Plattenbeulen/ zweites Rechenbeispiel/ Variation der Geometrie

Träger mit Längssteife am Stegende

Untersucht wird ein Träger, an dessen Stegende eine Längssteife angebaut wird. Die wirksame Druckflanschbreite wird zur Vereinheitlichung nach dem Eurocode berechnet. Die Längssteife im Rechenbeispiel wird bis 1mm vor Stegende verschoben. In der Praxis ist dies völliger Unsinn, aber eine Norm muss in sich geschlossen und widerspruchsfrei sein und beurteilen können, ob eine Konstruktion Unsinn ist. Welche Norm und welches Modell diese Prüfung besteht, wird hier untersucht. Plausibel ist folgendes Ergebnis: Es macht keinen Unterschied, ob die Längssteife vorhanden ist oder nicht.

Ergebnisse ohne Längssteifen und Ergebnisse mit Längssteifen
Nachweise	EuroB	DINS	EuroS	DINB	Nachweise	EuroB	DINS	EuroS	DINB
η₁	0,903	2,356	2,023	1,403	η₁	0,901	2,351	2,019	1,403
η_1u	0,946	x	x	0,946	η_1u	0,946	x	x	0,946
η_1o	0,994	x	x	1,187	η_1o	0,994	x	x	1,187
η₂	0,847	2,442	2,248	x	η₂	0,847	2,442	2,248	x
η₃	0,992	1,469	0,992	1,469	η₃	0,992	3,695	0,992	3,695
Interaktion	1,164	6,68	2,363	x	Interaktion	1,153	11,74	2,361	x
Interaktion 2	0,991	x	x	x	Interaktion 2	0,982	x	x	x

Im Eurocode gibt es in den Einzelnachweisen keine Unterschiede. Die Unterschiede in den Interaktionen sind 1%. Das liegt daran, dass die Steife im plastischen Moment mit berücksichtigt wird. Eine zusätzliche Fläche im Querschnitt, die weit vom Schwerpunkt entfernt ist, erhöht die Tragfähigkeit. Die Plastische Tragfähigkeit wirkt im Nenner von : ${\overline {\eta }}_{1}$ (nicht η₁). Hier zeigt sich, dass der Eurocode widerspruchsfrei ist.

In der DIN gibt es in allen Nachweisen, bis auf dem Schubnachweis, ebenfalls Widerspruchsfreiheit. Der Widerspruch ist in der (DIN 18800-3 Tabelle 1) zu finden. Für Beulfelder ohne Längssteifen gilt:

\kappa _{\tau }={\frac {0{,}84}{{\overline {\lambda }}_{p}}}

Sind Längssteifen vorhanden und die Schlankheit größer als 1,38 gilt stattdessen:

\kappa _{\tau }={\frac {1{,}16}{{\overline {\lambda }}_{p}^{2}}}

Damit ist die DIN nicht durchgehend widerspruchsfrei. Dieser Widerspruch wirkt sich nicht nur auf sinnlose Konstruktionen aus, sondern auch auf solche, bei denen die Steife etwas höher liegt. Eine zusätzliche Längssteife kann also die Schubtragfähigkeit verringern!

Die beiden Modelle sind widerspruchsfrei. Die Längssteife kann problemlos verschoben werden, ohne dass irgendwelche Sprünge, Singularitäten und Polstellen aktiviert werden.

Träger mit Längssteife in der Spannungsnulllinie

Das Ziel ist das gleiche, wie im vorherigem Abschnitt. Welche Widersprüche sind in den Normen zu finden? Untersucht wird der Träger im Rechenbeispiel, bei dem die Längssteife 0,4mm unter der Spannungsnulllinie liegt. Das zu erwartende Ergebnis ist, dass die Längssteife nur Wirkung auf die Schubtragfähigkeit hat.

Ergebnisse ohne Längssteifen und Ergebnisse mit Längssteifen
Nachweise	EuroB	DINS	EuroS	DINB	Nachweise	EuroB	DINS	EuroS	DINB
η₁	0,903	2,356	2,023	1,403	η₁	0,991	2,075	1,851	1,403
η_1u	0,946	x	x	0,946	η_1u	0,946	x	x	0,946
η_1o	0,994	x	x	1,187	η_1o	0,994	x	x	1,187
η₂	0,847	2,442	2,248	x	η₂	0,847	2,442	2,248	x
η₃	0,992	1,469	0,992	1,469	η₃	0,872	2,759	0,872	2,759
Interaktion	1,165	6,68	2,363	x	Interaktion	1,067	7,669	2,253	x
Interaktion 2	0,992	x	x	x	Interaktion 2	1,037	x	x	x

Baut man eine Längssteife auf der Spannungsnulllinie, so entstehen völlig andere Ergebnisse.

