MathemaTriX ⋅ Direkte und indirekte Beweise

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 ACHTUNG! 
Zumindest Aufgabe 1 bis 4 probieren,
sie sind unterschiedlich!

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	uf-

Aufgaben

1. 
   

   Zeigen Sie den Zusammenhang zwischen Steigung einer linearen Funktion, Ähnlichkeit von ebenen Figuren und direkter Proportionalität! Zeigen Sie, dass die Steigung s einer linearen Funktion $\textstyle s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$ist!

2. 
   

   Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras beweisen Sie die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks: $A={\frac {{\sqrt {3}}\ a^{2}}{4}}$

3. 
   

   Beweisen Sie folgenden Zusammenhang für alle natürliche Zahlen n: $\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}}$

4. 
   

   Zeigen Sie, dass die ${\sqrt {3}}$ eine irrationale Zahl ist! Hinweis: Anstatt gerade und ungerade Zahlen, benutzen Sie Fallunterscheidung mit 3n, 3n+1 und 3n+2!

5. 
   

   Zeigen Sie den Zusammenhang zwischen Steigung einer linearen Funktion, Ähnlichkeit von ebenen Figuren und direkter Proportionalität! Zeigen Sie, dass die Steigung s einer linearen Funktion $\textstyle s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$ist!

6. 
   

   Wenn wir eine Strecke so teilen, dass das Verhältnis der ganzen Strecke zum größten Teil so viel wie das Verhältnis des größten zum kleineren Teil ist, wird dieses Verhältnis  Goldener Schnitt genannt und mit $\Phi$ bezeichnet. Zeigen Sie, dass: $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ist.

7. 
   

   Beweisen Sie folgenden Zusammenhang für alle natürliche Zahlen n: $\sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{2}={\frac {n\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)}{3}}$

8. 
   

   Mit Hilfe eines Beispiels zeigen Sie, dass minus mal minus plus sein soll!