MathemaTriX ⋅ Kurvendiskussion

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 ACHTUNG! 
Zumindest Aufgabe 1 bis 5 von Typ A probieren.
Für die Matura zumindest 1 bis 3
der Maturaaufgaben probieren,
sie sind unterschiedlich!

	lle	Gaben
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Theorie in Kürze (mit Geogebra)

Textaufgaben 1. Ableitung

Ausdrücke, die für die 1. Ableitung oft vorkommen (besonders bei der direkter Anwendung der Kurvendiskussion), sind diejenigen, die mit einer Änderungsrate zu tun haben, z.B. Geschwindigkeit in einem Weg-Zeit Diagramm. Beispiele:

• Bei welcher (was auf die x-Achse steht) hat die Funktion ihren größten Wert (was auf die y-Achse steht)? → Hier muss man die Stelle (x-Wert) mit Hilfe der 1. Ableitung (f'(x)=0, in CAS mit "löse") berechnen, da wo die Funktion ihren größten Wert (y-Wert) hat (also an einem "Gipfel" im Diagramm). Entsprechend wenn der kleinste Wert gefragt wird.
• Wie viel ist der größte Wert (was auf die y-Achse steht)? → Hier muss man erst die Stelle (x-Wert) mit Hilfe der 1. Ableitung (f'(x)=0, in CAS mit "löse") berechnen. Dann müssen wir diese Stelle (x-Wert) in der eigentlichen Funktion ("Anfangsfunktion") einsetzten und den y-Wert berechnen (in CAS ohne "löse"). Entsprechend wenn der kleinste Wert gefragt wird.
• Wir findet man den größten (bzw. kleinsten) Wert der Funktion? Hier keine GeoGebra! Man braucht "nur" die Beschreibung: " Wir setzen die 1. Ableitung gleich Null und wir berechnen dadurch die Stelle, wo die Funktion ihr Extremwerten hat. Dann setzen wir diese Stelle (x-Wert) an die eigentliche Funktion ein und berechnen wir den entsprechendn Wert der Funktion (y-Wert)."

Textaufgaben 2. Ableitung

Die Ausdrücke für die 2. Ableitung sind etwas schwieriger beim Verständnis, z.B. kann gefragt werden, wo die Änderungsrate der Funktion einen Extremwert (Minimum oder Maximum) hat (an dieser Stelle ist dan die 2.Ableitung gleich NulFoll). In einem s-t (Abstand-Zeit) Diagramm ist die 2. Ableitung die Beschleunigung. Beispiel:

• An welcher Stelle steigt die (was auch immer auf der y-Achse steht) am schnellsten (bzw. langsamsten)? 2. Ableitung gleich Null setzten und entsprechende Stelle berechnen.

Positiv oder Negativ

• Wert der Funktion: positiv, wenn die Kurve oberhalb der x-Achse ist, negativ unterhalb und Null (Nullstelle) wenn sie die x-Achse schneidet oder berührt.
• 1. Ableitung: positiv, wenn die Funktion "nach oben" geht, negativ "nach unten". Null bei einem "Gipfel" oder "Talsohle".
• 2. Ableitung (nur für Nerds): positiv, wenn man auf der Kurve "fährt" und links abbiegen muss, negativ beim Rechstabbiegen (Null: "gerade fahren", in der Regel dazwischen).

Folgende Stichwörter sind in der Regel bei der Textaufgaben der direkten Anwendung der Kurvendiskussion nicht notwendig.

Stichwörter Kurvendiskussion

Anwendung der Funktion selbst
$f(x)\$allgemein Am Punkt $(x_{wert}|y_{wert})$ Die Funktion hat an der Stelle c ($x_{wert}$) den Wert d ($y_{wert}$) $y_{wert}\$in Abhängigkeit von $x_{wert}$ $y_{wert}\$in Bezug auf $x_{wert}$ je $x_{wert}\$desto $y_{wert}$
$f(x)=0$ x-Achsenabschnitt Nullstellen
$f(0)=A_{y}$ y-Achsenabschnitt Die Funktion schneidet die y-Achse an ... (oder Ähnliches)

