MathemaTriX ⋅ Boxplot

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ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 aus der Einführung und
1 bis 3 aus der Matura probieren,
sie sind unterschiedlich!

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	uf-

Theorie in Kürze (mit Geogebra)

Die Daten sind eingeordnet. Die genauen Daten kann man nicht ablesen. Klar ist nur: die ein viertel kleinsten Werte befinden sich zwischen "Antenne" links (oder unten) und Anfang (links oder unten) des Rechtecks das sich irgendwo in der "Mitte" befindet; Diese linke (oder untere) Seite des Rechtecks ist das erste "Quartil". In diesem Rechteck und bis zur "Linie" irgendwo in seiner "Mitte" befindet sich das zweite viertel der eingeordneten Werte. Daher ist diese Linie (die nur in seltenen Fällen genau in der Mitte des Rechtecks ist) der Median (Zentralwert). Das dritte viertel befindet sich dann bis zur rechten (bzw. oberen) Seite des Rechtecks (drittes Quartil) und die größten viertel Werte sind darüber.

(Inter)Quartilabstand (IQR): Die Differenz der Werte an den Seiten des Rechtecks.

Spannweite (allgemein und nicht nur im boxplot): Maximum minus Minimum.

Möglicherweise gibt es "Ausreißer": Oft werden sie mit Hilfe des IQR definiert: ist der Wert links (einer der größten) mehr als das 1,5-fache des IQR als das dritte Quartil (rechte bzw obere Seite des Rechtecks), dann ist es ein Ausreißer.

Einführung

Erstellen Sie das Box-Plot Diagramm für
die folgenden Werten:
11, 14, 42, 0, 11, 14, 22, 9, 25, 10, 25, 28, 18.
Geben Sie in den folgenden Diagrammen den
Median, die Quartile, den IQR, die Spannweite,
die Ausreißer, das Maximum und das Minimum an!

Antwort

1. Med=11 , Q1=10 , Q3=13 , IQR=3 , Ausr.=1 und 18 , Span=17 , Max=18 , Min=1 .
2. Med=11 , Q1=9 , Q3=13 , IQR=4 , Ausr.= keiner , Span=16 , Max=3 , Min=19.

Erstellen Sie das Box-Plot Diagramm für
die folgenden Werten:
11, 22, 26, 5, 11, 14, 22, 9, 13, 10, 25, 28, 18.
Geben Sie in den folgenden Diagrammen den
Median, die Quartile, den IQR, die Spannweite,
die Ausreißer, das Maximum und das Minimum an!

Antwort

1. Med=2,7 , Q1=1,2 , Q3=4 , IQR=2,8 , Ausr.=keiner , Span=5,6 , Max=5,6 , Min=0.
2. Med=3,4 , Q1=1,4 , Q3=4,2 , IQR=2,8 , Ausr.=keiner , Span=6,1 , Max=6,1 , Min=0 .

Erstellen Sie das Box-Plot Diagramm für
die folgenden Werten:
22, 14, 42, 27, 11, 14, 22, 39, 25, 38, 25, 28, 49.
Geben Sie in den folgenden Diagrammen den
Median, die Quartile, den IQR, die Spannweite,
die Ausreißer, das Maximum und das Minimum an!

Antwort

1. Med=15 , Q1=12 , Q3=17 , IQR=5 , Ausr.=keiner , Span=11 , Max=20 , Min=9 .
2. Med=15 , Q1=14,5 , Q3=16 , IQR=1,5 , Ausr.=keiner , Span=8 , Max=18 , Min=10 .

Erstellen Sie das Box-Plot Diagramm für
die folgenden Werten:
23, 14, 42, 69, 32, 14, 22, 69, 25, 70, 25, 28, 18.
Geben Sie in den folgenden Diagrammen den
Median, die Quartile, den IQR, die Spannweite,
die Ausreißer, das Maximum und das Minimum an!

