Plattenbeulen/ drittes Rechenbeispiel/ Variation der Geometrie

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Mehr Tragfähigkeit durch dünnere Längssteifen[Bearbeiten]

Reduziert man die Stegdicke von Längssteifen, so steigt nach dem Eurocode seltsamerweise die Tragfähigkeit. Die Ursache dafür liegt in dieser Formel

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.4)

Diese Formel berechnet die ideale Beulspannung. Asl und Isl sind Fläche und Trägheitsmoment der Längssteifen mit den wirksamen Breiten. Die Fläche geht im Nenner ein, das Flächenträgheitsmoment nur mit der Wurzel im Zähler. Steigt die Dicke des Steifensteges, so steigern sich Fläche und Trägheitsmoment in etwa gleich. Da die Trägheit mit der Wurzel schwächer ist, als die Fläche im Nenner, dominiert die Fläche. Eine kleine Zahl im Nenner bedeutet ein großer Wert. Mathematisch lässt sich das so ausdrücken:

As ~ I
a,b und c sind Konstanten.
Die Proportionalität wird eingesetzt.
As wird gekürzt und die Konstanten zusammengefasst
f(A)= ∞

Weiterhin wechselwirkt die Steifenfläche in dieser Gleichung

mit (Eurocode Gleichung 4.7) Beulen
mit (Eurocode Gleichung 4.11) Knicken

Wichtig dabei ist der Faktor ß. Beim Beulen ist die zusammengeführte Steife maßgebend, während beim Knicken die untere verwendet wird. So unterscheiden sich auch die Flächen im Bruch. Die Fläche der zusammengeführten Steife ist etwa doppelt so groß. Kürzt man die 2, so lässt sich aus beiden Gleichungen eine machen.

Ac ≈ 2∙Asl und Ac,eff,loc ≈ 2∙Asl,eff

Setzt man in die Formel ein, so erhält man:

Asl,eff ist immer kleiner als Asl, weil in Asl,eff wirksame Breiten enthalten sind. Sowohl in Asl und Asl,eff steckt die volle Steifenfläche As drin. Die zusätzlichen Breiten in der Fläche sind von der Steifenfläche unabhängig. Das bedeutet:

mit a < b

Diese Hyperbel ist monoton wachsend. Je kleiner die Steifenfläche As wird, desto kleiner wird ßA,c.

Eine reduzierte Steifenfläche wirkt sich also zweimal steigernd auf die ideale Beulspannung aus.
Eine kleinere Steifenfläche erhöht die ideale Beulspannung.
Eine kleinere Steifenfläche und größere ideale Beulspannung reduzieren die Schlankheit.
Eine reduzierte Schlankheit erhöht den Abminderungsfaktor.
Ein großer Abminderungsfaktor bringt mehr Tragfähigkeit.

Eigentlich müsste die Tragfähigkeit sinken, wenn das Beulfeld weniger ausgesteift wird.


Beulfeld mit mikroskopischen Steifen[Bearbeiten]

winzige Steifchen

Untersucht wird ein Beulfeld mit kleinen Längssteifchen. Die Steifchen haben diese Maße:

Steifensteglänge bsl= 30Å
Steifenflanschlänge hsl= 24Å
Steifenstegdicke tsl= 4Å
Steifenflanschdicke tsl2= 3Å

Nach dem Eurocode werden zuerst wirksame Breiten errechnet und dann eine wirksame Dicke. Logisch ist, dass eine Dicke von 0 herauskommen muss. Stattdessen kommt ein viel größerer Wert raus.

Die Ursache liegt wieder in dieser Formel:

(Eurocode Gleichung A.4)

In Asl und Isl stecken nur die wirksamen Breiten. Das bedeutet, dass sich diese Querschnitte aus einem Rechteck zusammensetzen.

Asl= t∙bbmit bb= tsl + bo1 + bu2 Bruttobreiten
Isl= t³∙bb/12

Setzt man Isl in die Gleichung A.4 ein so entsteht:

Man kann die Wurzel ziehen und Asl kürzen:

σcr,p= σcr,sl

Damit ist eine Gleichung entstanden, die unabhängig von den Steifen ist.

Setzt man in die Gleichung ein

σcr,sl= 10,95N/mm²
σcr,p,lumped = 20,67N/mm²

Rechnet man damit weiter:

Ac = 814,3mm²
Ac,eff,loc = 712,3mm²
ßpA,c = 0,8747
ρ = 0,24883

Zusammenfassend bedeutet das, dass Breiten mittragen, obwohl keine richtigen Längssteifen vorhanden sind. Für den Fall in diesem Rechenbeispiel tragen 25% der Breiten mit. Dennoch ist die Tragfähigkeit geringer, als wenn keine Längssteifen vorhanden sind. Dies liegt daran, dass für keine Längssteifen eine andere Formel verwendet wird.