Der Nachweis der Einzellast hat sich nicht verändert. Das Modell der wirksamen Breiten in der DIN bringt scheinbar widerspruchsfreie Ergebnisse, jedoch nicht im Schubspannungsnachweis. Zu erwarten ist, dass die Schubbeanspruchung sinkt, da das Beulfeld halbiert wurde. Jedoch wird wegen des Vorhandenseins der Längssteifen eine andere Formel verwendet. Der ganze Steg wird für die Schubspannung verbraucht. Befinden sich im Steg Fehler in der Berechnung, so bleiben sie durch der Multiplikation mit 0 unsichtbar. Wäre das Rechenbeispiel so gewählt, sodass der Träger nicht nach dem Eurocode ausgelastet ist, sondern nach der DIN wirksame Breiten, so wären in den Auslastungen Unterschiede sichtbar.

Nach dem Eurocode erhöht die Längssteife tatsächlich die Schubtragfähigkeit.

Die Querschnittsnachweise η₁ und η_1u haben sich ebenfalls nicht verändert. Die Interaktionsnachweise liefern nur wegen veränderter Eingangswerte veränderte Werte. Wo die Ursachen für die unterschiedlichen Werte liegen wird jetzt gezeigt.

unterschiedliche Beulfelder
Die erste Ursache liegt bei der Berechnung von η₁. Beim Einzelfeldbeulen gibt es Unterschiede.



Das Einzelfeld hat eine andere Breite und einen anderen Beulwert.
Rechengang ohne Längssteife	Rechengang mit Längssteife
b= h_w= 2,9m	b= h_w1 - t_sl/2= 1,276m
Randspannungsverhältnis ψ
$\Psi ={\frac {\sigma _{2}}{\sigma _{1}}}={\frac {278}{-221}}$	$\Psi ={\frac {\sigma _{sl}}{\sigma _{1}}}=-{\frac {0{,}7}{-221}}$
ψ= - 1,258	ψ= 0,00317
Beulwert k_σ
k_σ= 5,98∙(1 - ψ)²	k_σ= 8,2/(1,05 + ψ)
k_σ = 5,98∙(1 + 1,258)²	k_σ = 8,2/(1,05 + 0,00317)
k_σ= 30,5	k_σ= 7,78
Beulschlankheitsgrad ${\overline {\lambda }}_{p}$
${\overline {\lambda }}_{p}={\frac {b}{t_{w}\cdot 28{,}43432\cdot \epsilon \cdot {\sqrt {k_{\sigma }}}}}$	${\overline {\lambda }}_{p}={\frac {b}{t_{w}\cdot 28{,}43432\cdot \epsilon \cdot {\sqrt {k_{\sigma }}}}}$
${\overline {\lambda }}_{p}={\frac {2{,}9}{0{,}009\cdot 28{,}43432\cdot 1\cdot {\sqrt {30{,}5}}}}$	${\overline {\lambda }}_{p}={\frac {1{,}276}{0{,}009\cdot 28{,}43432\cdot 1\cdot {\sqrt {7{,}78}}}}$
${\overline {\lambda }}_{p}=2{,}052$	${\overline {\lambda }}_{p}=1{,}787$
Abminderungsfaktor ρ
$\rho ={\frac {{\overline {\lambda }}_{p}-0{,}055\cdot (3+\Psi )}{{\overline {\lambda }}_{p}^{2}}}$	$\rho ={\frac {{\overline {\lambda }}_{p}-0{,}055\cdot (3+\Psi )}{{\overline {\lambda }}_{p}^{2}}}$
$\rho ={\frac {2{,}052-0{,}055\cdot (3-1{,}25)}{2{,}052^{2}}}$	$\rho ={\frac {1{,}787-0{,}055\cdot (3+0{,}003)}{1{,}787^{2}}}$
ρ = 0,465	ρ = 0,507

Die Längssteife erhöht den Abminderungsfaktor. Aus diesem entstehen längere wirksame Breiten. Damit lassen sich im Modell der wirksamen Spannungen (beide Normen) die geringeren Auslastungen erklären.

Unendliche ideale Beulspannung
Im Eurocode gibt es eine Polstelle. Untersucht man das Knicken der Steife, so stellt man fest, dass man den Ort der Steife berücksichtigen kann.

\sigma _{cr{,}c}={\frac {\sigma _{cr{,}sl}\cdot S}{S-h_{w1}}}mit\lim _{h_{wt}\to S}

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.9 Anmerkung)

\sigma _{cr{,}c}={\frac {\sigma _{cr{,}sl}\cdot S}{S-S}}={\frac {\sigma _{cr{,}sl}\cdot S}{0}}

σ_cr,c= ∞

reduzierte Schlankheit
Nachdem σ_cr,c ausgerechnet wurde, errechnet sich die Schlankheit:

{\overline {\lambda }}_{c}={\sqrt {\frac {\beta _{A{,}c}\cdot f_{y}}{\sigma _{cr{,}c}}}}

mit

\beta _{A{,}c}={\frac {A_{sl{,}eff}}{A_{sl}}}

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.11)

Also je mehr Fläche durch Einzelfeldbeulen verloren geht, desto geringer ist die Schlankheit für Teilfeldbeulen. Sinkt die Stegdicke, so sinkt ρc und die Tragfähigkeit. In diesem Punkt gibt es keinen Widerspruch. Ändert man aber die Form der Steifen, so entsteht Unsinn.

uneinheitlicher Abstand
Beim Eurocode mit dem Modell der wirksamen Spannungen gibt es nicht nur eine Veränderung der wirksamen Breiten sondern am Ende auch einen Widerspruch. Der Nachweis darf im Abstand von 0,5∙b und 0,4∙a geführt werden, wobei b die Beulfeldbreite ist und a der Quersteifenabstand. Laut dem Kommentar [7] zum Eurocode wird das größte Beulfeld verwendet. Baut man eine Steife ein, so sinkt die Beulfeldhöhe und das Moment darf weniger abgemindert werden.


