MathemaTriX ⋅ Binomialverteilung

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 ACHTUNG! 
Zumindest Aufgabe 1 der Grund- und
1 und 2 der Maturaaufgaben probieren,
sie sind unterschiedlich!

	lle	Gaben
	uf-

Theorie in Kürze (mit Geogebra)

• μ oder E(x)→ Erwartungswert (Durchschnitt, „wie viel ist im Mittel erwartet“, arithmetisches Mittel)
• σ→ Standardabweichung

Merkmale:

• Zwei mögliche Ergebnisse bei einem Versuch (z.B. schwarz oder nicht schwarz, ein Gegenstand oder eine Person hat eine Eigenschaft oder hat sie nicht)
• Wahrscheinlichkeit bei jedem Versuch bleibt konstant

Eingabe in geogebra:

• n: Gesamtanzahl der Versuche (Personen, Geräte oder was auch immer)
• p: Wahrscheinlichkeit (Prozentsatz) bei einem Versuch (oder Wahrscheinlichkeit von einem Merkmal). Das ist ein Wert zwischen 0 und 1

$P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}:$ Wahrscheinlichkeit, dass unter n Wiederholungen (Versuche, Personen usw.) das Merkmal k mal vorkommt

VORSICHT: zwei Fälle unterscheiden:

• („Sonder“fall) Wir haben eine Anzahl A von Gegenständen. Ein Teilanzahl T davon hat eine Eigenschaft (z.B. Schwarz) der Rest (A minus T) nicht. Wir ziehen dann mit Zurücklegen c mal. In diesem Fall ist das c die gesamte Anzahl der Versuche und NICHT das A. Das A wird benutzt um die Wahrscheinlichkeit p bei einmal Ziehen zu berechnen, nämlich T/A (T durch A), z.B. schwarze Kugeln durch gesamte Kugeln.
• („Normal“fall) Wir haben eine Anzahl A von Gegenständen. Diesmal ist kein Teilanzahl von diesen A Gegenständen gegeben, die eine Eigenschaft haben, sondern eine Wahrscheinlichkeit p, dass sie diese Eigenschaft haben. Dann ist hier doch n=A die Gesamtanzahl und p ganz normal das p.

μ und σ liest man oben links ab!

• $\mu =n\cdot p$
• $\sigma ={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)\ }}$

k liest man oben rechts (und weiter darunter), da liest man auch die Wahrscheinlichkeit P(X=k), dass das angegebene Merkmal k von n mal vorkommt:
$P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

Wenn es um mindestens bzw. höchstens geht, dann kommt in dieser Formel das Symbol ∑ vor:
$P(min\leq k\leq max)=\sum _{i=min}^{max}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}$

höchstens a: P ( 0 ≤ X ≤ a) =
Null links, a rechts von X!

weniger als a: P ( 0 ≤ X ≤ a−1) =
Null links, a−1 rechts von X!

mindestens a: P ( a ≤ X ≤ n) =
a links, n rechts von X!

mehr als a: P ( a+1 ≤ X ≤ n) =
a+1 links, n rechts von X!

mindestens a und höchstens b: P ( a ≤ X ≤ b) =
a links, b rechts von X!

Nach dem „=“ steht die Wahrscheinlichkeit bei mehreren Versuchen (Personen usw.) also eine Zahl zwischen 0 und 1 (Prozent: zwei mal Komma veschieben)

Ausdrücke

• $\mu =n\cdot p:$ (Erwartungswert) So viele (was p ausdrückt) sind im Mittel/durchschnittlich erwartet, wenn wir n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) haben.
• $P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}:$ Wahrscheinlichkeit, dass k von n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) die/das/der (Eigenschaft, die durch die Wahrscheinlichkeit von kleinem p ausgedrückt wird, schreiben)
• $P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{n-k}(1-p)^{k}:$ AUFPASSEN! Hier ist das k als Hochzahl bei (1-p)! Wahrscheinlichkeit, dass k von n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) die/das/der (GEGENeigenschaft von dem, was durch die Wahrscheinlichkeit von kleinem p ausgedrückt wird, schreiben)
• $P(min\leq k\leq max)=\sum _{i=min}^{max}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}:$ Wahrscheinlichkeit, dass zwischen min und max von n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) die/das/der (Eigenschaft, die durch die Wahrscheinlichkeit von kleinem p ausgedrückt wird, schreiben)
• $P(min\leq k\leq max)=\sum _{i=min}^{max}{\binom {n}{i}}p^{n-i}(1-p)^{i}:$ AUFPASSEN! Hier ist das i als Hochzahl bei (1-p)! Wahrscheinlichkeit, dass zwischen min und max von n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) die/das/der (GEGENeigenschaft von dem, was durch die Wahrscheinlichkeit von kleinem p ausgedrückt wird, schreiben)

