Wie der Wind einen Flügel umströmt

Einleitung 1 Luftdruck - 2 Brown - 3 Gasmodell - 4 Kontinuitätsgleichung - 5 Bernoulli - 6 Flügelprofil - 7 Asymmetrie - 8 Stromlinien - 9 Relativbewegung - 10 Modellvorstellungen

Ideale Stromlinienfelder um symmetrische und asymmetrische Flügelprofile

Im Folgenden werden sogenannte Stromlinienbilder interpretiert. Dabei zeigt der Verlauf der Stromlinien den Weg von Luftteilchen in einer Strömung. In einer Idealen Strömung zeigt ein Zusammenrücken von Stromlinien eine höhere Strömungsgeschwindigkeit an, ein Auseinanderrücken eine langsamere Strömungsgeschwindigkeit. Die hier verwendeten Bilder sind berechnete Stromlinien einer Idealen Strömung unter Verwendung des NASA Educational Programm "Foilsim III" . Einen Eindruck von Stromlinien einer realen Strömung in einem Windkanal bekommt man z. B. durch ein Video der Cambridge University

Begriffe zur Beschreibung eines Flügelprofils

Ein Flügelprofil wird u.a. durch folgende Charakteristika beschrieben, die wir für die nachfolgende Betrachtung benötigen.

• Profilnase = Kleinster Krümmungsradius vorne
• Hinterkante = Spitzes Ende
• Sehne = Gradlinige Verbindung von der Nase zur Hinterkante
• Anstellwinkel = Winkel zwischen Strömungsrichtung und Sehne

Umströmung eines symmetrischen Profils mit Anstellwinkel 0°

symmetrisches Flügelprofil
Anstellwinkel 0°

Man kann an dieser berechneten idealen Umströmung 2 Dinge erkennen

1. An der Profilnase verteilt sich die Strömung gleichmäßig oberhalb und unterhalb des Profils. Allgemein definiert man den Staupunkt als den Punkt, an dem der Luftstrom nach oben bzw. nach unten aufgeteilt wird. Im Staupunkt selber ist die Strömung zur Ruhe gekommen, d.h. die Geschwindigkeit in Richtung der Strömung ist 0. In diesem Beispiel sind Staupunkt und Profilnase identisch. Bei einer idealen, inkompressiblen Strömung bleibt dabei die kinetische Energie der Strömung vollständig erhalten, d.h. Luft wird nicht komprimiert, sondern sie nimmt die kinetische Energie mit, während sie ober- und unterhalb der Profils strömt.
2. Der Abstand der Stromlinien untereinander ist ober- und unterhalb des Profils geringer als in der ungestörten Strömung. Dies zeigt eine höhere Strömungsgeschwindigkeit an und zwar gleichermaßen ober- als auch unterhalb des Profils.

Dies entspricht der Kontinutitätsgleichung, nach der die Strömungsgeschwindigkeit bei einer Verringerung des Strömungsquerschnitt zunimmt. Gemäß der Bernoulli-Gleichung und dem ihr zu Grunde liegenden Energieerhaltungssatz ist der statische Druck senkrecht zur Strömung hier entsprechend geringer als der statische Druck in der ungestörten Strömung. Der Effekt ist symmetrisch, d.h. es gibt keine resultierende Kraft senkrecht zur Strömung.

Der statische Druck in der ungestörten Luftströmung entspricht dem Luftdruck der ruhenden Luft. Das ist verständlich, wenn man sich vorstellt, das Profil würde nicht im Windkanal umströmt, sondern stattdessen mit derselben Geschwindigkeit durch ruhende Luft bewegt. Das sind zunächst zwei unterschiedliche Situationen aber die Erfahrung lehrt, dass es bei den beobachtbaren Effekten wie Auftrieb und Luftwiderstand dabei keinen Unterschied gibt.

Umströmung eines symmetrischen Profils mit Anstellwinkel 10°

symmetrisches Flügelprofil
Anstellwinkel 10°

Was hat sich durch den positiven Anstellwinkel verändert?

