Plattenbeulen/ zweites Rechenbeispiel/ EuroB

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Geometrie[Bearbeiten]

Zu berechnen ist ein Beulfeld in einem 33m langen Zweifeldträger. Um die Tragfähigkeit zu erhöhen, wird eine Längssteife bei der Stütze in 0,4m Höhe eingebaut. Da diese Längssteife im Feld woanders gebraucht wird, wird eine Quersteife 7,1m von der Stütze entfernt eingebaut. Dort endet die Längssteife. BeulenStat2.svg

Maße des Trägers
Alle Eingangsdaten für das zweite Rechenbeispiel
oberer Flansch bf2=0,37m tf2=11mm Quersteifen a'= 7,1m
unterer Flansch bf1=0,53m tf1=17mm Träger links l1= 33m
Steg hw=2,9m tw=9mm Träger rechts l2= 33m
Steife bsl=0,1m tsl=8mm Belastung qEd= 55,4kN/m
untere Steife hw1=0,4m
Streckgrenze Eurocode fyk= 235N/mm² Streckgrenze DIN fyk= 240N/mm²
Teilsicherheitsbeiwert γM0= 1 Teilsicherheitsbeiwert DIN γM= 1,1
Teilsicherheitsbeiwert γM0= 1 Bezugsspannung σE= 1,83N/mm²
ε= 1 η= 1,2

Schnittgrößen
Zur Vereinfachung wird die Längssteife als nichttragend angenommen. Die Längssteife behindert das Beulen, erhöht aber nicht das Flächenmoment zweiten Grades. Dadurch ist das Stützmoment nicht größer als - q∙l²/8.

Schubverzerrung

b0= 0,37/2= 0,185
b0= 0,53/2= 0,265
Le= 0,25∙(L1 + L2)
Le= 16,5m
K= 0,016 <0,02
ß=1

Schubverzerrung tritt nicht auf

Grenz c/t

(Eurocode 1993-1-1 Tabelle 5.2)

Beulnachweis erforderlich

kσ= 0,43
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)
ρ= 0,927
bf:= bf ∙ρ= 0,53∙0,927
bf:= 0,4915

Mit der kürzeren Länge des Druckflansches wird gerechnet.

Bruttoquerschnittswerte[Bearbeiten]

As= bf2∙tf2 + hw∙tw + bf1∙tf1
As= 0,37∙0,011 + 0,009∙2,9 + 0,4915∙0,017
As= 0,03852m²

Der Schwerpunkt hs wird vom unteren Stegende aus nach oben gemessen.

hs = 1,2874m

Das Flächenträgheitsmoment I besteht aus 3 Steineranteilen und 3 Eigenanteilen.

I= 10-3∙(18,23 + 14,03 + 10,65 + 0,69)
I= 0,04367m4

Spannung σ2 im oberen Stegende

σ2= 278 - 0
σ2= 278,5N/mm²

Spannung σ1 im unteren Stegende

σ1= - 222,3N/mm²

Spannungsnulllinie S

S= 1,2874m

Die Spannungsnulllinie geht durch den Schwerpunkt, weil keine Normalkraft wirkt.

Spannung σsl in der Steife

σsl= - 153,2N/mm²


Berechnung von ρc[Bearbeiten]

Jetzt wird für beide Einzelfelder der Beulnachweis parallel geführt. Die angrenzenden Stegteile werden mit dem Abminderungsfaktor multipliziert.

BeulenFeld1.svg BeulenFeld2.svg
b= hw1 - tsl/2= 0,4 - 0,004 b= MIN(S;hw) - hw1 - tsl/2= 1,2874 - 0,4 - 0,004
b= 0,396m b= 0,8834m

Randspannungsverhältnis ψ
ψ= 0,689 ψ= - 1,817

Beulwert kσ (Eurocode 1993-1-5 Tabelle 4.1)
kσ=5,98∙(1 - ψ)²
kσ=5,98∙(1 + 1,817)²
kσ= 4,715 kσ= 47,46

Beulschlankheitsgrad (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)

