Formelsammlung Physik: Astronomie

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Formelsammlung Physik

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort[Bearbeiten]

Die Astronomie ist eine eigenständige Naturwissenschaft, die aber viele Querverbindungen zu anderen Disziplinen aufweist. Besonders eng ist die Verflechtung mit der Physik und damit zwangsläufig auch der Mathematik. Jedoch bestehen auch Beziehungen zur Chemie, der Biologie und den Geowissenschaften. Aufgrund dieser vielen Schnittmengen mit anderen Wissenschaften enthält diese Sammlung daher zahlreiche Formeln, welche auch in anderen Übersichtswerken aufgelistet sind. Der Unterschied besteht darin, dass solche Formeln hier spezifisch astronomische Anwendungen finden.

Dem Charakter einer Formelsammlung entsprechend, können Beweise für einzelne Beziehungen nur kurz angedeutet bzw. anhand einfach zu behandelnder Spezialfälle plausibel gemacht werden. Hinsichtlich einer exakten Beweisführung muss auf entsprechende Artikel in der Wikipedia und der dort angegebenen Literatur verwiesen werden.

Häufig benuzte Größen und Naturkonstanten[Bearbeiten]

In diesem Kapitel werden in dieser Formelsammlung häufig verwendete Größen und Naturkonstanten vorab zusammengestellt.

Größen der Erde[Bearbeiten]

Abkürzung Bezeichnung Wert in SI-Einheiten
RE Mittlerer Radius 6371 km
ME Masse 5.974 1024 kg
E Dichte 5.515 g cm-3
gE Fallbeschleunigung an Oberfläche 9.80665 m s-2
aE Große Halbachse der Bahn um die Sonne 149.6 10 6 km

Größen des Erdmondes[Bearbeiten]

Abkürzung Bezeichnung Wert in SI-Einheiten
RM Mittlerer Radius 1738 km
MM Masse 7.349 1022 kg
M Dichte 3.341 g cm-3
gM Fallbeschleunigung an Oberfläche 1.62 m s-2
aM Große Halbachse der Bahn um die Erde 384400 km

Größen der Sonne[Bearbeiten]

Abkürzung Bezeichnung Wert in SI-Einheiten
R Radius 696342 km
M Masse 1.9884 1030 kg
Dichte 1.408 g cm-3
g Fallbeschleunigung an Oberfläche 273.7 m s-2
L Leuchtkraft 3.846 1026 W

Naturkonstanten[Bearbeiten]

Konstante Bezeichnung Wert
G Gravitationskonstante (6.67408 0.00031) 10-11 m3 kg-1 s-2
c Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s-1 exakt per Definition
h Plancksches Wirkungsquantum (6.626070040 0.000000081) 10-34 J s
k Boltzmann-Konstante (1.38064852 0.00000079) 10-23 J K-1
Stefan-Boltzmann-Konstante (5.670367 0.000013) 10-8 W m-2 K-4
b Wiensche Verschiebungskonstante (2897.7729 0.0017) m K
Elektronenmasse (9.10938356 0.00000011) 10-31 kg
Protonenmasse (1.672621898 0.000000021) 10-27 kg

Elektromagnetische Strahlung[Bearbeiten]

Grundlagen[Bearbeiten]

Wellenlänge und Frequenz

Wie viele klassische Experimente (z.B. der Doppelspalt-Versuch) zeigen, stellt elektromagnetische Strahlung ein Wellenphänomen dar. Wellenlänge und Frequenz der elektromagnetischen Schwingung sind dabei folgendermaßen über die Lichtgeschwindigkeit miteinander verknüpft:


Doppler-Effekt

Eine der wichtigsten Anwendungen der Wellennatur elektromagnetischer Strahlung ist der Doppler-Effekt. Bewegt sich eine Lichtquelle mit einer Geschwindigkeit von einem ruhenden Betrachter weg, kommt das Licht bei diesem im Vegleich zu einer ebenfalls ruhenden Lichtquelle verspätet an, was einer geringenen Frequenz bzw. größeren Wellenlänge entspricht. Das Licht erscheint somit gerötet. Kommt die Lichtquelle auf den Beobachter zu, verhält es sich umgekehrt, das Licht erscheint blauer. Für die Änderung der Frequenz bzw. der Wellenlänge gilt im Falle kleine Geschwindigkeiten :

Kennt man die Wellenlängenverschiebung (z.B. durch Vergleich der beobachteten Wellenlängen von Spektrallinien mit den unverschobenen Werten), so folgt daraus unmittelbar die Geschwindigkeit, mit welcher sich die Lichtquelle in Blickrichtung relativ zum Beobachter bewegt.

Das Szenario einer im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit nicht vernachlässigbaren Geschwindigkeit der Lichtquelle wird im Kapitel Relativitätstheorie behandelt.


Energie eines Lichtquants

Erscheinungen wie der photoelektrische Effekt offenbaren andererseits eine Teilchennatur der elektromagnetischen Strahlung. Gemäß dieser Vorstellung tritt Licht einer Frequenz nur in bestimmten Energieportionen, sogenannten Lichtquanten oder Photonen auf. Die Energie eines solchen Lichtquants beträgt (mit dem Planckschem Wirkungsquantum):

Strahlungsleistung[Bearbeiten]

Die Strahlungsleistung ist eine der wichtigsten Größen in der Astronomie, sowohl in Bezug auf die von einer Lichtquelle abgegebene Leistung, als auch in Bezug die von einem Beobachter registrierte. Tatsächlich werden für die Strahlungsleistung mehrere Größen verwendet, je nachdem ob man sich auf die gesamte Leistung bezieht oder nur auf einen pro Fläche oder Raumwinkel entfallenden Anteil.


