Plattenbeulen/ viertes Rechenbeispiel/ DINB

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Geometrie[Bearbeiten]

Belastung und Geometrie sind gleich.

Hilfsgröße ε

ε = 0,8165

Grenz c/t

(DIN 18800-1 Tabelle 12)

Beulnachweis erforderlich

kσ= 4 (DIN 18800-1 Tabelle 12)
(hergeleitete Gleichung 1)
κ = 0,45006

Einschub Querschnittswerte:

As= 4080mm²
hs = hw/2= 195mm
Iy= 9,685∙10-5m4
Iz= 5,839∙10-5m4

wirksame Flanschbreite

bf:= κ∙(bf -6∙tw)+6∙tw
bf:= 0,45006∙(0,29-6∙0,003)+6∙0,003
bf:= 0,1404

Vereinfachend wird mit der kürzeren Länge beider Flansche weiter gerechnet.


Bruttoquerschnittswerte[Bearbeiten]

Die Formeln zur Berechnung der Querschnittswerte sind mit der Berechnung nach dem Eurocode gleich.

As= 3182,5mm²
hs =195mm
I= 6,219∙10-5m4
σ2= -193,6N/mm²
σ1= - 78,4N/mm²


Berechnung von κpx[Bearbeiten]

b= 0,39m

Randspannungsverhältnis ψ

ψ= 0,405

Beulwert kσ

kσ= 5,635

Beulschlankheitsgrad

(Hergeleitete Gleichung)

Abminderungsfaktor ρ

(DIN 18800-2 GL 81 Tabelle 27)
κP= 0,3794

Bruttobreiten

k1= - 0,04∙ψ² + 0,12∙ψ + 0,42 (oben) (DIN 18800-2 Tabelle 27)
k1= - 0,04∙0,405² + 0,12∙0,405 + 0,42
k1= 0,462
k2= + 0,04∙ψ² - 0,12∙ψ + 0,58 (unten)
k2= + 0,04∙0,405² - 0,12∙0,405 + 0,58
k2= 0,538
b12= b∙k12
bo= 0,39∙k1= 0,39∙0,462
bo= 0,1802
bu= 0,39∙k2= 0,39∙0,538
bu= 0,2098

wirksame Breiten

bu1,eff= bu∙ρ = 0,1802∙0,3794
bu1,eff= 0,0684
bo1,eff= bo∙ρ = 0,2098∙0,3794
bo1,eff = 0,0796
Σbeff = 0,0684 + 0,0796
Σbeff = 0,1479
Verlust= b - Σbeff
Verlust= 0,39 - 0,1479
Verlust= 0,2421m

Knickstabähnliches Verhalten ist ausgeschlossen, weil das Beulfeld wesentlich länger ist als es hoch ist.

Abminderungsfaktor κpx für Plattenbeulen

κpx= 0,3794


Wirksame Querschnittswerte[Bearbeiten]

Die Berechnung der wirksamen Querschnittswerte wird übersprungen.

Aeff= 0,0017291m²
heff= 0,1997
Iy,eff= 5,499∙10-5 m4
Iz,eff= 10-5∙(5,839 - 0,1687 - 2,868)
Iz,eff= 2,805∙10-5m4
Widerstandsmoment oben Widerstandsmoment unten
Weff,o= 2,733∙10-4 Weff,u= 2,867∙10- 4
MRd= Weff,o∙fyd MRd,u= Weff,u∙fyd

MRd= 2,733∙10-4∙360000/1,1 MRd,u= 2,867∙10- 4∙360000/1,1
MRd= 89,43kNm MRd,u= 93,83kNm

Der verschobene Schwerpunkt erhöht das Moment.

MEd,N= MEd + NEd∙(Hs,eff - Hs)
MEd,N= 18,375 + ( - 433,1)∙(0,195 - 0,1997)= 18,375+ 2,039
MEd,N= 20,41kNm

Nachweis

η1= 0,2282 + 0,7654
η1= 0,9936

Nachweis erfüllt

Querschnittsnachweis unten

η1u= - 0,2176 + 0,6958
η1u= 0,4782

Nachweis erfüllt


Biegeknicknachweis[Bearbeiten]

Querschnittswerte DIN
Brutto Nettowerte
A 0,00408 0,0017291
Iy 9,685E-05 5,499E-05
Iz 5,839E-05 2,805E-05

Nachweis gegen Biegeknicken um die schwache Achse

BeulenRdstrich.png

'= bezieht sich auf dem wirksamen Querschnitt

rd und r'd= Abstand des Biegedruckrandes vom Schwerpunkt
rd = 0,145
r'd= 0,145
(DIN 18800-2 Gleichung 94)
i'= 0,1274m
i= 0,1196m
λa= 75,87
(DIN 18800-2 Gleichung 93)
mit α=0,34 (DIN 18800-2 Gleichung 92)
α'= 0,319
Δwo= |hs-heff|
Δwo= 0,195-0,195
Δwo= 0
(DIN 18800-2 Gleichung 91)
k'= 0,5∙(1+0,319∙(0,724-0,2)+ 0,724²+ 0)
k'= 0,846
(DIN 18800-2 Gleichung 90)
κ' = 0,7793

