Zu berechnen ist ein Beulfeld in einem 33m langen Zweifeldträger. Um die Tragfähigkeit zu erhöhen, wird eine Längssteife bei der Stütze in 0,4m Höhe eingebaut. Da diese Längssteife im Feld woanders gebraucht wird, wird eine Quersteife 7,1m von der Stütze entfernt eingebaut. Dort endet die Längssteife.
Maße des Trägers
Alle Eingangsdaten für das zweite Rechenbeispiel
oberer Flansch |
bf2=0,37m |
tf2=11mm |
Quersteifen |
a'= 7,1m
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unterer Flansch |
bf1=0,53m |
tf1=17mm |
Träger links |
l1= 33m
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Steg |
hw=2,9m |
tw=9mm |
Träger rechts |
l2= 33m
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Steife |
bsl=0,1m |
tsl=8mm |
Belastung |
qEd= 55,4kN/m
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untere Steife |
hw1=0,4m |
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Streckgrenze Eurocode |
fyk= 235N/mm² |
Streckgrenze DIN |
fyk= 240N/mm²
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Teilsicherheitsbeiwert |
γM0= 1 |
Teilsicherheitsbeiwert DIN |
γM= 1,1
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Teilsicherheitsbeiwert |
γM0= 1 |
Bezugsspannung |
σE= 1,83N/mm²
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ε= 1 |
η= 1,2 |
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Schnittgrößen
Zur Vereinfachung wird die Längssteife als nichttragend angenommen. Die Längssteife behindert das Beulen, erhöht aber nicht das Flächenmoment zweiten Grades. Dadurch ist das Stützmoment nicht größer als - q∙l²/8.
Schubverzerrung
- b0= 0,37/2= 0,185
- b0= 0,53/2= 0,265
- Le= 0,25∙(L1 + L2)
- Le= 16,5m

- K= 0,016 <0,02
- ß=1
Schubverzerrung tritt nicht auf
Grenz c/t
(Eurocode 1993-1-1 Tabelle 5.2)

Beulnachweis erforderlich
- kσ= 0,43
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)



(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)
- ρ= 0,927
- bf:= bf ∙ρ= 0,53∙0,927
- bf:= 0,4915
Mit der kürzeren Länge des Druckflansches wird gerechnet.
Bruttoquerschnittswerte[Bearbeiten]
- As= bf2∙tf2 + hw∙tw + bf1∙tf1
- As= 0,37∙0,011 + 0,009∙2,9 + 0,4915∙0,017
- As= 0,03852m²
Der Schwerpunkt hs wird vom unteren Stegende aus nach oben gemessen.



- hs = 1,2874m
Das Flächenträgheitsmoment I besteht aus 3 Steineranteilen und 3 Eigenanteilen.


- I= 10-3∙(18,23 + 14,03 + 10,65 + 0,69)
- I= 0,04367m4
Spannung σ2 im oberen Stegende

- σ2= 278 - 0
- σ2= 278,5N/mm²
Spannung σ1 im unteren Stegende

- σ1= - 222,3N/mm²
Spannungsnulllinie S

- S= 1,2874m
Die Spannungsnulllinie geht durch den Schwerpunkt, weil keine Normalkraft wirkt.
Spannung σsl in der Steife



- σsl= - 153,2N/mm²
Jetzt wird für beide Einzelfelder der Beulnachweis parallel geführt. Die angrenzenden Stegteile werden mit dem Abminderungsfaktor multipliziert.
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b= hw1 - tsl/2= 0,4 - 0,004 |
b= MIN(S;hw) - hw1 - tsl/2= 1,2874 - 0,4 - 0,004
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b= 0,396m |
b= 0,8834m
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Randspannungsverhältnis ψ
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ψ= 0,689 |
ψ= - 1,817
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Beulwert kσ (Eurocode 1993-1-5 Tabelle 4.1)
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kσ=5,98∙(1 - ψ)² kσ=5,98∙(1 + 1,817)²
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kσ= 4,715 |
kσ= 47,46
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Beulschlankheitsgrad (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)
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Abminderungsfaktor ρ(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
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ρ = 1 |
ρ = 1
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Bruttobreiten
Von dem druckbeanspruchten Stegteil wird berechnet, welches Stück davon am unteren Flansch angrenzt und welches oben angrenzt. Es geht noch keine Fläche verloren.
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bu= 0,1837 |
bu= 0,3533
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bo= b - bu |
bo= b - bu
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bo= 0,396 - 0,1837 |
bo= 0,8834 - 0,3533
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bo= 0,2122 |
bo= 0,53007
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wirksame Breiten
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bu1,eff= bu∙ρ = 0,1837∙1 |
bu2,eff= bu∙ρ = 0,3533∙1
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bu1,eff= 0,1837 |
bu2,eff= 0,3533
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bo1,eff= bo∙ρ = 0,2122∙1 |
bo2,eff= bo∙ρ = 0,53007∙1
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bo1,eff = 0,2122 |
bo2,eff = 0,53007
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Σbeff = 0,2122 + 0,1837 |
Σbeff = 0,53 + 0,3533
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Σbeff = 0,396 |
Σbeff = 0,8834
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Verlust= b - Σbeff |
Verlust= b - Σbeff
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Verlust= 0,396 - 0,396 |
Verlust= 0,8834 - 0,8834
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Verlust= 0m |
Verlust= 0m
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Es geht nichts durch Einzelfeldbeulen verloren. Trotzdem wird so weiter gerechnet, als wäre ρ ein anderer Wert als 1.
Bruttobreiten
Querschnittswerte der Steife

