Plattenbeulen/ Erstes Rechenbeispiel/ EuroB

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Geometrie[Bearbeiten]

Maße des Querschnitts für das erste Rechenbeispiel
Quersteifen a' 2,9m
oberer Flansch bf2 0,37m tf2 11mm
unterer Flansch bf1 0,47m tf1 13mm
Steg hw 2,3m tw 7mm
Streckgrenze fyd 235N/mm²

Dieser Träger wird nicht in der Realität gebaut. Es werden hauptsächlich teilerfremde Maße verwendet, um die Berechnung besser nachvollziehen zu können. Es wird noch mal darauf hingewiesen, dass die Anzahl der Nachkommastellen nicht irgendeine Genauigkeit bedeuten, sondern der Zahlentyp. Die Zahlen werden daher länger als in anderen Zahlensystemen ausgeschrieben, damit kleine Fehler besser gefunden werden können und nicht als Rundungsfehler abgetan werden. Z.B. sieht eine fehlende Flanschdicke beim Spannungsnachweis in anderen Zahlensystemen aus wie ein Rundungsfehler, weil das Verhältnis zur Steghöhe weit unter 1% liegt. Die Erfahrung hat gezeigt, dass dadurch sehr viele „Rundungsfehler“ behoben werden konnten.

Die Streckgrenze für S235 ist dach dem Eurocode 235N/mm² und nach der DIN 240N/mm².

Schnittgrößen:

M= - 2424kNm
N= - 2020kN (- 2,02MN)
V= 695kN


Schubverzerrung
Schubverzerrung wird in diesem Rechenbeispiel vernachlässigt. Die mitwirkenden Flanschbreiten werden ignoriert. Der Flansch trage vollständig mit.

Bruttoquerschnittswerte[Bearbeiten]

As= bf2·tf2 + hw·tw + bf1·tf1
As= 0,37·0,011 + 0,007·2,3 + 0,47·0,013
As= 0,02628m²

Der Schwerpunkt hs wird vom unteren Stegende aus nach oben gemessen.

hs =1,06007m

Das Flächenträgheitsmoment I besteht aus 3 Steineranteilen und 3 Eigenanteilen

I= 10-3·(7,09 + 6,95 + 6,31 + 0,13)
I= 0,02049m4


Spannung σ2 im oberen Stegende

σ2= 146,7 - 76,9
σ2= 69,8N/mm²

Spannung σ1 im unteren Stegende

σ1= - 146,7 - 76,9
σ1= - 202,2N/mm²

Spannungsnulllinie S

S= 1,7098m


Berechnung von ρc[Bearbeiten]

b= hw= 2,3m

Randspannungsverhältnis ψ

ψ= - 0,345

Beulwert kσ

kσ= 7,81 - 6,29·ψ + 9,78·ψ² (Eurocode 1993-1-5 Tabelle 4.1)
kσ= 11,146

Beulschlankheitsgrad

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)

Abminderungsfaktor ρ

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
ρ = (3,46 - 0,055·(3 - 0,346))/3,46
ρ = 0,27673

Bruttobreiten
Von dem druckbeanspruchten Stegteil wird berechnet, welches Stück davon am unteren Flansch angrenzt und welches am oberen angrenzt. Es geht noch keine Fläche verloren.

bu = Wenn (ψ > 0 ; 2·MIN(S;Hw)/(5-ψ); 0,4·MIN(S;Hw))
bu= WENN( - 0,345 > 0;;0,4·MIN(1,7098;2,3))
bu= 0,4·1,7098
bu= 0,684
bo= Wenn (ψ > 0 ; (3-ψ)·MIN(S;Hw)/(5-ψ); 0,6·MIN(S;Hw))
bo= WENN( - 0,345 > 0;;0,6·MIN(1,7098;2,3))
bo= 0,6·1,7098
bo= 1,026


wirksame Breiten

Träger mit wirksame Breiten

Die wirksame Fläche Ac,eff eines druckbeanspruchten Teils berechnet sich mit

Ac,eff= Ac·ρ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1)
bu,eff= bu·ρ = 0,27673·0,68
bu,eff= 0,1893
bo,eff= bo·ρ = 0,27673·1,026
bo,eff = 0,2839
Σbeff = 0,1893 + 0,2839
Σbeff = 0,4732
Verlust= MIN(S;hw) - Σbeff
Verlust= MIN(1,7098;2,3) - 0,4732
Verlust= 1,237m


Verhalten
plattenartiges Verhalten

σE= 190000·(tw/hw
σE = 190000·(0,007/2,3)²
σE= 1,7599 MNm
σcr,p= kσ·σE = 1,7599·11,146
σcr,p= 19,6 MNm

knickstabähnliches Verhalten

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.8)
σcr,c= 1,106 MNm
k= 0,5·(1 + 0,21·(14,57 - 0,2) + 14,57²)
k= 108,26