Auswirkung der Längssteifengröße auf die Tragfähigkeit[Bearbeiten]

Es wird der Abminderungsfaktor ρc in Abhängigkeit von der Größe der Längssteife untersucht. Dabei sind alle untersuchten Steifen geometrisch ähnlich. Die Steifen haben diese Maße:

Steifensteglänge bsl= 30mm ∙ x
Steifenflanschlänge hsl= 24mm ∙ x
Steifenstegdicke tsl= 4mm ∙ x
Steifenflanschdicke tsl2= 3mm ∙ x
Die Maße im Rechenbeispiel sind für x=1.

Der Abminderungsfaktor wird in Abhängigkeit von x aufgetragen.

Einfluss der Steifengröße auf dem Abminderungsfaktor

Bei x=3,3 wird im Eurocode knickstabähnliches Verhalten aktiv und in der DIN beginnt es bei x=3,7. Dadurch sinkt die Tragfähigkeit je größer die Steifen werden. Erst bei Steifen mit unsinnigen Maßen beginnt der Abminderungsfaktor wieder zu steigen. Nach beiden Normen gibt es bei übermäßig riesigen Steifen kein reines Knicken. Es ist in beiden Wichtungsfaktoren noch ein Restbeulen vorhanden (bei x=60 verschwindet es in der DIN).

Variation der Belastung[Bearbeiten]

Die Einzellast wird entfernt. Der Träger steht unter Normalkraft oder Streckenlast. Untersucht wird, wie viel Streckenlast er unter einer bestimmten Normalkraft tragen kann. Die Geometrie ändert sich nicht und die Steifen bleiben an Ort und Stelle. Das Stützmoment kann nicht verwendet werden, weil der Eurocode bestimmte Abminderungen erlaubt.

Maximale Momententragfähigkeit in Abhängigkeit von der Normalkraft nach allen Rechenmodellen
EuroB DINS EuroS DINB
N in kN q in kN/m Nachweis q Nachweis q Nachweis q Nachweis
100 37,6 I 18,1 I 32 I 22,2 3
50 38 I S 17,1 I 30,4 I 22,2 3
0 38,2 S I 16,1 I 28,8 I 22,2 3
-100 36,4 S u 13,9 I 25,4 I 22 1 3
-150 34,7 u S 12,7 I 22,5 I 21 1 3
-200 32,5 u S 11,6 I 19,8 I 19,9 1
-250 30,3 u S 1 4,8 I 1 16,6 I 18,6 1
-300 27,6 1 u S 2,3 I 1 13,3 I 1 17,1 1
-350 24,3 1 u S 2,9 I 1 15,4 1
-400 20,6 1 S 13,7 1
-450 16,6 1 11,8 1
-500 12,7 1 9,7 1
-550 8,9 1 7,4 1
-600 4,9 1 #wert 4,9 1
-650 0 1 #wert 0 1
Die Abkürzungen haben folgende Bedeutungen
EuroB = Eurocode 1993-1-5 Kapitel 4-7 Modell der wirksamen Breiten
DINS= DIN 18800-3 Modell der wirksamen Spannungen
EuroS= Eurocode 1993-1-5 Kapitel 10 Modell der wirksamen Spannungen
DINB= DIN 18800-2 Modell der wirksamen Breiten
In der Spalte „Nachweis“ sind die maßgebenden Nachweise angegeben. Ein Nachweis ist maßgebend, wenn er größer als 0,95 ist. Die Abkürzungen haben dabei folgende Bedeutung
1: Nachweis η1 ist maßgebend.
3: Nachweis η3 ist maßgebend.
I: Der Interaktionsnachweis ist maßgebend.
S: Der semiplastische Querschnittsnachweis ist maßgebend.
u: Der untere Querschnittsnachweis ist maßgebend.
#wert: Einige Nachweise enthalten unsinnige Werte

Im Modell der wirksamen Spannungen kann nur der Interaktionsnachweis maßgebend werden. In der DIN nach dem Modell der wirksamen Spannungen sind nur die Nachweise η1 und η3 maßgebend. Der Nachweis der oberen Randspannung wird nicht maßgebend, weil vorher die Schubtragfähigkeit erreicht wird. Im Eurocode können alle Nachweise maßgebend werden. BeulenDiaStreckenlasttragfehigkeit.png

Im Diagramm ist aufgetragen, wie groß die Streckenlast bei einer bestimmten Normalkraft sein darf, bei der noch alle Nachweise erfüllt sind.
Nach dem Eurocode können große Streckenlasten aufgenommen werden, während beim Modell der wirksamen Breiten große Normalkräfte aufgenommen werden können.



Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen
Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes
Norm: EuroB ;DINS ;EuroS ;DINB ;Zusammenfassung ;Variation der Geometrie