Leuchtkraft und Lichtstrom

Die Leuchtkraft bezeichnet die gesamte von einem selbstleuchtenden Himmelskörper abgegeben Leistung, summiert sowohl über das ganze elektromagnetische Spektrum, als auch über alle Richtungen. Als Einheit wird, wie generell für Leistungen, Watt benutzt.

Die Leistung irdischer Lichtquellen wird meist durch den Lichtstrom ausgedrückt. Im Unterschied zur Leuchtkraft wird nicht die über alle Richtungen summierte Leistung betrachtet, sondern nur der Anteil, der in einen Raumwinkel von 1 Steradiant fällt. Um kenntlich zu machen, dass man sich auf die Leistung einer Lichtquelle bezieht, wird als gesonderte Einheit Lumen (abgekürzt lm) verwendet. Da der alle Richtungen umfassende Raumwinkel beträgt, gilt:

Wegen der in Watt sehr hohen Zahlenwerte für die Leuchtkräfte vieler Himmelskörper wird diese oft als Vielfaches der Sonnenleuchtkraft ausgedrückt. Als logarithmisches Maß wird zudem die bolometrische Helligkeit verwendet, welche im Kapitel Physik der Sterne näher erläutert wird.


Lichtstärke

Für Lichtquellen, die nicht in alle Richtungen gleichmäßig strahlen, interessiert man sich oft nicht nur für die Gesamtleistung, sondern auch für die Abhängigkeit der abgegebenen Leistung von der Strahlrichtung. Zu diesem Zweck dient die Lichtstärke . Diese gibt an, welcher Anteil des Lichtstroms in einen kleinen Raumwinkel fällt:

Die Einheit ist per Definition Lumen pro Steradiant (Watt pro Steradiant), wofür sich als eigenständige Bezeichnung Candela (abgekürzt cd) durchgesetzt hat. In der Astronomie wird die Lichtstärke selten verwendet.


Spezifische Lichtausstrahlung

Anstatt die pro Raumwinkel abgestrahlte Leistung kann man auch diejenige betrachten, welche anteilsmäßig durch eine kleine Fläche abgegeben wird. Sie wird als spezifische Lichtausstrahlung bezeichnet, mitunter auch als Ausstrahlungsstromdichte oder Abstrahlungsstärke. Für irdische Lichtquellen lautet die Definition:

Dies entspricht einer Einheit Lumen pro Quadrameter (Watt pro Quadratmeter). Als spezifische Bezeichnung wird Lux (abgekürzt lx) verwendet.

Im Gegensatz zur Lichtstärke ist die spezifische Lichtausstrahlung im Hinblick auf das nachfolgend skizzierte Stefan-Boltzmann-Gesetz für die Astronomie von großer Bedeutung. Jedoch wird für Himmelskörper nicht der Lichtstrom, sondern die gesamte Leuchtkraft im Verhältnis zur Oberfläche betrachtet. Weist z.B. ein Stern einen Radius auf, so gilt:


Leuchtdichte

Die Leuchtdichte (leider ist das gleiche Symbol üblich wie für die Leuchtkraft) gestattet die genaueste Beschreibung einer Lichtquelle, welche Inhomogenitäten der Abstrahlung sowohl hinsichtlich der Richtung als auch der Oberfläche berücksichtigt. Entsprechend wird jetzt der Anteil des Lichtstroms betrachtet, der durch eine kleine Fläche in einen kleinen Raumwinkel ausgesandt wird:

Der Winkel berücksichtigt, dass die Fläche nicht senkrecht zur Blickrichtung ausgerichtet sein muss, sondern entsprechend geneigt sein kann. In diesem Fall kommt eine um den Faktor reduzierte Lichtenergie am Beobachter an. Um ein davon unabhängiges Resultat zu erhalten, wird dementsprechend schon bei der Definition der Leuchtdichte dieser Faktor herausgekürzt.

Die Einheit der Leuchtdichte ist entsprechend der Definition Lumen pro Steradient und Quadratmeter (Watt pro Steradient und Quadratmeter). Eine gesonderte Bezeichnung existiert offiziell nicht. Man kann jedoch anhand der anderen Strahlungsgrößen die Einheiten Candela pro Quadratmeter bzw. Lux pro Steradiant ableiten.

Alle hier vorgestellten Größen kann man im Prinzip anstatt auf das gesamte elektromagnetische Spektrum auch auf einen Ausschnitt desselben beziehen, also auf ein Frequenz- bzw. Wellenlängenintervall. In dieser Form ist gerade die Leuchtdichte eines Schwarzen Körpers als Resultat des Plackschen Strahlungsgesetzes von großer Wichtigkeit.


Beleuchtungsstärke und Intensität

Alle bisher unter dem Thema Strahlungsleistung vorgestellten Größen beziehen sich auf die Lichtquelle. Insbesondere in der Astronomie ist diese nicht direkt zugänglich, sondern nur die am Beobachtungsinstrument ankommende Strahlung. Die wichtigste Größe, um den Lichteinfall zu beschreiben, ist im Falle irdischer Lichtquellen die Beleuchtungsstärke . Sie gibt den Anteil des von der Quelle ausgesandten Lichtstroms an, welcher auf eine kleine Fläche trifft.

