Woher kommt der Auftrieb bei einer Umströmung?

Einleitung 1 Luftdruck - 2 Brown - 3 Gasmodell - 4 Kontinuitätsgleichung - 5 Bernoulli - 6 Flügelprofil - 7 Asymmetrie - 8 Stromlinien - 9 Relativbewegung - 10 Modellvorstellungen

Die umströmende Luft beschleunigt sich selber

Dieses Kapitel kombiniert die grundlegenden Erkenntnisse der vorangegangenen Betrachtungen und führt zu einem zentralen Teil der Erklärung des Auftriebs. Welche grundlegenden Erkenntnisse werden hier benutzt:

• Der Druck in einem ruhenden Gas wirkt in alle Richtungen gleich (=statische Druck).
• Ein Gas besteht aus kleinsten Teilchen, die sich in ständiger ungeordneter Bewegung befinden (Brown'sche Molekularbewegung)
• In der kinetischen Gastheorie wird der statische Druck durch Reflexion der kleinsten Teilchen an den Begrenzungswänden erklärt.
• Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass bei einer Verengung des Strömungsquerschnitts die strömende Luft eine höhere Geschwindigkeit besitzt.

Diese 4 Erkenntnisse werden nun zusammengebracht. Die Kontinuitätsgleichung beschreibt im allgemeinen das Verhalten von Rohrströmungen bei einer Verengung. Die Aussage der Kontinuitätsgleichung wird hier auf die qualitativ ähnliche Situation beim Umströmen von Hindernissen übertragen, denn auch hier gibt es eine Verengung des Strömungsquerschnitts.

Die zentrale Frage dieses Kapitels ist nun: Woher kommt die zusätzliche kinetische Energie bei einer verengten Umströmung? Energie ist eine Erhaltungsgröße und kann nicht einfach erzeugt oder vernichtet werden, sie wird entweder von außen zugeführt oder ist schon im System vorhanden und macht sich nur anders bemerkbar.

Man betrachte die Situation des abgebildeten LKWs im Windkanal. Oberhalb des LKW hat der Luftstrom eine geringere Querschnittsfläche zur Verfügung, dort wird die Luft gemäß der Kontinuitätsgleichung also schneller strömen. Dies entspricht einer höheren kinetischen Energie. Der ruhende LKW kann schwerlich zusätzliche kinetische Energie an den Luftstrom übertragen, welche Kraft sollte das bewirken? Es gibt in dieser Situation auch kein anderes System, welches die notwendige Energie dem Luftstrom von außen hinzufügen könnte. So bleibt nur eine Schlussfolgerung: Bei einem verringerten Strömungsquerschnitt beschleunigt sich die Luft selbst und deswegen kommt die benötigte Energie aus dem Energievorrat der Luftströmung selber. Es wird hier keine Betrachtung über den Mechanismus der Beschleunigung angestellt, die Aussage bezieht sich nur auf die Quelle der dazu benötigten Energie.

Animation der Umströmung eines Hindernisses im kinetischen Gasmodell

Im Windkanal besitzt die strömende Luft kinetische Energie, die ihr zuvor, z.B. durch einen Propeller zugeführt wurde (Im Bild angedeutet durch den gelben Geschwindigkeitspfeil in Strömungsrichtung). Das kinetische Gasmodell zeigt, dass die strömende Luft im Windkanal darüber hinaus stets auch kinetische Energie in der ungeordneten Teilchenbewegung besitzt, angedeutet durch die Größe des Kreises mit den gleichverteilten Geschwindigkeiten in den 6 Raumrichtungen. Diese Energie wird auch als Innere Energie oder Druckenergie bezeichnet. Es ist dieser Energievorrat, der für die Beschleunigung der Luft in einer Verengung während der Umströmung benutzt wird .

Es bleibt hier die Frage offen, wie die Luft ihre Beschleunigung anstellt aber es soll festgestellt werden, dass in der Umströmung die kinetische Energie der ungeordneten Bewegung abgenommen hat (kleinerer Kreis) zugunsten einer zusätzlichen Geschwindigkeit (weißer Pfeil) in Strömungsrichtung. Man könnte auch sagen, die Energie der ungeordneten Bewegung ist konstant geblieben aber die Gleichverteilung der Energie der ungeordneten Bewegung ist während der Umströmung gestört und wird am Ende der Umströmung wieder hergestellt.