1. Der Staupunkt ist gewandert und befindet sich nun unterhalb der Profilnase, d.h. ein größerer Teil des Luftstroms bewegt sich oberhalb des Flügels, entsprechend strömt ein kleinerer Teil unterhalb des Profils entlang.
2. Die Geschwindigkeitsverteilung hat sich verändert.

Oberhalb des Profils ist die Strömungsgeschwindigkeit im Vergleich zum 0° Anstellwinkel noch gestiegen, weil nun ein größerer Anteil des Luftstroms über die Flügeloberseite strömt. Man erkennt dies an dem geringeren Abstand der Stromlinien oberhalb des Profils im Vergleich zum ersten Bild.
Unterhalb des Profils ist die Strömungsgeschwindigkeit kleiner geworden, vor allem im vorderen Bereich der Flügelunterseite. Hier erfährt der kleinere Anteil des Luftstroms eine Erweiterung. Man erkennt dies an dem größeren Abstand der Stromlinien im Vergleich zur ungestörten Strömung.

Gemäß der Bernoulli-Beziehung hat sich der statische Druck im Vergleich zum statischen Druck der ungestörten Strömung (Luftdruck) verändert. Oberhalb des Profils ist er deutlich verringert und unterhalb des Profils etwas erhöht. Es gibt eine nach oben gerichtete resultierende Kraft senkrecht zur Strömung. In dieser Berechnung beträgt die durchschnittliche Druckdifferenz zwischen Ober- und Unterseite des Profils ca. 74 hPa (bei 100 m/s Strömungsgeschwindigkeit der ungestörten Strömung).

Umströmung eines asymmetrischen Profils mit Anstellwinkel 0°

asymmetrisches Flügelprofil
Anstellwinkel 0°

Hier betrachten wir die Umströmung eines typischen asymmetrischen Flügelprofils parallel zur Sehne (Achse Profilnase – Profilhinterkante), also bei einem Anstellwinkel von 0°. Wir sehen eine Mischung aus den ersten beiden Strömungsbildern

1. Der Staupunkt liegt bei der Profilnase, wie im ersten Beispiel. Der Luftstrom verteilt sich gleichmäßig ober- und unterhalb des Profils.
2. Der obere Luftstrom erfährt durch die Profiloberseite eine Verengung und beschleunigt sich. Der untere Luftstrom erfährt durch die spezielle Profilform im hinteren Teil eine kleine Erweiterung und strömt dort mit etwas langsamerer Geschwindigkeit im Vergleich zur ungestörten Strömung. Die Drucksituation entspricht ungefähr dem 2. Beispiel.
   

Entsprechend der Bernoulli-Gleichung herrscht oberhalb des Profils ein geringerer statischer Druck und unterhalb ein etwas größerer. Die Druckabnahme oberhalb ist dabei größer als die Druckzunahme unterhalb. Es gibt eine nach oben gerichtete resultierende Kraft senkrecht zur Strömung. In dieser Berechnung beträgt die durchschnittliche Druckdifferenz zwischen Ober- und Unterseite des Profils ca. 76 hPa ( bei 100 m/s Strömungsgeschwindigkeit der ungestörten Strömung). Dieses asymmetrische Profil erzeugt bei 0° Anstellwinkel also fast soviel Auftrieb wie das symmetrische Profil bei einem Anstellwinkel von 10°.

Umströmung eines asymmetrischen Profils mit Anstellwinkel 10°

asymmetrisches Flügelprofil
Anstellwinkel 10°

Mit diesem Bild können wir den aerodynamischen Auftrieb eines symmetrischen und eines asymmetrischen Profils bei gleichem Anstellwinkel vergleichen.

1. Der Staupunkt liegt wieder unterhalb der Profilnase, d.h. ein größerer Teil des Luftstroms bewegt sich oberhalb des Flügels, ein kleinerer Teil unterhalb.

Allgemein kann man sagen, dass je größer der Anstellwinkel ist, desto weiter wandert der Staupunkt Richtung Profilunterseite.

1. Die Strömungsgeschwindigkeit oberhalb des Flügelprofils ist deutlich größer und unterhalb etwas kleiner als die Geschwindigkeit der ungestörten Strömung.

