MathemaTriX ⋅ Mittelwerte Argumentationsaufgaben

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Aufgaben

Wie viel bekommt jede Familie? Wie viel ist der Median und der Modus in diesem Fall?
Vergleichen Sie Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?
- Wird die Verteilung durch diese Maßnahme gleichmäßiger? Wird sie dadurch gerechter?
- Es wird oft erwähnt, dass China im Jahr 2018 den größten CO₂ Ausstoß hat. Was hat unseres Beispiel mit diesem Vergleich von China mit anderen Staaten zu tun? Was sollte man eigentlich vergleichen?

Antwort

$D\approx 57{,}86\ kg\qquad Med=54\ kg\qquad Mod=65\ kg$
Verteilung möglicherweise gleichmäßig
Was die Familien betrifft wird die Verteilung eindeutig gleichmäßig, sogar gleich verteilt. Was die einzelnen Personen betrifft, ist es nicht unbedingt so. Es kann sein, dass eine Familie viel mehr Personen hat als eine andere. Dann bekommt jede Person viel weniger.
Beim CO₂ Ausstoß soll der Ausstoß pro Kopf verglichen werden. Manche Bedingungen, wie das Wetter, sollten auch berücksichtigt werden.

Berechnen Sie die Mittelwerte!
Vergleichen Sie Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?
Ist ein Schüler über- bzw untergewichtig?

Antwort

$D=58{,}75\ kg\qquad Med=58{,}5\ kg\qquad Mod=45\ und\ 65\ kg$
Verteilung möglicherweise gleichmäßig
Um die Frage zu beantworten brauchen wir auch die Größe des jeweiligen Schülers.

Berechnen Sie die Mittelwerte.
Vergleichen Sie Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?
Welchen Einfluss haben negative Werte auf den Vergleich der Mittelwerte?

Antwort

$D=11{,}{\dot {7}}\qquad Med=5{,}5\qquad Mod=2\ und\ 7$
Verteilung eher ungleichmäßig (?)
Die Mischung aus positiven und negativen Werten kann sogar bei einer sehr stark ungleichmäßigen Verteilung den Unterschied zwischen Durchschnitt und Median sogar sehr stark schwächen. Der Vergleich verliert dadurch seine Aussagekraft.

Studie der EU

Das Modell DE, das die Verteilung des Vermögens in Deutschland ähnelt:

16

10

1

300

10

1

10

Das Modell GR, das die Verteilung des Vermögens in Griechenland ähnelt:

11

9

1

100

1

14

11

Berechnen Sie jeweils die Mittelwerte.
Vergleichen Sie jeweils Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?
- Sind die Verteilungen gleich- oder ungleichmäßig? Was ist ihrer Unterschied?
- Es wurde damals oft in Zeitungen geschrieben, dass der "deutsche Steuerzahler" den Griechen "Geld gibt", obwohl Griechen "reicher sind". Welcher Lagerparameter wird in dieser Aussage verglichen? Ist dieser Vergleich wirklich aussagekräftig? Wo ist das Geld wirklich gelangen also wem hat tatsächlich der "Steuerzahler" das Geld gegeben? (Dazu kann man insbesondere dieses Unterkapitel in Wikipedia lesen)

Antwort

DE: $D=36\qquad Med=10\qquad Mod=1\ \&\ 10\quad$
GR: $D=16\qquad Med=10\qquad Mod=1$
DE: Verteilung ungleichmäßig
GR: Verteilung möglicherweise gleichmäßig
Beide Verteilungen sind ziemlich ungleichmäßig, allerdings ist der Median in Griechenland nicht so weit vom Durchschnitt. In den Zeitungen wurde der Median verglichen (der ist in GR größer), was völlig daneben ist (der Durchschnitt in DE ist viel höher als in GR). "Griechen" sind nicht "reicher" als "Deutsche", sondern das Vermögen in Deutschland wird ziemlich ungleichmäßiger als in Griechenland verteilt.
Das (allerdings geliehene) Geld gelangt zu den Geldgebern in Deutschland. Das führt zu einer Verstärkung der Ungleichmäßigkeit in DE (und allerdings auch in GR).

1

0

1

3

0

1

101

0

3

0

1

3

0

3

0

und

3

0

1

101

0

Berechnen Sie jeweils die Mittelwerte.
Vergleichen Sie jeweils Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?
Welcher Unterschied zwischen den beiden Verteilungen ist entscheidend?

Antwort

$D=6\ {\text{bzw.}}\ 21\qquad Med=1\qquad Mod=1$
Verteilung ungleichmäßig
Obwohl in beiden Verteilungen alle Werte 1 sind und nur eine ca. 100, ist der Unterschied zwischen Median und Durchschnitt nur in der Verteilung mit der kleinen Anzahl groß. Die Ungleichmäßigkeit der Verteilung wird mit steigender Anzahl der Werte weniger sichtbar, zumindest was den Vergleich von Median und Durchschnitt betrifft.

Berechnen Sie jeweils die Mittelwerte.
Vergleichen Sie Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?
Welchen Einfluss haben negative Werte auf den Vergleich der Mittelwerte?

Antwort

$D=2{,}875\qquad Med=3{,}5\qquad Mod=2\ und\ 5$
Verteilung eher ungleichmäßig (?)
Die Mischung aus positiven und negativen Werten kann sogar bei einer sehr stark ungleichmäßigen Verteilung den Unterschied zwischen Durchschnitt und Median sogar sehr stark schwächen. Der Vergleich verliert dadurch seine Aussagekraft.

Studie der EU

Das Modell AT, das die Verteilung des Vermögens in Österreich ähnelt:

10

8

10

2

300

10

2

10

Das Modell PO, das die Verteilung des Vermögens in Portugal ähnelt:

100

11

1

11

1

11

12

1

Berechnen Sie jeweils die Mittelwerte.
Vergleichen Sie jeweils Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?
- Sind die Verteilungen gleich- oder ungleichmäßig? Was ist ihrer Unterschied?
- Es wurde oft in Zeitungen geschrieben, dass der "österreichische Steuerzahler" den Portugiesen "Geld gibt", obwohl Portugiesen "reicher sind". Welcher Lagerparameter wird in dieser Aussage verglichen? Ist dieser Vergleich wirklich aussagekräftig? Wo ist das Geld wirklich gelangen also wem hat tatsächlich der "Steuerzahler" das Geld gegeben? (Dazu kann man insbesondere dieses Unterkapitel in Wikipedia lesen)

Antwort

AT: $D=35{,}6\qquad Med=9\qquad Mod=2\ \&\ 10\quad$
PO: $D=16\qquad Med=11\qquad Mod=1\&\ 11$
AT: Verteilung ungleichmäßig
PO: Verteilung möglicherweise gleichmäßig
Beide Verteilungen sind ziemlich ungleichmäßig, allerdings ist der Median in Portugal nicht so weit vom Durchschnitt. In den Zeitungen wurde der Median verglichen (der ist in PO größer), was völlig daneben ist (der Durchschnitt in AT ist viel höher als in PO). "Portugiesen" sind nicht "reicher" als "Österreicher", sondern das Vermögen in Österreich wird ziemlich ungleichmäßiger als in Protugal verteilt.
Das (allerdings geliehene) Geld gelangt zu den Geldgebern in Österreich. Das führt zu einer Verstärkung der Ungleichmäßigkeit in AT (und allerdings auch in PO).

0

202

0

6

2

6

2

6

2

6

2

6

0

und

2

0

202

6

Berechnen Sie jeweils die Mittelwerte.
Vergleichen Sie jeweils Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?
Welcher Unterschied zwischen den beiden Verteilungen ist entscheidend?

Antwort

$D=12\ {\text{bzw.}}\ 42\qquad Med=2\qquad Mod=2$
Verteilung ungleichmäßig
Obwohl in beiden Verteilungen alle Werte 0,5 sind und nur eine ca. 55, ist der Unterschied zwischen Median und Durchschnitt nur in der Verteilung mit der kleinen Anzahl groß. Die Ungleichmäßigkeit der Verteilung wird mit steigender Anzahl der Werte weniger sichtbar, zumindest was den Vergleich von Median und Durchschnitt betrifft.

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