Druckverhältnisse in der Umströmung von Hindernissen

Durch die Umströmung des fahrenden LKW wölbt sich die Plane hinter der Fahrerkabine nach außen

Die höhere Strömungsgeschwindigkeit bei der Umströmung von Hindernissen kann in der Realität beobachtet und mit geeigneten Instrumenten gemessen werden. Interpretiert man das Verhalten der umströmenden Luft durch eine Umverteilung der inneren Energie, gibt es noch eine zweite Konsequenz, welche für die Frage nach der Ursache des Auftriebs einen entscheidenden Baustein liefert.
Aus dem kinetischen Gasmodell wurde als Folge der ungeordneten Bewegung eine Gesetzmäßigkeit für den statischen Druck eines Gases abgeleitet. Diese Betrachtung zeigt, dass der Druck u.a. von der kinetischen Energie der Teilchen abhängig ist, mit denen diese gegen Begrenzungswände stoßen. Als notwendige Konsequenz wird in einer Umströmung in Strömungsrichtung ein höherer Druck herrschen (den Zuwachs nennt man auch dynamischer Druck), während sich senkrecht zur Strömungsrichtung ein geringerer (statischer) Druck einstellt, und zwar geringer als der statische Druck der ruhenden Luft.
So wie die Geschwindigkeitszunahme bei einer Umströmung kann auch die veränderte Druckverteilung bei der Umströmung von Hindernissen in der Realität beobachtet und mit geeigneten Instrumenten gemessen werden . Eine unmittelbare Folge zeigt der fahrende LKW mit einer Plane anstatt eines festen Aufbaus. Durch das Umströmen des LKW herrscht senkrecht zur Fahrtrichtung ein geringerer Druck, der das Herauswölben der Plane unmittelbar hinter der Fahrerkabine erklärt.

Weiterführende Gedanken

Bernoulli's grundlegende Beobachtung

Skizze zum Experiment von D. Bernoulli von 1738

D. Bernoulli (1700-1782) beschäftigte sich in seinem wichtigen Hauptwerk „Hydrodynamica" mit dem Fließverhalten von Wasser in Kanälen und Rohrsystemen. Er erkannte und beschrieb das zum Beispiel anhand des nebenstehend skizzierten Experiments . Sind die Rohröffnungen l und o zum Ende des waagerechten Rohres verschlossen, steigt das Wasser in der schmalen senkrechten Röhre g auf die Höhe m, d.h. so hoch wie die Linie AB im großen Behälter links. Die Situation entspricht der der Kommunizierenden Röhren. Die Sorgfalt, mit der Bernoulli seine Beobachtungen durchführte zeigt sich u.a. auch darin, dass er den Einfluss von Kapilarkräften auf seine Messungen berücksichtigte.
Wird nun die Öffnung o geöffnet, wird das vormals ruhende Wasser ausströmen. Dabei verringert sich der Druck des strömenden Wassers senkrecht zur Rohrwand, in der Skizze sinkt das Wasser in der schmalen senkrechten Röhre g auf den Punkt h; das Wasser steigt in einer Fontäne durch die Öffnung l nur noch bis zur selben Höhe h. Bei den Experimenten wird das ausströmende Wasser im großen Behälter ABCGE stetig nachgefüllt, so dass der Wasserstand AB konstant erhalten bleibt.
Bernoulli betonte, dass die Öffnung l sehr klein gegenüber der Öffnung o ist, d.h. dass durch die Öffnung bei l nur sehr wenig Wasser austritt im Vergleich zur Öffnung o. Die Strömungsgeschwindigkeit im waagerechten Rohrabschnitt wird also im wesentlichen durch die Größe der Öffnung o bestimmt. Die Höhe der Fontäne bei l repräsentiert nur den Druck an der Rohrwandung der Wasserleitung.
Bernoulli experimentierte mit verschiedenen Größen der Öffnung o, also mit verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten. Entspricht die Öffnung o dem gesamten Rohrquerschnitt EG, so steigt kein Wasser mehr in der Röhre g hoch, d.h. senkrecht zur Rohrwand herrscht nur noch ein Druck von der Größe des umgebenden Luftdrucks.