SELBSTVERSTÄNDLICH kann es sein, dass an der Stelle von p oder/und (1-p) eine Zahl zwischen 0 und 1 (also die entsprechende Wahrscheinlichkeit) steht.

Grundaufgaben

1. 
   

   In einer Tierart ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein weibliches Tier geboren wird, 55%. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 8 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 3 weibliche Tiere geboren werden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 11 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten 9 weibliche Tiere geboren werden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten höchstens 10 weibliche Tiere geboren werden? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten mehr als 7 weibliche Tiere geboren werden?

2. 
   

   Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Brotscheibe auf die belegte Seite fallen wird, ist 85%. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 8 Fallen und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass das Brot 3 Mal auf die belegte Seite fällt? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 11 Fallen und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass das Brot 9 Mal auf die belegte Seite fällt? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 13 Fallen das Brot weniger als 3 Mal auf die belegte Seite fällt? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 13 Fallen das Brot zumindest 3 Mal auf die belegte Seite fällt?

3. 
   

   Aus einer Urne mit 4 roten und 5 blauen Kugeln werden Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 5 mal Ziehen und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 der gezogenen Kugeln rot sind? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 16 mal Ziehen und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass genau 12 der gezogenen Kugeln blau sind? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir nach 13 mal Ziehen mehr als 9 roten Kugeln gezogen haben? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir nach 17 mal Ziehen höchsten 5 roten Kugeln gezogen haben?

4. 
   

   Die Ansteckungswahrscheinlichkeit eines grippalen Infekts nach einem Kuss am Backen ist 13,5%. Eine ansteckende Person hat an einem Tag 14 Personen so geküsst. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 12 Personen angesteckt wurden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Eine ansteckende Person hat an einem Tag 9 Personen so geküsst. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Personen angesteckt wurden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 13 geküssten Personen höchstens 4 angesteckt wurden? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 8 geküssten Personen die Hälfte oder mehr angesteckt wurden?

Matura

1. 
   

   Ein elektronisches Gerät wird aus drei Elemente A, B und C gebaut. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, dass ein Element nicht funktioniert, sind 3% und 1,8% für A bzw. B. Wir haben 55 elektronische Geräte. Welche ist die wahrscheinlichste Anzahl von defekten A Teile und wie viele sind in Mittel erwartet? Was ist der Unterschied zwischen Erwartungswert und wahrscheinlichsten Wert in diesem Zusammenhang? Sei p die unbekannte Wahrscheinlichkeit, dass der Teil C defekt ist. Die Geräte werden in 3er-Packungen geliefert. Jemand bekommt a Packungen. Was wird in diesem Zusammenhang durch 3⋅a⋅p ausgedrückt und was durch ${\sqrt {3a\ p(1-p)\ }}$? Sei p die unbekannte Wahrscheinlichkeit, dass der Teil C defekt ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 von b Geräte einen defekten C Teil haben, beträgt 98%. Welche der folgenden Gleichungen beschreibt diesen Zusammenhang? $1-(1-p)^{b}=0{,}02$ $(1-p)^{b}=0{,}02$ $1-(1-p)^{b}=0{,}98$ $(1-p)^{b}=0{,}98$ $1-p^{b}=0{,}98$ Berechnen Sie im letzten Fall p, wenn b gleich 8 ist und b wenn p gleich 0,012 ist! Stellen wir uns folgenden Vorgang bei der Selektion von Geräten vor: Ist Teil B defekt, geht das Gerät nicht durch die Kontrolle, in jedem anderen Fall schon. Der Vorgang wird 18 mal wiederholt. Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der Geräten mit defekten A Teil. Gilt die Binomialverteilung hier, ja oder nein und warum? Wir haben 3 elektronische Geräte. Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 C Teile defekt sind, ist 99,83%. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem zufällig ausgewählten Gerät der C Teil defekt ist? Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E wird durch $\textstyle P(E)={\binom {48}{4}}\cdot 0{,}03^{4}\cdot 0{,}97^{44}\$ angegeben. Beschreiben Sie das entsprechende Ereignis!