Anwendung der ersten Ableitung
$f'(x)\$allgemein (Wert der) Ableitung der Funktion (an einem Punkt oder Stelle) Steigung der Funktion (an einem Punkt oder Stelle) Steigung der Tangente der Funktion (an einem Punkt oder Stelle) knickfrei (gleiche Steigung) Tangens des Winkels zwischen Tangente der Funktion und x-Achse (an einem Punkt oder Stelle) momentane Änderungsrate
$f'(x)=0$ Die Funktion hat einen Extrempunkt (Maximum: Hochpunkt oder Minimum: Tiefpunkt) Die Tangente läuft parallel zur x-Achse (oder senkrecht zur y-Achse, oder "steht normal" auf der y-Achse) Der Tangens ist null Die Funktion hat einen Sattelpunkt

Anwendung der zweiten Ableitung
$f''(x)\$allgemein Der Wert der zweiten Ableitung (an einem Punkt oder Stelle)
$f''(x)=0$ Die Funktion hat einen Wendepunkt an der Stelle p (an den Punkt $(p|r)$) Die Funktion hat einen Sattelpunkt an der Stelle p (an den Punkt $(p|r)$)

Typ A

1. 
   

   Gegeben ist die Funktion $v(b)=b^{2}\sin b+1$ im Intervall $]-4;4[$. Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten?

2. 
   

   Gegeben ist die Funktion $b(v)=v\ \cos {v^{2}}$ im Intervall $]-2;2{,}5[$. Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten?

3. 
   

   Gegeben ist die Funktion $x(y)=y^{\sin y}-1$ im Intervall $]-2;7[$. Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten?

4. 
   

   Gegeben ist die Funktion $g(x)={\tfrac {\sqrt[{3}]{x^{13}}}{5}}-x^{3}+{\tfrac {x^{2}}{5}}-x+1$ Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten?

5. 
   

   Gegeben ist die Funktion $m(c)={\tfrac {{\sqrt {c^{5}\ }}-c^{2}-c-1}{3}}$ Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten?

6. 
   

   Gegeben ist die Funktion $v(b)=\tan(x^{2}+3)-{\tfrac {1}{2}}$ im Intervall $]-3{,}5;3[$. Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten?

Maturaaufgaben

1. 
   

   Das nebenstehende Diagramm zeigt die Temperatur der Vagina einer Frau während des Geschlechtsverkehrs in °C in Abhängigkeit von der Zeit in Minuten. Die Funktion T lautet: $T(t)=-{\tfrac {1}{8}}t^{3}+{\tfrac {5}{6}}t^{2}+36{,}9$ Was soll 36,9 in dieser Gleichung darstellen? Wann beträgt die Temperatur 38°C Wie hoch ist die Temperatur nach 4 Minuten? Wie kann die maximale Temperatur berechnet werden? Wie viel ist diese? Wie viele Extrempunkte kann diese Funktion höchstens haben und warum? Was wird die momentane Änderungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt mathematisch und physikalisch in diesem Zusammenhang angeben? Was soll in diesem Zusammenhang das Ergebnis der Berechnung ${\tfrac {41-36{,}9}{3}}$ bedeuten? Zeichnen Sie im Diagramm den Punkt (0|36,9) und den Punkt auf der Kurve für die Stelle 3. Wie viel ist der Steigungswinkel der Gerade durch diese Punkte? Was bedeutet die Steigung in diesem Sachzusammenhang? Kreuzen Sie die auf die Funktion im Intervall ]0; 1] zutreffende Aussage an! (1 von 5 Möglichkeiten) r(x)<0 und r'(x)>0 r$''$(x)<0 und r'(x)>0 r(x)>0 und r'(x)<0 r(x)>0 und r$''$(x)>0 r$''$(x)<0 und r'(x)<0

2. 
   

   Das nebenstehende Diagramm zeigt die Temperatur eines Patienten mit Fieber in °C in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden. Die Funktion T lautet: $T(t)=-{\tfrac {1}{8}}t^{3}+{\tfrac {5}{6}}t^{2}+36{,}9$ Wo steigt die Temperatur am stärksten an? Anders ausgedrückt: An welchem Zeitpunkt gibt es die maximale Temperaturzunahme? Dokumentieren Sie auch mit Worten, wie das berechnet werden kann! Skizzieren Sie im Diagramm diejenige Tangente des Funktionsgraphen, deren Ordinatenabschnitt 40 beträgt! Die Temperatur ist extrem gefährlich so lang sie über 42° war. Geben Sie dieses Zeitintervall und seine Dauer an! Was soll T'(0,7) in diesem Sachzusammenhang bedeuten? Zu einem gewissen Zeitpunkt $t_{1}\$ gilt $T''(t_{1})=0.\$Was bedeutet $t_{1}\$ in diesem Zusammenhang? Bei einem anderen Patient wird die Temperatur vom nebenstehenden Diagramm angegeben. Welcher ist der kleinste Grad, den diese Polynomfunktion haben kann? Wie viele Extrempunkte kann letztere Funktion höchstens haben und warum? Skizzieren Sie die Ableitung beider nebenstehender Diagramme! Bei einer weiteren Patientin wird die Temperatur in °C in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden von der Funktion $T(t)=-{\tfrac {1}{8}}t^{3}+{\tfrac {3}{4}}t^{2}+a$ angegeben. Die Temperatur nach 2,5 Stunden ist 34,5°C. Wie viel ist der Koeffizient a?