Herleitung der Bernoulli Gleichung

Energiebetrachtung zum Experiment von Bernoulli

Das Diagramm benutzt das Experiment von Bernoulli und betrachtet die Energieverhältnisse eines Volumens (hellblaues Rechteck) an 2 Stellen der Strömung.
In der oberen Position befindet sich das Volumen $V_{1}$ auf der Höhe $h_{1}$ und bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v_{1}$ nach unten. In dem Volumen herrscht der (allseitig statische) Druck $p_{1}$. Dieser Druck entspricht dem Luftdruck plus dem hydrostatischen Druck der darüber befindlichen Wassersäule.
Im Ausflussrohr hat das Volumen $V_{2}$ die geringere Höhe $h_{2}$, durch die Querschnittsverringerung auf $A_{2}$ erhöht sich die Geschwindigkeit auf $v_{2}$. Der (allseitige statische) Druck $p_{2}$ ist gegenüber $p_{1}$ verringert. Für die Größe der Volumina gilt $V_{2}=V_{1}$, da hier von einer inkompressiblen Strömung ausgegangen wird.
Zu Zeiten von Bernoulli war der Energiebegriff noch nicht in der heutigen Klarheit definiert. Insbesondere zur kinetischen Energie konkurrierten unterschiedliche Vorstellungen. Mit dem heute zur Verfügung stehenden Begriffsrepertoire ist es viel einfacher, die Erkenntnisse aus Bernoullis Beobachtungen in eine Gleichung zu überführen.

Aufstellung der Energiebilanz

Aus der Mechanik ist die potentielle Energie $(m\,g\,h)$ und die kinetische Energie $({\tfrac {1}{2}}m\;v^{2})$ bekannt. In der Kontinuumsmechanik strömender Medien kommt noch die sogenannte elastische Energie $(p\,V)$ hinzu, sie wird auch Druckenergie genannt. Letzterer Begriff lässt sich gut mit der kinetischen Gastheorie verbinden, in der $(p\,V)$ der Energie entspricht, welche im Mittel durch alle Stöße der kleinsten Teilchen ausgetauscht wird. Diese Stöße verursachen den Druck in einem Idealen Gas.
Die Summe dieser 3 Energiebeiträge ist bei einer reibungsfreien Strömung entlang einer Stromröhre konstant.

$m_{1}\;g\;h_{1}+{\tfrac {1}{2}}m\;v_{1}^{2}+p_{1}\;V_{1}=m_{2}\;g\;h_{2}+{\tfrac {1}{2}}m\;v_{2}^{2}+p_{2}\;V_{2}=constant$

Aufstellung der Druckgleichung

Damit diese Energiebilanz unabhängig wird von der Größe des betrachteten Volumens $(V_{1}=V_{2})$, dividiert man sie durch dieses Volumen $V$. Mit der Dichte $\rho ={\tfrac {m}{V}}$ erhält man so aus der Energiebilanz die folgende Gleichung

$\rho \;g\;h_{1}+{\tfrac {1}{2}}\rho \;v_{1}^{2}+p_{1}=\rho \;g\;h_{2}+{\tfrac {1}{2}}\rho \;v_{2}^{2}+p_{2}=constant$

Daraus folgt die Schreibweise der sogenannten Druckgleichung

$\rho \;g\;h+{\tfrac {1}{2}}\rho \;v^{2}+p=p_{total}$

mit

$\rho \;g\;h$ = hydrostatischer Druck des Fluids am betrachteten Ort der Höhe $h$

$p$ = statischer Druck im Fluid am betrachteten Ort ($p_{stat}$ = Luftdruck + hydrostatischer Druck oberhalb von $h$)

${\tfrac {1}{2}}\rho \;v^{2}$ = dynamischer Druck am betrachteten Ort (nur in Strömungsrichtung, $p_{dyn}$)

$p_{total}$ = konstanter Gesamtdruck (unabhängig vom Ort, aber nur in Strömungsrichtung)

