MathemaTriX ⋅ Trigonometrische Aufgaben

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ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 bis 6 probieren,
sie sind unterschiedlich!

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Theorie in Kürze (mit Geogebra)

Oft muss man ein rechtwinkeliges Dreieck finden oder konstruieren.
Ist ein Winkel gefragt, dann muss man $a r c s i n d a r c c o s d a r c t a n d$ benutzen (wenn der Wert des Winkels gefragt wird). Wenn die Formel gefragt wird, dann $a r c s i n a r c c o s a r c t a n$ (ohne "d").

Ist der Winkel gegeben, dann kann man sin(Winkel in Grad) usw. berechnen.

Gibt es keinen Zusammenhang zum Winkel, muss man möglicherweise Pythagoras Satz benutzen.

$\sin θ = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

\cos θ = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

\tan θ = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

wobei $θ$ irgendein nicht rechter Winkel
in einem Rechtwinkeligen Dreieck.

Für ein rechtwinkeliges Dreieck mit Seiten a, b (Katheten), c (Hypotenuse) und entsprechenden gegenüberliegenden Winkel

α, β, γ

$\sin β = \frac{b}{c} (= \cos α)$

$\cos β = \frac{a}{c} (= \sin α)$

$\tan β = \frac{b}{a}$

$\tan α = \frac{a}{b}$

da gegenüber von $β$ die Kathete b ist (und gegenüber von $α$ die Kathete a).

Für tan gilt auch:
$\tan α \frac{\sin α}{\cos α}$

da
$\tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{a}{b} = \frac{c \sin α}{c \cos α} = \frac{\sin α}{\cos α}$

(Vergleiche mit dargestellten rechtwinkeligen Dreieck)

Trigonometrische Umkehrfunktionen:

$\arcsin, \arccos$ bzw. $\arctan$
oder $\sin^{- 1}, \cos^{- 1}$ bzw. $\tan^{- 1}$ (besonders bei Taschenrechnern)

Die Anwendung ist bei jeder Aufgabe unterschiedlich. Wenn der Winkel gefragt wird, dann benutzen wir arctand (oder atand), arcsind (oder asind) und arccosd (oder acosd).

Textaufgaben Schlussbegriff für trigonometrische Funktionen: Wiederholung! (wie so wie so...)

Sinussatz:

$\frac{\sin α}{a} = \frac{\sin β}{b} = \frac{\sin γ}{c}$

Kosinussatz:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$ (usw.)

Kosinussatz wird angewandt, wenn es um einen Winkel und die Seiten an diesem Winkel oder wenn es um drei Seiten (gefragt wird dann ein Winkel) geht, Sinussatz in jedem anderen Fall.

Aufgaben

Drücken Sie b durch die Höhe H und den Winkel $α$ aus!
Berechnen Sie den Winkel $α$ , wenn H=0,9dm und b=3cm sind!

Antwort

$b = H \cdot \frac{\sin α}{1 + \sin α}$

Drücken Sie den Abstand AM mit Hilfe des Winkels $α,$ der Breite d und der Höhe h von jeder Stufe aus!
Drücken Sie die Höhe h jeder Stufe durch ihre Breite d und die Länge AL aus!

Antwort

$A M = \frac{5 \cdot h}{\sin α}$
$h = \frac{\sqrt{A L^{2} - (5 \cdot d)^{2}}}{5}$

Sind folgende Formeln zur Berechnung der Fläche gleichwertig und warum?
$A = \overline{A D} \cdot h_{a}$
$A = \overline{A D} \cdot m \cdot \sin α$

Antwort

ja, weil $h_{a} = m \cdot \sin α$ (Skizze auch machen)

Stellen Sie mit Hilfe von EF und AF eine Formel zur Berechnung des Höhenwinkels $γ,$ unter dem die Sonne in diesem Zeitpunkt in dieser Stadt erscheint.
Jemand behauptet, dass, wenn $A G = \frac{A F}{2},$ dann $δ = 2 \cdot γ .$ Zeigen Sie, dass das nicht stimmt!

Antwort

$γ = \arctan \frac{E F}{A F}$

Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Fläche A des Dreiecks AEF mit Hilfe der Strecke AE und des Winkels $β .$
Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Strecke AE des Dreiecks AEF mit Hilfe der Fläche A und des Winkels $β .$
Es gilt: AK=FJ. Berechnen Sie AK, wenn AE=1,2dm, KJ=90cm und $β = 3 0^{\circ} .$

Antwort

$A = A E^{2} \cdot \sin β \cdot \cos β$
$A E = \sqrt{\frac{A}{\sin β \cdot \cos β}}$
4 dm

Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge EH auf, wenn die Länge AH und die beiden Winkel $α$ und $β$ bekannt sind.
Wie viel ist EH, wenn AF=44mm, $α = 4 0^{\circ}$ und $β = 3 0^{\circ} ?$

Antwort

$E H = A H \cdot (\cos β \tan α - \sin β)$

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