Die Erklärung auf Grundlage der Kontinutitätsgleichung lautet, dass das (schräge) Profil sowohl ober- als auch unterhalb eine Verengung des Strömungsquerschnittes darstellt. Zur Erklärung der unterschiedlichen Geschwindigkeiten ober- und unterhalb des schräg angeströmten Profils ist zu berücksichtigen, dass durch die schräge Anströmung ein größerer Teil des Luftstroms oberhalb und nur ein kleinerer Teil unterhalb des Profils vorbeiströmt. Für den kleineren Teil des Luftstroms unterhalb des Profils erweitert sich der Strömungsquerschnitt, entsprechend verlangsamt sich dort die Strömungsgeschwindigkeit im Vergleich zur ungestörten Strömung. Je nach Profilform und Anstellwinkel ist die Luft oberhalb des Profils ca 30 % schneller als die ungestörte Strömungsgeschwindigkeit, während sie unterhalb des Proflis ca. 15 % langsamer ist als in der ungestörten Strömung .

Entsprechend der Bernoulli-Gleichung ist deswegen der statische Druck oberhalb des Profils geringer und unterhalb etwas größer als der Luftdruck der ruhenden Luft. Es gibt eine nach oben gerichtete resultierende Kraft senkrecht zur Strömung. In dieser Berechnung beträgt die durchschnittliche Druckdifferenz zwischen Ober und Unterseite des Profils ca. 149 hPa (bei 100 m/s Strömungsgeschwindigkeit der ungestörten Strömung). Dieses asymmetrische Profil erzeugt bei vergleichbaren Bedingungen (Anstellwinkel 10°, gleiche Strömungsgeschwindigkeit) also fast doppelt soviel Auftrieb wie das symmetrische Profil.

Weiterführende Gedanken

Bernoulli kontra Newton

Fig. 30 von Lilienthal zum Umströmen einer gewölbten Fläche (1889)

Betrachtet man die 3 Beispiele für eine asymmetrische Umströmung genauer (insbesondere das letzte Beispiel mit dem höchsten Auftrieb), stellt man folgendes fest: Am Beginn der ungestörten Strömung gibt es nur eine horizontale Strömung. Durch die Umströmung des Flügelprofils bekommt die Strömung eine zusätzliche Geschwindigkeitskomponente nach unten. D.h. der Luftstrom wird durch die Asymmetrie der Umströmung - in dieser Anordnung - nach unten abgelenkt. Die Strömung erhält durch das Profil einen gekrümmten Verlauf. Schon Lilienthal hat diesen Aspekt des Strömungsverlaufs aufgrund seiner Analysen beschrieben, obwohl zu seiner Zeit entsprechende Beobachtungen noch gar nicht möglich waren. Er schreibt auf S. 81:

"Die hier vorgeführte Darstellung mag nun wohl der Wirklichkeit bei derartigen unsichtbaren Vorgängen in der Luft nicht genau entsprechen, es genügt aber, wenn die charakteristischen Unterschiede so weit zutreffen, als es für die Anknüpfung der nötigen Überlegungen erforderlich ist".

Die durch den Flügel erzeugte abwärts gekrümmte Strömung entspricht einer ständigen Impulsänderung der vorbeiströmenden Luft, d.h. der Flügel überträgt einen nach unten gerichteten Impulsstrom auf die vorbeiströmende Luft. Nach dem 3. Newtonschen Axiom (Actio = Reactio) wirkt auf den verursachenden Flügel eine gleich große entgegengesetzte Impulssänderung. D.h. anschaulich, der Abwärtsbewegung der Luft entspricht eine Aufwärtsbewegung (Auftrieb) des Flügels. In der Tat kann man über die Menge und das Ausmaß der abwärts gelenkten Luft pro Zeit ermitteln, welche Auftriebskraft der Flügel erfährt.

Gelegentlich wird die Abwärtsbewegung der Luft mit einer Art „Reflexion“ der Luftströmung an der schräg angeströmten Unterseite des Profils erklärt. Das ist zwar sehr anschaulich aber z.B. schwierig anzuwenden auf das Beispiel der asymmetrische Umströmung bei einem Anstellwinkel von 0°, die – wie wir gesehen haben – ebenfalls Auftrieb erzeugt.