(irdische Lichtquellen)

Im Falle von Himmelskörpern spricht man anstatt von Beleuchtungsstärke von der Intensität des einfallenden Lichts, welche leider das gleiche Symbol trägt wie die Lichtstärke. Zudem wird nun nicht der vom Lichtstrom, sondern von der Leuchtkraft aufgenommene Anteil betrachtet.

(Himmelskörper)

Formell entsprechen diese Definitionen denjenigen der spezifischen Ausstrahlung, doch bezieht sich nun nicht auf eine abstrahlende, sondern eine beleuchtete Fläche. Dementsprechend werden auch die gleichen Einheiten verwendet, nämlich Watt pro Quadratmeter bzw. im Falle einer Beleuchtung durch irdische Lichtquellen Lux. Die von Himmelskörpern ankommende Strahlung ist meist so gering, dass statt der Intensität als handlicheres (und logarithmisches) Maß die scheinbare Helligkeit verwendet wird (siehe Kapitel Physik der Sterne).


Zusammenfassung

Abschließend seien die zahlreichen soeben vorgestellten Größen in folgender Übersicht zusammengefasst.

Abkürzung Bezeichnung SI-Einheit Dimension
Lichtstrom Lumen (lm) W
Leuchtkraft W W
Lichtstärke Candela (cd) W sr-1
Spezifische Lichtausstrahlung Lux (lx) W m-2
Leuchtdichte W m-2 sr-1 W m-2 sr-1
Beleuchtungsstärke Lux (lx) W m-2
Intensität W m-2 W m-2

Strahlungsausbreitung[Bearbeiten]

Photometrisches Entfernungsgesetz

Aus den Definitionen von Lichtstärke und Beleuchtungsstärke lässt sich leicht ableiten, wie diese beiden Größen für eine Lichtquelle mit Abstand zusammenhängen. Per Definition ist und . Für den Raumwinkel , welchen ein Empfänger der Fläche von der Quelle aus gesehen einnimmt, gilt wiederum . Einsetzen in die Definition der Beleuchtungsstärke liefert:

Für einen in alle Richtungen gleichmäßig abstrahlenden Himmelskörper besteht zwischen Lichtstärke und Leuchtkraft der Zusammenhang . Daraus resultiert für die Intensität (man achte wieder auf die doppelte Verwendung von auch für die Lichtstärke):

Oft ist aus Messungen stattdessen die Intensität und die Entfernung bekannt. Dann liefert das photometrische Entfernungsgesetz die Leuchtkraft der Lichtquelle:

Ein Beispiel hierfür ist die Bestimmung der Leuchtkraft der Sonne. Die Solarkonstante, die außerhalb der Erdatmosphäre bei senkrechtem Lichteinfall im Mittel einfallende Intensität, beträgt 1367 W/m2. Die in der Einleitung gegebenen mittleren Entfernung der Sonne liefert dann die dort ebenfalls angegebene Leuchtkraft.


Lambert-Beersches-Gesetz

Das soeben vorgestellte Entfernungsgesetz gilt nur, wenn zwischen Lichtquelle und Empfänger kein absorbierendes bzw. streuendes Medium vorhanden ist. Tatsächlich unterliegen aber alle bodengebundenen astronomischen Beobachtungen der Absorption und Streuung durch die Erdatmosphäre und müssen dementsprechend korrigiert werden. Schon bevor das Sternenlicht die Atmosphäre erreicht, ist es zudem durch interstellare Materie geschwächt. Auf dieses Probleme wird später eingegangen, hier sollen nur die Grundtatsachen der Lichtschwächung durch ein Medium dargelegt werden.

Man betrachte eine dünne Schicht der Dicke , auf der Licht mit einer Intensität auftrifft. Der Verlust an Intensität ist der Schichtdicke direkt proportional und natürlich auch zu selbst, d.h. es gilt eine Beziehung der Form . Diese Differentialgleichung lässt sich unmittelbar lösen, woraus das Lambert-Beersche Gesetz folgt ( bezeichnet die ursprünglich ankommende Intensität):

Die von einem Medium durchgelassene Intensität fällt also exponentiell mit zunehmender Schichtdicke ab. wird als Extinktionskoeffizient bezeichnet. Er hängt vom streuenden bzw. absorbierenden Material und vor allem von dessen Teilchendichte (der Anzahl der absorbierenden Partikel pro Volumen) ab.

In der Literatur gibt es unterschiedliche Darstellungen des Lambert-Beersche-Gesetzes. Oft wird die Teilchendichte aus dem Extinktionskoeffizienten herausgezogen, was zu folgender Form führt.

In der Chemie wird anstatt der Teilchendichte zudem meist die Stoffmengenkonzentration verwendet. In diesem Buch soll wie in der Astronomie in der Regel üblich im Extinktionskoeffizienten enthalten sein. Dann wird das Produkt als Optische Tiefe bezeichnet:

Ist dieses sehr viel kleiner als 1, darf die Näherung verwendet werden. In diesem Fall ist der Verlust an Intensität durch die absorbierende Schicht proportional zu deren Dicke als auch dem Extinktionskoeffizienten und damit der Dichte der Absorber. Man spricht dann von einer optisch dünnen Schicht, eine solche ist weitgehend durchsichtig. Umgekehrt entspricht der Fall >> 1 einer optisch dicken Schicht, eine solche ist nahezu undurchsichtig.

