Plattenbeulen/ drittes Rechenbeispiel/ EuroB

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Geometrie[Bearbeiten]

Es wird ein Zweifeldträger mit 2 Längssteifen und ohne Quersteifen an der Stütze untersucht. Er wird durch eine Gleichlast und einer Einzellast im ersten Feld belastet. Die Stahlgüte ist S355.

Träger- querschnitt
allgemeine Formelzeichen
Eingangsdaten für das dritte Rechenbeispiel
Quersteifen a' keine
Träger links l1= 5m
Träger rechts l2= 6,4m
Belastung links qEd= 18kN/m
Belastung rechts qEd= 18kN/m
Einzellast F= 9,3kN
Querschnittsdaten in mm
oberer Flansch bf2 =71 tf2 =3
unterer Flansch bf1 =91 tf1 =7
Steg hw =600 tw =3
Steife bsl =30 tsl =4
Steifenflansch hsl =24 tsl2 =3
obere Steife hw2 =300
untere Steife hw1 =150

BeulenStat3.svg Da bei diesem kleinen Träger sehr viele Nullen in den Formeln stehen, wird für die Länge öfter der Präfix Milli verwendet. Dabei entstehen natürliche Zahlen ohne Komma.

Schnittgrößen

M= - 80,23kNm
Vlinks= - 45 - 15,28 - 0,76 - 4,65
Vlinks= - 65,7
Vrechts= 57,6 + 11,93 + 0,59
Vrechts= 70,14
N= - 251,5kN

Schubverzerrung

b0= 0,091/2= 0,0455
Le= 0,25∙(L1 + L2)
Le= 2,85m
(Eurocode 1993-1-5 Tabelle 3.1)
K= 0,01592 <0,02
ß=1

keine Schubverzerrung

Grenz c/t

(Eurocode 1993-1-1 Tabelle 5.2)

6,28 < 11,39 Flansch trägt vollständig mit

Bruttoquerschnittswerte[Bearbeiten]

Da diese Berechnung schon zweimal durchgeführt wurde, werden jetzt nur die Ergebnisse gezeigt:

Fläche A= 0,00265m²
Schwerpunkt hs= 0,251m
Spannungsnulllinie S= 0,4m
Flächenmoment zweiten Grades I= 0,0001258m4
Spannung oben σ2= 127,6 N/mm²
Spannung neben der oberen Steife σsl2= - 63,8 N/mm²
Spannung neben der unteren Steife σsl1= - 159,5 N/mm²
Spannung unten σ1= - 255,2 N/mm²

Berechnung von ρc[Bearbeiten]

Zuerst werden die wirksamen Breiten der Einzelfelder berechnet. So geht man da für jedes Feld vor:

Randspannungsverhältnis ψ ausrechnen.
Beulwert kσ aus Tabelle Eurocode 4.1 berechnen.
Beulschlankheitsgrad nach Gleichung 4.3 ermitteln.
Abminderungsfaktor ρ Gleichung 4.2 errechnen.
Bruttobreiten bu und bo bestimmen.
wirksame Breiten mit bu1,eff= bu∙ρ berechnen

Da dies bereits in den vorherigen Rechenbeispielen vorgeführt wurde, wird dreimal derselbe Rechengang in einer Tabelle zusammengefasst.

Zusammenfassung des Rechengangs für alle 3 Beulfelder
Feld 1 Feld 2 Feld 3
b 0,148 0,146 0,098
ψ 0,625 0,4 -2
kσ 4,8954 5,6549 53,794
0,9638 0,8846 0,5861
ρ 0,8229 0,8915

Kontrolle:

(b1 + tsl/2) + (b2 + tsl) + (b3 + tls/2)= S
0,15 + 0,15 + 0,1= 0,4 OK
wirksame Breiten
Feld 1 Feld 2 Feld 3
bu 0,06767 0,06348 0,03921
bo 0,08034 0,08252 0,05881
bu eff 0,05567 0,05659 0,03921
bo,eff 0,06611 0,07356 0,05881
Σ beff 0,12179 0,13015 0,09802
verlust 0,02621 0,01585 0

Querschnittswerte der Steifen

wirksame Breiten an der oberen Steife
wirksame Breiten an der oberen Steife

Fläche der Längssteife ohne mitwirkende Breiten

As= bsl∙tsl + hsl∙ tsl2 - tsl∙ tsl2
As= 30∙4 + 24∙3 - 4∙3
As= 180mm²
bu,eff3 + bo,eff2 + tsl= 73,56 + 39,21 + 4= 116,8
bu + bo + tsl= 82,52 + 39,21 + 4= 125,73
Asl= tw∙(b2o + b3u + tsl) + As
Asl= 3∙(82,52 + 39,21 + 4) + 180
Asl= 557,1mm²