Auch ist es schwierig zu erklären, wie die Oberseite des Flügelprofils zu dieser beobachteten Abwärtsbewegung beiträgt, zumal die Oberseite einen größeren Beitrag zum Auftrieb leistet als die Unterseite. Eher selten findet sich für die Oberseite die Erklärung, dass die Luft an der Flügeloberseite "hafte" und deswegen der Form folge, so ähnlich wie Flüssigkeiten aufgrund der Adhäsion an Oberflächen haften (Coandă-Effekt).

Richtig ist, dass die asymmetrische Umströmung eines Flügels dazu führt, dass Luft senkrecht zur Strömung nach unten beschleunigt wird, und es entspricht dem 3. Newtonschen Axiom, dass der Flügel eine gleich große Reactio erfährt. Darauf wird noch im nächsten Kapitel eingegangen.

Zusammenfassung mit Venturi und Bernoulli

Die hier versuchte populärwissenschaftliche Erklärung zum Auftrieb an einem Tragflügel als Beispiel einer asymmetrischen Umströmung beruht auf zwei bekannten Gesetzmäßigkeiten und einer grundlegenden Beobachtung.

Kontinuitätsgleichung

In den vorangehenden Kapiteln wurde anhand der Venturidüse die Beobachtung der konstanten Stromdichte zur Formulierung der Kontinuitätsgleichung benutzt. Für eine inkompressible Luftströmung gilt:

• „Je kleiner der Strömungsquerschnitt, desto größer die Strömungsgeschwindigkeit“.
  

An Stelle der Kontinuitätsgleichung findet sich gelegentlich als Begründung für die unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten, dass der obere und der untere Luftstrom hinter dem Profil wieder zusammen kommen müssen. Für die höhere Strömungsgeschwindigkeit wird dann der längere Weg auf der Oberseite eines Flügels angeführt. Das widerspricht aber der Beobachtung. Zudem reichen die Wegunterschiede ober- und unterhalb des Flügels nicht aus, um die beobachtbaren Geschwindigkeits- und Druckunterschiede hervorzurufen. Das Argument der Wegstrecken ist falsch.

Bernoulli-Gleichung

Die Betrachtung der Bernoulli-Gleichung für eine ideale Strömung ohne Energiezufuhr zeigt m.E., warum die höhere Geschwindigkeit bei einem kleineren Strömungsquerschnitt zu einer Verringerung des statischen Drucks führt, mit dem Ergebnis:

• „Je größer die Geschwindigkeitszunahme in einer Verengung, desto geringer der statische Druck“,

Für das richtige Verständnis der Bernoulli-Gleichung soll hier betont werden, dass der dynamische Druck (und entsprechend der totale Druck) nur in Strömungsrichtung wirkt, während der statische Druck allseitig wirkt. Für die Anwendung auf eine Strömung nicht notwendig, wohl aber für das Verständnis hilfreich ist der Hinweis, dass in den betrachteten Beispielen der statische Druck der ungestörten Strömung der normale Luftdruck der ruhenden Luft $p_{Luft}$ ist.

Grundlegende Beobachtung

Für die Erklärung des Auftriebs wird die Umströmung eines Profils als Verengung des Strömungsquerschnitts interpretiert. Bei einer asymmetrischen Umströmung beobachtet man im Stromlinienbild eine ungleiche Aufteilung der Strömung um das Profil, die für die Anwendung von Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung ausschlaggebend ist.

• Eine Asymmetrie in der Umströmung führt zu einer asymmetrischen Aufteilung des Luftstroms auf den beiden umströmten Seiten des Flügelprofils.
• Für den oberen größeren Anteil des Luftstromes stellt das Flügelprofil einer Verringerung des Strömungsquerschnitts dar.
• Für den kleineren unteren Anteil des Luftstromes steht dagegen ein größerer Strömungsquerschnitt zur Verfügung.

