Eine Einfeldkastenträgerstütze aus S355 wird mit 3kN/m und -431kN belastet. Der Kastenträger ist unausgesteift. Die Skizze hat einen irrationalen Maßstab und die Dicken sind zehnfach überhöht.
Statisches System
Querschnitt
Maße des Querschnitts
oberer Flansch
bf2
0,29
tf2
0,003
unterer Flansch
bf1
0,29
tf1
0,003
Steg
hw
0,39
tw
0,003
Schnittgrößen
M= q∙L²/8
M= 3∙7²/8
M= 18,375kNm
N= - 433,1kN
V= q∙L/2
V= 3∙7/2= 10,5kN
ϵ
=
235
f
y
k
=
235
355
=
0,813
6
{\displaystyle \epsilon ={\sqrt {\frac {235}{f_{yk}}}}={\sqrt {\frac {235}{355}}}=0{,}8136}
Schubverzerrung
b0 = 0,29/2= 0,145
Le = L1
Le = 7m
K
=
a
0
⋅
b
0
L
e
=
1
⋅
0,145
7
{\displaystyle K={\frac {a_{0}\cdot b_{0}}{L_{e}}}={\frac {1\cdot 0{,}145}{7}}}
K= 0,0207 ≈ 0,02
ß= f(k) (Eurocode 1993-1-5 Tabelle 3.1)
β
=
1
1
+
6
,
4
⋅
K
2
=
1
1
+
6
,
4
⋅
0,020
7
2
{\displaystyle \beta ={\frac {1}{1+6{,}4\cdot K^{2}}}={\frac {1}{1+6{,}4\cdot 0{,}0207^{2}}}}
ß= 0,998
effektive Querschnittsfläche
Aeff = MAX (Ac,eff ∙ ßk ; Ac,eff ∙ ß)
ßk ist maßgebend, da k < 1
ßk = 0,9980,0207
ßk = 0,99994 ≈ 1
Schubverzerrung wird vernachlässigt
Grenz c/t
c
t
<
42
⋅
ϵ
c
t
=
0
,
29
−
6
⋅
0,003
0,003
{\displaystyle {\frac {c}{t}}<42\cdot \epsilon {\frac {c}{t}}={\frac {0{,}29-6\cdot 0{,}003}{0{,}003}}}
(Eurocode 1993-1-1 Tabelle 5.2)
90,666
≮
42
⋅
ϵ
{\displaystyle 90{,}666\not <42\cdot \epsilon }
Beulnachweis erforderlich
kσ = 4
λ
¯
p
=
b
t
⋅
28,434
32
⋅
ϵ
⋅
k
σ
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}={\frac {b}{t\cdot 28{,}43432\cdot \epsilon \cdot {\sqrt {k_{\sigma }}}}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)
λ
¯
p
=
0
,
29
−
6
⋅
0,003
0,003
⋅
28,434
32
⋅
0,813
6
⋅
4
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}={\frac {0{,}29-6\cdot 0{,}003}{0{,}003\cdot 28{,}43432\cdot 0{,}8136\cdot {\sqrt {4}}}}}
λ
¯
p
=
1,959
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}=1{,}959}
ρ
=
λ
¯
p
−
022
λ
¯
p
2
=
1,959
−
0
,
22
1,959
2
{\displaystyle \rho ={\frac {{\overline {\lambda }}_{p}-022}{{\overline {\lambda }}_{p}^{2}}}={\frac {1{,}959-0{,}22}{1{,}959^{2}}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
ρ= 0,45303
Für den Biegeknicknachweis werden die Querschnittswerte des vollständigen Trägers verwendet. Für die Beulnachweise wird mit geschwächten Flanschen gerechnet. Daher müssen diese Werte jetzt berechnet werden, bevor die Flanschlänge überschrieben wird.
