MathemaTriX ⋅ Einheitskreis wichtige Punkte

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Theorie in Kürze (mit Geogebra)

Kreis, dessen Mittelpunkt sich am Anfang des (kartesischen) Koordinatensystems befindet und dessen Radius 1 ist. Der Winkel wird als Drehung im Bezug auf dem rechten Teil der x-Achse gemessen. Da der Radius 1 ist, ist der Umfang 2π. Das wird als Basis für die Winkeleinheit "Radiant" (Symbol: rad) benutzt. 360° Winkel ist so viel wie 2π rad.

Winkel mit gleichen Kosinus
$\omega \ {\text{und }}360^{\circ }-\omega$
Winkel mit gleichen Sinus
$\omega \ {\text{und }}180^{\circ }-\omega$
Winkel mit gleichen Sinus und Kosinus
$\omega \ {\text{und }}360^{\circ }+\omega$

Aufgaben

Beoboachten Sie die Figur und entscheiden Sie!

In welchem Quadrant des Kreises ist der Sinus,
der Kosinus und der Tangens positiv oder negativ?
Bei welchem Winkel ist der Sinus 0, 1 oder -1? Geben Sie diesen Winkel
sowohl in Grad als auch in Radiants an!

Antwort

Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
$\sin x=0\Leftrightarrow x=n\cdot \pi \ rad=n\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\sin x=1\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }+90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\sin x=-1\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi -\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }-90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$

Beoboachten Sie die Figur und entscheiden Sie!

In welchem Quadrant des Kreises ist der Sinus,
der Kosinus und der Tangens positiv oder negativ?
Bei welchem Winkel ist der Sinus gleich dem
Kosinus und positiv? Wann ist der Kosinus 1/2?
Geben Sie vier Winkeln jeder Art sowohl in Grad
als auch in Radiants an!

Antwort

Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
$\sin x=cosx>0\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{4}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }+45^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\textstyle \cos x={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }\pm 60^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$

Beoboachten Sie die Figur und entscheiden Sie!

In welchem Quadrant des Kreises ist der Sinus,
der Kosinus und der Tangens positiv oder negativ?
Bei welchem Winkel ist der Kosinus gleich 0, 1 oder −1?
Geben Sie vier Winkeln jeder Art sowohl in Grad
als auch in Radiants an!

Antwort

Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
$\cos x=1\Leftrightarrow x=2\,n\cdot \pi \ rad=n\cdot \ 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\cos x=0\Leftrightarrow x=\left(n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 180^{\circ }+90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\cos x=-1\Leftrightarrow x=(2\,n+1)\cdot \pi \ rad=(2\,n+1)\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$

Beoboachten Sie die Figur und entscheiden Sie!

In welchem Quadrant des Kreises ist der Sinus,
der Kosinus und der Tangens positiv oder negativ?
Bei welchem Winkel ist der Kosinus gleich ${\tfrac {1}{2}}$ oder $-{\tfrac {1}{2}}$ ?
Geben Sie vier Winkeln jeder Art sowohl in Grad
als auch in Radiants an!

Antwort

Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
$\cos x={\tfrac {1}{2}}\Leftrightarrow x=\left(2\ n\cdot \pi \pm {\tfrac {\pi }{4}}\right)\ rad=2\ n\cdot \ 360^{\circ }\pm 45^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\cos x=-{\tfrac {1}{2}}\Leftrightarrow x=(2\,n+1\pm {\tfrac {\pi }{4}})\cdot \pi \ rad=(2\,n+1\pm {\tfrac {1}{4}})\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$

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