Der Schwerpunkt xsl wird auf die Stegmitte bezogen.

xsl= 6,784mm
Isl= 3 Eigen + 3 Steiner
Isl= 70354mm4

Druckkraft Fs in der Steife

Fs= σsl2∙ Asl2 = 63,8∙ 557,1
Fs= 35,56kN
wirksame Breiten an der unteren Steife
As= 180mm²
bu,eff2 + bo,eff1 + tsl= 56,59 + 66,12 + 4= 126,71
bu + bo + tsl= 80,34 + 63,48 + 4= 147,82

Fläche mit wirksamen Breiten

Asl= tw∙(b1o + b2u + tsl) + As
Asl= 3∙147,82 + 180
Asl= 623,5mm²

Schwerpunkt xsl

xsl= 6,289mm
Isl= 3 Eigen + 3 Steiner
Isl= 73130mm4

Druckkraft Fs in der Steife

Fs= σsl1∙ Asl1 = 159,5∙ 623,5
Fs= 99,46kN

Querschnittswerte der zusammengeführten Steife. Nach dem Eurocode sind 3 Fälle zu untersuchen. Die ersten beiden sind das einzelne Beulen und Knicken der Längssteifen und der dritte Fall ist das Beulen und Knicken beider Längssteifen gleichzeitig. Dabei wird eine Ersatzlängssteife geschaffen. Diese hat die Querschnittswerte der einzelnen Steifen zusammen und die Lage errechnet sich aus der Resultierenden der Kräfte der Steifen.

AL= Asl1 + Asl2 = 557,1 + 623,5
AL= 1180,6mm²
IL= Isl1 + Isl2 = 70354 + 73160
IL= 143514mm4
hwL= 0,1895
  untere obere zusammen
Asl 623,46 557,19 1180,7
xsl 6,0629 6,784
Isl 73130 70354 143484
hw 0,15 0,3 0,1895

Berechnung der idealen Beulspannung

drei Möglichkeiten des Ausbeulens

Bei der Berechnung der idealen Beulspannung gibt es die 3 Fälle zu untersuchen. In den ersten beiden Fällen wird das Beulen der einzelnen Steife untersucht, wobei die andere als starr angenommen wird. Der dritte Fall wird mit der zusammengeführten Steife gerechnet. Dabei besteht das Teilfeld immer aus der Steife und den benachbarten Einzelfeldern.


Jetzt wird dreimal der gleiche Rechenweg durchlaufen.
Beulen der unteren Steife

b1= hw1= 0,15m
b2= hw2 - hw1= 0,15m
b= B1= b1 + b2= 0,3m
ac= 1,126m
ac < a=5m

a= Quersteifenabstand

Ideale Beulspannung nach Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.4

für ac > a
für ac < a
σcr,sl= 3,536∙1014∙1,08∙10-6= 382∙106N/m²
σcr,sl= 382,6N/mm²

Die Beulspannung darf erhöht werden. Dabei wird die ideale Beulspannung auf den Ort der Steife bezogen.

σcr,p,1= 612,1N/mm²


Beulen der oberen Steife

b1= hw2 - hw1= 0,15m
b2= hw - hw2= 0,3m
b= B1= b1 + b2= 0,45m
ac= 1,4248m
ac < a=5m

Ideale Beulspannung nach Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.4

für ac < a
σcr,sl= 3,957∙1014∙0,65∙10-6= 257∙106N/m²
σcr,sl= 257,1N/mm²
σcr,p,2= 1028,3N/mm²


Beulen der gemeinsamen Steife

b1= hwL= 0,1895m
b2= hw - hwL= 0,4105m
b= B1= hw= 0,6m
ac= 2,083m
ac < a = 5m

Ideale Beulspannung nach Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.4

für ac < a
σcr,sl,lumped= 1,867∙1014∙0,619∙10-6= 115,7∙106N/m²
σcr,sl,lumped= 115,7N/mm²
σcr,p,lumped = 219,9N/mm²

Von den 3 idealen Beulspannungen ist die geringste maßgebend.

σcr,p= MIN(σcr,p,1cr,p,2cr,p,lumped)
σcr,p= MIN(612,1;1028,3;219,9)
σcr,p= 219,9N/mm²

BeulenTregerVerbeult.svg
Mit dieser Spannung kann der Beulnachweis für das Teilfeld geführt werden.