Antwort

1. Med=29 , Q1=26 , Q3=30 , IQR=4 , Ausr.=39 und 42 , Span=18 , Max=42 , Min=24 .
2. Med=24 , Q1=22 , Q3=27 , IQR=3 , Ausr.=38 , Span=18 , Max=38 , Min=20 .

Erstellen Sie das Box-Plot Diagramm für
die folgenden Werten:
111, 114, 142, 210, 211, 147, 122, 189, 125, 310, 252, 128, 118.
Geben Sie in den folgenden Diagrammen den
Median, die Quartile, den IQR, die Spannweite,
die Ausreißer, das Maximum und das Minimum an!

Antwort

1. Med=0,7 , Q1=0,2 , Q3=1,4 , IQR=1,2 , Ausr.=keiner , Span=3,6 , Max=2 , Min=−1,6 .
2. Med=0,6 , Q1=0,1 , Q3=1,3 , IQR=1,2 , Ausr.=keiner , Span=5 , Max=3,3 , Min=−1,7 .

Erstellen Sie das Box-Plot Diagramm für
die folgenden Werten:
211, 104, 142, 169, 181, 174, 202, 129, 125, 137, 125, 208, 168.
Geben Sie in den folgenden Diagrammen den
Median, die Quartile, den IQR, die Spannweite,
die Ausreißer, das Maximum und das Minimum an!

Antwort

1. Med=45 , Q1=41,5 , Q3=47 , IQR=5,5 , Ausr.=keiner , Span=13,5 , Max=49,5 , Min=36 .
2. Med=39 , Q1=37 , Q3=42 , IQR=5 , Ausr.=keiner , Span=16 , Max=48 , Min=32 .

Matura

11

14

42

0

11

14

22

9

25

10

25

28

18

Erstellen Sie das entsprechende Boxplot Diagramm
Geben Sie das arithmetische Mittel, den Zentralwert, die Quartile, den Quartilabstand, die Spannweite, die Ausreißer, das Maximum und das Minimum an! Was bedeutet, dass das 1. Quartil keiner der angegebenen Werte ist?
Der Test ist positiv, wenn jemand zumindest 14 Punkte hat. Wie viel Prozent der TeilnehmerInnen haben den Test nicht geschafft?
Zu welchem Quartil des Diagramms gehört die Person mit 22 Punkten? Was ist das Intervall dieses Quartils? Welcher Anteil der Personen gehört zu diesem Intervall?
Welches ist das Intervall mit den 25% besten Ergebnissen?
Eine Person wird zufällig gewählt. Sie gehört zu jenem Viertel des Diagramms mit der kleinsten Punktenanzahl. In welchem Intervall soll ihr Punktenanzahl liegen?
Die Person mit der drittgrößten Punktenanzahl gehört zum 4. Quartil. Ist das eine wahre oder eine falsche Aussage und warum?
Welche Punktenanzahl im Diagramm wurde von ca. 25% der Personen nicht erreicht?

Antwort

D=17,62 , Med=14 , Q1=10,5 , Q3=25 , IQR=14,5, Span=42 , Max=42 , Min=0; 1. Quartil liegt zwischen zwei Werten!
$ca.38{,}46\%$
zum 3., [14;25], ca. 25%
[25;42]
[0;10,5]
Wahr, ${\tfrac {13}{4}}=3{,}25>3,$ also 25% der Personen (3,25) sind im 4. ("besten") Quartil, daher sicher auch die drittbeste
10,5 Punkte

Welche der folgenden Ausdrücken stimmt? (mehrere richtige Antworten möglich)

Der Median ist gleich in beiden Diagrammen
Der Quartilabstand ist im ersten Diagramm größer
Eine Person mit 9,5 Punkte gehört in Diagramm A zu den 25% schlechtesten
Eine Person mit 9,5 Punkte gehört in Diagramm B zu den 25% schlechtesten
25% der Personen haben in beiden Diagrammen zumindest 13 Punkte gehabt
50% der Personen haben in beiden Diagrammen zumindest 13 Punkte gehabt
Zumindest 75% der Personen haben in beiden Diagrammen mehr als 10 Punkte gehabt
Zumindest 75% der Personen haben in beiden Diagrammen mehr als 9 Punkte gehabt
Die größte Puktenanzahl in Diagramm A war 17,5