Sehr oft ist eine absorbierende Schicht inhomogen, wodurch sich längs des Weges ändert. Dann muss anstelle des einfachen Produkts das Integral des Extinktionskoeffizienten über dem Weg gebommen werden:


Wellenlängenabhängigkeit der Extinktion

ist nicht nur von der Teilchendichte und der Art des absorbierenden Materials, sondern im Allgemeinen auch von der Wellenlänge des einfallenden Lichts abhängig. Hierfür existieren drei Szenarien. Sind die Partikel viel kleiner als die Wellenlänge (z.B. die Luftmoleküle), liegt Rayleigh-Streuung vor. In diesem Fall ist:

Sind Partikel und Wellenlänge etwa gleich groß (z.B. bei Aerosolen), befindet man sich im Bereich der Mie-Streuung. Diese ist mathematisch sehr schwierig zu behandeln, wobei aber ungefähr gilt:

Bei großen Partikeln liegt schließlich eine rein geometrische Abschattung vor, welche von unabhängig ist.

Strahlungsgesetze[Bearbeiten]

Sehr oft interessiert man sich nicht nur für die gesamte Leuchtkraft eines Himmelskörpers, sondern auch für deren spektrale Verteilung. Ein recht grobes, aber durchaus schon nützliches Modell dafür ist die Strahlung eines sogenannten Schwarzen Körpers, deren Spektrum exakt berechnet werden kann. Auf die Herleitung der entsprechenden Gesetzmäßigkeiten muss hier jedoch auf die Wikipedia und die einschlägige Literatur verwiesen werden.

Plancksches Strahlungsgesetz

Das Plancksche Strahlungsgesetz gibt die Leuchtdichte eines Schwarzen Körpers in Abhängigkeit von dessen Temperatur und der Wellenlänge bzw. der Frequenz der elektromagnetischen Strahlung an, wobei nun die Boltzmann-Konstante bezeichnet.

In der astronomischen Praxis wird meist die Wellenlängendarstellung herangezogen, wie auch in nachstehender Abbildung dargestellt.


Spektrum des schwarzen Körpers in Abhängigkeit von der Temperatur


Wiensches Strahlungsgesetz und Rayleigh-Jeans-Gesetz

Bei diesen beiden Gesetzmäßigkeiten handelt es sich um Näherungen des Planckschen Strahlungsgesetzes, welche schon vorher bekannt waren. Falls , d.h. für genügend kleine Wellenlängen, kann man im Nenner obigen Ausdrucks die 1 gegenüber der Exponentialfunktion vernachlässigen. Dies entspricht dem Wienschen Strahlungsgesetz:

Im umgekehrten Fall , d.h. für ausreichend große Wellenlängen, gilt näherungsweise . Wendet man diese Beziehung auf das Plancksche Strahlungsgesetz an, so ergibt sich das Rayleigh-Jeans-Gesetz:


Wiensches Verschiebungsgesetz

Obige Veranschaulichung des Planckschen Strahlungsgesetzes zeigt, dass die spektrale Verteilung der Leuchtdichte eines Schwarzen Körpers genau ein Maximum aufweist, das mit zunehmender Temperatur sich zu einer immer kürzeren Wellenlänge hin verschiebt. Die Lage dieses Maximum lässt sich durch eine klassische Kurvendiskussion ermitteln, indem man die 1. Ableitung der Plancksche Formel nach bildet und deren Nullstelle bestimmt. Daraus ergibt sich das Wiensche Verschiebungsgesetz mit der Wienschen Verschiebungskonstanten:

Dieser Zusammenhang ermöglicht es, auf einfache Weise die Oberflächentemperatur eines Körpers abzuschätzen (wobei bei Sternen, die ja keine feste Oberfläche aufweisen, damit die Photosphäre gemeint ist). So erreicht z.B. das Spektrum der Sonne bei etwa 0.45 m sein Maximum, was gemäß dem Wienschen Verschiebungsgesetz einer Temperatur von ungefähr 6400 K entspricht.


Stefan-Boltzmann-Gesetz

Integriert man die von einer kleinen Fläche eines Schwarzen Körper ausgesandte Strahlung über das gesamte Spektrum und alle Richtungen, so gewinnt man dessen spezifische Ausstrahling . Die entsprechende Gesetzmäßigkeit, das Stefan-Boltzmann-Gesetz, stellt einen weiteren Zusammenhang zwischen dem Abstrahlverhalten und der Temperatur eines Schwarzen Körpers her. Es gilt, wobei die Stefan-Boltzmann-Konstante bedeutet:

Betrachtet man einen kugelförmigen Schwarzen Körper mit Radius , so beträgt wegen dessen Leuchtkraft:

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt ein weiteres Instrument an die Hand, die Oberflächentemperatur eines (kugelförmigen) Himmelskörpers abzuschätzen. Sind und bekannt, folgt ja unmittelbar:

Im Fall der Sonne resultiert aus den für und gegebenen Werten eine Oberflächentemperatur von circa 5800 K, was um etwa 600 K von dem Ergebnis des Wienschen Verschiebungsgesetzes abweicht. Die Ursache für diese Differenz liegt darin begründet, dass die Sonne (wie alle Sterne) kein wirklicher Schwarzer Körper ist. Die Spektren von Sternen sind durch Absorptionsvorgänge in den Photosphären zum Teil sehr diskontinuierlich und zeigen damit von der Planckschen Strahlungsformel erheblich abweichende Leistungsverteilungen.