wirksame Breiten an der Steife
- Asl= tw∙(b1o + b2u + tsl) + bsl∙tsl
- Asl= 0,009∙(0,2122 + 0,3534 + 0,008) + 0,1∙0,008
- Asl= 0,005963


- xsl= 0,007312
- Isl= 2 Eigen + 2 Steiner


- Isl= (0,035 + 0,666 + 0,276 + 1,781)∙10-6
- Isl= 2,759∙10-6m4
Beulen des Gesamtfeldes
plattenartiges Verhalten
- b1= hw1= 0,4
- b= B1= hw= 2,9
- b2= B1 - hw= 2,5
![a_{c}=4{,}33\cdot {\sqrt[ {4}]{{\frac {I_{{sl{,}1}}\cdot b_{1}^{2}\cdot b_{2}^{2}}{t^{3}\cdot b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8041d1989607b0751a0ad3cc51bd7e4a5fcecb21)
![a_{c}=4{,}33\cdot {\sqrt[ {4}]{{\frac {2{,}759\cdot 0{,}4^{2}\cdot 2{,}5^{2}}{10^{6}\cdot 2{,}9\cdot 0{,}009^{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732da6210d9c0ec8cafe8a37e977e65f9db23b4c)
- ac= 4,628m
- ac < a=7,1m
für a < ac
für a > ac

- σcr,sl= 3,6978∙1013∙2,4∙10-6= 8,93∙107N/m²
- σcr,sl= 89,3∙N/mm²
Die Beulspannung darf erhöht werden. Dabei wird die ideale Beulspannung auf den Ort der Steife bezogen.

- σcr,p= 129,56N/mm²
- Ac= ΣAsl,eff + Σρ∙bc,loc∙b
- Ac= 0,005963
- Ac,eff,loc = Asl + (beffo1 + tsl + beffu2)∙tw
- Ac,eff,loc = 0,0008 + (0,2122 + 0,008 + 0,353)∙0,009
- Ac,eff,loc = 0,005963





(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)

- ρ= 0,68952
Knickstabverhalten
- Ac,eff= ρ∙Ac,eff,loc + bedge,eff∙t
- Ac,eff= 0,6895∙0,005963 + 0,009∙(0,1837 + 0,53007)
- Ac,eff= 0,01053
- Asl= tw∙(b1o + b2u + tsl) + bsl∙tsl= 0,005936
- Asl,1,eff= tw∙(b1o,eff + b2u,eff + tsl) + bsl∙tsl= 0,005936

- Isl= 2,759∙10-6m4
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.9)

- σcr,sl= 19,02N/mm²

- σcr,c= 27,6N/mm²
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1)1


Definition der Abstände e1 und e2
- e2= xsl= 0,00731
- e1=(tw + bsl)/2 – xsl
- e1=(0,009 + 0,1)/2 – 0,00731
- e1=0,04719
- e= MAX(e1;e2)
- e= 0,04719
- α= 0,49 für offene Querschnitte

- i= 0,02151m
- αe= α + 0,09e/i(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.12)
- αe= 0,49 + 0,09∙0,04919/0,02151
- αe= 0,687

