MathemaTriX ⋅ Prozentrechnung vertiefend

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 ACHTUNG! 
Zumindest Aufgabe 1 und 2 probieren,
sie sind unterschiedlich!

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Theorie in Kürze (mit Geogebra)

• Der Wert am Anfang (Grundwert) ist 100%. Das ist der Wert, mit dem verglichen wird ("als", Genitiv oder "von"). Bei zeitlicher Reihenfolge ist das der erste Wert (außer wenn der zweite Wert der Vergleichswert ist).
• Prozentberechnungen gehen notfalls (und am Einfachsten) mit Hilfe der Schlussrechnung. Am besten allerdings mit der Umrechnung arbeiten (siehe weiter: "Komma verschieben")
• Prozent ist eine Zahl. Prozent bedeutet "Hundertstel".
• Daher ist 100%=1
• Also: von % zur Zahl Komma zwei mal links, von Zahl zu % zwei mal rechts verschieben.
• Bei Wachstum addiert man den "Wachstumsprozent" zu 100%, bei Abnahme wird subtrahiert.

Beispiele: 0,02%=0,0002; 230=23000%; 230%=2,3 also 130% mehr als der Anfangswert; 0,8=80% also 20% weniger als der Anfangswert.

Bei einer Reihenfolge von Prozentänderungen ist das Ergebnis nicht die Summe der Prozentänderungen: Der Grundwert ist nicht der Gleiche!

Beispiel: Eine Pflanze wird 20% größer und dann noch 50% größer. Das Endergebnis ist nicht 70% größer!
Der Grundwert ist nicht der Gleiche!
Um die tatsächliche Gesamtänderung zu berechnen gehen wir so vor:
$100\%+20\%=120\%=1{,}2.\$
$100\%+50\%=150\%=1{,}5.\$
$1{,}2\cdot 1{,}5=1{,}8=180\%.\$
Also 80% Wachstum. Klarer wird es mit konkreten Zahlen.Relative Änderung

• y in Abhängigkeit von x, y in Bezug auf x, je x desto y
• Punkt (x|y), also erst x und dann y.
• Absolute Änderung: $\Delta y$ also nur die y-Änderung $(\Delta y=y_{2}-y_{1})$ für die zwei angegebenen x-Werte. Also die x-Werte sind angegeben, die y-Werte muss man subtrahieren!
• Relative Änderung: ${\tfrac {\Delta y}{y_{1}}}={\tfrac {y_{2}-y_{1}}{y_{1}}}$ keine Einheiten (kann man mit Kommaverschieben als Prozentsatz angeben). Die Differenz der y-Werte durch den ersten y-Wert.
• Mittlere Änderungsrate, auch Differenzenquotient.: ${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}={\tfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ Einheit: Einheiten der y-Achse pro eine Einheit der x-Achse. → Steigung der Gerade, die zwei Punkte verbindet.

Der Unterschied zwischen Änderungsrate und relativer Änderung ist daher der Nenner des Bruches.

• Ist er einer der beiden Werte des Zählers, dann geht es (fast immer) um eine relative Änderung.
• Ist er eine Differenz von Werten (der x-Achse), dann geht es um eine mittlere Änderungsrate (Steigung).

Die absolute Änderung hingegen ist (fast immer) kein Bruch sondern einfach eine Differenz von zwei (in der Regel y-) Werten.

Ausdrücke

• Absolute Änderung: Der/Die/Das (Begriff, was auf der y-Achse steht) ist zwischen (was $x_{1}$ und $x_{2}$ ist) mehr/weniger geworden
• Relative Änderung: Der/Die/Das (Begriff, was auf der y-Achse steht) ist zwischen (was $x_{1}$ und $x_{2}$ ist) um so viel Prozent mehr/weniger geworden
• Mittlere Änderungsrate: Der/Die/Das (Begriff, was auf der y-Achse steht) ist zwischen (was $x_{1}$ und $x_{2}$ ist) durchschnittlich um (y-Einheiten pro EINE x-Einheit → Steigung) mehr/weniger geworden

Aufgaben

1. 
   

