MathemaTriX ⋅ Normalverteilung

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 ACHTUNG! 
Zumindest Aufgabe 1 und 2 vom ersten
und 1 vom 2. und 3. Aufgabentyp probieren,
sie sind unterschiedlich!

	lle	Gaben
	uf-

Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Erwartungswert und Standardabweichung

1. 
   

   Nehmen wir an, dass das Todesalter der Menschen Normalverteilt mit $\mu =80{,}2\ {\text{Jahre}},\ \sigma =7{,}7\ {\text{Jahre}}$ ist. Ein Todesalter oberhalb von 90 Monate mehr und unterhalb von 90 Monate weniger als die Lebenserwartung gilt als "später" bzw. "früher" Tod. Welcher Anteil der Todesfälle ist weder spät noch früh? Welches Alter wird von höchstens 75% der Menschen erreicht? Füllen Sie die fehlenden Werte in den Kästchen aus! Welche Eigenschaften hat der Punkt E? Zeichnen Sie eine Verteilung mit kleinerem $\mu$ und kleinerem $\sigma$ Veranschaulichen Sie in der Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass das Todesalter unterhalb von 89 Jahren liegt! Im nebenstehenden Bild endet die markierte Fläche an der Stelle 4,7. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert höchstens 4,7 ist! Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert zwischen 3,3 und 4,7 liegt! Skizzieren in einem Koordinatensystem eine Verteilung mit dem Erwartungswert 5,5 und die Standardabweichung 0,8!

2. 
   

   Die Größe der männlichen Giraffen ist Normalverteilt mit $\mu =5{,}20\ m,\ \sigma =0{,}25\ m$. Welcher Anteil der Giraffen ist größer als $5{,}62\ m$? In welchem symmetrischen Intervall liegen 92% der Fälle? Füllen Sie die fehlenden Werte in den Kästchen aus! Welche Eigenschaften hat der Punkt C? Beschriften Sie die x-Achse! Zeichnen Sie eine Verteilung mit größerem $\mu$ und kleinerem $\sigma$ Veranschaulichen Sie in der Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass eine Giraffe kleiner als 4,8 m ist! Im nebenstehenden Diagramm ist der Erwartungswert der "spitzeren" Funktion 2,5 und die Standardabweichung 0,6. Wie viel ist der Erwartungswert der anderen Funktion? Die Standardabweichung dieser anderen Funktion ist 0,8. Beschriften Sie die Stellen, die eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen!

3. 
   

   Das Gewicht der Blätter eines Baums ist Normalverteilt mit $\mu =86{,}2\ mg,\ \sigma =3{,}4\ mg$. Welcher Anteil der Blätter wiegt zwischen 81 und 85 mg? 15% der Blätter wiegen zumindest...? Füllen Sie die fehlenden Werte in den Kästchen aus! Welche Eigenschaften hat der Punkt E? Zeichnen Sie eine Verteilung mit gleichem $\mu$ und größerem $\sigma$ Veranschaulichen Sie in der Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass ein Blatt mehr 89 mg wiegt! Im nebenstehenden Bild endet die markierte Fläche an der Stelle 4,7. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert mindestens 4,7 ist! Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert mindestens 3,3 ist! Skizzieren in einem Koordinatensystem eine Verteilung mit dem Erwartungswert 25,5 und die Standardabweichung 3,8!

4. 
   

   Der  Bluthochdruck ist einer der „vier großen Gesundheitsrisikofaktoren“. Blutdruck ist Normalverteilt und bei gesunden Erwachsenen gilt: $\mu =119{,}2\ mm\,Hg,\ \sigma =7{,}4\ mm\,Hg.\$Laut WHO-Definition hat eine Person Bluthochdruck ab einen Wert von $140\ mm\,Hg.\$ Welcher Anteil der gesunden Menschen wäre nach dieser Definition als krank eingestuft? In welchem symmetrischen Intervall liegen 30% der Fälle? Füllen Sie die fehlenden Werte in den Kästchen aus! Welche Eigenschaften hat der Punkt C? Beschriften Sie die x-Achse! Zeichnen Sie eine Verteilung mit größerem $\mu$ und größerem $\sigma$ Veranschaulichen Sie in der Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass der Blutdruck kleiner als 114,8 mmHg ist! Im nebenstehenden Diagramm ist der Erwartungswert der "spitzeren" Funktion 12,5 und die Standardabweichung 3. Wie viel ist der Erwartungswert der anderen Funktion? Die Standardabweichung dieser anderen Funktion ist 4. Beschriften Sie die Stellen, die eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen!

Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Grenzwerten

1. 
   

   Eine Bäckerei produziert Baguettes. Auf der Verpackung steht 450 g. Die Standardabweichung der Masse bei der Produktion ist 12 g. Wie viel muss der Erwartungswert sein, damit weniger als 3,5 % der Produktion unterhalb von 450 g bleibt? Wie viel muss die Standardabweichung (also die "Genauigkeit" der Produktionsmaschine) sein, damit 96 % aller Baguettes mehr als 450 g sind, wenn der Erwartungswert 483 g ist?

2. 
   

   Eine Fabrik produziert Schrauben. Sie sollten ein Moment bis 880 N ⋅ m aushalten können. Die Standardabweichung dieses Grenzwertes bei der Produktion ist 31 N ⋅ m. Wie viel muss der Erwartungswert sein, damit weniger als 0,1 % der Produktion unterhalb von 880 N ⋅ m bleibt? Wie viel muss die Standardabweichung (also die "Genauigkeit" der Produktionsmaschine) sein, damit 99,7 % aller Schrauben ein Moment von 880 N ⋅ m aushalten können, wenn der Erwartungswert 935 N ⋅ m ist?

3. 
   

   Eine Bäckerei produziert Baguettes. Auf der Verpackung steht 250 g. Die Standardabweichung der Masse bei der Produktion ist 8 g. Wie viel muss der Erwartungswert sein, damit weniger als 25 % der Produktion unterhalb von 250 g bleibt? Wie viel muss die Standardabweichung (also die "Genauigkeit" der Produktionsmaschine) sein, damit 99 % aller Baguettes mehr als 250 g sind, wenn der Erwartungswert 259 g ist?

4. 
   

   Der Hämoglobinwert (ähnlich wie Hämatokrit) ist normalverteilt. 20% der Frauen werden von einer Blutspende ausgeschlossen, weil dieser Wert unterhalb von 125 g/l liegt. Wie viel hätte die Standardabweichung sein sollen, wenn der Erwartungswert 133 g/l wäre? 85% der Männer haben einen Wert über 135 g/l und dürfen nach diesem Kriterium Blut spenden. Wie viel soll der Erwartungswert sein, wenn wir annehmen, dass die Standardabweichung 4,7 g/l ist? Zwischen welchen (symmetrischen) Werten liegt dann 95% der Männer?

Normalverteilung und Funktionen

1. 
   

   Bei einer Normalverteilung hat man festgestellt, dass die Standardabweichung vom Erwartungswert linear abhängig ist: $\textstyle \sigma ={\frac {\mu }{200}}+8$. Wie viel müssen Standardabweichung und Erwartungswert sein, damit 99 % der Werte oberhalb vom Wert 445 bleibt?

2. 
   

   Bei einer Normalverteilung hat man festgestellt, dass die Standardabweichung vom Erwartungswert linear abhängig ist: $\textstyle \sigma ={\frac {\mu }{54}}+2$. Wie viel müssen Standardabweichung und Erwartungswert sein, damit 23 % der Werte oberhalb vom Wert 87 bleibt?

3. 
   

   Bei einer Normalverteilung hat man festgestellt, dass die Standardabweichung vom Erwartungswert Logarithmus abhängig ist: $\textstyle \sigma =2\ln {\mu }$. Wie viel müssen Standardabweichung und Erwartungswert sein, damit 99,5 % der Werte oberhalb vom Wert 69 bleibt?

4. 
   

   Bei einer Normalverteilung hat man festgestellt, dass Standardabweichung und Erwartungswert voneinander abhängig sind: $\textstyle \sigma ={\mu }^{0{,}4}$. Wie viel müssen Standardabweichung und Erwartungswert sein, damit 95 % der Werte oberhalb vom Wert 69 bleibt?