As = bf2 ∙tf2 + 2∙hw ∙tw + bf1 ∙tf1
As = 290∙3 + 390∙3∙2 + 290∙3
As = 4080mm²
Der Schwerpunkt liegt wegen Doppelsymmetrie in der Mitte.
hs = hw /2= 195mm
Flächenträgheitsmoment Iy
I
y
=
∑
(
3
E
i
g
e
n
2
⋅
b
f
1
⋅
t
f
1
⋅
(
h
s
+
0
,
5
⋅
t
f
1
)
2
h
w
⋅
2
⋅
t
w
⋅
(
0
,
5
⋅
t
w
−
h
s
)
2
)
{\displaystyle I_{y}=\sum {\begin{pmatrix}3Eigen\\2\cdot b_{f1}\cdot t_{f1}\cdot (h_{s}+0{,}5\cdot t_{f1})^{2}\\h_{w}\cdot 2\cdot t_{w}\cdot (0{,}5\cdot t_{w}-h_{s})^{2}\end{pmatrix}}}
I
y
=
∑
(
2,966
⋅
10
−
5
2
⋅
0
,
29
⋅
0,003
⋅
(
0,195
+
0
,
5
⋅
0,003
)
2
0
,
39
⋅
2
⋅
0,003
⋅
(
0
,
5
⋅
0
,
39
−
0,195
)
2
)
{\displaystyle I_{y}=\sum {\begin{pmatrix}2{,}966\cdot 10^{-5}\\2\cdot 0{,}29\cdot 0{,}003\cdot (0{,}195+0{,}5\cdot 0{,}003)^{2}\\0{,}39\cdot 2\cdot 0{,}003\cdot (0{,}5\cdot 0{,}39-0{,}195)^{2}\end{pmatrix}}}
Iy = 10-5 ∙(2,966+ 6,718 + 0)
Iy = 9,684∙10-5 m4
Flächenträgheitsmoment Iz
I
z
=
∑
(
2
⋅
b
f
3
⋅
t
f
/
12
2
⋅
h
f
⋅
t
w
⋅
(
b
f
/
2
−
1
,
5
⋅
t
w
)
2
)
{\displaystyle I_{z}=\sum {\begin{pmatrix}2\cdot b_{f}^{3}\cdot t_{f}/12\\2\cdot h_{f}\cdot t_{w}\cdot (b_{f}/2-1{,}5\cdot t_{w})^{2}\end{pmatrix}}}
I
z
=
∑
(
2
⋅
0
,
29
3
⋅
0,003
/
12
2
⋅
0
,
39
⋅
0,003
⋅
(
0,145
−
1
,
5
⋅
0,003
)
2
)
{\displaystyle I_{z}=\sum {\begin{pmatrix}2\cdot 0{,}29^{3}\cdot 0{,}003/12\\2\cdot 0{,}39\cdot 0{,}003\cdot (0{,}145-1{,}5\cdot 0{,}003)^{2}\end{pmatrix}}}
Iz = 10-5 ∙(1,22+ 4,62)
Iz = 5,839∙10-5 m4
Jetzt kann die Flanschbreite überschrieben werden.
bf := ρ∙(bf -6∙tw )+6∙tw
bf := 0,45303∙(0,29-6∙0,003)+6∙0,003
bf := 0,1412
Vereinfachend wird mit der kürzeren Länge beider Flansche weiter gerechnet. Für den unteren Flansch darf eine größere Breite angesetzt werden, in dem die Schlankheit in Abhängigkeit der vorhandenen Spannung reduziert wird. Doch dies erfordert eine iterative Berechnung.
As = bf2 ∙tf2 + 2∙hw ∙tw + bf1 ∙tf1
As = 141,2∙3 + 2∙390∙3 + 141,2∙3
As = 3187mm²
Der Schwerpunkt hs wird vom oberen Stegende aus nach unten gemessen.