Die Temperaturbestimmung aus Leuchtkraft und Radius ist nur möglich, solange der Himmelskörper noch als flächiges Objekt beobachtet werden kann. Meist ist ein solcher nur als Punktquelle sichtbar. Sind nun aber Leuchtkraft und Temperatur aus unabhängigen Messungen bekannt, liefern diese den Radius:

Gleichgewichtstemperatur eines Planeten[Bearbeiten]

Die bisher zusammengestellten Gesetze über elektromagnetische Strahlung erlauben es, die auf der Oberfläche eines Planeten mit Radius herrschende durchschnittliche Temperatur abzuschätzen. In einem Abstand von einem Zentralgestirn der Leuchtkraft kommt eine Intensität an. Nur die Tagseite des Planeten nimmt ankommende Strahlung auf, welche zudem meist nicht senkrecht, sondern schräg auf die Oberfläche einfällt. Effektiv trägt so nur der kreisförmige Querschnitt des Planeten mit der Fläche zur Energieaufnahme bei. Weiterhin reflektiert jede Oberfläche und eventuell vorhandene Atmosphäre einen Teil des ankommenden Lichts sofort wieder zurück, welcher Albedo genannt wird. Damit verbleibt eine aufgenommene Leistung .

Gemäß dem Stefan-Boltzmann-Gesetz beträgt die vom Planeten abgestrahlte Leistung . Tatsächlich gibt jedes Material jedoch nur einen Anteil von diesem theoretisch möglichen Höchstwert ab, welcher als Emissionsgrad bezeichnet wird. Im Falle einer Atmosphäre halten Treibhausgrade zusätzlich einen Teil der von der Oberfläche abgestrahlten Energie zurück, welchen man formell ebenfalls zurechnen kann. Die abgegebene Leitung lautet also .

Im Mittel müssen die vom Zentralgestirn ankommende und die vom Planeten abgestrahlte Leistung gleich sein. Daraus ergibt sich:

Für die Erde ist etwa 0.3 und ungefähr 0.6, was eine Durchschnittstemperatur von circa 289 K bzw. +16° C liefert. Eine Änderung des Emissionsgrads um 0.01 würde bei sonst unveränderten Bedingungen eine solche der Gleichgewichtstemperatur von 1.2 K bewirken. Eine Änderung der Albedo ebenfalls um 0.01 würde eine Temperaturänderung um 1.0 K nach sich ziehen.

Instrumente[Bearbeiten]

Optische Teleskope[Bearbeiten]

Trotz des Vordringens der Astronomie in andere Wellenlängenbereiche spielen optische Beobachtungen weiterhin eine große Rolle, wobei man hinsichtlich der Abbildungstechnik auch noch das nahe Infrarot hier mit einschließen kann. Im Folgenden sollen einige wichtige Eigenschaften optischer Teleskope zusammengestellt werden.

Öffnungsverhältnis

Eine überragende in viele andere Kenngrößen eingehende Eigenschaft eines Teleskops ist dessen Öffnungsverhältnis , das Verhältnis zwischen dem Durchmesser der Eintrittspupille des Objektivs und dessen Brennweite :


Bildgröße

Ein Objektiv erzeugt von einem sehr weit entfernten Gegenstand ein Bild, das direkt in der Fokalebene liegt. Der Abstand des Bilds vom Objektiv beträg also genau . Erscheint der Gegenstand unter einem Winkeldurchmesser , so weist das Bild folgende lineare Ausdehnung auf:

Bei Himmelsobjekten ist immer sehr klein, so dass die Näherung verwendet werden darf. muss dabei im Bogenmaß eingesetzt werden. Handlicher ist jedoch das Gradmaß, was einen zusätzlichen Umrechnungsfaktor von / 180 bzw. von etwa 0.0175 erfordert. Damit vereinfacht sich obige Formel zu:


Winkelvergrößerung

Das vom Objektiv erzeugte Bild wird anschließend mittels eines Okulars mit einer kürzeren Brennweite betrachtet. Ein Objekt mit einem vorherigen kleinen Winkeldurchmesse erscheint unter dem wie eine Lupe wirkenden Okular unter einem größeren Winkel . Als Winkelvergrößerung ist folgendes Verhältnis definiert:

Obige Beziehung zwischen Bildgröße und Brennweite gilt analog auch für das Okular. Daraus folgt, dass die Winkelvergrößerung durch das Verhältnis der Brennweiten von Objektiv und Okular gegeben ist:


Auflösungsvermögen

Infolge der Beugung des einfallenden Lichts am Objektiv wird auch eine Punktquelle flächenhaft, nämlich als Beugungsscheibchen abgebildet. Zwei unmittelbar benachbarte Punktquellen können noch klar getrennt werden, wenn das Hauptmaximum des einen Scheibchens auf dem ersten Minimum des benachbarten zu liegen kommt. Nach der Beugungstheorie entspricht dies für Licht einer Wellenlänge folgendem Winkelabstand :

In der Praxis kann man gemäß dem Dawes-Kriterium noch einen etwas geringeren Winkelabstand zulassen, nämlich:

Folgende Abbildung zeigt zwei Beugungsbilder, welche diese Anforderung gerade noch erfüllen.


Nach dem Dawes-Kriterium gerade noch auflösbarer Beugungsbilder


In obiger Formel isr es wünschenswert, den sehr kleinen Winkel in Bogensekunden anstatt Bogenmaß und die Wellenlänge in Nanometern statt Metern auszudrücken. Dann lautet obige Beziehung:

Tatsächlich ist das Auflösungsvermögen bei größeren Instrumenten durch die Luftunruhe und nicht durch die Beugung beschränkt, und zwar auf etwa 1 Bogensekunde. Betrachtet man Licht einer Wellenlänge von 500 Nanometern, bewirkt schon bei einem Objektivdurchmesser von etwa 0.11 Metern die Luftunruhe die gleiche "Verschmierung" einer Punktquelle wie die Beugung.