Nachweis

(DIN 18800-2 Gleichung 89 und 3)
η= 0,9821


Nachweis gegen Biegeknicken um die starke Achse

rd = hs+tf= 0,195+ 0,003
rd = 0,198
rd'= hs,eff+ tf= 0,1997+ 0,003
rd'= 0,2027
(DIN 18800-2 Gleichung 94)
i'= 0,1783m
i= 0,1541m
λa= 75,87
(DIN 18800-2 Gleichung 93)
mit α=0,34 (DIN 18800-2 Gleichung 92)
α'= 0,3007
Δwo= |hs-heff| = 0,1997-0,195
Δwo= 0,00471
(DIN 18800-2 Gleichung 91)
k'= 0,5∙(1+0,3∙(0,517-0,2)+ 0,517²+ 0,00471∙0,2027/0,1541²)
k'= 0,702
(DIN 18800-2 Gleichung 90)
κ' = 0,8506

Nachweis für die Normalkraft

(DIN 18800-2 Gleichung 89 und 3)
η= 0,8998

Nach DIN 18800-2 Element 719 sind in dem Biegeknicknachweis folgende Größen aus zu wechseln:

Npl,d → N'Pl,d
Mpl,d → M'pl,d
κ → κ'
NPl,d= A'∙fyd (DIN 18800-2 Gleichung 96)
MPl,d= I'∙fyd/rd' (DIN 18800-2 Gleichung 97)

Berechnung des plastischen Momentes
Bei doppelsymmetrischen Querschnitten, die durch ein positives Moment verbeult werden, liegt die Flächenhalbierende immer unter dem Loch. Für Stegteile, die an der Flächenhalbierenden angrenzen, ist Abstand zur Flächenhalbierenden halb so groß wie die Länge des Stegteils. Die Ergebnisse werden in einer Tabelle zusammengefasst:

wirksame Querschnittsteile
Querschnittsdaten zur Berechnung des plastischen Momentes
Stegteile Länge Abstand Breite
o Flansch 0,003 0,318 0,14
oben 0,0684 0,282 0,006
unterm Loch 0,0056 0,0028 0,006
unter 0,074 0,037 0,006
u Flansch 0,003 0,0755 0,14
WPl= 2,977∙10-4
MPl= WPl∙fyd= 2,977∙10-4∙360/1,1
MPl= 0,097MN
MPl= 97,42kN

Nachweis

Δn = 0,8998∙(1-0,8998) ∙0,8506²∙0,517²
Δn = 0,01746
(DIN 18800-2 Gleichung 24)

0,8998+ 0,2096+ 0,01746

Nachweis nicht erfüllt

Schubbeulen und Interaktion[Bearbeiten]

Für Schubbeulen wird der schnelle Nachweis verwendet

V= 10,5kN
kτ= 5,34 für lange Felder
(Hergeleitete Formel 5)
0,0526 < 1

Neben dem Beulnachweis ist noch der reguläre Querkraftnachweis zu führen.

0,0237 < 1

Nachweis erfüllt

Die Interaktion mindert die Stegdicken ein weiteres Mal ab. Da aber Schub und Biegung an verschiedenen Stellen auftreten, muss die Interaktion nicht geführt werden.


Modell der wirksamen Spannungen nach der DIN 18800-3[Bearbeiten]

Für den Knicknachweis werden die beiden Abminderungsfaktoren für Knicken und Beulen multipliziert. Bei der DIN wird nicht wie im Eurocode gefordert, dass mit wirksamen Breiten gerechnet wird. Der Knicknachweis wird daher mit Bruttobreiten geführt. Es werden folgende Werte übernommen:

σ2= -193,6N/mm²
κpx= 0,3794
iz= 0,1196
iy= 0,1541
Knicken um die schwache Achse Knicken um die starke Achse
λa= 75,87 λa= 75,87
k= 0,5∙(1+ 0,34∙(0,771-0,2)+ 0,771²) k= 0,5∙(1+ 0,34∙(0,599-0,2)+ 0,599²)
k= 0,894 k= 0,747
κ = 0,74206 κ = 0,83766

Von den beiden Abminderungsfaktoren ist der kleinste maßgebend.

aufnehmbare Spannung σP,Rd

σP,Rd= κ∙κpx∙fyd
σP,Rd= 0,74206∙0,3794∙360/1,1
σP,Rd= 92,13N/mm²

Nachweis

Nachweis nicht erfüllt

Wo befindet sich ? Dieser Nachweis muss nicht geführt werden, weil die Spannung aus dem Moment schon im Beulfeld enthalten ist. σEd ist die größte Randspannung.



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Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes
Norm: Eurocode ;DIN ;Zusammenfassung