   Der Prozentsatz des übrig gebliebenen Mathematik-Wissens nach dem Schulabschluss in Abhängigkeit von der Zeit in Wochen wird durch folgende Gleichung angegeben: $P(t)=7+93\cdot 0{,}702^{t}$ Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Wissen nach 23,8 Tagen abgenommen hat! Nach einem anderen Modell ist das Wissen am 8. Tag zwei fünftel des Wissens am 1. Tag nach dem Abschluss. Wie viel Prozent mehr ist das Wissen am 1. Tag als das Wissen am 8. Tag? Die Anzahl der Mathematik-Studierenden in einer Universität wurde in der folgenden Tabelle erfasst: Jahr 1994 1995 1996 1997 Studierende 235 256 301 392 Interpretieren das Ergebnis der Berechnung ${\tfrac {301-235}{235}}$ im gegebenen Sachzusammenhang! Im Jahr 1994 war das Studium 4-jährig, im Jahr 1997 5-jährig. Wie viel war der prozentuelle Anstieg der durchschnittlichen Anzahl der Studenten pro Studiumjahrgang zwischen 1994 und 1997? In einer Zeitung steht, dass in den ersten 2 Wochen das Wissen um 30% abnimmt und zwischen 3. und 5. Woche um 20%. Daher nimmt das Wissen um 50% in diesen 5 Wochen ab. Zeigen Sie, dass das Mathematik-Wissen des Verfassers des Artikels schon stark abgenommen hat. Genauer: Erklären Sie, warum diese Aussage nicht gilt und berechnen Sie, um wie viel Prozent das Wissen tatsächlich abgenommen hat! In einer Mathematik-Prüfung haben 14 Personen 12 Punkte gehabt, 4 Personen 9 Punkte, 3 Personen 16 Punkte und 8 Personen 7 Punkte. Um die Prüfung zu bestehen waren zumindest 11 Punkte notwendig. Wie viel Prozent der Personen haben die Prüfung bestanden? In einer 12 km lange Autobahnstrecke mit 120 km/h Tempolimit wurde dieses um 5% erhöht. Eine Person dachte, dass sie dadurch 5% weniger Zeit brauchen würde (wenn sie immer am Limit fahren wurde). Zeigen Sie, dass diese Annahme nicht stimmt!

2. 
   

   Der prozentuelle Anstieg der Todesfälle in einem Staat, die an das Rauchen zuzuschreiben sind, innerhalb der jeweiligen Jahrzehntewurde in der folgenden Tabelle erfasst: Jahr 1951-60 1961-70 1971-80 1981-90 1991-2000 2001-2010 2011-2020 Anstieg 15,4% 17,7% 12,8% 15,4% 44,0% 23,2% 11,3% Es gab 30459 an das Rauchen zuzuschreibende Todesfälle am Ende der Jahrzehnte zwischen 2001-2010. Das war 48,5% der gesamten Todesfälle. Wie viel waren die an das Rauchen zuzuschreibenden Todesfälle am Anfang der Jahrzehnte zwischen 1981-1990? Wie viele waren die gesamten Todesfälle am Ende der Jahrzehnte zwischen 2001-2010? Zwei siebtel der Todesfälle am Ende der Jahrzehnte zwischen 2001-2010, die an das Rauchen zuzuschreiben sind, sind an Krebs gestorben. Wie viel Prozent der gesamten Todesfälle war das? Erklären Sie warum die absolute Änderung der Todesfälle, die an das Rauchen zuzuschreiben sind, innerhalb der Jahrzehnte zwischen 1951-60 bzw. zwischen 1981-90 nicht gleich ist, obwohl der prozentuelle Anstieg gleich war! In einer Studie wurde ein quadratischer Zusammenhang zwischen der Anzahl der täglichen Zigaretten und der Anzahl der Todesfälle festgestellt. Die Gruppe A in der Studie hat 25 Zigaretten am Tag geraucht, die Gruppe B 27. Jemand behauptet, dass die Todesfälle der Gruppe B 8% mehr als die Todesfälle der Gruppe A sind. Begründen Sie, warum diese Aussage falsch ist! Der Gewinn in € für die Gesellschaft, in Bezug auf die Menschen, die mit dem Rauchen aufhören wird durch die folgende Funktion angegeben: $G(a)=G_{0}\cdot 1{,}0008^{a}$ Was bedeutet in diesem Zusammenhang die Lösung der Gleichung: $2=1{,}0008^{a}?$ Beschreiben Sie, was im gegebenen Sachzusammenhang durch die Rechnung ${\tfrac {G(303)-G(241)}{G(241)}}$ ermittelt wird!

