MathemaTriX ⋅ Kurvendiskussion Umkehraufgaben

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ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 bis 3 der Matura Aufgaben probieren,
sie sind unterschiedlich!
Theorie in Kürze (mit Geogebra)


F ist der y-Achsenabschnitt, die Nullstelle −1,8 sehen wir (knapp) ganz links. Die Steigung der Funktion f (rot) am Punkt C bzw. an der Stelle Cx ist so viel, wie die Steigung der Tangente t (blau), also −0,9 oder auch so viel wie tan(α). Bei A und B (extrema) ist f´(x)=0

GeoGebra: Löse mit geschwungenen Klammern (und Beistriche zwischen den Gleichungen)!

  • y in Abhängigkeit von x, y in Bezug auf x, je x desto y, bei Figuren oder so: y die Höhe und x der horizontale Abstand usw.
  • Bei Kurvendiskussion Umkehraufgaben ist:
    • entweder ein Punkt gegeben:
      → Funktion selber benutzen
    • oder die Steigung (1. Ableitung):
      → 1. Ableitung benutzen


  • Punkt (x|y)→ x und y gegeben
    • Punkt (x|y)
    • Wert der Funktion → (y) an der Stelle → (x)
    • Nullstelle a (a ist x, y ist Null)
    • y-Achsenabschnitt b → da, wo die y-Achse abgeschnitten wird, also der Abschnitt b ist y und x wird Null sein. Auch Anfangswert (der Funktion) genannt (nicht mit dem Wert "am Anfang" in Prozentrechnung verwechseln, der ist 100%).
  • Steigung (Wenn 1 Punkt gegeben ist) :
    • 1. Ableitung = f´(x) (in Geogebra Funktion schreiben und das Symbol f´ benutzen)
    • "momentane Änderungsrate an der Stelle a ist c" oder
    • f´(a)=c:
      →f´(x) wird durch c ersetzt und x wird durch a (die Stelle a oder was im Klammer bei f´(a) steht) ersetzt
    • Winkel (f´(x) durch tan(Winkel) ersetzen)
    • Tangente (die Tangente t ist eine Gerade: t(x)= k⋅x+d. f´(x) durch die Steigung k dieser Gerade ersetzen)
    • knickfrei (gleiche Steigung)
    • Extrempunkt (oder Extremstelle) (und alles was „extrem“ bedeutet, also höchste, tiefste, kleinste usw.)
      → Steigung Null 0: f´(x) durch 0 ersetzen
  • Steigung (Wenn 2 Punkte gegeben sind) :
    • mittlere Änderungsrate
    • Steigung einer Gerade
    • Differenzenquotient
    • (k oder whatever Buchstabe für die Steigung der Gerade da steht)
  • Intervall → x-Achse (wenn nichts anderes gesagt wird)

Maturaaufgaben[Bearbeiten]


    1. Temperatur (°C):
      Höhe (dm):

      In einem Diagramm wird die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe in einem kleineren Kühlschrank gezeigt. Aus dem Diagramm werden die Werte in der nebenstehenden Tabelle entnommen. Die entsprechende Polynomfunktion 3. Grades hat an der Stelle 3,4 einen Extrempunkt.

    2. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
    3. Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

    4. Integral01c.svg
      Die nebenan im Intervall [6;8] als s abgebildete Funktion 2. Grades führt am Punkt (6|4) knickfrei zur entsprechenden Ebene und hat die Nullstelle 8.
    5. Wie lautet die Funktion?
    Antwort Antwort




    1. Eine quadratische Funktion schneidet die vertikale Achse bei 3, hat ihren größten Wert an der Stelle 2 und die Nullstelle 5.
    2. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
    3. Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

    4. KurvenUmkehr4.svg
      Die Form einer Rutsche wird vom Bild nebenan angenähert. Die Funktion 3. Grades f führt knickfrei zur Gerade g am Punkt (2|1). Der untere Rand der Rutsche befindet sich am Punkt (0,5|0,5), wo sie eine horizontale Tangente hat.
    5. Wie lautet die Funktion?
    Antwort Antwort