Abminderungsfaktor ρ(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
ρ = 1 ρ = 1

Bruttobreiten

Von dem druckbeanspruchten Stegteil wird berechnet,
welches Stück davon am unteren Flansch angrenzt und welches oben angrenzt.
Es geht noch keine Fläche verloren.

bu= 0,1837 bu= 0,3533
bo= b - bu bo= b - bu
bo= 0,396 - 0,1837 bo= 0,8834 - 0,3533
bo= 0,2122 bo= 0,53007

wirksame Breiten
bu1,eff= bu∙ρ = 0,1837∙1 bu2,eff= bu∙ρ = 0,3533∙1
bu1,eff= 0,1837 bu2,eff= 0,3533
bo1,eff= bo∙ρ = 0,2122∙1 bo2,eff= bo∙ρ = 0,53007∙1
bo1,eff = 0,2122 bo2,eff = 0,53007
Σbeff = 0,2122 + 0,1837 Σbeff = 0,53 + 0,3533
Σbeff = 0,396 Σbeff = 0,8834
Verlust= b - Σbeff Verlust= b - Σbeff
Verlust= 0,396 - 0,396 Verlust= 0,8834 - 0,8834
Verlust= 0m Verlust= 0m

Es geht nichts durch Einzelfeldbeulen verloren. Trotzdem wird so weiter gerechnet, als wäre ρ ein anderer Wert als 1.

Bruttobreiten

Querschnittswerte der Steife
BeulenSteifen1.svg
wirksame Breiten an der Steife

Asl= tw∙(b1o + b2u + tsl) + bsl∙tsl
Asl= 0,009∙(0,2122 + 0,3534 + 0,008) + 0,1∙0,008
Asl= 0,005963
xsl= 0,007312
Isl= 2 Eigen + 2 Steiner
Isl= (0,035 + 0,666 + 0,276 + 1,781)∙10-6
Isl= 2,759∙10-6m4


Beulen des Gesamtfeldes
plattenartiges Verhalten

b1= hw1= 0,4
b= B1= hw= 2,9
b2= B1 - hw= 2,5
ac= 4,628m
ac < a=7,1m
für a < ac
für a > ac
σcr,sl= 3,6978∙1013∙2,4∙10-6= 8,93∙107N/m²
σcr,sl= 89,3∙N/mm²

Die Beulspannung darf erhöht werden. Dabei wird die ideale Beulspannung auf den Ort der Steife bezogen.

σcr,p= 129,56N/mm²
Ac= ΣAsl,eff + Σρ∙bc,loc∙b
Ac= 0,005963
Ac,eff,loc = Asl + (beffo1 + tsl + beffu2)∙tw
Ac,eff,loc = 0,0008 + (0,2122 + 0,008 + 0,353)∙0,009
Ac,eff,loc = 0,005963
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
ρ= 0,68952

Knickstabverhalten

Ac,eff= ρ∙Ac,eff,loc + bedge,eff∙t
Ac,eff= 0,6895∙0,005963 + 0,009∙(0,1837 + 0,53007)
Ac,eff= 0,01053
Asl= tw∙(b1o + b2u + tsl) + bsl∙tsl= 0,005936
Asl,1,eff= tw∙(b1o,eff + b2u,eff + tsl) + bsl∙tsl= 0,005936
Isl= 2,759∙10-6m4
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.9)
σcr,sl= 19,02N/mm²
σcr,c= 27,6N/mm²
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1)1
Definition der Abstände e1 und e2
e2= xsl= 0,00731
e1=(tw + bsl)/2 – xsl
e1=(0,009 + 0,1)/2 – 0,00731
e1=0,04719
e= MAX(e1;e2)
e= 0,04719


α= 0,49 für offene Querschnitte
i= 0,02151m
αe= α + 0,09e/i(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.12)
αe= 0,49 + 0,09∙0,04919/0,02151
αe= 0,687
k= 0,5∙(1 + 0,687∙(2,918 - 0,2) + 2,918²)
k= 5,69
χc= 0,09453