Es gibt zumindest eine Person, deren Punktensumme 36,5 Punkte ist. Ist das eine wahre oder eine falsche Aussage und warum?
Nehmen wir an, dass ein Wert als Ausreißer nach oben gilt, wenn er mehr als das 1,5-Fache des Interquartilsabstands rechts vom dritten Quartil liegt. Sind solche Ausreißer im zweiten Boxplot berücksichtigt? Ab welchen Wert gilt eine Punktanzahl in diesem Fall als Ausreißer?
Nehmen wir an, dass ein Wert als Ausreißer nach unten gilt, wenn er mehr als das 1,5-Fache des Interquartilsabstands links vom ersten Quartil liegt. Sind solche Ausreißer im ersten Boxplot berücksichtigt? Ab welchen Wert gilt eine Punktanzahl in diesem Fall als Ausreißer?
Jemand behauptet, dass im zweiten Boxplot mindestens 80% der Personen zumindest 6 Punkte erreicht haben. Können wir so was mit Sicherheit sagen, ja oder nein und warum?
Jemand behauptet, dass im zweiten Boxplot mindestens 50% der Personen mit Sicherheit zumindest 12 Punkte erreicht haben. Ist das eine wahre oder eine falsche Aussage und warum?

Antwort

j n j n j n n j n
Es ist nicht sicher, ob die gleiche Person in beiden Fällen die entsprechenden Punkte hatte
ja, über 19
ja, unter 5,5
Nein, wir wissen nicht, wo 20% der Personen liegen
Falsch, es gibt zumindest 1 Person von 50%, die weniger als 12 Punkte hat

Eine Person hat das erste mal 44 Punkte und das zweite 43. Wann hat sie einen besseren Platz bekommen?
Ist die Spannweite im ersten Fall größer als im zweiten?
Welches ist das Intervall des Quartils, zu dem die 15. bzw. die 30. Stelle im ersten Diagramm gehört?
Welche Punktenanzahl haben im ersten Diagramm (höchstens) 25% der Personen nicht erreicht?
Ist der Median im zweiten Fall 6 Punkte weniger als im ersten?
Ist im zweiten Fall 25% der besten Werte 6 Punkte weniger als im ersten Fall?
Irrtümlich hat jemand beim ersten Diagramm bei einer Person 44 statt 43 Punkte eingetragen. Beeinflusst dieser Fehler das Boxplot Diagramm und warum?

Antwort

zweite
nein
[47;50][45;47]
42
ja
nein
nein, liegt innerhalb des gleichen Quartils

201

104

142

169

181

174

202

129

125

137

125

208

168

Erstellen Sie das entsprechende Boxplot Diagramm
Geben Sie das arithmetische Mittel, den Zentralwert, die Quartile, den Quartilabstand, die Spannweite, die Ausreißer, das Maximum und das Minimum an! Was bedeutet, dass das 1. und 3. Quartil kein der angegebenen Werte sind?
Ein systolischer Blutdruck über 155 mmHg gilt als zu hoch. Wie viel Prozent der Personen haben einen zu hohen systolischen Blutdruck?
Zu welchem Quartil des Diagramms gehört ein Blutdruck von 133 mmHg? Was ist das Intervall dieses Quartils? Welcher Anteil der Personen gehört zu diesem Intervall?
Welches ist das Intervall mit den 25% höchsten Ergebnissen?
Eine Person wird zufällig gewählt. Sie gehört zu jenem Viertel des Diagramms mit dem kleinsten Blutdruck. In welchem Intervall soll ihr Punktenanzahl liegen?
Die Person mit dem fünftgrößten Blutdruck gehört zum 4. Quartil. Ist das eine wahre oder eine falsche Aussage und warum?
Welchen Blutdruck haben im Diagramm (mindestens) 25% der Personen erreicht?

