MathemaTriX ⋅ Mengenlehre

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ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 und 2 probieren,
sie sind unterschiedlich!
Theorie in Kürze (mit Geogebra)


VennDiagramThreeSetsGeneral.svg
Vereinigung: Alles zusammen! Ausdruck: z.B. das eine oder das andere
Schnitt: was gleichzeitig zu beiden gehört (unter dem Becher)! Ausdruck: Gleichzeitig - sowohl als auch
Differenz: das Erste ohne das, was dann auch zu zweite gehört! Ausdruck: Ohne

Bei Venn-Diagramm-Aufbau Aufgaben: immer mit der kleinsten Teilmenge anfangen, die angegeben oder zu berechnen ist. Das soll in der Regel entweder die Anzahl der Objekte, die keine der angegebenen Eigenschaften haben, sein, oder die Anzahl der Objekte die alle angegebenen Eigenschaften haben.

Aufgaben

    1. Im Diagramm sind mit S1 die Mathematik-StudentInnen gemeint, die Analysis gewählt haben, mit S2 diejenige, die lineare Algebra gewählt haben und mit S3 diejenige, die Zahlentheorie gewählt haben. Die Anzahl der Personen, die durch die weiteren Buchstaben dargestellt werden ist: A=6, B=9, C=13, D=3, E=20, F=33 und G=1.
      VennDiagramThreeSetsGeneral.svg
      1. Wie viele Personen haben alle drei Fächer gewählt? Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3. Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G.
      2. Wie viele Personen haben Analysis oder Zahlentheorie gewählt, ohne lineare Algebra gewählt zu haben? Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3. Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G.
      3. Was soll in diesem Zusammenhang bedeuten? Wie viele Personen sind es? Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G und kennzeichnen Sie diese Menge im Diagramm!
      4. Was soll in diesem Zusammenhang bedeuten? Wie viele Personen sind es? Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G und kennzeichnen Sie diese Menge im Diagramm!
      5. Wie wurden Sie die Menge D mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3 schreiben?


      6. Algebra1 ins fig025 evi.svg
        In einer Klasse mit 19 Personen wählen 11 die Partei G, 7 stammen aus dem Ort T und 4 haben keine der beiden Eigenschaften.
      7. Tragen Sie in Diagramm die richtigen Anzahlen!
      8. Wie viel Prozent der Personen haben beide Eigenschaften?
    Antwort Antwort
    1. also 13 Personen.
    2. also 16 Personen.
    3. Das sind die Personen, die zumindest eines der beiden Fächer Analysis und lineare Algebra aber doch nicht Zahlentheorie gewählt haben, also . Das sind 54 Personen.
    4. Das sind die Personen, die gleichzeitig Analysis und Zahlentheorie aber nicht lineare Algebra gewählt haben, also die Menge . Das sind 9 Personen.
    5. Venn 05Y.svg
      a=8, b=3
      c=4, d=4
    6. ca. 15,79%

    1. In der Tabelle sind die Gewohnheiten der Personen einer Gruppe dargestellt, die im Rahmen einer Befragung über Umweltbewusstsein zufällig gewählt wurden. Insgesamt wurden 327 Personen gefragt.
      Eigenschaft Personen
      Anzahl
      U: weniger als 100 g Fleisch (jeglicher Sorte) essen 78
      V: weniger als 1 mal im Jahr fliegen 80
      W: weniger als 1000 km pro Jahr fahren 62
      Eigenschaften Personen
      Anzahl
      sowohl weniger als 100 g Fleisch (jeglicher Sorte) essen als auch weniger als 1 mal im Jahr fliegen 43
      sowohl weniger als 100 g Fleisch (jeglicher Sorte) essen als auch weniger als 1000 km pro Jahr fahren 27
      sowohl weniger als 1 mal im Jahr fliegen als auch weniger als 1000 km pro Jahr fahren 0
      keine Person erweist alle drei Eigenschaften 0
    2. Erstellen Sie das entsprechende Venn-Diagramm (Mengen-Diagramm)!
    3. Wie viele Personen haben genau keine bzw. genau eine der drei Eigenschaften?