h
s
=
b
f
2
⋅
t
f
2
⋅
(
h
w
+
0
,
5
⋅
t
f
2
)
+
h
w
2
⋅
t
w
−
0
,
5
⋅
b
f
1
⋅
t
f
1
2
A
{\displaystyle h_{s}={\frac {b_{f2}\cdot t_{f2}\cdot (h_{w}+0{,}5\cdot t_{f2})+h_{w}^{2}\cdot t_{w}-0{,}5\cdot b_{f1}\cdot t_{f1}^{2}}{A}}}
h
s
=
141
,
2
⋅
3
⋅
(
390
+
0
,
5
⋅
3
)
+
390
2
⋅
3
−
141
,
2
⋅
3
2
/
2
3187
{\displaystyle h_{s}={\frac {141{,}2\cdot 3\cdot (390+0{,}5\cdot 3)+390^{2}\cdot 3-141{,}2\cdot 3^{2}/2}{3187}}}
h
s
=
165604
+
456300
−
634
3187
{\displaystyle h_{s}={\frac {165604+456300-634}{3187}}}
hs =195mm
Das Flächenträgheitsmoment I besteht aus 3 Steineranteilen und 3 Eigenanteilen
I
=
∑
(
3
E
i
g
e
n
b
f
1
⋅
t
f
1
⋅
(
h
s
+
0
,
5
⋅
t
f
1
)
2
b
f
2
⋅
t
f
2
⋅
(
h
w
−
h
s
+
0
,
5
⋅
t
f
2
)
2
h
w
⋅
2
⋅
t
w
⋅
(
0
,
5
⋅
t
w
−
h
s
)
2
)
{\displaystyle I=\sum {\begin{pmatrix}3Eigen\\b_{f1}\cdot t_{f1}\cdot (h_{s}+0{,}5\cdot t_{f1})^{2}\\b_{f2}\cdot t_{f2}\cdot (h_{w}-h_{s}+0{,}5\cdot t_{f2})^{2}\\h_{w}\cdot 2\cdot t_{w}\cdot (0{,}5\cdot t_{w}-h_{s})^{2}\end{pmatrix}}}
I
=
∑
(
2,966
⋅
10
−
5
0,141
⋅
0,003
⋅
(
0,195
+
0
,
5
⋅
0,003
)
2
0,141
⋅
0,003
⋅
(
0
,
39
−
0,195
+
0,003
⋅
0
,
5
)
2
0
,
39
⋅
2
⋅
0,003
⋅
(
0
,
5
⋅
0
,
39
−
0,195
)
2
)
{\displaystyle I=\sum {\begin{pmatrix}2{,}966\cdot 10^{-5}\\0{,}141\cdot 0{,}003\cdot (0{,}195+0{,}5\cdot 0{,}003)^{2}\\0{,}141\cdot 0{,}003\cdot (0{,}39-0{,}195+0{,}003\cdot 0{,}5)^{2}\\0{,}39\cdot 2\cdot 0{,}003\cdot (0{,}5\cdot 0{,}39-0{,}195)^{2}\end{pmatrix}}}
I= 10-5 ∙(2,966+ 1,636 + 1,636 + 0)
I= 6,238∙10-5 m4
Spannung σ2 im oberen Stegende
σ
2
=
−
M
⋅
z
I
+
N
A
{\displaystyle \sigma _{2}={\frac {-M\cdot z}{I}}+{\frac {N}{A}}}
σ
2
=
−
0,018
375
⋅
(
0
,
39
−
0,195
)
6,238
⋅
10
−
5
−
0,433
0,003
187
{\displaystyle \sigma _{2}={\frac {-0{,}018375\cdot (0{,}39-0{,}195)}{6{,}238\cdot 10^{-5}}}-{\frac {0{,}433}{0{,}003187}}}
σ2 = -57,44 - 135,88
σ2 = -193,32N/mm²
Spannung σ1 im unteren Stegende
σ1 = 57,44 - 135,88
σ1 = - 78,44N/mm²
Spannungsnulllinie S
S
=
h
w
⋅
(
1
−
σ
2
σ
2
−
σ
1
)
{\displaystyle S=h_{w}\cdot \left(1-{\frac {\sigma _{2}}{\sigma _{2}-\sigma _{1}}}\right)}
S
=
0
,
39
⋅
(
1
−
78
,
5
78
,
5
−
193
,
3
)
{\displaystyle S=0{,}39\cdot \left(1-{\frac {78{,}5}{78{,}5-193{,}3}}\right)}
S= 0,656m
Die Spannungsnulllinie liegt außerhalb des Trägers
b= 0,39m
Randspannungsverhältnis ψ
Ψ
=
σ
1
σ
2
=
−
78
,
44
−
193
,
32
{\displaystyle \Psi ={\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{2}}}={\frac {-78{,}44}{-193{,}32}}}
ψ= 0,406
Beulwert kσ
k
σ
=
8
,
2
1
,
05
+
Ψ
=
8
,
2
1
,
05
+
0,406
{\displaystyle k_{\sigma }={\frac {8{,}2}{1{,}05+\Psi }}={\frac {8{,}2}{1{,}05+0{,}406}}}
(Eurocode 1993-1-5 Tabelle 4.1)
kσ = 5,633
Beulschlankheitsgrad
λ
¯
p
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}}
λ
¯
p
=
b
t
w
⋅
28,434
32
⋅
ϵ
⋅
k
σ
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}={\frac {b}{t_{w}\cdot 28{,}43432\cdot \epsilon \cdot {\sqrt {k_{\sigma }}}}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)