Ergebnis

Mit diesen 3 Aussagen können folgende grundlegende Aspekte des Auftriebs qualitativ erklärt werden

1. Oberhalb des Flügels herrscht ein geringerer statischer Druck (<$p_{Luft}$).
2. Unterhalb des Flügels herrscht ein größerer statischer Druck (>$p_{Luft}$).
3. Der Unterdruck oberhalb des Flügels ist stärker ausgeprägt als der Überdruck unterhalb.
4. Auftrieb entsteht bei einer asymmetrischen Umströmung als resultierende Kraft durch den unterschiedlichen statischen Druck unter- und oberhalb des Flügels.
5. Die ungleichen Strömungsgeschwindigkeiten führen dazu, dass am Profilende obere und untere Strömung zueinander versetzt sind.

Grenzen der Betrachtung

Das Modell der Idealen Strömung beruht auf mehreren Voraussetzungen, die in der Realität nicht erfüllt werden, z.B.:

• Das Gas bewegt sich reibungsfrei, d.h. die Wechselwirkung der Gasteilchen mit den Begrenzungswänden beschränkt sich ausschließlich auf elastische Stöße.
• Die Strömung ist wirbelfrei.
• Die Strömung ist laminar, d.h. die Stromlinien kreuzen sich nie.
• Die Strömung ist inkompressibel, d.h. in Verbindung mit der Konstanz der Energie herrscht überall dieselbe Dichte.

Die oben erläuterten Beispiele zeigen, dass trotz der starken Vereinfachung dieses Modells der Idealen Strömung der Aspekt des Auftriebs und einige andere Strömungseffekte am Flügel qualitativ gut beschrieben werden können.

Folgende Aspekte können jedoch nicht erklärt werden:

• Die Ablenkung der Luftströmung am Ende des Profils (= gekrümmte Strömung) nach unten.
• Die Bewegung eines Flügels durch ruhende Luft führt zwar zu denselben beobachtbaren Druckunterschieden, aber es liegt keine Strömung vor.
• Weil eine reibungsfreie Strömung betrachtet wird, findet der Luftwiderstand in Form von Druck- und Oberflächenwiderstand sowie induziertem Widerstand keine Beachtung. Auftrieb geschieht quasi ohne Energieaufwand.

Die verschiedenen Formen des Luftwiderstandes sind aber bedeutungsvoll. Während eine ideale Umströmung dem umströmten Körper keinen Luftwiderstand entgegensetzt, wird doch in der Realität jede Bewegung durch den Luftwiderstand abgebremst.

Die Situation ist ähnlich wie bei der Betrachtung des freien Falls. Sieht man von der Reibung (und dem hydrostatischen Auftrieb) ab, fallen alle Körper im Prinzip gleich schnell zu Boden. Erst wenn man Reibung (und hydrostatischen Auftrieb) berücksichtigt, ergeben sich unterschiedliche Fallverhalten, die auch in der Realität beobachtet werden. Übertragen auf die Ideale Strömung heißt das, das Prinzip des Auftriebs wird richtig beschrieben, aber erst mit Berücksichtigung der Reibung kommt man der exakten Beschreibung der beobachtbaren Realität näher.
Für eine exakte Beschreibung des Luftwiderstandes muss das Modell erweitert werden. Dies hat als erster Ludwig Prandtl (1875 – 1953) getan, der 1904 seine Grenzschichttheorie veröffentlicht hat. Mit dieser Theorie ist es z.B. möglich, den Druck- und Oberflächenwiderstand von umströmten Körpern zu berechnen, welche der wirklichen Bewegung in Luft entgegenwirken.

Darüber hinaus gibt es noch eine weitere Form des Luftwiderstandes, den sogenannten induzierten Luftwiderstand, der auch die Fortbewegung bremst, aber nur bei einer asymmetrischen Umströmung auftritt. Der induzierte Widerstand kann deswegen als eine unmittelbare Voraussetzung für Auftrieb betrachtet werden. Der induzierte Widerstand liefert auch die Erklärung, warum der Spritverbrauch eines Flugzeugs - bei gleicher Form und Geschwindigkeit - von seinem Beladungszustand abhängt. Das nächste Kapitel geht genauer darauf ein.