- k= 0,5∙(1 + 0,687∙(2,918 - 0,2) + 2,918²)
- k= 5,69


- χc= 0,09453
Interaktion
und ξ wird zwischen 0 < ξ < 1 begrenzt

- ξ= 1
- ρc = (ρ - χc)∙ ξ∙(2 - ξ) + χc (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1)3
- ρc = (0,68952 - 0,09453)∙1∙(2 - 1) + 0,09453
- ρc = 0,68952
Wirksame Querschnittswerte[Bearbeiten]
Notwendige Maße für die Quertschnittswerte
- Ac,eff= 0,01053
- tw,red= tw∙ρc= 0,009∙0,68952
- tw,red= 0,006206
- tsl,red= tsl∙ρc= 0,008∙0,68952
- tsl,red= 0,005516


Grafik 12 notwendige Maße für die Querschnittswerte
Schwerpunkt
- bs= beff2u + tsl + beff1o= 0,3533 + 0,008 + 0,2122
- bs= 0,573
- bz= Zugsteg + beff2o= 1,612 + 0,53007
- bz= 2,142


- hs= 1,3229
- Ieff= 5 Steineranteile + 5 Eigenanteile

- Ieff= 0,00745 + 0,035
- Ieff= 0,04251m4
wirksame Widerstandmomente
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Weffu= 0,03193m³ |
Weffo= 0,02686m³
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MRd,u = Weffu•fyd |
MRd,o = Weffo•fyd
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MRd,u = 0,03193∙235000 |
MRd,o = 0,02686∙235000
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MRd,u = 7503,1kNm |
MRd,o = 6312,3kNm
|
- MEd= 7541,325kNm
Nachweis, ob die Stegdicken weiter verringert werden müssen.


- σcom,Ed= 163,7N/mm²
<1 (Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.3)
1 < 1
keine weitere Abminderung erforderlich
Nachweise




Nachweis nicht erfüllt
genauerer Nachweis mit Abstand


- x= 1,25m
abgemindertes Moment
- MEd= MEd,N - x∙V + x²∙q/2
- MEd= 7541,325 - 1,25∙1142,625 + 1,25²∙55,4/2
- MEd= 6156,325
Nachweis

- 0,8205 < 1
Nachweis erfüllt
Da der Nachweis mit Abstand geführt wurde, muss über der Stütze ein zusätzlicher Klasse 3 Querschnittsnachweis geführt werden.
- hs =1,2874m
- I= 0,04367m4
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.14)

- η1u= 0,952 <1 OK



Nachweis nicht erfüllt
Der Eurocode erlaubt plastifizieren im Zugbereich für Klasse 3 Querschnitte.

- a= 0,476m (plastifizierte Steglänge)

- b= 1,212



- MPE,Rd= 7547,3kN
verbesserter Nachweis

0,9992 < 1
Nachweis erfüllt
Beim Schubbeulen wirken andere Breiten mit.
wirksame Breiten für Schubbeulen
- beff= 15∙ε∙tw = 15∙1∙0,009
- beff= 0,135m
- Asl= (beff∙2 + tsl)∙tw + bsl∙tsl
- Asl= (0,27 + 0,008)∙0,009 + 0,008∙0,1
- Asl= 0,003302

- xsl= 0,013204m


- Isl= 2,484∙ 10-6m4
Berechnung des Schubbeulwertes
Es werden vom Einzelfeld und vom Gesamtfeld die Schlankheiten errechnet. Die kleinere ist Maßgebend.
Gesamtfeld
- kτsl= MAX( Formel 1; Formel 2) (Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.5)


- Formel 1= 1,694
![Formel2={\frac {2{,}1}{t}}\cdot {\sqrt[ {3}]{{\frac {I_{{sl}}}{h_{w}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef347646fbcfbc61d9c2d422f97323da4e0cd78)
![Formel2={\frac {2{,}1}{0{,}009}}\cdot {\sqrt[ {3}]{{\frac {2{,}484}{10^{6}\cdot 2{,}9}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c06042bbdfaeb8001bf031ab36c71ac0d0b085)
- Formel 2= 2,215
- kτsl= MAX( 1,694; 2,215)
- kτsl= 2,215
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.5)

- kt= 8,2233
Da das Beulfeld
und (1 oder 2 Längssteifen) hat, darf Gleichung A.6 verwendet werden.
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.6)
![k_{\tau }=4{,}1+{\frac {6{,}3}{2{,}45^{2}}}+{\frac {0{,}18\cdot 2{,}484\cdot 10^{{-6}}}{0{,}009^{3}\cdot 2{,}9\cdot 2{,}45^{2}}}+2{,}2\cdot {\sqrt[ {3}]{{\frac {2{,}484\cdot 10^{{-6}}}{0{,}009^{3}\cdot 2{,}9}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb99fb6fe43d2a213cd68276389d17a9a72e94e6)
- kτ= 4,1 + 1,051 + 0,0353 + 2,3215
- kτ= 7,5078
Da diese Gleichung keinen höheren Beulwert bringt, bleibt es bei
- kt= 8,2233
Schubbeilschlankheit
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.6)