λ
¯
p
=
0
,
39
0,003
⋅
28,434
32
⋅
0,813
6
⋅
5,633
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}={\frac {0{,}39}{0{,}003\cdot 28{,}43432\cdot 0{,}8136\cdot {\sqrt {5{,}633}}}}}
λ
¯
p
=
2,367
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}=2{,}367}
Abminderungsfaktor ρ
ρ
=
λ
¯
p
−
0,055
⋅
(
3
+
Ψ
)
λ
¯
p
2
{\displaystyle \rho ={\frac {{\overline {\lambda }}_{p}-0{,}055\cdot (3+\Psi )}{{\overline {\lambda }}_{p}^{2}}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
ρ = (2,367 - 0,055∙(3 + 0,406))/2,367²
ρ = 0,38895
Bruttobreiten
b
u
=
2
⋅
b
5
−
Ψ
=
2
⋅
0
,
39
5
−
0,406
{\displaystyle b_{u}={\frac {2\cdot b}{5-\Psi }}={\frac {2\cdot 0{,}39}{5-0{,}406}}}
(Eurocode 1993-1-5 Bild A.1)
bu = 0,1697
bo = b - bu = 0,39 - 0,17
bo = 0,2202
wirksame Breiten
bu1,eff = bu ∙ρ = 0,1697∙0,38895
bu1,eff = 0,06603
bo1,eff = bo ∙ρ = 0,2202∙0,38895
bo1,eff = 0,08558
Σbeff = 0,06603 + 0,08565
Σbeff = 0,1517
Verlust= b - Σbeff
Verlust= 0,39 - 0,1517
Verlust= 0,2383m
Knickstabähnliches Verhalten ist ausgeschlossen, weil das Beulfeld wesentlich länger ist als es hoch ist.
Abminderungsfaktor ρc für Plattenbeulen
ρc = 0,38895
Die Berechnung der wirksamen Querschnittswerte wird übersprungen.
Aeff = 0,001757m²
heff = 0,20298
Iy,eff = 5,536∙10-5 m4
I
z
,
e
f
f
=
∑
(
I
z
−
2
⋅
(
0
,
29
−
b
f
)
3
⋅
t
f
/
12
2
⋅
(
−
V
e
r
l
u
s
t
)
⋅
t
w
⋅
(
0
,
29
/
2
−
1
,
5
⋅
t
w
)
2
)
{\displaystyle I_{z{,}eff}=\sum {\begin{pmatrix}I_{z}\\-2\cdot (0{,}29-b_{f})^{3}\cdot t_{f}/12\\2\cdot (-Verlust)\cdot t_{w}\cdot (0{,}29/2-1{,}5\cdot t_{w})^{2}\end{pmatrix}}}
I
z
,
e
f
f
=
∑
(
5,839
⋅
10
−
5
−
2
⋅
(
0
,
29
−
0,141
2
)
3
⋅
0,003
/
12
−
2
⋅
0,238
3
⋅
0,003
⋅
(
0,145
−
1
,
5
⋅
0,003
)
2
)
{\displaystyle I_{z{,}eff}=\sum {\begin{pmatrix}5{,}839\cdot 10^{-5}\\-2\cdot (0{,}29-0{,}1412)^{3}\cdot 0{,}003/12\\-2\cdot 0{,}2383\cdot 0{,}003\cdot (0{,}145-1{,}5\cdot 0{,}003)^{2}\end{pmatrix}}}
Iz,eff = 10-5 ∙(5,839 - 0,1647 - 2,822)
Iz,eff = 2,851∙10-5 m4
Widerstandsmoment oben
Widerstandsmoment unten
W
e
f
f
,
o
=
I
Z
=
I
e
f
f
h
s
,
e
f
f
+
t
f
1
/
2
{\displaystyle W_{eff{,}o}={\frac {I}{Z}}={\frac {I_{eff}}{h_{s{,}eff}+t_{f1}/2}}}
W
e
f
f
,
u
=
I
Z
=
I
e
f
f
h
w
−
h
s
,
e
f
f
+
t
f
2
/
2
{\displaystyle W_{eff{,}u}={\frac {I}{Z}}={\frac {I_{eff}}{h_{w}-h_{s{,}eff}+t_{f2}/2}}}
W
e
f
f
,
o
=
5,536
⋅
10
−
5
0,202
98
+
0,003
/
2
{\displaystyle W_{eff{,}o}={\frac {5{,}536\cdot 10^{-5}}{0{,}20298+0{,}003/2}}}
W
e
f
f
,
u
=
5,536
⋅
10
−
5
0
,
39
−
0,202
98
+
0,003
/
2
{\displaystyle W_{eff{,}u}={\frac {5{,}536\cdot 10^{-5}}{0{,}39-0{,}20298+0{,}003/2}}}
Weff,o = 2,704∙10-4 m³
Weff,u = 2,934∙10- 4 m³
MRd = Weff,o ∙fyd
MRd,u = Weff,u ∙fyd
MRd = 2,704∙10-4 ∙355000
MRd,u = 2,934∙10- 4 ∙355000
MRd = 96,1kNm
MRd,u = 104,3kNm
Der verschobene Schwerpunkt erhöht das Moment.