Die hier skizzierte Gesetzmäßigkeit für die Begrenzung der Auflösung durch Beugung gilt auch außerhalb des optischen Bereichs, z.B. für Radioteleskope.


Aufgenommene Leistung (Punktquelle)

Die von einer Punktquelle aufgenommene Leistung ist der Fläche der Eintrittspupille des Objektivs und somit dem Quadrat dessen Durchmessers direkt proportional:


Aufgenomme Intensität (Flächenquelle)

Wie schon geschildert, ist die lineare Ausdehnung des Abbilds eines flächigen Gegenstands der Brennweite des Objektivs direkt proportional, dementsprechend die Fläche des Abbilds proportional zum Quadrat der Brennweite. Die pro Flächenelement am Empfänger (man denke z.B. an die Pixel einer CCD-Kamera) ankommende Leistung, d.h. die Intensität , ist somit umgekehrt proportional zu . Berücksichtigt man zusätzlich wieder die Rolle des Objektivdurchmessers, so gilt:

(Auflösungsvermögen durch Luftunruhe begrenzt)

Je stärker die Vergrößerung des Teleskops ist, umso dunkler erscheint das Bild, da das einfallende Licht über eine größere Fläche am Empfänger verteilt wird. Dies betrifft auch Punktquellen wie Sterne, welche durch die Beugung bzw. Luftunruhe ebenfalls flächig abgebildet werden. Bei großen Instrumenten ( >> 10 cm) ist der Winkeldurchmesser des Abbilds durch die Luftunruhe bestimmt, wodurch obige Formel weiterhin gilt. Bei kleinen Teleskopen dominiert die Beugung, welche wie gerade erläutert ein Abbild liefert, dessen Winkeldurchmesser proportional zu und dessen Fläche damit proportional zu ist. Die einfallende Intensität ist so nicht nur zu proportional, sondern auch zu . Die Multiplikation beider Proportionalitäten liefert:

(Auflösungsvermögen durch Beugung begrenzt)

Zwar interessiert man sich bei Sternen nur für die gesamte aufgenommene Leistung, welche weiterhin proportional zu ist. Jedoch wird bei starker Vergrößerung das ankommende Licht infolge des endlichen Winkeldurchmessers des Sternscheibchens wie bei einer echten Flächenquelle über viele Pixel des Empfängers verteilt, was angesichts eines gleichbleibenden Rauschens pro Pixel den Nachweis schwacher Sterne erschwert.

Bei kleinen Teleskopen erzeilt man in dieser Hinsicht mit einem größeren Objektivdurchmesser einen ernormen Mehrwert, da man nicht nur mehr Licht aufsammelt, sondern dieses zusätzlich auf ein kleineres Beugungsscheibchen konzentriert. Bei großen Instrumenten verbessert wegen der Luftunruhe ein größeres Objetiv die Konzentration des Lichts auf ein kleineres Sternscheibchen nicht mehr. Es bleibt nur noch der zusätzliche Gewinn an einfallendem Licht.

Die hier getätigten Aussagen über die aufgenommene Leistung bzw. Intensität lassen sich ebenfalls auf andere Bereiche des elektromagnetischen Spektrums übertragen.

Radioastronomie[Bearbeiten]

Das Herzstück eines Radioteleskops ist wie bei einem optischen Fernrohr zumeist ein Parabolspiegel. Als Empfänger dient nun aber eine Antenne, welche sich im Brennpunkt des Spiegels befindet. Im Folgenden sollen sowohl einige allgemeine Eigenschaften von Antennen als auch spezifische Eigenheiten von Radioteleskopen zusammengestellt werden.

Antennengewinn

Eine Funkantenne strahlt und empfängt nicht gleichmäßig, sondern bevorzugt in bzw. aus bestimmten Richtungen. Dieses gerichtete Abstrahl- und Empfangsverhalten wird im Detail durch das sogenannte Antennendiagramm beschrieben, welches die in eine beliebige Richtung abgegeben Leistung pro Raumwinkel mit derjenigen in der Hauptstrahlrichtung (dem Maximum) vergleicht. Das untenstehende Bild zeigt als Beispiel das Antennendiagramm einer Parabolantenne.


Gemessenes horizontales Antennendiagramm einer Parabolantenne in Polarkoordinaten. Die Blickrichtung steht hierbei senkrecht zur Antenne. Von einem Kreis zum nächsten ändert sich die abgegebene bzw. aufgenommene Leistung pro Raumwinkel um einen Faktor 10


Ein übersichtliches Maß, wie stark die Antenne gerichtet ist, stellt der Antennengewinn dar. Hierbei vergleicht man die tatsächliche Leistung pro Raumwinkel in Hauptstrahlrichtung mit derjenigen , welche von einer isotropen Antenne gleicher Gesamtleistung ausgehen würde:


Antennenwirkfläche

Die Antennenwirkfläche gibt die effektiv absorbierende Fläche einer Antenne an. Kommt elektromagnetische Strahlung einer Intensität an und wird dabei eine gesamte Leistung aufgenommen, so gilt aufgrund der Definition der Intensität:

Die Antennenwirkfläche ist mit dem Antennengewinn über folgende Beziehung verknüpft, wobei die Wellenlänge darstellt:

Andererseits hängt von den geometrischen Abmessungen des Radioteleskops (dem Durchmesser des Parabolspiegels) und dem Wirkungsgrad der Empfangsvorrichtung ab:

Die von einem Radioteleskop aufgeommene Leistung ist also ebenso proportional dem Quadrat des Durchmessers des Hauptspiegels wie im Falle eines optischen Fernrohrs. Der Wirkungsgrad einer Parabolantenne beträgt zumeist etwa 50%.


