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 ACHTUNG! 
Zumindest Aufgabe 1 und 2 probieren,
sie sind unterschiedlich!

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Theorie in Kürze (mit Geogebra)

• Integral $\leftrightarrow$ Fläche
• Geogebra: Integral(Funktion ohne f(x) schreiben, $x_{1},\ x_{2}$)
• Bei entsprechenden Aufgaben entsprechende Fläche schraffieren.

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• Wenn es um das Integral einer Funktion (und nicht einer Differen)z geht, dann ist das Integral dieser Funktion die Fläche zwischen Kurve und x-Achse und zwischen den Grenzen (Stellen, x-Werte), die im Integral angegeben werden. $\int _{a}^{b}f(x)dx$ (1. Bild). $\ a,\ b\$sind daher hier Werte von x (Stellen) also ein Intervall [a;b] zwischen a und b auf der x-Achse, das die seitlichen (links und rechts) Grenzen des Integrals angibt. Die Funktion f(x) kann auch eine Zahl sein (!), z.B $\int _{a}^{b}3\ dx\$ist die Fläche zwischen der Gerade y=3 (parallel zur x-Achse) und zwischen x=a und x=b, also die Fläche eines Rechtecks im Diagramm (ähnlich wie im 2. Bild).
• Wenn es um das Integral einer Differenz geht, dann ist das Integral dieser Differenz die Fläche zwischen den beiden Funktionen (3. Bild). Aufpassen! Wenn ein Minus zwischen zwei Sachen da steht, dann haben wir schon zwei Funktionen. Dabei kann die eine nur eine Zahl sein, z.B. $\int _{a}^{b}(f(x)-4)dx.\ a,\ b\$ oder $\int _{a}^{b}(5-f(x))dx.\ a,\ b\$ (4. und 5. Bild).
• Sind keine Grenzwerte angegeben, soll das sogenannte unbestimmte Integral berechnet werden (z.B. mit Geogebra), in diesem Fall steht auch eine Konstante immer dabei. Das Integral berechnet die Änderung der Größe, die durch die Fläche berechnet wird, z.B. zurückgelegte Strecke in einem v-t Diagramm (wie im Bild) und Geschwindigkeits-Änderung (und nicht die Geschwindigkeit an einem Zeitpunkt: dafür braucht man auch die Geschwindigkeit am Anfang) in einem a-t Diagramm (a: Beschleunigung).

Aufgaben

1. 
   

   Im Bild sehen wir ein hellblaues Tor und seinen Rahmen, der sich teils über (rötlich) und teils unter (gelblich) dem Boden befindet. Die Gleichung der Kurve des Tors lautet: $f(x)=-x^{2}+3{,}7x-1\$(x und y in m) Das Tor wird lackiert. Lack ist in 3 Liter Eimer vorhanden, die je 5,7 € kosten. 3,5 Liter Lack reichen für 2 m². Nur die eine Seite wird lackiert (das Äußere). Wie viele Eimer werden gebraucht? Wie viel kostet der Lack, der tatsächlich benutzt wird? Was wird im Diagramm durch den folgenden Ausdruck beschrieben? $12-\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx$ Die Dicke des Metallrahmens ist 28 cm und ist überall die Gleiche. Wie viel ist das Volumen des Teils oberhalb des Bodens (rötlich) und wie viel des Teils unterhalb des Bodens (gelblich)?

2. 
   

   Nehmen wir an, dass das nebenstehende Diagramm uns die Abfüllgeschwindigkeit eines Beckens in m3/h in Abhängigkeit von der Zeit in h zeigt und zwar bis der Becken ganz voll ist. Das Volumen am Anfang ist 5 m3. Was ist die physikalische Bedeutung des Integrals in diesem Zusammenhang und welche sind die entsprechenden Einheiten? Was bedeutet in diesem Zusammenhang der Ausdruck $8+\int _{6}^{8}s(x)dx$ Was bedeutet in diesem Zusammenhang das Symbol b im Ausdruck $\int _{4}^{b}4\ dx=8{\text{?}}\$Welche sind die Einheiten und der Wert von b und die Einheiten des Integrals? Was soll in diesem Zusammenhang folgender Ausdruck angeben: $5+\int _{0}^{4}r(x)dx+\int _{4}^{6}4\ dx+\int _{6}^{8}s(x)dx{\text{?}}\$ Skizzieren Sie im Diagramm den Ausdruck $26{,}4-\int _{0}^{4}r(x)dx-\int _{4}^{6}4\ dx\ {\text{!}}\$

3. 
   

   In der Abbildung sehen wir eine Brücke, deren oberer und unterer Rand durch die Funktionen f und g angenähert werden. Die Gleichung der unteren Kurve der Brücke lautet: $g(x)={\sqrt {25-x^{2}}}.\$Es gilt: Höhe h=10 m und Breite AB=30 m. Zeichnen Sie im Bild das, was durch $\int _{A}^{B}f(x)dx-\int _{-5}^{5}g(x)dx\$ausgedrückt wird! Wie viel ist $\int _{A}^{B}h\ dx$? Was wird im Bild durch den folgenden Ausdruck beschrieben? $300-\int _{A}^{B}f(x)dx$ Unterhalb von g befindet sich ein Tor. Die Dicke des Tors ist 28 cm und ist überall die Gleiche. Wie viel ist das Volumen des Tors?

4. 
   

   Nehmen wir an, dass das nebenstehende Diagramm uns die Annäherungsgeschwindigkeit eines Fahrzeugs auf einen Turm in Meter pro Minute in Abhängigkeit von der Zeit in Minuten zeigt. Der Abstand vom Turm am Anfang ist 35,2 dm. Was ist die physikalische Bedeutung des Integrals in diesem Zusammenhang und welche sind die entsprechenden Einheiten? Was bedeutet in diesem Zusammenhang der Ausdruck $\int _{0}^{4}r(x)dx+8$ Was bedeutet in diesem Zusammenhang das Symbol b im Ausdruck $\int _{4}^{b}4\ dx=8{\text{?}}\$Welche sind die Einheiten und der Wert von b und die Einheiten des Integrals? Was soll in diesem Zusammenhang folgender Ausdruck angeben: $3{,}52-\int _{0}^{4}r(x)dx-\int _{4}^{6}4\ dx-\int _{6}^{8}s(x)dx{\text{?}}\$ Skizzieren Sie im Diagramm den Ausdruck $17{,}6-\int _{4}^{6}4\ dx-\int _{6}^{8}s(x)dx\ {\text{!}}\$