Anwendung der Bernoulli-Gleichung für die Feuerwehr

Besitzt ein Feuerlöschwagen eine Pumpe vom Typ FPN10-2000, so erreicht diese Pumpe bei einem Totaldruck von 10 bar die maximale Förderleistung von 2000 l/min. Bei einem B-Rohr mit dem Innendurchmesser 75 mm beträgt die Strömungsgeschwindigkeit $v$ dann ca. 4 m/s. Beim Einsatz einer modernen Drehleiter wird eine Einsatzhöhe von ca. $h=23\;m$ erreicht. Mit diesen Daten kann die Druckgleichung nach Bernoulli aufgestellt werden. Es ist:

$p_{total}=10\;bar=1{.}000{.}000\;Pa$

$\rho gh=1{.}000{\tfrac {kg}{m^{3}}}\cdot 10{\tfrac {m}{s^{2}}}\cdot 23\;m=230{.}000\;Pa$

$p_{dyn}={\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}={\tfrac {1}{2}}\cdot 1{.}000{\tfrac {kg}{m^{3}}}\cdot 16{\tfrac {m^{2}}{s^{2}}}\ \approx 6.000\;Pa$

Daraus ergibt sich aus der Druckgleichung ein Betriebsdruck von:

$p_{stat}\approx 764.000\;Pa$

Das ist der Druck, dem die Schlauchwände mindestens standhalten müssen. Er wird höher, wenn die Förderleistung gedrosselt oder ganz abgestellt wird und der dynamische Druck entsprechend kleiner oder Null ist. An der Spritze am Schlauchende steht der Druck $p_{dyn}+p_{stat}$ zur Verfügung, welcher das Löschwasser mit 39 m/s aus der Spritze herausschießen lässt. Diese Geschwindigkeit $v_{A}$ berechnet sich nach derselben Formel wie der dynamische Druck, d.h.:

${\tfrac {1}{2}}\rho v_{Schlauch}^{2}+p_{stat}={\tfrac {1}{2}}\rho v_{Ausgang}^{2}$

$6{.}000+764{.}000={\tfrac {1}{2}}1000\;v_{Ausgang}^{2}$

$v_{A}={\sqrt {\frac {770{.}000\cdot 2}{1000}}}=39{\frac {m}{s}}$

Mit dieser Ausströmgeschwindigkeit $v_{A}$ kann noch mal eine Höhe von 77 m erreicht werden. Zusammen mit den 23 m Leiterhöhe ergibt sich eine maximale Gesamthöhe des Wasserstrahls von 100 m, entsprechend der maximalen Pumpleistung von 10 bar. Man sieht, diese Rechnung beruht auf der Annahme der Reibungsfreiheit. Die tatsächlich erreichbaren Werte unter Berücksichtigung der Reibung an der Rohrinnenwand kann man hier berechnen lassen.

Anwendung der Bernoulli-Gleichung für einen Windkanal

Schema der Druckverhältnisse in einem Windkanal des Eiffel-Typs

Die Abbildung rechts zeigt den prinzipiellen Druckverlauf (oben) in einem Windkanal (unten). Die Strömung wird wieder als reibungsfrei angenommen. Das Druckdiagramm zeigt den dynamischen Druck in Strömungsrichtung (hellblau) und den statischen Druck senkrecht zur Strömung (dunkelblau). Die Summe beider Drücke entspricht dem totalen Druck (in Strömungsrichtung).