Ac= Asl1 + Asl2 = 623,46 + 557,19
Ac= 1180,7mm²
bu3,eff + bo2,eff + tsl= 56,6 + 66,1 + 4= 126,7
bu2,eff + bo1,eff + tsl= 73,6 + 39,2 + 4= 116,8
Ac,eff,loc= tw∙(bu3,eff + bo2,eff + tsl) + :As + tw∙( bu2,eff + bo1,eff + tsl) + As
Ac,eff,loc= 3∙126,7 + 180 + 3∙116,8 + 180
Ac,eff,loc= 1090,4mm²
ßA,c= 0,923
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
ρ = 0,72679

Knickstabverhalten
Beim knickstabähnlichen Verhalten wird nur das Ausknicken der unteren Steife untersucht.

Asl1,eff= untere Steife mit wirksamen Breiten
Asl1,eff= tw∙(b1o,eff + b2u,eff + tsl) + As
Asl1,eff= 3∙(56,6 + 66,1 + 4) + 180
Asl1,eff= 560,1mm²
Asl1= untere Steife mit Bruttobreiten
Asl1= tw∙(b1o + b2u + tsl) + As
Asl1= 3∙(80,3 + 63,5 + 4) + 180
Asl1= 623,4mm²
ßA,c= 0,898
Isl1= 7,313∙10-8m4
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.9)
σcr,sl= 9,72N/mm²
σcr,c= 15,56N/mm²

Im Kommentar [7] zum Eurocode 1993-1-5 wird für e1 eine gigantische Formel (mit Tippfehlern) verwendet. Bildet man das Momentengleichgewicht um den Steg, so lässt sich eine einfache Formel erzeugen.

Definition der Abstände e1 und e2
e2= xsl= 6,06mm
e2∙Asl= (e1 + e2)∙As
e1= 14,94mm
e= MAX(e1;e2)
e= 14,94mm

α= 0,49 für offene Querschnitte

i= 10,83mm
αe= α + 0,09e/i (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1)2
αe= 0,49 + 0,09∙14,9/10,8
αe= 0,614
k= 0,5∙(1 + 0,614∙(4,52 - 0,2) + 4,52²)
k= 12,08
χc= 0,042963

Interaktion

und ξ wird zwischen 0 < ξ < 1 begrenzt
ξ= 1
ρc = (ρ - χc)∙ ξ∙(2 - ξ) + χc (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1)3
ρc = (0,72679 - 0,042963)∙1∙(2 - 1) + 0,042963
ρc = 0,72679

Wirksame Querschnittswerte[Bearbeiten]

Die wirksamen Querschnittswerte werden in einer Exceltabelle berechnet. So wird in Excel gerechnet: Zuerst wird der Steg in viele Bereiche unterteilt: Ein Beulfeld unterteilt sich in 2 wirksame Breiten. In der Mitte des Beulfeldes ist ein Loch. Zwischen den Beulfeldern befindet sich die Steife. Das Beulfeld, das Zug enthält wird in einen Zug- und Druckbereich unterteilt (der Zugbereich ist 0 bei reinem Druck). Ist eine Steife nicht vorhanden, so werden die Steglängen des Beulfeldes auf 0 gesetzt. Dann wird der Schwerpunktabstand der Flächen zum unteren Stegende berechnet. Der Querschnitt besteht aus sehr vielen Rechtecken mit unterschiedlicher Dicke. Die Stegteile, die am Zugbereich oder Flansch anschließen haben die volle Stegdicke. Die Stegteile, die an einer Steife angrenzen haben eine mit ρc multiplizierte Stegdicke. Die Löcher haben eine Stegdicke von 0. Zu jedem Stegstück werden Fläche, Steineranteil, Eigenträgheitsanteil und A∙ Abstand berechnet, die in weiteren Formeln zu Querschnittswerte verarbeitet werden.

Damit lauten die Querschnittswerte

Aeff= 0,002324m²
hs,eff= 0,2616m
Ieff= 0,0001213m4
Widerstandsmoment unten Widerstandsmoment oben
Weff,u= 4,576∙10-4 Weff,o= 3,569∙10-4
MRd= Weff,u∙fyd MRd,o= Weff,o∙fyd
MRd= 4,576∙10-4∙355000 MRd,o= 3,569∙10-4∙355000
MRd= 162,4kNm MRd,o= 126,7kNm

Der verschobene Schwerpunkt erhöht das Moment.

MEd,N= - MEd + NEd∙(Hs - Hs,eff)
MEd,N= 80,23 + ( - 251,5)∙(0,2513 - 0,2616)
MEd,N= 82,83kNm

Nachweis

η1= 0,5099 + 0,3048
η1= 0,8147

Nachweis erfüllt

Nachweis oben

η1= 0,65376 + 0,30484
η1= 0,9586

Nachweis erfüllt

Nachweis, ob die Stegdicken weiter verringert werden müssen.