MEd,N = MEd + NEd ∙(Hs,eff - Hs )
MEd,N = 18,375 + ( - 433)∙(0,195 - 0,203)= 18,375+ 3,464
MEd,N = 21,83kNm
Nachweis
η
1
=
M
E
d
,
N
f
y
d
⋅
W
e
f
f
,
o
−
N
f
y
d
⋅
A
e
f
f
{\displaystyle \eta _{1}={\frac {M_{Ed{,}N}}{f_{yd}\cdot W_{eff{,}o}}}-{\frac {N}{f_{yd}\cdot A_{eff}}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1)4
η
1
=
0,021
83
0,000
2704
⋅
355
+
0,433
1
355
⋅
0,001
757
{\displaystyle \eta _{1}={\frac {0{,}02183}{0{,}0002704\cdot 355}}+{\frac {0{,}4331}{355\cdot 0{,}001757}}}
η1 = 0,228 + 0,694
η1 = 0,9213
Nachweis erfüllt
Querschnittsnachweis unten
η
1
u
=
−
M
E
d
,
N
f
y
d
⋅
W
e
f
f
,
u
−
N
f
y
d
⋅
A
e
f
f
{\displaystyle \eta _{1u}=-{\frac {M_{Ed{,}N}}{f_{yd}\cdot W_{eff{,}u}}}-{\frac {N}{f_{yd}\cdot A_{eff}}}}
η
1
u
=
−
0,021
83
0,000
2934
⋅
355
+
0,433
355
⋅
0,001
757
{\displaystyle \eta _{1u}=-{\frac {0{,}02183}{0{,}0002934\cdot 355}}+{\frac {0{,}433}{355\cdot 0{,}001757}}}
η1u = - 0,209 + 0,694
η1u = 0,484
Nachweis erfüllt
Querschnittswerte Eurocode
Werte
Nettowerte
A
0,00408
0,0017575
Iy
0,00009685
0,00005536
Iz
0,00005839
0,00002852
Es werden die Werte des ungeschwächten Querschnitts und die Fläche des effektiven Querschnittes benötigt.
Nachweisformat
N
E
d
N
b
,
R
d
<
1
{\displaystyle {\frac {N_{Ed}}{N_{b{,}Rd}}}<1}
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.46)
Nb,Rd = χ∙Aeff ∙fyd /γM1 (Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.48)
Um mit der DIN vergleichen zu können, werden diese beiden Gleichungen zu einem einheitlichen Nachweis verschmolzen.
Biegeknicknachweis
N
E
d
⋅
γ
M
1
χ
⋅
A
e
f
f
⋅
f
y
<
1
{\displaystyle {\frac {N_{Ed}\cdot \gamma _{M1}}{\chi \cdot A_{eff}\cdot f_{y}}}<1}
Nachweis gegen Biegeknicken um die schwache Achse
N
c
r
=
E
⋅
I
z
⋅
π
2
l
2
{\displaystyle N_{cr}={\frac {E\cdot I_{z}\cdot \pi ^{2}}{l^{2}}}}
wobei Ncr und Iy nach Eurocode 1993-1-1 Gl. 6.49 mit Bruttoquerschnittsgrößen berechnet werden.