2. 
   

   Die Ansteckungswahrscheinlichkeit eines grippalen Infekts nach einem Kuss auf die Backe ist 21% für den Virus Q und 11,4% für den Virus X. Eine ansteckende Person hat an einem Tag 14 Personen so geküsst. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau bzw. höchstens 4 Personen mit dem Virus X angesteckt wurden? Eine ansteckende Person hat an einem Tag 19 Personen so geküsst. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 6 Personen mit dem Virus Q angesteckt wurden? Sei p die unbekannte Ansteckungswahrscheinlichkeit eines weiteren Virus R. Was wird durch $P(E)={\tbinom {11}{7}}\cdot p^{4}\cdot (1-p)^{7}\$ $P(E)=\sum _{i=0}^{7}{\tbinom {11}{i}}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{7-i}\$ $P(E)={\tbinom {11}{7}}\cdot p^{7}\cdot (1-p)^{4}\$ ausgedrückt? Die Wahrscheinlichkeit, dass genau sieben von elf Personen nicht angesteckt werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau sieben von elf Personen angesteckt werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest sieben von elf Personen angesteckt werden. Nichts. Die Formel weist einen Fehler auf. Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens sieben von elf Personen nicht angesteckt werden. Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit dem Virus R angesteckt wird, ${\tfrac {3}{7}}\$ist. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 7 bzw. 16 Personen zumindest 5 angesteckt werden? Von einer Urne mit 5 Blauen, 3 weiße, 2 rote und 4 grünen Kugeln wird zufällig jeweils eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 8 mal Ziehen mit Zurücklegen genau bzw. mindestens 3 gezogene Kugeln nicht weiß sind? Es wird 5 mal mit Zurücklegen gezogen. Wählen Sie aus der folgenden Tabellen die richtigen Ausdrücke aus, damit der folgende Satz stimmt: Die Wahrscheinlichkeit, dass ___(A)___, ist durch die Formel ___(B)___ gegeben. (A) $\qquad$ (B) alle 5 Kugeln blau sind $\ A1\$ $\textstyle 1-\left({\frac {3}{14}}\right)^{5}$ $\ B1\$ höchstens 4 Kugeln grün sind $\ A2\$ $\textstyle 1-\left({\frac {4}{14}}\right)^{5}$ $\ B2\$ mindestens eine Kugel nicht weiß ist $\ A3\$ $\textstyle \left({\frac {5}{14}}\right)^{5}$ $\ B3\$ In einem Hotel mit 74 Zimmern ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zimmer storniert wird, 2,7%. 77 Zimmer werden gebucht. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Hotel überbesetzt wird? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau bzw. höchstens 2 Zimmer leer bleiben?

3. 
   