    1. Die Form einer Brücke wird durch eine Funktion 4. Grades angegeben. Der höchste Punkt der Brücke befindet sich 9 Meter über dem Boden und in einer horizontale Entfernung von 77,5 m vom linken Rand der Brücke. In 39 m horizontaler Entfernung ist die Höhe 7,5m. Linker und rechter Rand sind auf dem Boden und ihre Entfernung ist 0,155 km.
    2. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
    3. Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

    4. Differential03.svg
      Die Form eines Abflusskanalbetts wird von der nebenstehenden Figur angegeben und wird von der Polynomfunktion 2. Grades f dargestellt. Es gilt:
    5. Wie lautet die Funktion?
    Antwort Antwort




    1. Temperatur (°C):
      Höhe (dm):

      In einem Diagramm wird die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe in einem kleineren Kühlschrank als quadratische Funktion dargestellt. Aus dem Diagramm werden die Werte in der nebenstehenden Tabelle entnommen.

    2. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
    3. Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

    4. Integral01c.svg
      Die nebenan als r abgebildete Funktion 3. Grades führt am Punkt (0|0) knickfrei zur entsprechenden Ebene. Den Wert an der Stelle 4 kann man im Diagramm ablesen. Es gilt dazu:
    5. Wie lautet die Funktion?
    Antwort Antwort




    1. Die Temperatur bei einer "heiß-baden-Therapie" wird durch eine kubische Funktion angegeben. Am Anfang ist die Temperatur 36,8°C. An dieser Stelle hat die Funktion auch einen lokalen Tiefpunkt. Nach 4,4 Stunden erreicht die Funktion ihren höchsten Wert. Nach 3 Stunden ist die Temperatur 41°C.
    2. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
    3. Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

    4. KurvenUmkehr4.svg
      Die Form einer Rutsche wird vom Bild nebenan angenähert. Die Funktion 2. Grades h führt knickfrei zur Gerade g am Punkt (6|3). An der Stelle 6,5 bildet die Tangente zur Funktion einen Winkel von 5° zur Horizontalen (siehe Bild).
    5. Wie lautet die Funktion?
    Antwort Antwort




    1. Die Form eines Berges wird annähernd durch eine Funktion 2. Grades angegeben. Der Gipfel des Berges befindet sich 900 Meter oberhalb der Ebene und in einer horizontale Entfernung von 3 km vom westlichen Rand des Berges.
    2. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
    3. Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

    4. Differential05.svg
      Die Form eines Abflusskanalbetts wird von der nebenstehenden Polynomfunktion 4. Grades im Intervall [-1;1] angegeben. Im Diagramm kann man die Nullstellen ablesen als auch den y-Achsenabschnitt, wo sich auch einen Tiefpunkt befindet. A ist ein Höhepunkt der Funktion.
    5. Wie lautet die Funktion?
    Antwort Antwort
    1. [1]
    2. [2]

        1. eine von zwei Möglichkeiten
        2. Antwort für diese Variante

Alte Aufgaben[Bearbeiten]


    1. Eine Polynomfunktion 4. Grades hat den
      Wendepunkt , den Extrempunkt
      und die Nullstelle . Wie
      lautet die Funktion?
    Antwort Antwort


    1. Eine Polynomfunktion 5. Grades hat den
      Sattelpunkt . Die Steigung ihrer
      Tagende am Punkt ist , eine
      ihrer Nullstelleen ist . Wie lautet
      die Funktion?
    Antwort Antwort


    1. Eine Polynomfunktion 3. Grades hat am Punkt ein lokales Maximum, ein lokales Minimum an der Stelle und ein Wendepunkt an der Stelle . Der y-Achsenabschnitt der Funktion ist 1. Wie lautet die Funktion?
    Antwort Antwort


    1. Der Tangens zwischen Tangente einer Polynomfunktion
      4. Grades und x-Achse am Punkt ist .
      Die Funktion hat den Sattelpunkt .
      Wie lautet die Funktion?
    Antwort Antwort


    1. Der Tangens zwischen Tangente einer Polynomfunktion 3. Grades und x-Achse am Punkt ist so viel, wie die Steigung der Funktion An der Nullstelle hat die Funktion die Steigung Wie lautet die Funktion?
    Antwort Antwort


    1. Eine Polynomfunktion 4. Grades hat den Wendepunkt , den Extrempunkt und die Nullstelle . Wie lautet die Funktion?
    Antwort Antwort

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