Einzelfeld
- Feldhöhe = hw - h1= 2,9 - 0,4=2,5m


- kτ= 5,836
Schubbeulschlankheit
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.6)


Einzelfeldbeulen ist maßgebend.

für
> 0,82/η gilt:
(Eurocode 1993-1-5 Tabelle 5.1)
χw= 0,363
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.2)

- Vb,w,Rd= 1285,9kN
Beitrag der Flansche
Der Flansch liefert auch noch einen Beitrag zur Stegtragfähigkeit. Dies ist bei unausgelasteten Flanschen der Fall. Bei Einfeldträgern können die Flansche in der Regel mit genutzt werden. Bei Zweifeldträgern ist meist keine zusätzliche Tragfähigkeit zu erwarten.
- Mf,Rd= MIN(A1;A2)∙ (hw + tf1/2 + tf2/2)∙fyd
- Mf,Rd= 0,00407∙(2,9 + 0,015)∙235
- Mf,Rd= 2,787MN
- Mf,Rd < MEd=7541
- Vbf,Rd =0 Flansch trägtnicht mit
- Gesamtquerkrafttragfähigkeit Vb,Rd
- Vb,Rd= 0 + 1285,9= 1285,9kN
Schubbeulnachweis
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.10)
- η3= 0,88856<1
Nachweis erfüllt
lokales Beulen aus einer Einzellast[Bearbeiten]
Der Träger kann noch eine lokale Einzellast aufnehmen. Wie groß sie sein kann, wird hier gezeigt. Die Einzellast verursacht keine Schnittgrößen.
- F= 330kN
- ss= 0,1m
Formelzeichen für Maße
Beulwert kf
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.6)
Der dritte Term gilt für Längssteifen und ist nur gültig, wenn gilt:
- 0,05 < b1/a und b1/hw< 0,3
- b1= hw - h1
- b1= 2,9 - 0,4
- b1= 2,5


Längssteife trägt nicht mit
Beulwert

- kf= 6,3336
- Fcr= 0,9∙kf∙E∙tw³/hw (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.5)
- Fcr= 0,9∙ 6,3336∙ 210∙109∙0,009³/2,9
- Fcr= 300916N
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.8)
- m1= 41,111
m2= Wenn(
< 0,5; 0; 0,02∙hw²/tf²) (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.9)
- m2= 0,02∙hw²/tf² = 0,02∙2,9²/0,011²
- m2= 1390,1
- ly= MIN(a; ss + 2∙tf2 ∙(1 + (m1 + m2)0,5)) (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.10)
- ly= 0,1 + 2∙0,011∙(1 + (41,1 + 1390)0,5) (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.10)
- ly= 0,954
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.4)


Die Voraussetzung
wurde eingehalten.
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.3)
- χF= 0,193
- Leff= χf∙ Ly =0,193∙0,954 (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.2)
- Leff= 0,1842
- FRd= fyd∙ Leff∙ tw (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.1)
- FRd= 235000∙0,1842∙0,009
- FRd= 389,6kN
Nachweis
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.14)
- η2= 0,84689
Nachweis erfüllt
Zuerst muss das plastische Moment ausgerechnet werden. Die Steife trägt hier mit.
Maße zur Berechnung des plastischen Momentes
- A= 0,00407 + 0,026 + 0,0008 + 0,00901
- A= 0,03998m²
- A/2= 0,01999m²
Die Flächenhalbierende liegt im Steg über der Steife.
Die Skizze hat keinen relativen Maßstab.

- W= 0,03791m³
- MPl,Rd= W∙fyd
- MPl,Rd= 0,03791∙235000
- MPl,Rd= 8909,4kNm
- Mf,Rd= 2787,1kNm
Der Interaktionsnachweis darf im Abstand x geführt werden

- x= 1,25
- MEd= 6156,325
- VEd:= VEd - x∙q
- VEd= 1142,625 - 1,25∙55,4
- VEd= 1073,375kN





Nachweis


- 0,69099 + 0,30793= 0,99892 < 1
Nachweis erfüllt
Interaktion zwischen η1 und η2
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 7.2)

- 1 < 1
Nachweis erfüllt.
- Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen
- Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes
- Norm: EuroB ;DINS ;EuroS ;DINB ;Zusammenfassung ;Variation der Geometrie