σcom,Ed= 184,4N/mm²
<1 (Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.3)

0,7147 < 1 Keine weitere Abminderung erforderlich

Die Nachweise sind zwar erfüllt, doch der Nachweis kann auch genauer geführt werden. Dazu errechnet man sich den Abstand, in dem der Nachweis geführt wird und führt bei der Quersteife den Querschnittsnachweis. Kann die Zugkraft nicht aufgenommen werden, so kann der Nachweis semiplastisch geführt werden.

Das Ergebnis würde so aussehen:

η1= 0,7512 statt 0,8147

und beim Querschnittsnachweis

η1u= 0,7252 (Nachweisunten)
η1o= 0,3621 (Nachweisoben)

Der semiplastische Nachweis kann nicht geführt werden, weil der Druckflansch zuerst plastifiziert.


Schubbeulen[Bearbeiten]

Beim Schubbeulen wirken andere Breiten mit.

beff= 15∙ε∙tw = 15∙0,8136∙3
beff= 36,61mm
Asl= (beff∙2 + tsl)∙tw + As
Asl= (36,61∙2 + 4)∙3 + 180
Asl= 411,7mm²
xsl= 9,182mm
Isl= 3 Eigen + 3 Steiner
Isl= 61181mm4

Berechnung des Schubbeulwertes
Es werden vom Einzelfeld und vom Gesamtfeld die Schlankheiten errechnet. Die kleinere ist maßgebend.

Gesamtfeld

kτsl= MAX( Formel 1; Formel 2)
Isl:= 2∙Isl, weil es 2 Steifen gibt
Formel 1= 0,5905
Formel 2= 4,12
kτsl= MAX(0,5905; 4,1203)
kτsl= 4,1203
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.5)
kt= 9,518

Schubbeulschlankheit

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.6)


Einzelfeld
Feldhöhe = größtes Schubbeulfeld= 0,3m

kτ= 5,3544

Schubbeulschlankheit

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.6)

Einzelfeldbeulen ist nicht maßgebend.

= MIN(1,419;2,129)= 2,129

für > 0,82/η gilt:

(Eurocode 1993-1-5 Tabelle 5.1)
χw= 0,4842
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.2)
Vb,w,Rd= 178,6kN

Der Beitrag der Flansche wird vernachlässigt, weil die Flansche stark ausgelastet sind.

Vb,Rd= Vb,w,Rd = 178,6kN

Schubbeulnachweis

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.1)0
η3= 0,3926 < 1

Nachweis erfüllt


Lokales Beulen aus einer Einzellast[Bearbeiten]

Der Träger muss die Einzellast von 9,3 aufnehmen können. Da dies ein langer Formelapparat ist, bei dem nichts neu ist und der schon einmal im zweiten Rechenbeispiel Kapitel VI durchgearbeitet wurde, wird die Berechnung übersprungen. Die Längssteife trägt nicht mit.

Leff= 0,0524
FRd= fyd∙ Leff∙ tw (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.1)
FRd= 355000∙0,0524∙0,003
FRd= 55,81kN

Nachweis

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.14)
η2= 0,16662

Nachweis erfüllt


Interaktion[Bearbeiten]

Zuerst muss das plastische Moment ausgerechnet werden. Die Steife trägt mit. Die Skizze hat keinen relativen Maßstab und ist auf das wichtigste reduziert. Flächenhalbierende

A= 213 + 1112 + 688 + 637 + 180 + 180
A= 3010mm²
A/2= 1505mm²

Die Flächenhalbierende liegt im Steg über der unteren Steife. wichtige Maße zur Berechnung der plastischen Momententragfähigkeit

Die wirkende Normalkraft zehrt den Steg von der Flächenhalbierenden beginnend auf.

AN= 708,5mm²
AN/2= 352,2mm²

Diese Fläche zehrt den gesamten Steg zwischen den Steifen auf. Dann werden die Steifen geschwächt. Die Flächen der Steifen werden zur Vereinfachung in einem Punkt konzentriert. Restflächen der Steifen

As,o= As + 70,666 ∙3 - 352,2
As,o= 180 + 212 -352,2
As,o= 37,8mm²
As,u= As + 79,333 ∙3 - 352,2
As,u= 180 + 238 - 352,2
As,u= 63,8mm²
W= 503473mm³
MPl,Rd= W∙fyd = 0,503473∙355
MPl,Rd= 178,7

Tragfähigkeit Mf,Rd der Flansche allein

Mf,Rd= MIN(A1;A2)∙ (hw + tf1/2 + tf2/2)∙fydEurocode 7.1.3
Mf,Rd= 213∙(600 + 1,5 + 3,5)∙355
Mf,Rd= 45,747kN

Da noch eine Normalkraft wirkt, muss Mf,Rd reduziert werden.