N
c
r
=
210
⋅
10
9
⋅
5,839
⋅
10
−
5
⋅
π
2
7
2
{\displaystyle N_{cr}={\frac {210\cdot 10^{9}\cdot 5{,}839\cdot 10^{-5}\cdot \pi ^{2}}{7^{2}}}}
Ncr = 2,469MN
λ
¯
=
A
e
f
f
⋅
f
y
k
N
c
r
{\displaystyle {\overline {\lambda }}={\sqrt {\frac {A_{eff}\cdot f_{yk}}{N_{cr}}}}}
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.51)
λ
¯
=
0,001
757
⋅
355
2,469
{\displaystyle {\overline {\lambda }}={\sqrt {\frac {0{,}001757\cdot 355}{2{,}469}}}}
λ
¯
=
0,503
{\displaystyle {\overline {\lambda }}=0{,}503}
α= 0,34 für geschweiße Kastenquerschnitte (Eurocode 1993-1-1 Tabelle 6.2)
Φ
=
0
,
5
⋅
(
1
+
α
⋅
(
λ
¯
−
0
,
2
)
+
λ
¯
2
)
{\displaystyle \Phi =0{,}5\cdot (1+\alpha \cdot ({\overline {\lambda }}-0{,}2)+{\overline {\lambda }}^{2})}
Φ= 0,5∙(1+ 0,34∙(0,503-0,2)+0,503²)
Φ= 0,678
χ
=
1
Φ
+
Φ
2
−
λ
¯
2
{\displaystyle \chi ={\frac {1}{\Phi +{\sqrt {\Phi ^{2}-{\overline {\lambda }}^{2}}}}}}
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.49)
χ
=
1
0,678
+
0,678
2
−
0,503
2
{\displaystyle \chi ={\frac {1}{0{,}678+{\sqrt {0{,}678^{2}-0{,}503^{2}}}}}}
χ= 0,88306
Nachweis
N
E
d
⋅
γ
M
1
χ
⋅
A
e
f
f
⋅
f
y
<
1
{\displaystyle {\frac {N_{Ed}\cdot \gamma _{M1}}{\chi \cdot A_{eff}\cdot f_{y}}}<1}
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.46)
0,433
1
⋅
1
0,883
06
⋅
0,001
757
⋅
355
{\displaystyle {\frac {0{,}4331\cdot 1}{0{,}88306\cdot 0{,}001757\cdot 355}}}
0,7861 < 1
Nachweis erfüllt
Nachweis gegen Biegeknicken um die starke Achse
N
c
r
=
E
⋅
I
y
⋅
π
2
l
2
{\displaystyle N_{cr}={\frac {E\cdot I_{y}\cdot \pi ^{2}}{l^{2}}}}
wobei Ncr und Iy nach Eurocode 1993-1-1 Gl. 6.49 mit Bruttoquerschnittsgrößen berechnet werden.
N
c
r
=
210
⋅
10
9
⋅
9,685
⋅
10
−
5
⋅
π
2
7
2
{\displaystyle N_{cr}={\frac {210\cdot 10^{9}\cdot 9{,}685\cdot 10^{-5}\cdot \pi ^{2}}{7^{2}}}}
Ncr = 4,097MN
λ
¯
=
A
e
f
f
⋅
f
y
k
N
c
r
{\displaystyle {\overline {\lambda }}={\sqrt {\frac {A_{eff}\cdot f_{yk}}{N_{cr}}}}}
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.51)
λ
¯
=
0,001
757
⋅
355
4,097
{\displaystyle {\overline {\lambda }}={\sqrt {\frac {0{,}001757\cdot 355}{4{,}097}}}}
λ
¯
=
0,390
3
{\displaystyle {\overline {\lambda }}=0{,}3903}
Φ
=
0
,
5
⋅
(
1
+
α
⋅
(
λ
¯
−
0
,
2
)
+
λ
¯
2
)
{\displaystyle \Phi =0{,}5\cdot (1+\alpha \cdot ({\overline {\lambda }}-0{,}2)+{\overline {\lambda }}^{2})}
Φ= 0,5∙(1+0,34∙(0,39-0,2) + 0,39²)
Φ= 0,608
χ
=
1
Φ
+
Φ
2
−
λ
¯
2
{\displaystyle \chi ={\frac {1}{\Phi +{\sqrt {\Phi ^{2}-{\overline {\lambda }}^{2}}}}}}
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.49)