• Vor und hinter dem Windkanal herrscht jeweils der Luftdruck (statischer Druck der ruhenden Luft).
• Am Beginn des Windkanals wird durch eine Turbine die Luft beschleunigt. Dadurch hat die Luft im ersten Drittel des Windkanals eine konstante Strömungsgeschwindigkeit. In Strömungsrichtung kann man einen zusätzlichen dynamischen Druck messen neben dem unveränderten statischen Druck der vormals ruhenden Luft.
• Im mittleren Drittel des Windkanals befindet sich eine Verengung. Hier hat die Luft eine höhere Strömungsgeschwindigkeit. Diese Erhöhung kommt nicht durch den Propeller am Anfang des Windkanals, sondern weil sich die Luft hier selbst beschleunigt. Die zusätzliche kinetische Energie kommt aus der Druckenergie der Luft. Entsprechend sinkt der statische Druck senkrecht zur Strömung während der dynamische Druck in Strömungsrichtung zunimmt.
• Im letzten Drittel hat der Windkanal wieder seinen ursprünglichen Querschnitt. Entsprechend ist die Strömungsgeschwindigkeit wie im ersten Drittel. Die zusätzliche kinetische Energie in der Verengung ist wieder zur Druckenergie geworden. Der statische Druck entspricht wieder dem der ruhenden Luft.
• Am Ende des Windkanals nimmt die gerichtete Strömungsgeschwindigkeit ab, die durch den Propeller erhöhte kinetische Energie verteilt sich in der Umgebung und führt zu einer unmerklichen Erhöhung des statischen Drucks der ruhenden Luft.

Während bei einem Windkanal des Eiffel-Typs an der verengten Messstelle stets ein Unterdruck herrscht, benutzt man heute zumeist Windkanäle in der sogenannten Göttinger Bauform, bei denen die Luft am Ende nicht einfach in die Umgebung strömt sondern in einem Kreislauf wieder der Turbine zugeführt wird. In Verbindung mit Vergrößerungen und Verkleinerungen des Strömungsquerschnitts kann bei der Göttinger Bauform der statische Druck an der Messstelle kontrolliert werden und entspricht dort meist dem Druck der ruhenden Luft; letzteres ermöglicht dann eine offene, begehbare Messstelle.

Herleitung des Dynamischen Drucks

Herleitung des Zusammenhangs von Druck- und Geschwindigkeitsänderung

Der sogenannte dynamische Druck bezeichnet die Beziehung zwischen einer Druckdifferenz $\Delta p$ und der damit verbundenen Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$ in einem Fluid (Flüssigkeit oder Gas). Diese grundlegende Beziehung wird im folgenden hergeleitet.
Man betrachte z.B. ein zylindrisches Fluidvolumen (in der Abb. blau gezeichnet) mit der Querschnittsfläche $A$ und der Länge $x$. An der linken Stirnfläche herrscht ein größerer Druck $p_{1}$, an der rechten Stirnfläche ein geringerer Druck $p_{2}$, entsprechend wirkt von links eine größere Kraft $F_{1}$ als von rechts $F_{2}$. Die Differenz ist

$\Delta F=F_{1}-F_{2}=p_{1}\cdot A-p_{2}\cdot A=\Delta p\cdot A$

Durch die resultierende Kraft $\Delta F$ wird das Fluidvolumen verschoben. Man betrachte den Fall, dass es gerade um seine Länge x verschoben wird. Dabei wird die Beschleunigungsarbeit $\Delta F\cdot x$ geleistet, welche zu einer Zunahme der kinetischen Energie ${\tfrac {1}{2}}m\;\Delta v^{2}$des Fluidvolumens führt.

$\Delta F\cdot x={\tfrac {1}{2}}m\;\Delta v^{2}$

Durch diese Verschiebung ist das Fluidvolumen nun vollständig in dem Bereich, in dem $p_{2}$ herrscht. Es bewegt sich mit einer konstanten - um $\Delta v$ erhöhten - Geschwindigkeit reibungsfrei weiter. Man kombiniert die beiden obigen Gleichungen um die Beziehung zwischen Druck und Geschwindigkeit zu erhalten

$\Delta F\cdot x=\Delta p\cdot A\cdot x={\tfrac {1}{2}}m\;\Delta v^{2}$

und berücksichtigt, dass $A\cdot x$ dem Volumen $V$ des betrachteten Fluidvolumens entspricht.

$\Delta p\;V={\tfrac {1}{2}}m\;\Delta v^{2}$

Man teilt beide Seiten durch das Volumen $V$, um die beschleunigende Druckdifferenz $\Delta p$ allein auf der linken Seite der Beziehung zu haben

$\Delta p={\tfrac {1}{2}}{\tfrac {m}{V}}\;\Delta v^{2}$

Nun interpretiert man den Quotienten ${\tfrac {m}{V}}$ als die Dichte $\rho$ im Fluidvolumen und erhält die gesuchte Beziehung zwischen Druckdifferenz und Geschwindigkeitsänderung, unabhängig von der Größe des ursprünglich betrachteten Fluidvolumens.

