MathemaTriX ⋅ Trigonometrie

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Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 von jedem Aufgabentyp probieren,
sie sind unterschiedlich!

	lle	Gaben
	uf-

Definition von Sinus Kosinus und Tangens

	$\$
	$\ \$

Antwort

\sin \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {3}{5}}\quad \cos \alpha ={\frac {c}{b}}={\frac {4}{5}}\quad \tan \alpha ={\frac {a}{c}}={\frac {3}{4}}

Antwort

\sin \gamma ={\frac {c}{f}}={\frac {8}{17}}\quad \cos \gamma ={\frac {g}{f}}={\frac {15}{17}}\quad \tan \gamma ={\frac {c}{g}}={\frac {8}{15}}

{\sqrt {3}}\

Antwort

\sin \theta ={\frac {y}{r}}={\frac {1}{2}}\quad \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\quad \tan \theta ={\frac {y}{x}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}

Antwort

\sin \varepsilon ={\frac {e}{m}}={\frac {1}{2}}\quad \cos \varepsilon ={\frac {f}{m}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\quad \tan \varepsilon ={\frac {e}{f}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}

Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt

	$\$
	$\$

\quad \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1

Antwort

a^{2}+b^{2}=c^{2}\ \rightarrow \ c^{2}\ \sin ^{2}\alpha +c^{2}\cos ^{2}\alpha =c^{2}\ \rightarrow \

c^{2}\ (\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )=c^{2}\ \rightarrow \ \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1

\quad \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}

Antwort

\textstyle \tan x={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}\quad {\overset {erweitern}{=}}\quad {\frac {\quad {\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\quad }{\quad {\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}\quad }}={\frac {\sin x}{\cos x}}

\quad \tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-1

Antwort

\textstyle \tan ^{2}x={\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1-\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-{\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-1

allgemeinen

\quad {\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}

Antwort

hier klicken

Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret

	$\$
	$\$

Antwort

\tan \alpha ={\tfrac {20}{21}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {20}{29}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {21}{29}}

\alpha \approx 43{,}60^{\circ }\quad \beta \approx 46{,}40^{\circ }

Antwort

\tan \alpha ={\tfrac {26}{69}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {69}{269}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {260}{269}}

\alpha \approx 14{,}86^{\circ }\quad \beta \approx 75{,}14^{\circ }

Antwort

\tan \alpha ={\tfrac {2}{3}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {2}{\sqrt {13}}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {3}{\sqrt {13}}}

\alpha \approx 33{,}69^{\circ }\quad \beta \approx 56{,}31^{\circ }

Antwort

\tan \alpha ={\tfrac {11{,}9}{12}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {119}{169}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {120}{169}}

\alpha \approx 44{,}76^{\circ }\quad \beta \approx 45{,}24^{\circ }

Trigonometrische Aufgaben

	$\$
	$\ \$

Drücken Sie b durch die Höhe H und den Winkel $\alpha$ aus!
Berechnen Sie den Winkel $\alpha$ , wenn H=0,9dm und b=3cm sind!

Antwort

$b=H\cdot {\tfrac {\ \sin \alpha }{1+\sin \alpha }}$

Drücken Sie den Abstand AM mit Hilfe des Winkels $\alpha ,\$ der Breite d und der Höhe h von jeder Stufe aus!
Drücken Sie die Höhe h jeder Stufe durch ihre Breite d und die Länge AL aus!

Antwort

$AM={\tfrac {5\cdot h}{\sin \alpha }}\$
$h={\tfrac {\sqrt {AL^{2}-(5\cdot d)^{2}\ }}{5}}$

Sind folgende Formeln zur Berechnung der Fläche gleichwertig und warum?
$A={\overline {AD}}\cdot h_{a}$
$A={\overline {AD}}\cdot m\cdot \sin \alpha$

Antwort

ja, weil $h_{a}=m\cdot \sin \alpha \$ (Skizze auch machen)

Stellen Sie mit Hilfe von EF und AF eine Formel zur Berechnung des Höhenwinkels $\gamma ,\$ unter dem die Sonne in diesem Zeitpunkt in dieser Stadt erscheint.
Jemand behauptet, dass, wenn $AG={\tfrac {AF}{2}},\$ dann $\delta =2\cdot \gamma .\$ Zeigen Sie, dass das nicht stimmt!

Antwort

$\gamma =\arctan {\tfrac {EF}{AF}}$

Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Fläche A des Dreiecks AEF mit Hilfe der Strecke AE und des Winkels $\beta .$
Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Strecke AE des Dreiecks AEF mit Hilfe der Fläche A und des Winkels $\beta .$
Es gilt: AK=FJ. Berechnen Sie AK, wenn AE=1,2dm, KJ=90cm und $\beta =30^{\circ }.$

Antwort

$A=AE^{2}\cdot \sin \beta \cdot \cos \beta$
$AE={\sqrt {{\tfrac {A}{\sin \beta \cdot \cos \beta }}\ }}$
4 dm

Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge EH auf, wenn die Länge AH und die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ bekannt sind.
Wie viel ist EH, wenn AF=44mm, $\alpha =40^{\circ }$ und $\beta =30^{\circ }?$

Antwort

$EH=AH\cdot (\cos \beta \tan \alpha -\sin \beta )$

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