χ
=
1
0,608
+
0,608
2
−
0,390
3
2
{\displaystyle \chi ={\frac {1}{0{,}608+{\sqrt {0{,}608^{2}-0{,}3903^{2}}}}}}
χ= 0,92992
Nachweis
N
E
d
⋅
γ
M
1
χ
⋅
A
e
f
f
⋅
f
y
<
1
{\displaystyle {\frac {N_{Ed}\cdot \gamma _{M1}}{\chi \cdot A_{eff}\cdot f_{y}}}<1}
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.46)
0,433
1
⋅
1
0,929
92
⋅
0,001
757
⋅
355
{\displaystyle {\frac {0{,}4331\cdot 1}{0{,}92992\cdot 0{,}001757\cdot 355}}}
0,7463 < 1
Nachweis erfüllt
Biegung mit Normalkraft
cmy = 0,95 für ψ=0 (ψ ≠ Randspannungsverhältnis) und αn =0 mit ψ und αn nach Tabelle B.3
k
y
y
=
c
m
y
⋅
(
1
+
0
,
6
⋅
M
I
N
(
1
;
λ
¯
y
)
⋅
N
E
d
⋅
γ
M
1
χ
⋅
A
e
f
f
⋅
f
y
)
{\displaystyle k_{yy}=c_{my}\cdot \left(1+0{,}6\cdot MIN(1;{\overline {\lambda }}_{y})\cdot {\frac {N_{Ed}\cdot \gamma _{M1}}{\chi \cdot A_{eff}\cdot f_{y}}}\right)}
(Eurocode 1993-1-1 Tabelle B.1)
kyy = 0,95∙(1+0,6∙0,39∙0,7463)
kyy = 1,116
My,Rk = Weff ∙ fyd (Eurocode 1993-1-1 Tabelle 6.7)
My,Rk = 96,11kN
Nachweis
N
E
d
⋅
γ
M
1
χ
⋅
A
e
f
f
⋅
f
y
+
k
y
y
⋅
M
y
,
E
d
+
Δ
M
y
,
E
d
M
y
,
R
k
/
γ
M
1
<
1
{\displaystyle {\frac {N_{Ed}\cdot \gamma _{M1}}{\chi \cdot A_{eff}\cdot f_{y}}}+k_{yy}\cdot {\frac {M_{y{,}Ed}+\Delta M_{y{,}Ed}}{M_{y{,}Rk}/\gamma _{M1}}}<1}
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.61)
0,746
3
+
1,116
⋅
18,375
+
3,464
96
,
11
/
1
{\displaystyle 0{,}7463+1{,}116\cdot {\frac {18{,}375+3{,}464}{96{,}11/1}}}
0,7463+ 0,2536
1 < 1
Nachweis erfüllt
Der Schubnachweis ist erfüllt, wird aber nicht gezeigt. Bei Einfeldträgern leisten die Flansche einen Beitrag zur Schubtragfähigkeit, aber laut Eurocode 1993-1-5 Kapitel 7.1.5 ist für Kastenträger Mf,Rd =0. Damit können Kastenträger keinen Beitrag zur Schubtragfähigkeit leisen.
Der Interaktionsnachweis wird nicht geführt, weil Schub und Biegung an unterschiedlichen Stellen sind.
Modell der wirksamen Spannungen nach dem Eurocode 1993-1-5 [ Bearbeiten ]
Bei dem Spannungsnachweis fließen die Abminderungsfaktoren für Beulen und Knicken ein.
ρc = 0,38895
χ= 0,92992
Spannungsnachweis
σ
x
,
E
d
⋅
γ
M
1
χ
⋅
ρ
c
⋅
f
y
<
1
{\displaystyle {\frac {\sigma _{x{,}Ed}\cdot \gamma _{M1}}{\chi \cdot \rho _{c}\cdot f_{y}}}<1}
193
,
3
⋅
1
0,929
92
⋅
0,388
95
⋅
355
<
1
{\displaystyle {\frac {193{,}3\cdot 1}{0{,}92992\cdot 0{,}38895\cdot 355}}<1}
1,505
≮
1
{\displaystyle 1{,}505\not <1}
Nachweis nicht erfüllt
Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen
Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes
Norm: Eurocode ;DIN ;Zusammenfassung