Rechengang mit Längssteife	Rechengang ohne Längssteife
$x=MIN\left({\frac {h_{w}-h_{1}}{2}};0{,}4\cdot a\right)$	$x=MIN\left({\frac {h_{w}}{2}};0{,}4\cdot a\right)$
x= MIN(1,62/2; 0,4∙7,1)	x= MIN(1,45; 2,84)
x= 0,81	x= 1,45
M_Ed= 6634kNm	M_Ed= 5943kNm

Baut man also eine Längssteife auf der Spannungsnulllinie ein, so stürzt die Brücke laut Eurocode ein.

Ergebnis ohne Widersprüche
Setzt man x=1,45 und ρ= 0,465 und ignoriert in der DIN $\kappa _{\tau }=1{,}16/{\overline {\lambda }}_{p}^{2}$ , so entsteht dieses Ergebnis

Ergebnisse ohne Längssteifen und Ergebnisse mit Längssteifen
Nachweise	EuroB	DINS	EuroS	DINB!Nachweise	EuroB	DINS	EuroS	DINB
η₁	0,903	2,355	2,026	η₁	0,903	2,355	2,026	1,403
η_1u	0,946	x	x	η_1u	0,946	x	x	0,946
η_1o	0,994	x	x	η_1o	0,994	x	x	1,187
η₂	0,847	2,442	2,248	η₂	0,847	2,442	2,248	x
η₃	0,992	1,469	0,992	η₃	0,872	1,255	0,872	1,255
Interaktion	1,165	6,678	2,364	Interaktion	0,94	6,524	2,316	x

Ganz deutlich sieht man, dass der Nachweis η₁ sich nicht mehr verändert und sich die Schubtragfähigkeit erhöht.

Einfluss des Ortes der Steife auf die Tragfähigkeit

Da nun die beiden Extremfälle untersucht sind, wird im Diagramm der Einfluss des Ortes der Steife angezeigt.

Auf der x-Achse ist der Abstand der Steife zum Druckflansch aufgetragen und auf der Y-Achse das Ergebnis des Interaktionsnachweises. Die Kurve der DIN 18800-3 wurde um den Faktor 5 skaliert und nach der DIN 18800-2 ist das Ergebnis immer 1,403 , weil der überlastete Steg keinen Einfluss mehr hat.

Interaktionsnachweis in Abhängigkeit vom Ort der Steife

Interaktionsnachweis in Abhängigkeit vom Ort der Steife
Ort	EuroB	DINS	EuroS
0,001	1,153	11,74	2,361
0,1	1,112	10,74	2,296
0,2	1,073	9,67	2,24
0,3	1,035	8,1	2,193
0,4	0,999	7,38	2,156
0,5	0,982	7,11	2,141
0,6	0,993	7,22	2,144
0,8	1,015	7,36	2,154
1	1,038	7,39	2,192
1,15	1,055	7,53	2,225
1,28	1,067	7,67	2,253

Der Träger aus dem Rechenbeispiel kann noch optimiert werden, indem die Längssteife um 7cm höher geschoben wird.

Einfluss der Stahlgüte auf die Tragfähigkeit

Die Stahlgüte beeinflusst die Schlankheit und geht proportional in die plastischen Schnittgrößen ein. Die Gesamtwirkung wird im Diagramm aufgetragen. Auf der Y-Achse wird der Interaktionsnachweis aufgetragen. Die Interaktion entspricht im Eurocode nach dem Modell der wirksamen Spannungen der Auslastung. Für das andere Modell lässt sich die Interaktion nicht in eine Auslastung umrechnen. Bei der DIN ist das für beide Modelle nahezu der Fall. Für die DIN 18800-3 wurden die Werte durch 2 dividiert, um sie im Diagramm darstellen zu können. Interaktionsnachweis in Abhängigkeit von der Stahlgüte Formel für die Kampfkraft für Mischarmeen

Im Gegensatz zu einem Knickstab erhöht sich die Tragfähigkeit mit zunehmender Streckgrenze. Bildet man dazu den reziproken Wert, so entstehen 4 Geraden. Diese Geraden sind unmerkbar positiv gekrümmt. Ab einer Streckgrenze von 460N/mm² ist der Steg nach der DIN nicht mehr überlastet, sodass er nach der DIN 18800-2 mitträgt. Für eine unendlich große Streckgrenze gehen alle Nachweise gegen 0.

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Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes

Norm: EuroB ;DINS ;EuroS ;DINB ;Zusammenfassung ;Variation der Geometrie