MathemaTriX ⋅ Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Erwartungswert und Standardabweichung

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 ACHTUNG! 
Zumindest Aufgabe 1 und 2 probieren,
sie sind unterschiedlich!

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Theorie in Kürze (mit Geogebra)

• μ oder E(x)→ Erwartungswert (Durchschnitt, „wie viel ist im Mittel erwartet“, arithmetisches Mittel)
• σ→ Standardabweichung

Merkmale:
Verteilung einer Eigenschaft, die unendlich viele Werte annehmen kann (z.B. Gewicht, Länge, Zeit usw.)

μ oder E(x) (Erwartungswert) ist der Wert auf der x-Achse genau in der „Mitte“ („Spitze“) des Diagramms.
Wenn f´´=0 oder das Wort „Wendepunkt“ an einem Punkt steht, dass ist der x-Wert 1 mal die Standardabweichung σ mehr als der Erwartungswert μ (rechts von μ, μ+σ) bzw. 1 mal weniger (links von μ, μ−σ).

In Geogebra kann man μ und σ eingeben!

Bei größerem μ verschiebt sich das Diagramm nach rechts, bei kleinerem nach links

Bei anderem σ wird das Diagramm „spitzer“ (kleineres σ) bzw. „flächer“ (größeres σ)

Beispiel, wenn sich σ und μ ändern

Man kann Grenzwerte a und b angeben:
P( a ≤ X ≤ b) = 0,...

Man kann auch eine von drei „Klammermöglichkeiten“ wählen: ] [] [

Aufpassen, welcher Bereich dann im Diagramm markiert ist!:

84,13% 15,87% Mit der Klammer links: ] → P( X ≤ a) = p hab ich eine Obergrenze a mit der Wahrscheinlichkeit p (linker Bereich markiert, egal ob groß oder klein)

15,87% 84,13% Mit der Klammer rechts: span style="border:solid 2px;padding:2px">[ → P( b ≤ X ) = p hab ich eine Untergrenze b mit der Wahrscheinlichkeit p (rechter Bereich markiert, egal ob groß oder klein)

68,27% 38,75% 50% P( a ≤ X ≤ b) = 0,... Nach dem „=“ steht die Wahrscheinlichkeit, also eine Zahl zwischen 0 und 1 (Prozent: zwei mal Komma veschieben). Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Merkmal sich zwischen den zwei Grenzwerten a und b (x-Werte) steht (oder unterhalb oder oberhalb der Grenze bei den Klammer ] bzw. [ → achte auf den markierten Bereich!)

Mit [] kann man nicht den Prozentsatz p (mit Komma verschoben) eingeben, dafür braucht man entweder die Klammer [ oder die ]

Wenn ein symmetrisches Bereich in Frage kommt: Prozentsatz aus 100% subtrahieren und der Rest in zwei teilen. Die Grenzwerte für das Ergebnis mit den Klammern ] bzw. [ finden.
BEISPIEL

68,3% symmetrisches Interval:
100%-68,3%= 31,7%
31,7%:2=15,85%
linke Klammer ] wählen, p=0.1585 angeben und unteren Grenzwert markieren
rechte Klammer [ wählen, p=0.1585 angeben und oberen Grenzwert markieren
Somit haben wir die beiden Grenzwerte.

Die Wahrscheinlichkeit kann auch durch ein Bruch angegeben sein!

Aufgaben

1. 
   

   Nehmen wir an, dass das Todesalter der Menschen Normalverteilt mit $\mu =80{,}2\ {\text{Jahre}},\ \sigma =7{,}7\ {\text{Jahre}}$ ist. Ein Todesalter oberhalb von 90 Monate mehr und unterhalb von 90 Monate weniger als die Lebenserwartung gilt als "später" bzw. "früher" Tod. Welcher Anteil der Todesfälle ist weder spät noch früh? Welches Alter wird von höchstens 75% der Menschen erreicht? Füllen Sie die fehlenden Werte in den Kästchen aus! Welche Eigenschaften hat der Punkt E? Zeichnen Sie eine Verteilung mit kleinerem $\mu$ und kleinerem $\sigma$ Veranschaulichen Sie in der Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass das Todesalter unterhalb von 89 Jahren liegt! Im nebenstehenden Bild endet die markierte Fläche an der Stelle 4,7. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert höchstens 4,7 ist! Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert zwischen 3,3 und 4,7 liegt! Skizzieren in einem Koordinatensystem eine Verteilung mit dem Erwartungswert 5,5 und die Standardabweichung 0,8!

2. 
   

   Die Größe der männlichen Giraffen ist Normalverteilt mit $\mu =5{,}20\ m,\ \sigma =0{,}25\ m$. Welcher Anteil der Giraffen ist größer als $5{,}62\ m$? In welchem symmetrischen Intervall liegen 92% der Fälle? Füllen Sie die fehlenden Werte in den Kästchen aus! Welche Eigenschaften hat der Punkt C? Beschriften Sie die x-Achse! Zeichnen Sie eine Verteilung mit größerem $\mu$ und kleinerem $\sigma$ Veranschaulichen Sie in der Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass eine Giraffe kleiner als 4,8 m ist! Im nebenstehenden Diagramm ist der Erwartungswert der "spitzeren" Funktion 2,5 und die Standardabweichung 0,6. Wie viel ist der Erwartungswert der anderen Funktion? Die Standardabweichung dieser anderen Funktion ist 0,8. Beschriften Sie die Stellen, die eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen!

3. 
   

   Das Gewicht der Blätter eines Baums ist Normalverteilt mit $\mu =86{,}2\ mg,\ \sigma =3{,}4\ mg$. Welcher Anteil der Blätter wiegt zwischen 81 und 85 mg? 15% der Blätter wiegen zumindest...? Füllen Sie die fehlenden Werte in den Kästchen aus! Welche Eigenschaften hat der Punkt E? Zeichnen Sie eine Verteilung mit gleichem $\mu$ und größerem $\sigma$ Veranschaulichen Sie in der Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass ein Blatt mehr 89 mg wiegt! Im nebenstehenden Bild endet die markierte Fläche an der Stelle 4,7. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert mindestens 4,7 ist! Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert mindestens 3,3 ist! Skizzieren in einem Koordinatensystem eine Verteilung mit dem Erwartungswert 25,5 und die Standardabweichung 3,8!

4. 
   

   Der  Bluthochdruck ist einer der „vier großen Gesundheitsrisikofaktoren“. Blutdruck ist Normalverteilt und bei gesunden Erwachsenen gilt: $\mu =119{,}2\ mm\,Hg,\ \sigma =7{,}4\ mm\,Hg.\$Laut WHO-Definition hat eine Person Bluthochdruck ab einen Wert von $140\ mm\,Hg.\$ Welcher Anteil der gesunden Menschen wäre nach dieser Definition als krank eingestuft? In welchem symmetrischen Intervall liegen 30% der Fälle? Füllen Sie die fehlenden Werte in den Kästchen aus! Welche Eigenschaften hat der Punkt C? Beschriften Sie die x-Achse! Zeichnen Sie eine Verteilung mit größerem $\mu$ und größerem $\sigma$ Veranschaulichen Sie in der Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass der Blutdruck kleiner als 114,8 mmHg ist! Im nebenstehenden Diagramm ist der Erwartungswert der "spitzeren" Funktion 12,5 und die Standardabweichung 3. Wie viel ist der Erwartungswert der anderen Funktion? Die Standardabweichung dieser anderen Funktion ist 4. Beschriften Sie die Stellen, die eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen!