MathemaTriX ⋅ Kurvendiskussion Umkehraufgaben

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ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 bis 3 der Matura Aufgaben probieren,
sie sind unterschiedlich!

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	uf-

Theorie in Kürze (mit Geogebra)

F ist der y-Achsenabschnitt, die Nullstelle −1,8 sehen wir (knapp) ganz links. Die Steigung der Funktion f (rot) am Punkt C bzw. an der Stelle C_x ist so viel, wie die Steigung der Tangente t (blau), also −0,9 oder auch so viel wie tan(α). Bei A und B (extrema) ist f´(x)=0

GeoGebra: Löse mit geschwungenen Klammern (und Beistriche zwischen den Gleichungen)!

y in Abhängigkeit von x, y in Bezug auf x, je x desto y, bei Figuren oder so: y die Höhe und x der horizontale Abstand usw.

Bei Kurvendiskussion Umkehraufgaben ist:
- entweder ein Punkt gegeben:
  → Funktion selber benutzen
- oder die Steigung (1. Ableitung):
  → 1. Ableitung benutzen

Punkt (x|y)→ x und y gegeben
- Punkt (x|y)
- Wert der Funktion → (y) an der Stelle → (x)
- Nullstelle a (a ist x, y ist Null)
- y-Achsenabschnitt b → da, wo die y-Achse abgeschnitten wird, also der Abschnitt b ist y und x wird Null sein. Auch Anfangswert (der Funktion) genannt (nicht mit dem Wert "am Anfang" in Prozentrechnung verwechseln, der ist 100%).

Steigung (Wenn 1 Punkt gegeben ist) :
- 1. Ableitung = f´(x) (in Geogebra Funktion schreiben und das Symbol f´ benutzen)
- "momentane Änderungsrate an der Stelle a ist c" oder
- f´(a)=c:
  →f´(x) wird durch c ersetzt und x wird durch a (die Stelle a oder was im Klammer bei f´(a) steht) ersetzt
- Winkel (f´(x) durch tan(Winkel) ersetzen)
- Tangente (die Tangente t ist eine Gerade: t(x)= k⋅x+d. f´(x) durch die Steigung k dieser Gerade ersetzen)
- knickfrei (gleiche Steigung)
- Extrempunkt (oder Extremstelle) (und alles was „extrem“ bedeutet, also höchste, tiefste, kleinste usw.)
  → Steigung Null 0: f´(x) durch 0 ersetzen

Steigung (Wenn 2 Punkte gegeben sind) :
- mittlere Änderungsrate
- Steigung einer Gerade
- Differenzenquotient
- $k={\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ (k oder whatever Buchstabe für die Steigung der Gerade da steht)

Intervall → x-Achse (wenn nichts anderes gesagt wird)

Maturaaufgaben

Temperatur (°C):	$4$	$5$	$1$
Höhe (dm):	$\ \ 3\ \$	$\ \ 3{,}4\ \$	$\ \ 0\ \$

In einem Diagramm wird die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe in einem kleineren Kühlschrank gezeigt. Aus dem Diagramm werden die Werte in der nebenstehenden Tabelle entnommen. Die entsprechende Polynomfunktion 3. Grades hat an der Stelle 3,4 einen Extrempunkt.

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

Wie lautet die Funktion?

Antwort

$\ \left|{\begin{array}{l}\circ \quad 4=a\cdot 3^{3}+b\cdot 3^{2}+c\cdot 3+d\\\circ \quad 5=a\cdot 3{,}4^{3}+b\cdot 3{,}4^{2}+c\cdot 3{,}4+d\\\circ \quad 1=a\cdot 0^{3}+b\cdot 0^{2}+c\cdot 0+d\\\circ \quad 0=3\cdot a\cdot 3{,}4^{2}+2\cdot b\cdot 3{,}4+c\end{array}}\right.\$
$\ a\approx -1{,}968\quad b\approx 13{,}0\quad c\approx -20{,}4\quad d=1\$
$\ s(x)=-x^{2}+12\ x-32\$

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

f

Wie lautet die Funktion?

Antwort

$\ \left|{\begin{array}{l}\circ \quad 3=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c\\\circ \quad 0=a\cdot 5^{2}+b\cdot 5+c\\\circ \quad 0=2\cdot a\cdot 2+b\end{array}}\right.\$
$\ a=-0{,}6\quad b=2{,}4\quad c=3\$
$\ f(x)=-{\tfrac {2}{27}}x^{3}+{\tfrac {4}{9}}\ x^{2}-{\tfrac {7}{18}}x+{\tfrac {16}{27}}\$

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

f

s_{1}=4{,}8\ m,\

s_{2}=1{,}6\ m,\

h=1{,}35\ m.

Wie lautet die Funktion?