Abminderungsfaktor

χc= 0,00464

Interaktion

und 0 < ξ < 1
ξ= 1
ρc = (ρ - χc)· ξ·(2 - ξ) + χc (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.13)
ρc = (0,27673 - 0,00464)·1·(2 - 1) + 0,00464
ρc = 0,27673

Wirksame Querschnittswerte[Bearbeiten]

Stegfläche im Druckbereich Aeff

Ac,eff= (bo,eff + bu,eff)·tw
Ac,eff= (0,189 + 0,283)·0,007
Ac,eff= 0,00331m²

In der Tabelle wird so gerechnet:

Formeln der Tabelle zur Berechnung der wirksamen Querschnittswerte
Stegdaten Stegteillänge i Ort Ort m A·Abstand Eigen I Steiner Teilfläche
oben Zug hw - MIN(hw;S) i + u (L +Lu)/2 tw·L·i tw·i³/12 tw·i·m i·tw
oben Druck bo,eff i + u (L +Lu)/2 tw·L·i tw·i³/12 tw·i·m i·tw
Loch Verlust i + u (L +Lu)/2 0 0 0 0
unten Druck bu,eff i (L +Lu)/2 tw·L·i tw·i³/12 tw·i·m i·tw
Summe Summe Summe

Die Buchstaben haben dabei diese Bedeutung:
Die erste Spalte legt einige Variablen fest. Wird eine dieser Variable in einer Zelle verwendet, so bezieht sie sich auf den Wert in der gleichen Spalte.
Weiterhin kann ein relativer Bezug auf Zellen genommen werden. Dabei bedeutet:

L= die linke Zelle
r= die rechte Zelle
u= die untere Zelle
o= die obere Zelle
L3= 3 Zellen nach links
Lu= die linke untere Zelle

Alle anderen Buchstaben haben globale Bedeutung.

tabellarische Berechnung der wirksamen Querschnittswerte
Stegdaten Stegteillänge Ort u Ort m A·Abstand Eigen I Steiner Teilfläche
oben Zug 0,590154823 2,3 2,0049226 0,0082825 0,000119899 0,002783416 0,0041311
oben Druck 0,283898472 1,7098452 1,5678959 0,0031159 0,0000133477 0,000292749 0,0019873
Loch 1,236681057 1,4259467 0,8076062 0 0 0 0
unten Druck 0,189265648 0,1892656 0,0946328 0,0001254 0,00000395487 0,001572485 0,0013249
0,0115237 0,000137201 0,00464865  0,007443
Aeff = As - hw·tw + ΣTeilfläche
Aeff = 0,02628 - 2,3·0,007 + 0,007443
Aeff = 0,01762

Schwerpunkt

hs,eff= wie hs, nur mit ΣA·Abstand statt mit Steg
hs,eff= 1,184m

effektives Flächenmoment zweiten Grades Ieff

Ieff= 0,01856m4

Widerstandsmomente

Weff,u= 0,01559 Weff,o= 0,01655
MRd= Weff,u·fyd
MRd= 0,01559·235000
MRd= 3664kNm

Der verschobene Schwerpunkt erhöht das Moment.

MEd,N= MEd + NEd·(hs - hs,eff)
MEd,N= - 2424 + 2020·(1,06007 - 1,184)
MEd,N= 2674kNm

Nachweis

η1= 0,7298 + 0,4878
η1= 1,2176

Nachweis nicht erfüllt

Das Moment darf nach Eurocode Kapitel 4 letzter Satz abgemindert werden.

x= MIN(0,4·a; 0,5·b)
x= MIN(0,4·2,9; 0,5·2,5)
x= 1,15
MEd,N:= MEd,N - V·x
MEd,N:= 2674 - 695·1,15
MEd,N:= 1875kNm

Nachweis

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.14)
η1= 0,512 + 0,488
η1= 1

Nachweis erfüllt
Da jedoch der Nachweis mit Abstand geführt wurde ist zusätzlich ein Klasse3-Querschnittsnachweis am Auflager erforderlich. Da der Querschnitt nicht geschwächt ist, wird das Moment nicht durch den verschobenen Querschnitt erhöht.

As= 0,02628m²
hs =1,06007m
I= 0,02049m4
σu= - 126,17 - 76,86
σu= - 203,03N/mm²
σo= 147,33 - 76,86
σo= 70,46N/mm²

σo und σu sind kleiner als fyd. Daher ist der Nachweis erfüllt.