$\Delta p={\tfrac {1}{2}}\rho \;\Delta v^{2}$

Diese grundlegende Beziehung zwischen Druckdifferenz und Geschwindigkeitsänderung wird meist als dynamischer Druck $p_{dyn}$ bezeichnet und in folgender Form abgekürzt geschrieben

$p_{dyn}={\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}$

Darin bezeichnet $p_{dyn}$ den notwendigen Überdruck (Druckdifferenz zum Umgebungsdruck}, um ein Fluid der Dichte $\rho$ auf die Geschwindigkeit $v$ zu beschleunigen. Typische Anwendungen dieser Beziehung sind die Berechnung...

1. ...der Geschwindigkeitszunahme von Fluiden durch eine von außen anliegende Druckdifferenz, z.B. Ausflussgeschwindigkeit aus dem Loch in einer Gefäßwand, Feuerwehrspritze, etc.
2. ...des Staudrucks, d.h. der Druckerhöhung beim Abbremsen einer Strömung, z.B. dem Winddruck. Das bedeutet nicht, dass die Strömung dabei vollständig zur Ruhe kommen muss, sie kann auch nur abgelenkt sein. In ursprünglicher Richtung ist die Strömungsgeschwindigkeit aber verringert oder gleich 0.
3. ...der Druckveränderung durch die Veränderung der Geschwindigkeit durch einen veränderten Strömungsquerschnitt; Beispiele dafür sind Rohrsysteme, Windkanal, Venturidüse, Umströmung von Hindernissen, etc.
   

Der "dynamische Druck" als Druckdifferenz hat einige Eigenschaften, die ihn vom dem bekannten "statischen Druck" in ruhenden Fluiden unterscheiden:

• Den statische Druck herrscht ständig in dem Fluidvolumen,

der dynamische Druck macht sich dagegen nur bei Geschwindigkeitsänderungen bemerkbar.

• Der statische Druck wirkt in alle Richtungen gleich stark,

der dynamische Druck existiert nur in Richtung der zugeordneten Geschwindigkeitsänderung.

• Der statische Druck kann an einem Punkt im Fluid gemessen werden,

für die Messung des dynamischen Drucks müssen die Druckmessungen an zwei Punkten verglichen werden.

Messprinzip für den dynamischen Druck

In der Praxis wird der dynamische Druck benutzt um die Geschwindigkeit in einer Strömung zu messen. Für die Messung des dynamischen Drucks müssen stets 2 Messpunkte verglichen werden.

Will man an einem beliebigen Ort einer Strömung die Geschwindigkeit ermitteln, benutzt man z.B. die Prandtlsonde. An ihrem 1. Messpunkt kommt die Strömung vollständig zur Ruhe (Staupunkt), am 2. Messpunkt strömt das Fluid möglichst ungestört vorbei.

Bei einem Flugzeug wird dieses Messprinzip durch eine Kombination von Pitotrohr und Statik Port verwirklicht. Das Pitotrohr misst den Druck in Bewegungsrichtung und ist meist vorne an der Flugzeugnase plaziert. Der Statik Port misst den Druck senkrecht zur Bewegungsrichtung, meist im vorderen Drittel des Flugzeugrumpfes an einer Stelle, wo die Luft möglichst ungestört vorbeiströmt. Meist werden Statik Ports auf beiden Seiten des Flugzeugs angebracht um Seitenwindeinflüsse auszugleichen. Aus dem so gemessenen dynamischen Druck wird u.a. die Geschwindigkeit eines Flugzeugs gegenüber der Luft ermittelt.

Für die Messung des dynamischen Drucks in gefüllten Rohren oder Kanalsystemen werden z.B. Venturidüsen eingesetzt und die Differenz des statischen Drucks vor und in der Verengung gemessen. Daraus kann die Strömungsgeschwindigkeit bestimmt und die Durchflussmenge berechnet werden .