    4. Venn-AA 2up.png
      Die Personen, die viel rauchen, sind im Diagramm mit P dargestellt, die Personen, die viel Fett und Fleisch essen, mit M und die Personen, die kaum trainieren, mit S.
    5. Geben Sie mithilfe der Mengensymbolik die farbige Fläche (Blau und Grün und Gelb) an!
    6. Beschreiben Sie dann mit Worten diese Menge in diesem Zusammenhang!
    7. Zeichnen Sie im Diagramm die Menge der Personen, die sowohl kaum trainieren als auch viel rauchen, aber nicht viel Fett und Fleisch essen!
    8. Zeichnen Sie im Diagramm die folgende Menge:
    9. Beschreiben Sie dann mit Worten diese Menge in diesem Zusammenhang!
    Antwort Antwort
    1. 3 set Euler diagram general purposes empty.svg
      A=8, B=43
      C=37, D=27
      E=35, F=0
      U=S1, V=S2, W=S3
    2. keine:177, eine:80
    3. Personen die kaum trainieren und viel rauchen aber nicht so viel Fett oder Fleisch essen
    4. Venn-AA 2up.pngDie Grüne Fläche
    5. Venn-AE 1or3up.pngDie gelbe Fläche
    6. Die Personen die viel Fett oder Fleisch essen ohne die Personen, die viel rauchen oder kaum trainieren

    1. Im Diagramm sind mit S1 die WählerInnen gemeint, die die lila Partei mögen, mit S2 diejenige, die die blaue Partei mögen und mit S3 diejenige, die die Grüne Partei mögen. Die Anzahl der Personen, die durch die weiteren Buchstaben dargestellt werden ist: A=20, B=13, C=34, D=7, E=20, F=33.
      3 set Euler diagram general purposes empty.svg
      1. Wie viele Personen mögen alle drei Parteien? Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3. Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F.
      2. Wie viele Personen mögen die lila Partei, ohne die blaue zu mögen? Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3. Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F.
      3. Was soll in diesem Zusammenhang bedeuten? Wie viele Personen sind es? Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F und kennzeichnen Sie diese Menge im Diagramm!
      4. Was soll in diesem Zusammenhang bedeuten? Wie viele Personen sind es? Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F und kennzeichnen Sie diese Menge im Diagramm!
      5. Wie wurden Sie die Menge D mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3 schreiben?


      6. Algebra1 ins fig025 evi.svg
        In einer Kommune mit 17 Personen spielen G=5 Personen Musik, T=7 malen und 8 haben keine der beiden Eigenschaften.
      7. Tragen Sie in Diagramm die richtigen Anzahlen!
      8. Wie viel Prozent der gesamten Personen malen ohne Musik zu spielen?
    Antwort Antwort
    1. oder jede zufällige Schnittmenge der Mengen A bis F, also keine Person.
    2. also 27 Personen.
    3. Das sind die Personen, die zumindest eines der beiden Parteien Lila oder Blau mögen aber die Grüne Partei doch nicht, also . Das sind 67 Personen.
    4. Das sind die Personen, die sowohl die grüne und als auch die lila Partei mögen, allerdings ohne die blaue Partei zu mögen, also die Menge . Das sind 7 Personen.
    5. Venn 05Y.svg
      a=2, b=3
      c=4, d=8
    6. ca. 23,53%

    1. In der Tabelle sind die Gewohnheiten der Personen einer Gruppe dargestellt, die im Rahmen einer Befragung über Umweltbewusstsein zufällig gewählt wurden.
      Eigenschaft Personen
      Anzahl
      U: weniger als 100 g Fleisch (jeglicher Sorte) essen 68
      V: weniger als 1 mal im Jahr fliegen 80
      W: weniger als 1000 km pro Jahr fahren 42
      Eigenschaften Personen
      Anzahl
      sowohl weniger als 100 g Fleisch (jeglicher Sorte) essen als auch weniger als 1 mal im Jahr fliegen 43
      sowohl weniger als 100 g Fleisch (jeglicher Sorte) essen als auch weniger als 1000 km pro Jahr fahren 27
      sowohl weniger als 1 mal im Jahr fliegen als auch weniger als 1000 km pro Jahr fahren 25
      alle drei Eigenschaften 24
    2. Erstellen Sie das entsprechende Venn-Diagramm (Mengen-Diagramm)!
    3. Wie viele Personen haben genau eine der drei Eigenschaften?


    4. Venn-AA 4up.png
      Die Personen, die viel rauchen, sind im Diagramm mit P dargestellt, die Personen, die viel Fett und Fleisch essen, mit S und die Personen, die kaum trainieren, mit M.
    5. Geben Sie mithilfe der Mengensymbolik die farbige Fläche (Blau und Gelb) an!
    6. Beschreiben Sie dann mit Worten diese Menge in diesem Zusammenhang!
    7. Zeichnen Sie im Diagramm die Menge der Personen, die kaum trainieren und/oder viel rauchen, aber nicht viel Fett und Fleisch essen!
    8. Zeichnen Sie im Diagramm die folgende Menge:
    9. Beschreiben Sie dann mit Worten diese Menge in diesem Zusammenhang!
    Antwort Antwort
    1. VennDiagramThreeSetsGeneral.svg
      A=14, B=1
      C=24, D=3
      E=36, F=19, G=22
      U=S1, V=S2, W=S3
    2. 72
    3. Personen die kaum trainieren und viel rauchen ohne die Personen die sowohl kaum trainieren als auch so viel Fett oder Fleisch essen
    4. Science driehoek.pngEntsprechend rot, gelb und grün
    5. Venn-AA 2up.pngDie Grüne Fläche
    6. Die Personen die viel Fett oder Fleisch essen und viel rauchen aber doch trainieren