Auflösungsvermögen

Die beiden obigen Beziehungen für die Antennenwirkfläche liefern einen direkten Zusammenhang zwischen , und . Es zeigt sich, dass der Antennengewinn eines Radioteleskops direkt durch dessen beugungsbegrenztes Auflösungsvermögen gegeben ist:

Wegen der großen Wellenlängen der Radiostrahlung ist das Auflösungsvermögen selbst gewaltiger Radioteleskope bescheiden. Für das Teleskop in Effelsberg erhält man mit einem Durchmesser von 100 m bei einer Wellenlänge von 21 cm (ein wichtiger Bereich für die Messung der Radiostrahlung interstellaren Wasserstoffs) ein Auflösungsvermögen von gerade einmal 0.124 Grad, entsprechend etwa einem Viertel des Winkeldurchmessers von Sonne und Vollmond. Jedoch können mittels der sogenannten Langbasisinterferometrie die von mehreren auch weit voneinander entfernten Radioteleskopen empfangenen Signale rechnerisch kohärent miteinander kombiniert werden. Damit ist das Auflösungsvermögen nicht mehr durch die Durchmesser der Parabolspiegel, sondern die viel größeren Abstände der Teleskope untereinander bestimmt. Lediglich die aufgenommene Leistung bleibt durch die Flächen der Hauptspiegel limitiert.

Spektrographen[Bearbeiten]

Für astronomische Spektroskopie wird im Optischen und den unmittelbar angrenzenden Bereichen des elektromagnetischen Spektrums zumeist ein Beugungsgitter eingesetzt. Die wichtigsten Charakteristika solcher Gitter sollen nun aufgezeigt werden.

Winkeldispersion eines Beugungsgitters

Man betrachte ein Gitter der Ausdehnung , dessen Spalten untereinander einen festen Abstand haben. Der Einfachheit halber soll das Licht senkrecht einfallen (siehe nachfolgende Zeichnung).


Beugung am Gitter


Betrachtet man nun aufeinanderfolgende Spalte, so beträgt in Richtung eines Ausfallswinkels der Gangunterschied der entsprechenden Lichtstrahlen . Konstruktive Interferenz liegt vor, wenn ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist, also . Für kleine Ausfallswinkel darf man (in Bogenmaß) setzen, woraus folgt:

Unter der Winkeldispersion versteht man die Änderung des Ausfallswinkels mit der Wellenlänge, also den Ausdruck . Mit obiger Näherung gilt:

Die Winkeldispersion ist demnach von der Wellenlänge unabhängig, ein Vorteil des Beugungsgitters gegenüber dem Prisma.


Spektrales Auflösungsvermögen

Eine wichtige Eigenschaft eines Spektrographen besteht darin, zwei Spektrallinien mit fast identischen Wellenlängen und noch trennen zu können. Dies ist dann der Fall, wenn unter dem gleichen Ausfallswinkel für die eine Linie das -te Hauptmaximum, für die andere Linie dagegen das entsprechende erste Minimum erscheint. Das Auflösungsvermögen wird durch das dann vorliegende Verhältnis ausgedrückt.

Der kleinste Winkel, der mit einem Gitter der Größe noch aufgelöst werden kann, beträgt analog zu einem Teleskop mit dem gleichen Durchmesser . Andererseits ist wie oben gezeigt für konstruktive Interferenz , woraus durch Gleichsetzen folgt. entspricht der Anzahl der Gitterspalte. Daraus resultiert schließlich:

Das Auflösungsvermögen hängt also allein von der Anzahl der Gitterspalte und der Ordnung ab, unter welcher man das Spektrum betrachtet. Demnach ist es erstrebenswert, ein Beugungsmaximum möglichst hoher Ordnung zu verwenden. Jedoch folgen dann (die Näherung gilt für große nicht mehr) die Maxima immer dichter aufeinander, so dass die Spektren zu überlappen beginnen. Weiterhin nimmt bei einem gewöhnlichen Gitter die Intensität der Maxima mit zunehmender Ordnung stark ab. Zumindest dieses Problem lässt sich durch ein sogenanntes Blazegitter umgehen. Es hat die Eigenschaft, dass bei schrägem Lichteinfall der Ausfallswinkel für eine bestimmte Ordnung demjenigen einer einfachen Reflexion entspricht, wodurch weit mehr Licht in diese Richtung gebeugt wird.

Ephemeriden[Bearbeiten]

Koordinatensysteme[Bearbeiten]

Sphärische Triginometrie[Bearbeiten]

Sternörter[Bearbeiten]

Himmelsmechanik[Bearbeiten]

Die Himmelsmechanik befasst sich vor allem mit der Fragestellung, wie sich Himmelskörper unter dem Einfluss der gegenseitigen Massenanziehung bewegen. Im Prinzip lassen sich solche Probleme mit Hilfe der aus der Mechanik bekannten Gesetzmäßigkeiten behandeln. Das Vorgehen wird jedoch oft sehr erlecihtert, wenn man auf die konkrete Anwendung zugeschnittene Methoden heranzieht.