Schubbeulen[Bearbeiten]

Der Querkraftwiderstand setzt sich aus einem Teil des Steges und des Flansches zusammen.

Beitrag des Steges

a/hw= 2,9/2,3
a/hw= 1,2609

Schubbeulwert

kτ= Wenn(a/hw >1; 5,34;4) + Wenn(a/hw <1; 5,34; 4)·(hw/a)² (Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.5)
kτ= 5,34 + 4·1,2609-2
kτ= 7,856

Schubbeulschlankheit

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.6)

für > 1,08 gilt:

(Eurocode 1993-1-5 Tabelle 5.1)
χw= 0,35746
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.2)
Vb,w,Rd= 780,8kN

Beitrag des Flansches

Mf,Rd ist die plastische Momententragfähigkeit der Flansche allein.
Mf,Rd= (hw + bf1/2 + bf2/2)·fy· MIN(bf1·tf1;bf2·tf2)
Mf,Rd= (2,3 + 0,012)·235000·MIN(0,37·0,011;0,47·0,013)
Mf,Rd= 2,312·235000·0,00407
Mf,Rd= 2211kNm

wirkt zusätzlich eine Normalkraft, so ist Mf,Rd um einen Faktor abzumindern.

Faktor = (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.9)
Faktor =
Faktor = 0,1556
Mf,Rd:= Mf,Rd·0,1556
Mf,Rd:= 2211·0,1556
Mf,Rd:= 344,1kNm
Mf,Rd< MEd

Da die Flansche ausgelastet sind, tragen sie keine Querkraft.

Vbf,Rd = 0 (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.8)
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.1)
Vb,Rd= MIN(780,8 + 0 ; 1,2·235000·2,3·0,007·3-0,5)
Vb,Rd= MIN(780,8; 2621)
Vb,Rd= 780,8kN

Nachweis

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.10)
η3= 0,89007
Da η3 größer als 0,5 ist, so ist ein Interaktionsnachweis erforderlich.


Lokales Beulen aus Einzellast[Bearbeiten]

In diesem Beispiel wirkt keine Einzellast.


Interaktion[Bearbeiten]

Berechnung von Mpl,N
Für die Interaktion wird Mpl,N benötigt. Excel sucht sich automatisch die Flächenhalbierende und erkennt, welche Flächen es wie abziehen muss. Da der Algorithmus sehr fehleranfällig ist, muss überprüft werden, ob Excel richtig rechnet. Mpl,N ist vom ungeschwächten Querschnitt (ohne Beuleinfluss). So rechnet Excel: Zuerst werden die Stegstücke mit Länge, Breite und Fläche übernommen. Die Steifen sind so hoch, wie der Steg breit ist. Die Länge wird aus der Steifenfläche rückgerechnet. Dort, wo eine Steife nicht existiert, wird ein kurzes Stegstück angesetzt. Auf der negativen halben Fläche werden die Teilflächen addiert. Wechselt der Wert auf positiv, so ist die Flächenhalbierende gefunden und der genaue Ort wird berechnet. Die Fläche mit der Flächenhalbierenden wird geteilt und im nächsten Schritt richtig einsortiert. Die Werte werden neu berechnet, sortiert und es wird berücksichtigt, dass bei den Steifen die Fläche rückgerechnet werden muss. Excel rechnet die Fläche aus, die für die Normalkraft nötig ist. Dann wird von der Flächenhalbierenden ausgehend bestimmt, welche Teilflächen verbraucht werden und welche geschwächt werden. Von den vollständigen und geschwächten Flächen wird der Schwerpunktabstand zur Flächenhalbierenden berechnet. Aus Fläche mal Abstand werden die Teilwiderstandsmomente errechnet. Die Summe ist WPl,N.

A= 0,02628m²

Maße für das platische Moment

Lage der Flächenhalbierenden (Flächen werden von oben nach unten abgezogen)

hF= 1,2957m

Fläche zur Aufnahme von N

AN= 0,008596m²
hwN= 1,228

Beginn und Ende der Verlustfläche

h1= hf + hwN/2= 1,2957 + 1,228/2
h1= 1,9097
h2= hf - hwN/2= 1,2957 - 0,614
h2= 0,6817

Widerstandsmoment

Wpl,N= (5,296 + 4,549 + 2,203 + 6,176)·10-3
Wpl,N= 0,01824m³
Mpl,N= Wpl,N·fyd
Mpl,N= 0,01824· 235000
Mpl,N= 4286kNm

Interaktion

η1= 0,43751
η3= 0,89007

Nachweis

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 7.1)
η1= 0,43751 + 0,55976
0,99726 < 1

Nachweis erfüllt



Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen
Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes
Norm: EuroB ;DINS ;EuroS ;DINB ;Zusammenfassung