Interaktion

und ξ wird zwischen 0 < ξ < 1 begrenzt
ξ= 1
ρc = (ρ - χc)∙ ξ∙(2 - ξ) + χc (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1)3
ρc = (0,68952 - 0,09453)∙1∙(2 - 1) + 0,09453
ρc = 0,68952

Wirksame Querschnittswerte[Bearbeiten]

Notwendige Maße für die Quertschnittswerte
Ac,eff= 0,01053
tw,red= tw∙ρc= 0,009∙0,68952
tw,red= 0,006206
tsl,red= tsl∙ρc= 0,008∙0,68952
tsl,red= 0,005516

Grafik 12 notwendige Maße für die Querschnittswerte Schwerpunkt

bs= beff2u + tsl + beff1o= 0,3533 + 0,008 + 0,2122
bs= 0,573
bz= Zugsteg + beff2o= 1,612 + 0,53007
bz= 2,142
hs= 1,3229
Ieff= 5 Steineranteile + 5 Eigenanteile
Ieff= 0,00745 + 0,035
Ieff= 0,04251m4
wirksame Widerstandmomente
Weffu= 0,03193m³ Weffo= 0,02686m³
MRd,u = Weffu•fyd MRd,o = Weffo•fyd
MRd,u = 0,03193∙235000 MRd,o = 0,02686∙235000
MRd,u = 7503,1kNm MRd,o = 6312,3kNm
MEd= 7541,325kNm

Nachweis, ob die Stegdicken weiter verringert werden müssen.

σcom,Ed= 163,7N/mm²
<1 (Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.3)

1 < 1 keine weitere Abminderung erforderlich

Nachweise

Nachweis nicht erfüllt

genauerer Nachweis mit Abstand

x= 1,25m

abgemindertes Moment

MEd= MEd,N - x∙V + x²∙q/2
MEd= 7541,325 - 1,25∙1142,625 + 1,25²∙55,4/2
MEd= 6156,325

Nachweis

0,8205 < 1

Nachweis erfüllt

Da der Nachweis mit Abstand geführt wurde, muss über der Stütze ein zusätzlicher Klasse 3 Querschnittsnachweis geführt werden.

hs =1,2874m
I= 0,04367m4
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.14)
η1u= 0,952 <1 OK

Nachweis nicht erfüllt

Der Eurocode erlaubt plastifizieren im Zugbereich für Klasse 3 Querschnitte.

a= 0,476m (plastifizierte Steglänge)
b= 1,212
MPE,Rd= 7547,3kN

verbesserter Nachweis

0,9992 < 1 Nachweis erfüllt

Schubbeulen[Bearbeiten]

Beim Schubbeulen wirken andere Breiten mit.

wirksame Breiten für Schubbeulen
beff= 15∙ε∙tw = 15∙1∙0,009
beff= 0,135m
Asl= (beff∙2 + tsl)∙tw + bsl∙tsl
Asl= (0,27 + 0,008)∙0,009 + 0,008∙0,1
Asl= 0,003302
xsl= 0,013204m
Isl= 2,484∙ 10-6m4

Berechnung des Schubbeulwertes
Es werden vom Einzelfeld und vom Gesamtfeld die Schlankheiten errechnet. Die kleinere ist Maßgebend.

Gesamtfeld

kτsl= MAX( Formel 1; Formel 2) (Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.5)
Formel 1= 1,694
Formel 2= 2,215
kτsl= MAX( 1,694; 2,215)
kτsl= 2,215
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.5)
kt= 8,2233

Da das Beulfeld und (1 oder 2 Längssteifen) hat, darf Gleichung A.6 verwendet werden.