    1. Im Diagramm sind mit S1 die Mathematik-StudentInnen gemeint, die Analysis gewählt haben, mit S2 diejenige, die lineare Algebra gewählt haben und mit S3 diejenige, die Zahlentheorie gewählt haben. Die Anzahl der Personen, die durch die weiteren Buchstaben dargestellt werden ist: A=61, B=29, C=11, D=53.
      3 set Euler diagram general purposes B.svg
      1. Wie viele Personen haben alle drei Fächer gewählt? Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3. Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D.
      2. Wie viele Personen haben Analysis oder Zahlentheorie gewählt, ohne lineare Algebra gewählt zu haben? Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3. Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D.
      3. Was soll in diesem Zusammenhang bedeuten? Wie viele Personen sind es? Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D und kennzeichnen Sie diese Menge im Diagramm!
      4. Was soll in diesem Zusammenhang bedeuten? Wie viele Personen sind es? Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D und kennzeichnen Sie diese Menge im Diagramm!
      5. Wie wurden Sie die Menge D mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3 schreiben?
      6. Stellt folgendes Bild den gleichen Zusammenhang dar? Wenn ja, wie entsprechen die Symbolen zueinander? Wenn nein, was sollte geändert werden?
      7. Holomorphiegebiet.GIF
    Antwort Antwort
    1. also 29 Personen.
    2. also 72 Personen.
    3. Das sind die Personen, die zumindest eines der beiden Fächer Analysis und lineare Algebra gewählt haben allerdings ohne Zahlentheorie gewählt zu haben, also ( ist im Bild ohne gemeint). Das sind 125 Personen.
    4. Das sind die Personen, die gleichzeitig Analysis und Zahlentheorie aber nicht lineare Algebra gewählt haben. Das ist die leere Menge: , also keine Person.
    5. ja, z.B. :

    1. Im Diagramm sind die Personen einer Gruppe dargestellt, die im Rahmen einer Befragung über Umweltbewusstsein zufällig gewählt wurden. Mit S1 sind die Personen dargestellt, die täglich mehr als 100 g Fleisch (jeglicher Sorte) essen, mit S2 die Personen, die jährlich mehr als 1 mal oder mehr als 1000 km fliegen und mit S3 die Personen, die mit dem Auto zur Arbeit fahren. Die Anzahl der Personen, die durch die weiteren Buchstaben dargestellt werden ist: A=6, B=9, C=21, D=3, E=20, F=33 und G=2.
      VennDiagramThreeSetsGeneral.svg
      1. Wie viele Personen haben gleichzeitig alle drei Eigenschaften? Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3. Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G.
      2. Wie viele Personen essen viel Fleisch und/oder fahren mit dem Auto zur Arbeit, fliegen jedoch jährlich höchstens 1 mal und weniger als 1000 km? Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3. Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G.
      3. Was soll in diesem Zusammenhang bedeuten? Wie viele Personen sind es? Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G und kennzeichnen Sie diese Menge im Diagramm!
      4. Was soll in diesem Zusammenhang bedeuten? Wie viele Personen sind es? Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G und kennzeichnen Sie diese Menge im Diagramm!
      5. Wie wurden Sie die Menge D mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3 schreiben?
      6. Insgesamt wurden 106 Personen gefragt. Wie viele weisen keine der oben genannten Eigenschaften auf?
    Antwort Antwort
    1. also 21 Personen.
    2. also 17 Personen.
    3. Das sind die Personen, die zumindest eine der beiden Eigenschaften "Fleischesser" oder "oft fliegen" aufweisen aber doch nicht mit dem Auto zur Arbeit fahren, also . Das sind 55 Personen.
    4. Das sind die Personen, die gleichzeitig die Eigenschaften "Fleischesser" und "zur Arbeit mit dem Auto" aufweisen aber nicht so oft fliegen, also die Menge . Das sind 9 Personen.
    5. 12 Personen

Weitere Bilder:

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Euler and Venn diagrams
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