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.9)
Faktor= 0,1665
Mf,Rd:= Mf,Rd∙ Faktor
Mf,Rd= 45,747∙ 0,1665kN
Mf,Rd= 7,618kN

Der Interaktionsnachweis darf im Abstand x geführt werden. Die Höhe ist das größte Beulfeld.

x= 0,15
MEd= MEd,N - x∙V + x²∙q/2
MEd= 82,83 - 0,15∙70,13 + 0,15²∙18/2
MEd= 72,51
VEd:= VEd - x∙q
VEd= 70,13 - 0,15∙18
VEd= 67,43kN
= MIN(0,5;0,3788)

Nachweis

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 7.1)
0,4057 < 1

Nachweis erfüllt

Interaktion zwischen η1 und η2
0,35084 < 1

Nachweis erfüllt.

Sonstige Nachweise[Bearbeiten]

Für den Träger sind bestimmte Mindestanforderungen zu erfüllen. Die Mindestanforderungen sind in allen Rechenbeispielen eingehalten.

Mindestanforderungen an die Längssteife
Eine Längssteife muss mindestens so steif sein, dass sie nicht biegedrillknickt. Dies ist der Fall, wenn

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 9.3)

Dieser Nachweis wird auf das einheitliche Format umgeformt:

Torsionsträgheitsmoment It

It= 820mm4

Polares Trägheitsmoment Ip um den Anschlusspunkt der Steife an den Steg.

Iy= 36000 + 45 + 48735
Iy= 84780mm4
Iz= 160 + 2000 + 8640
Iz= 10800mm4
Ip= Iy + Iz
Ip= 84780 + 10800
Ip= 95580mm4

Die Formel für Iw ist höchstwahrscheinlich falsch. Sie ist aus dem Kommentar [7] zum Eurocode entnommen, im dem zwischen tsl und tsl2 nicht unterschieden wird.

Iw= 12870144mm6= 1,287∙10-11m4

Nachweis

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 9.3)

Nachweis nicht erfüllt

Es kann auch ein genauerer Nachweis geführt werden. Der Eurocode fordert σcr > θ∙ fyd mit θ=6, gibt aber keine Formel für die Berechnung von σcr an. Der Kommentar [7] zum Eurocode 1993-1-5 enthält im letzten „worked Example“ den benötigten Formelapparat. Der Nachweis wird vereinheitlicht zu

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 9.4)

Drehfedersteifigkeit cθ

mit b= Abstand zwischen den Steifen

cθ = 12600N

Dann errechnet man eine Länge Lcr, die kleiner sein muss, als der Quersteifenabstand, damit die Formel angewendet werden darf.

Lcr= 0,38m < a=5m

Formel ist gültig

σcr= 4554N/mm²

Nachweis erfüllt

Starres Auflager Einheiten der Kampfkrafttheorie

Mindestanforderungen an die Quersteifen
Es sind keine Quersteifen vorhanden. Für Quersteifen muss ein Nachweis gegen Biegedrillknicken geführt werden und die Anforderungen nach Eurocode 9.2.1 müssen eingehalten werden. Im Mittelauflager soll eine beidseitige steife Quersteife eingebaut werden.

An den Trägerenden müssen 2 Quersteifen als starre Auflagersteife eingebaut werden. Die Fläche einer solchen Quersteife muss mindestens sein:

(Eurocode 1993-1-5 9.3.1.3)

Dabei ist e der Steifenabstand. Er muss größer als ein Zehntel der Steghöhe sein.

Sind die Quersteifen 10cm entfernt, 6mm dick und 36mm hoch, so ist der Nachweis erfüllt

216= 216 OK

flanschinduziertes Stegbeulen
Dass der Flansch in den Steg einbeult, wird verhindert, wenn folgendes Kriterium eingehalten ist:

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 8.1)

mit

Aw= Stegfläche
Acf= effektive Querschnittsfläche des Druckflansches
k= 0,55 für elastische Bemessung
200 < 546,9

Flanschinduziertes Stegbeulen ist ausgeschlossen.



Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen
Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes
Norm: EuroB ;DINS ;EuroS ;DINB ;Zusammenfassung ;Variation der Geometrie