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.6)
kτ= 4,1 + 1,051 + 0,0353 + 2,3215
kτ= 7,5078

Da diese Gleichung keinen höheren Beulwert bringt, bleibt es bei

kt= 8,2233

Schubbeilschlankheit

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.6)

Einzelfeld

Feldhöhe = hw - h1= 2,9 - 0,4=2,5m
kτ= 5,836

Schubbeulschlankheit

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.6)

Einzelfeldbeulen ist maßgebend.

für > 0,82/η gilt:

(Eurocode 1993-1-5 Tabelle 5.1)

χw= 0,363

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.2)
Vb,w,Rd= 1285,9kN

Beitrag der Flansche
Der Flansch liefert auch noch einen Beitrag zur Stegtragfähigkeit. Dies ist bei unausgelasteten Flanschen der Fall. Bei Einfeldträgern können die Flansche in der Regel mit genutzt werden. Bei Zweifeldträgern ist meist keine zusätzliche Tragfähigkeit zu erwarten.

Mf,Rd= MIN(A1;A2)∙ (hw + tf1/2 + tf2/2)∙fyd
Mf,Rd= 0,00407∙(2,9 + 0,015)∙235
Mf,Rd= 2,787MN
Mf,Rd < MEd=7541
Vbf,Rd =0 Flansch trägtnicht mit
Gesamtquerkrafttragfähigkeit Vb,Rd
Vb,Rd= 0 + 1285,9= 1285,9kN

Schubbeulnachweis

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.10)
η3= 0,88856<1

Nachweis erfüllt

lokales Beulen aus einer Einzellast[Bearbeiten]

Der Träger kann noch eine lokale Einzellast aufnehmen. Wie groß sie sein kann, wird hier gezeigt. Die Einzellast verursacht keine Schnittgrößen.

F= 330kN
ss= 0,1m
Formelzeichen für Maße

Beulwert kf

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.6)

Der dritte Term gilt für Längssteifen und ist nur gültig, wenn gilt:

0,05 < b1/a und b1/hw< 0,3
b1= hw - h1
b1= 2,9 - 0,4
b1= 2,5
BeulenEinzellaft.png

Längssteife trägt nicht mit

Beulwert

kf= 6,3336
Fcr= 0,9∙kf∙E∙tw³/hw (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.5)
Fcr= 0,9∙ 6,3336∙ 210∙109∙0,009³/2,9
Fcr= 300916N
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.8)
m1= 41,111

m2= Wenn(< 0,5; 0; 0,02∙hw²/tf²) (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.9)

m2= 0,02∙hw²/tf² = 0,02∙2,9²/0,011²
m2= 1390,1
ly= MIN(a; ss + 2∙tf2 ∙(1 + (m1 + m2)0,5)) (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.10)
ly= 0,1 + 2∙0,011∙(1 + (41,1 + 1390)0,5) (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.10)
ly= 0,954
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.4)

Die Voraussetzung wurde eingehalten.

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.3)
χF= 0,193
Leff= χf∙ Ly =0,193∙0,954 (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.2)
Leff= 0,1842
FRd= fyd∙ Leff∙ tw (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.1)
FRd= 235000∙0,1842∙0,009
FRd= 389,6kN

Nachweis

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.14)
η2= 0,84689

Nachweis erfüllt

Interaktion[Bearbeiten]

Zuerst muss das plastische Moment ausgerechnet werden. Die Steife trägt hier mit.

Maße zur Berechnung des plastischen Momentes
A= 0,00407 + 0,026 + 0,0008 + 0,00901
A= 0,03998m²
A/2= 0,01999m²

Die Flächenhalbierende liegt im Steg über der Steife. Die Skizze hat keinen relativen Maßstab.

W= 0,03791m³
MPl,Rd= W∙fyd
MPl,Rd= 0,03791∙235000
MPl,Rd= 8909,4kNm
Mf,Rd= 2787,1kNm

Der Interaktionsnachweis darf im Abstand x geführt werden

x= 1,25
MEd= 6156,325
VEd:= VEd - x∙q
VEd= 1142,625 - 1,25∙55,4
VEd= 1073,375kN

Nachweis

0,69099 + 0,30793= 0,99892 < 1

Nachweis erfüllt

Interaktion zwischen η1 und η2

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 7.2)
1 < 1

Nachweis erfüllt.



Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen
Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes
Norm: EuroB ;DINS ;EuroS ;DINB ;Zusammenfassung ;Variation der Geometrie