3. 
   

   Bei einer Demo wird ein Demonstrant mit einer Plastikkugel von 3 m Entfernung geschossen. Die Flugbahn der Kugel wird durch folgende Gleichung beschrieben: $H(a)=-{\tfrac {1}{8}}a^{2}+{\tfrac {3}{4}}a+{\tfrac {3}{7}},\$wobei H die Höhe der Kugel und a ihre horizontale Abstand von der Waffe, beides in m, ist. Was bedeutet die Zahl ${\tfrac {3}{7}}$ in diesem Zusammenhang Auf welche Höhe wird die Person in 3 m Entfernung getroffen? Nach welchem Abstand erreicht die Kugel ihre maximale Höhe? Wie viel ist der Schusswinkel? Überprüfen Sie nachweislich, ob der Sehwinkel zwischen Schusspunkt und Punkt mit der maximale Höhe mehr als 20° ist! Nehmen wir an, dass die Momentane Änderungsrate der Höhe in Bezug auf die Zeit durch die Funktion f im nebenstehenden Diagramm angegeben wird.Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an! (1 von 6 Möglichkeiten) Jede Stammfunktion von f hat an der Stelle $x_{2}$ eine Nullstelle. Die Stelle $x_{1}$ ist eine Nullstelle jeder Stammfunktion Die Stelle $x_{1}$ ist ein Minimum jeder Stammfunktion Die Stelle $x_{2}$ ist ein Minimum jeder Stammfunktion Die Stelle $x_{2}$ ist eine Lösung jeder Stammfunktion Die Stelle $x_{1}$ ist ein Wendepunkt jeder Stammfunktion Der Prozentsatz der Kugeln, die in der Demo benutzt werden, in Abhängigkeit von der Zeit, wird durch folgende Gleichung beschrieben: $P(t)=100\cdot e^{-b\ t}-10$ Jemand hat für die Ableitung dieser Funktion folgende Formel angegeben: $P'(t)=100\cdot e^{-b\ t}$ Welche Ableitungsregel wurde hier vermutlich verletzt und wie lautet die tatsächliche Ableitung? Interpretieren Sie die Zahl 10 in dieser Formel und in diesem Sachzusammenhang. Nehmen wir an, dass im nebenstehenden Diagramm die Anzahl der Personen im Raum in Abhängigkeit von der Zeit in h gezeigt wird. Zeichnen Sie ins leere Diagramm die Änderungsrate der Anzahl der Personen!

4. 
   

   Das nebenstehende Diagramm zeigt den Höhenpegel einer Flüssigkeit in einem  Reagenzglas in cm in Abhängigkeit von der Temperatur in °C. Die Funktion T lautet: $H(T)=T^{3}+T^{2}-T+1$ Was soll der Teilterm "+1" in dieser Gleichung darstellen? Bei welchem Pegel beträgt die Temperatur 1°C Wie hoch ist die Temperatur, wenn der Pegel 1 cm ist? Wie kann der maximale Pegel im Intervall $[-1{,}5;0]\$berechnet werden? Wie viel ist dieser? Wie viele Extrempunkte kann diese Funktion höchstens haben und warum? Was wird die momentane Änderungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt mathematisch und physikalisch in diesem Zusammenhang angeben? Was soll in diesem Zusammenhang das Ergebnis der Berechnung ${\tfrac {f(1)-f(-1)}{2}}$ bedeuten? Zeichnen Sie im Diagramm den Punkt (0|1) und den Punkt auf der Kurve für die Stelle 1. Wie viel ist der Steigungswinkel der Gerade durch diese Punkte? Was bedeutet die Steigung in diesem Sachzusammenhang? Kreuzen Sie die auf die Funktion im Intervall $[-2;-1,5]\$zutreffende Aussage an! (1 von 5 Möglichkeiten) r(x)<0 und r'(x)>0 r$''$(x)<0 und r'(x)>0 r(x)>0 und r'(x)<0 r(x)>0 und r$''$(x)>0 r$''$(x)<0 und r'(x)<0

5. 
   

   Das nebenstehende Diagramm zeigt die Geschwindigkeit des Windes in einem Forschungsgerät in m/s in Abhängigkeit von der Zeit in s. Als positiv wird die Richtung nach rechts definiert. Die Funktion g lautet: $g(t)=t^{3}+t^{2}-t+1$ Wo steigt die Geschwindigkeit am stärksten ab? Anders ausgedrückt: An welchem Zeitpunkt gibt es die kleinste Bescleunigung? Dokumentieren Sie auch mit Worten, wie das berechnet werden kann! Skizzieren Sie im Diagramm diejenige Tangente des Funktionsgraphen im Intervall [0;1], deren Ordinatenabschnitt 0,5 beträgt! Die ideale Geschwindigkeit ist zwischen 0 und 1 m/s. Geben Sie diese()s Zeitintervall(e) und die entsprechende Dauer an! Was soll g'(0,7) in diesem Sachzusammenhang bedeuten? Zu einem gewissen Zeitpunkt $t_{1}\$ gilt $g''(t_{1})=0.\$Was bedeutet $t_{1}\$ in diesem Zusammenhang? Bei einem anderen Gerät wird die Geschwindigkeit vom nebenstehenden Diagramm angegeben. Welcher ist der kleinste Grad, den diese Polynomfunktion haben kann? Wie viele Extrempunkte kann letztere Funktion höchstens haben und warum? Skizzieren Sie die Ableitung beider nebenstehender Diagramme! Bei einem weiteren Gerät wird die Geschwindigkeit von der Funktion $T(t)=t^{3}-t^{2}+a$ angegeben. Die Geschwindigkeit nach 3 s ist 2,5 m/s. Wie viel ist der Koeffizient a?

6. 
   

   Die Änderung des Wertes w einer Aktie in der Börse in € in Abhängigkeit von der Anzahl a der Kündigungen der Arbeiter einer Firma wird von folgender Funktion angegeben: $w(a)=-{\tfrac {1}{8}}a^{2}+50a+17.$ Was bedeutet die Zahl 17 in diesem Zusammenhang Wann hat die Aktie 100 und wann 1000 € Wert? Wann erreicht die Aktie ihren maximalen Wert und wie viel ist dieser? Wie viel wird der Winkel zwischen Tangente der Kurve im Diagramm und y-Achse sein, wenn 80 Personen gekündigt werden? Sei g die Strecke zwischen Anfangspunkt und Punkt $(200|y_{1}).\$Das Verhältnis der Einheiten der Achsen sei 1:1. Überprüfen Sie nachweislich, ob der Winkel zwischen g und x_achse mehr als 60° ist! Nehmen wir an, dass die Momentane Änderungsrate der Höhe in Bezug auf die Zeit durch die Funktion f im nebenstehenden Diagramm angegeben wird.Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an! (1 von 6 Möglichkeiten) Jede Stammfunktion von f hat an der Stelle $x_{2}$ eine Nullstelle. Die Stelle $x_{1}$ ist eine Nullstelle jeder Stammfunktion Die Stelle $x_{2}$ ist eine Lösung jeder Stammfunktion Die Stelle $x_{2}$ ist ein Minimum jeder Stammfunktion Der Extrempunkt der Funktion f ist ein Wendepunkt ihrer Stammfunktion Die Stelle $x_{1}$ ist ein Wendepunkt jeder Stammfunktion Der Wert einer anderen Aktie in einer Sitzung als Prozentsatz des Wertes der vorherigen Sitzung in Abhängigkeit von der Zeit wird durch folgende Funktion beschrieben: $w(t)=90-10\,t\ln(t+1)$ Jemand hat für die Ableitung dieser Funktion folgende Formel angegeben: $w'(t)=1-10\,\ln(t+1)$ Welche Ableitungsregel wurde hier verletzt und wie lautet die tatsächliche Ableitung? Interpretieren Sie die Zahl 90 in dieser Formel und in diesem Sachzusammenhang. Nehmen wir an, dass im nebenstehenden Diagramm der Wert einer Aktie in € in Abhängigkeit von der Zeit in h gezeigt wird. Zeichnen Sie ins leere Diagramm wie schnell sich der Wert ändert in Abhängigkeit von der Zeit!