Antwort

D=159,6 , Med=168 , Q1=127 , Q3=191,5 , IQR=64,5, Span=107 , Max=211 , Min=104; 1. und 3. Quartil liegen jeweils zwischen zwei Werten!
$ca.53{,}85\%$
zum 2. [127;168], 23,08% oder 30,77%
[191,5;211]
[104;127]
falsch, 174 ist kleiner als 191,5
127 mmHg

Welche der folgenden Ausdrücken stimmt? (mehrere richtige Antworten möglich)

Der Median des ersten Diagramms ist größer als der des dritten
Der Quartilabstand ist im ersten Diagramm größer als im dritten
Eine Person mit 55 Punkte gehört im ersten Diagramm zu den 25% schlechtesten
Eine Person mit 55 Punkte gehört im zweiten Diagramm zu den 25% schlechtesten
Zumindest 25% der Personen haben in alle drei Diagrammen mehr als 56 Punkte gehabt
Zumindest 50% der Personen haben in alle drei Diagrammen zumindest 56 Punkte gehabt
Zumindest 75% der Personen haben in alle drei Diagrammen mehr als 52 Punkte gehabt
Zumindest 75% der Personen haben in alle drei Diagrammen mehr als 46 Punkte gehabt
Die größte Puktenanzahl war 81

Es gibt zumindest eine Person, deren Punktensumme 36,5 Punkte ist. Ist das eine wahre oder eine falsche Aussage und warum?
Nehmen wir an, dass ein Wert als Ausreißer nach oben gilt, wenn er mehr als das 1,5-Fache des Interquartilsabstands oben vom dritten Quartil liegt. Sind solche Ausreißer im zweiten Boxplot berücksichtigt? Ab welchen Wert gilt eine Punktanzahl in diesem Fall als Ausreißer?
Nehmen wir an, dass ein Wert als Ausreißer nach unten gilt, wenn er mehr als das 1,5-Fache des Interquartilsabstands unten vom zweiten Quartil liegt. Sind solche Ausreißer im ersten Boxplot berücksichtigt? Ab welchen Wert gilt eine Punktanzahl in diesem Fall als Ausreißer?
Jemand behauptet, dass im zweiten Boxplot mindestens 60% der Personen zumindest 46 Punkte erreicht haben. Können wir so was mit Sicherheit sagen und warum?
Jemand behauptet, dass im zweiten Boxplot mindestens 50% der Personen zumindest 56 Punkte erreicht haben? Ist das eine wahre oder eine falsche Aussage und warum?

Antwort

n n j n j j n j n(82)
Falsch, auch bei einem Diagramm ist die niedrigste Punkteanzahl zumindest 42
ja, die Grenze wird nicht erreicht, etwa über 104
ja, die Grenze wird nicht erreicht, unter 41
ja, sogar zumindest 75%
ja, egal ob der Median zwischen zwei Werten oder nicht liegt haben wir 50% oder mehr Personen mit 56 oder mehr Punkten

Eine Person hat in beiden Fällen 42 Punkte erreicht. Wann hat sie einen besseren Platz bekommen?
Ist das IQR im ersten Fall größer als im zweiten?
Welches ist das kleinste entsprechende Intervall für die 60. bzw. die 80. Stelle im zweiten Diagramm?
Welche ist die größte Punktenanzahl, die im ersten Diagramm höchstens 25% der Personen erreicht haben?
Ist das dritte Quartil im zweiten Fall 5 Punkte weniger als im ersten?
Ist im zweiten Fall 50% der besten Werte 6 Punkte weniger als im ersten Fall?
Irrtümlich hat jemand beim zweiten Diagramm bei einer Person 44 statt 42 Punkte eingetragen. Beeinflusst dieser Fehler das Boxplot Diagramm und warum?

Antwort

zweite
nein
[37;39][32;37]
47
ja
ja
möglich, wenn 42 genau der Median ist und nicht oberhalb des Medians als Wert wiederholt wird

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