   Der Pearl-Index für eine gewisse Marke von Kondomen ist laut produzierendem Unternehmen 2 (also 2 Schwangerschaften pro 100 „Frauenjahre“). Eine Feldstudie hat doch den Wert 11,5 festgestellt. Dies konnte an verschiedenen Gründen liegen (falsche Angabe des Unternehmens, falsche Anwendung, was auch immer). Stellen wir uns vor, dass wir den Pearl-Index als eine Art von Wahrscheinlichkeit benutzen können, also in diesem Beispiel ein Pearl-Index 2 würde bedeuten 2% Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau in einem Jahr schwanger wird und ein Pearl-Index 11,5 11,5% Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau in einem Jahr ein mal schwanger wird. Eine Frau benutzt Kondom als einziges Verhütungsmittel für die etwa 25 Jahre ihres Sexuallebens, wo sie auch schwanger werden kann. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Frau in diesen 25 Jahren zumindest ein mal schwanger wird, wenn wir die Werte des Unternehmens benutzen und wie viel, wenn wir die Werte der Feldstudie benutzen? Welche ist in diesen 25 Jahren die Wahrscheinlichste Anzahl von Schwangerschaften für eine Frau und wie viele werden im Mittel erwartet, wenn wir die Daten der Feldstudie benutzen? Was ist der Unterschied zwischen Erwartungswert und wahrscheinlichsten Wert in diesem Zusammenhang? Sei i der unbekannte Pearl-Index eines anderen Verhütungsmittels und nehmen wir an, dass eine Frau dieses Mittel als einzige Verhütungsmittel für J Jahre benutzt. Was wird in diesem Zusammenhang durch $2\cdot i\cdot J\$bzw. ${\sqrt {2\cdot i\cdot J\ \cdot (1-i)}}\$ ausgedrückt? Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E wird durch $\textstyle P(E)={\binom {13}{4}}\cdot 0{,}06^{4}\cdot 0{,}94^{9}\$gegeben. Beschreiben Sie das entsprechende Ereignis! Sei p der Pearl-Index eines weiteren Verhütungsmittels. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr höchstens z-1 Schwangerschaften bei z Frauen vorkommen, ist 97%. Welche der folgenden Gleichungen beschreibt diesen Zusammenhang? $1-(1-p)^{z}=0{,}03$ $(1-p)^{z}=0{,}03$ $1-(1-p)^{z}=0{,}97$ $(1-p)^{z}=0{,}97$ $1-p^{z}=0{,}97$ Berechnen Sie im letzten Fall p, wenn z gleich 8 ist und z wenn p gleich 0,92 ist! Bei einem weiteren Verhütungsmittel ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr zumindest 1 von 10 Frauen schwanger wird, 44%. Wie viel ist der Pearl- Index für dieses Mittel? Dürfen wir Binomialverteilung für ein Verhütungsmittel benutzen, wenn wir nicht wissen, ob manche Frauen doch andere Mittel auch benutzen?

4. 
   

   Ein elektronisches Gerät wird aus drei Elemente A, B und C gebaut. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, dass ein Element nicht funktioniert, sind 3% und 1,8% für A bzw. B. Wir haben 77 elektronische Geräte. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir weniger als 3 defekte A Teile haben? Wir haben 69 elektronische Geräte. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir genau bzw. mindestens 6 defekte B Teile haben? Sei p die unbekannte Wahrscheinlichkeit, dass der Teil C defekt ist. Was wird durch $P(E)={\tbinom {9}{3}}\cdot p^{3}\cdot (1-p)^{6}\$ und $P(E)=\sum _{i=3}^{9}{\tbinom {9}{i}}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{9-i}\$ ausgedrückt? Die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei von neuen Geräten keinen defekten C Teil haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei von neuen Geräten einen defekten C Teil haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest drei von neuen Geräten einen defekten C Teil haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens sechs von neuen Geräten einen defekten C Teil haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest drei von neuen Geräten keinen defekten C Teil haben. Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät einen defekten C Teil hat, ${\tfrac {3}{223}}\$ist. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 10 bzw. 223 Geräte höchstens 4 defekt sind? Von einer Urne mit 4 schwarzen, 3 weiße, 2 rote und 2 grünen Kugeln wird zufällig jeweils eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable Z beschreibt die Anzahl der Züge die notwendig sind. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 8 mal Ziehen mit Zurücklegen genau bzw. mindestens 3 gezogene Kugeln schwarz sind? Es wird 4 mal mit Zurücklegen gezogen. Wählen Sie aus der folgenden Tabellen die richtigen Ausdrücke aus, damit der folgende Satz stimmt: Die Wahrscheinlichkeit, dass ___(A)___, ist durch die Formel ___(B)___ gegeben. (A) $\qquad$ (B) alle 4 Kugeln schwarz sind $\ A1\$ $\textstyle 1-\left({\frac {4}{11}}\right)^{4}$ $\ B1\$ höchstens 3 Kugeln schwarz sind $\ A2\$ $\textstyle 1-\left({\frac {7}{11}}\right)^{4}$ $\ B2\$ mindestens eine Kugel nicht schwarz ist $\ A3\$ $\textstyle \left({\frac {7}{11}}\right)^{4}$ $\ B3\$ In einem Hotel mit 83 Zimmer ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zimmer storniert wird, 4,7%. 85 Zimmer werden gebucht. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Hotel überbesetzt wird? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau bzw. höchstens 3 Zimmer leer bleiben?