A=1\ \left({\tfrac {1}{6}}\right)\$	$A=2\ \left({\tfrac {1}{6}}\right)\$	$A>2\ \left({\tfrac {2}{3}}\right)\$
$\swarrow \ \searrow$	$\swarrow \ \searrow$
$A\leq 3\ \left({\tfrac {1}{2}}\right)\quad A>3\ \left({\tfrac {1}{2}}\right)\$	$A\leq 2\ \left({\tfrac {1}{3}}\right)\quad A>2\ \left({\tfrac {2}{3}}\right)\$

$\ {\tfrac {5}{36}}\$
ca. 2,15%
$\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot \left({\tfrac {31}{36}}\right)^{n}\cdot {\tfrac {5}{36}}\approx 7{,}2$

Erstellen Sie das entsprechende Baumdiagramm!
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Gesund ist und einen positiven Test hat!
Beschreiben Sie das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch $0{,}255\cdot 0{,}996+0{,}745\cdot 0{,}2\$ berechnet wird!
Beschreiben Sie das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch $0{,}255\cdot 0{,}996+0{,}255\cdot 0{,}004\$ berschnet wird!
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit beim positiven Test, dass die Person tatsächlich krank ist?

Von einer Urne mit 4 schwarzen, 1 weiße, 1 rote und 2 grünen Kugeln wird zufällig jeweils eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen, bis eine Schwarze vorkommt. Die Zufallsvariable Z beschreibt die Anzahl der Züge die notwendig sind.

Schreiben Sie alle mögliche Ergebnisse und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle auf!

Wie viel ist der Erwartungswert und wie viel das wahrscheinlichste Ergebnis?

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine schwarze Kugel spätestens beim dritten Zug gezogen wird!

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine schwarze Kugel frühestens beim zweiten Zug gezogen wird!

Antwort

$K\ 0{,}255\$	$\ \ G\ 0{,}745\$
$\swarrow \ \searrow$	$\swarrow \ \searrow$
$+\ 0{,}996\quad -\ 0{,}004\$	$+\ 0{,}2\quad -\ 0{,}8\$

14,9%
positives Testergebnis
Kranke Person
ca. 63,03%

1	2	3	4	5
$\ {\tfrac {1}{2}}\$	$\ {\tfrac {2}{7}}\$	$\ {\tfrac {1}{7}}\$	$\ {\tfrac {2}{35}}\$	$\ {\tfrac {1}{70}}\$

1,8 bzw. 1
$\ {\tfrac {13}{14}}\$
0,5

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