3. 
   

   Die Bevölkerung in einer Provinzstadt in Tausenden Menschen in Abhängigkeit von der Zeit in Jahren wird durch folgende Gleichung angenähert: $B(t)=43+69\cdot 1{,}702^{-t}$ Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Bevölkerung nach 57,9 Monaten abgenommen hat! In einer anderen Stadt ist die Bevölkerung am 18. Jahr sieben viertel der Bevölkerung am 1. Jahr. Wie viel Prozent weniger ist die Bevölkerung im 1. Jahr als die Bevölkerung im 18. Jahr? Die Bevölkerung in einer Stadt wurde in der folgenden Tabelle erfasst: Jahr 2000 2001 2002 2003 Tausende Einwohner 203 187 179 178 Interpretieren das Ergebnis der Berechnung ${\tfrac {187-178}{187}}$ im gegebenen Sachzusammenhang! Die Stadt wurde in Bezirke mit der gleichen Bevölkerung geteilt. Im Jahr 2003 wurden die Bezirke der Stadt von 7 auf 6 reduziert. Wie viel war der prozentuelle Anstieg der Einwohner pro Bezirk zwischen 2000 und 2003? In einer Zeitung steht, dass in den ersten 2 Jahren die Bevölkerung einer Stadt um 10% zunimmt und in den folgenden 4 Jahren noch 5% dazu. Daher nimmt die Bevölkerung insgesamt um 15% in diesen 6 Jahren zu. Erklären Sie, warum diese Aussage nicht gilt und berechnen Sie, um wie viel Prozent die Bevölkerung tatsächlich zugenommen hat! In einer Veranstaltung in einer Stadt gab es 34 15-jährige Personen, 103 19-jährige, 207 20-jährige und 14 16-jährige. Die Veranstaltung war allerdings nur ab einem Alter von 18 Jahren erlaubt. Wie viel Prozent der Personen waren illegal? In einer 5 km lange Straße der Stadt wurde das Tempolimit von 50 auf 60 km/h erhöht. Eine Person, die diese Strecke fahren wollte, dachte, dass sie dadurch 20% weniger Zeit brauchen würde (wenn sie immer am Limit fahren wurde). Zeigen Sie, dass diese Annahme nicht stimmt!

4. 
   

   Der prozentuelle Anstieg der durch Atomkraft produzierten Energiemenge in einem Staat innerhalb des jeweiligen Jahres wurde in der folgenden Tabelle erfasst: Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Anstieg 15,4% 18,3% 18,3% 33,9% 144,0% 53,2% 38,4% Die produzierte Menge am Ende des Jahres 2000 war 877,8 MWh. Das war 65,8% der gesamten produzierten Menge. Wie viel war die durch Atomkraft produzierte Energiemenge am Anfang des Jahres 1996? Wie viel MWh war die gesamte Energiemenge am Ende des Jahres 2000? Ein elftel der Atomenergiemenge am Ende des Jahres 2000 wurde für die vollständige Stromversorgung einer Metallindustrie benutzt. Welcher Prozentsatz der gesamten Energiemenge des Jahres 2000 war das? Erklären Sie warum die absolute Änderung der durch Atomkraft produzierten Energiemenge innerhalb des Jahres 1995 bzw. 1996 nicht gleich ist, obwohl der prozentuelle Anstieg gleich war! In einem Physik-Buch liest man: "Hätte ein Atomkern 1 dm Durchmesser, so wäre der Durchmesser des gesamten Atoms 1 km. Das Volumen des Atomkerns macht dann 0,01 % des Gesamtvolumens eines Atoms aus." Begründen Sie, warum diese Aussage falsch ist! Ein (riesiges) Problem der Atomkraft ist der radioaktiver Müll, der für Hunderte bis Tausende Jahre gefährlich bleibt. Der Zerfall des Caesium-Isotops 137Cs wird durch die folgende Funktion angegeben: $M(t)=M_{0}\cdot 0{,}97733^{t}\$(M: Menge der Atome, t Zeit in Jahren) Was bedeutet in diesem Zusammenhang die Lösung der Gleichung: $0{,}5=0{,}97733^{t}?$ Beschreiben Sie, was im gegebenen Sachzusammenhang durch die Rechnung ${\tfrac {M(4)-M(5)}{M(4)}}$ ermittelt wird!