Antwort

$\ \left|{\begin{array}{l}\circ \quad 0=a\cdot 0^{4}+b\cdot 0^{3}+c\cdot 0^{2}+d\cdot 0+e\\\circ \quad 0=a\cdot 155^{4}+b\cdot 155^{3}+c\cdot 155^{2}+d\cdot 155+e\\\circ \quad 9=a\cdot 77{,}5^{4}+b\cdot 77{,}5^{3}+c\cdot 77{,}5^{2}+d\cdot 77{,}5+e\\\circ \quad 7{,}5=a\cdot 39^{4}+b\cdot 39^{3}+c\cdot 39^{2}+d\cdot 39+e\\\circ \quad 0=4\cdot a\cdot 77{,}5^{3}+3\cdot b\cdot 77{,}5^{2}+2\cdot c\cdot 77{,}5+d\end{array}}\right.\$
$\ a\approx 1{,}0753\cdot 10^{-7}\quad b\approx 0{,}00003\quad c\approx -0{,}00473\quad d\approx 0{,}3324\quad e=0\$
$\ s(x)={\tfrac {15}{64}}x^{2}-1{,}35\$

Temperatur (°C):	$4$	$5$	$1$
Höhe (dm):	$\ \ 3\ \$	$\ \ 3{,}4\ \$	$\ \ 0\ \$

In einem Diagramm wird die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe in einem kleineren Kühlschrank als quadratische Funktion dargestellt. Aus dem Diagramm werden die Werte in der nebenstehenden Tabelle entnommen.

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

r'\left({\tfrac {2{\sqrt {3}}+6}{3}}\right)=1.

Wie lautet die Funktion?

Antwort

$\ \left|{\begin{array}{l}\circ \quad 4=a\cdot 3^{2}+b\cdot 3+c\\\circ \quad 1=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c\\\circ \quad 5=a\cdot 3{,}4^{2}+b\cdot 3{,}4+c\end{array}}\right.\$
$\ a={\tfrac {15}{34}}\quad b=-{\tfrac {11}{34}}\quad c=1\$
$\ r(x)=-{\tfrac {1}{8}}x^{3}+{\tfrac {3}{4}}\ x^{2}\$

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

h

Wie lautet die Funktion?

Antwort

$\ \left|{\begin{array}{l}\circ \quad 36{,}8=a\cdot 0^{3}+b\cdot 0^{2}+c\cdot 0+d\\\circ \quad 41=a\cdot 3^{3}+b\cdot 3^{2}+c\cdot 3+d\\\circ \quad 0=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c\\\circ \quad 0=3\cdot a\cdot 4{,}4^{2}+2\cdot b\cdot 4{,}4+c\end{array}}\right.\$
$\ a=-{\tfrac {7}{54}}\approx 0{,}130\quad b={\tfrac {77}{90}}=0{,}8{\dot {5}}\quad c\approx 0\quad d=36{,}8\$
$\ h(x)\approx -0{,}4125x^{2}+5{,}45\ x-14{,}85\$

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

Wie lautet die Funktion?

Antwort

^[1]
$\ \left|{\begin{array}{l}\circ \quad 0=a\cdot 3000^{2}+b\cdot 3000+c\\\circ \quad 900=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c\\\circ \quad 0=2\cdot a\cdot 900+b\end{array}}\right.\$
^[2]
$\ a=-0{,}00025\quad b=0{,}45\quad c=900\$
$\ s(x)=-{\tfrac {25}{14}}x^{4}+{\tfrac {16}{7}}x^{2}-0{,}5\$

↑ eine von zwei Möglichkeiten
↑ Antwort für diese Variante

Alte Aufgaben

(3|4)

(3{,}4|5)

-1

Antwort

a\approx -1{,}66,\ b\approx 13{,}13,\ c\approx -28{,}39,\ d\approx -0{,}85,\ e\approx 42{,}33

f(x)\approx -1{,}66\ x^{4}+13{,}13\ x^{3}-28{,}39\ x^{2}-0{,}85\ x+42{,}33

(3|2)

(1{,}4|3)

6

-0{,}3

Antwort

a\approx -0{,}0083\ b\approx 0{,}85,\ c\approx -5{,}39,\ d\approx 9{,}94,\ e\approx -2{,}26,\ f\approx -1{,}72

f(x)\approx -0{,}0083\ x^{5}+0{,}85\ x^{4}-5{,}39\ x^{3}+9{,}94\ x^{2}-2{,}26\ x-1{,}72

(3|2)

-{\tfrac {1}{3}}

{\tfrac {4}{3}}

Antwort

a=-{\tfrac {1}{18}},\ b={\tfrac {2}{9}},\ c={\tfrac {1}{6}},\ d=1

f(x)=-{\tfrac {1}{18}}x^{3}\ +{\tfrac {2}{9}}\ x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\ x+1

(-2|1)

-{\tfrac {5}{3}}

(2|2)

Antwort

a\approx 0{,}0047,\ b=-0{,}03125,\ c=-0{,}0375,\ d=0{,}375,\ e=1{,}575

f(x)\approx 0{,}0047\ x^{4}-0{,}03125\ x^{3}-0{,}0375\ x^{2}+0{,}375\ x+1{,}575

(-2|1)

g(x)={\tfrac {x}{2}}-{\sqrt {3}}.

5

7.

Antwort

a\approx 0{,}159,\ b\approx -0{,}251,\ c\approx -2{,}41,\ d\approx -1{,}545

f(x)\approx 0{,}159\ x^{3}-0{,}251\ x^{2}-2{,}41\ x-1{,}545

(0|0)

(3{,}4|-5)

1

Antwort

a\approx 0{,}14,\ b\approx -0{,}64,\ c=0,\ d\approx 0{,}50,\ e=0

f(x)\approx 0{,}14\ x^{4}-0{,}64\ x^{3}+0{,}50\ x

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[1] von zwei Möglichkeiten

[2] Antwort für diese Variante

[1]

[2]