Schwerpunkt[Bearbeiten]

Oft ist es sehr nützlich, die Bewegungen der Mitglieder eines Ensembles von Himmelskörpern relativ zu dessen Schwerpunkt zu betrachten. Man betrachte ein System von Körpern mit Massen bis und Positionen (Ortsvektoren) bis . Die Position des Schwerpunkts lautet dann:

Der Schwerpunkt stellt also das gewichtete Mittel der Positionen der einzelnen Körper dar, wobei diese mit ihren Massen gewichtet werden. Für die Geschwindigkeit des Schwerpunkts gilt analog, wobei bis die Geschwindigkeiten der individuellen Mitglieder des Systems bezeichnen:

Auf den Schwerpunkt bezogene Positionen und Geschwindigkeiten gewinnt man folgendermaßen:

Gravitationsgesetz und einfache Anwendungen[Bearbeiten]

Skalare Formulierung

Die wichtigste Gesetzmäßigkeit der Himmelsmechanik ist das Newtonsche Gravitationsgesetz. Es gibt an, mit welcher Kraft zwei Massen und , welche einen Abstand voneinander aufweisen, sich gegenseitig anziehen:


Vektorielle Formulierung

Das Newtonsche Gravitationsgesetz gibt nicht nur den Betrag der Anziehungskraft an, sondern auch deren Richtung, welche der Verbindungslinie der beiden Massen entspricht. Die Kraft , welche auf ausübt, lautet demgemäß:

Die von auf ausgeübte Kraft ist betragsmäßig der Kraft gleich, doch zeigt diese in die entgegengesetzte Richtung, nämlich .

Greift man aus einem System mit Körpern eine beliebige Masse heraus, muss man über alle von den übrigen Mitgliedern ausgeübten Kräfte vektoriell summieren, um die auf einwirkende Kraft zu erhalten:


Schwerebeschleunigung - nicht rotierender Körper

Das Gravitationsgesetz ermöglicht auf einfache Weise, die auf der Oberfläche eines Himmelskörpers herrschende Schwerebeschleunigung abzuleiten, wobei eine mögliche Rotation zunächst vernachlässigt werden soll. Man betrachte einen kugelförmigen Körper mit Masse und Radius , welcher eine radialsymmetrische Dichteverteilung aufweist (also eine nur vom Abstand vom Mittelpunkt abhängige lokale Dichte). Eine Probemasse auf dessen Oberfläche erfährt eine Kraft . Andererseits ist gemäß dem Newtonschen Kraftgesetz , woraus folgt:

Ist die Schwerebeschleunigung aus unabhängigen Messungen bekannt, liefert sie bei bekanntem Radius die Masse und damit auch die mittlere Dichte des Körpers:


Schwerebeschleunigung - rotierender starrer Körper

Rotiert ein Körper, tritt zur Schwerebeschleunigung eine Zentrifugalbeschleunigung hinzu, so dass man in der Summe eine entsprechend verminderte Fallbeschleunigung registriert. Der Effekt hängt von der geographischen Breite ab, er ist am Äquator am stärksten, an den Polen verschwindet er ganz. Da die Breitenabhängigkeit relativ kompliziert ist, sollen hier nur die Verhältnisse am Äquator skizziert werden. Liegt dort eine Rotationsgeschwindigkeit vor, so gilt . Andererseits ist , wobei die Rotationsperiode des Körpers ist. Damit erhält man:

Auf der Erde sollte sich die Korrektur gemäß dieser Formel auf etwa 0.034 m s-2 belaufen, ein zwar kleiner, aber meßbarer Betrag.

Die Zentrifugalkraft führt auch zu einer modifizierten Herleitung von Masse und Dichte, denn es gilt:

Da , ändern sich eigentlich die Beziehungen für und nicht. Jedoch liefert eine Messung auf einem rotierenden Körper nicht direkt , sondern nur . Zu dieser gemessenen Fallbeschleunigung muss addiert werden, um ein korrektes Ergebnis zu erhalten.

In der Praxis bewirkt die Zentrifugalkraft zusätzlich eine Verformung des rotierenden Körpers, er wird abgeplattet. Am Äquator ist man weiter vom Schwerezentrum entfernt als an den Polen, wodurch sich eine noch deutlichere Abhängigkeit der Fallbeschleunigung von der Breite einstellt. Tatsächlich nimmt diese auf der Erde vom Äquator zu den Polen hin um 0.054 m s-2 zu, d.h. deutlich stärker als oben berechnet. Auf eine Herleitung der zu erwartenden Abplattung soll hier jedoch verzichtet werden.


Potentielle Energie

Die potentielle Energie in einem Gravitationsfeld bezeichnet die Hubarbeit, welche man an einer Probemasse verrichten muss, um sie vollständig aus dem Anziehungsbereich einer Masse zu entfernen. Der Abstand der beiden Massen betrage zunächst . Um um eine kleine Strecke von wegzubewegen, ist nach dem Prinzip Arbeit = Kraft Weg die Arbeit erforderlich. Die Integration dieses Ausdrucks von bis ins Unendliche liefert:

Das Minuszeichen bringt zum Ausdruck, dass man die genannte Energie aufwenden muss, um die beiden Massen voneinander zu trennen.

Betrachtet man die potentielle Energie eines beliebigen Mitglieds eines -Körper-Systems, muss man die Einzelenergien bezüglich aller anderen Massen aufaddieren:


Gravitationspotential

Für viele Probleme der Himmelsmechanik ist auch das Gravitationspotential eine sehr nützliche Größe. Es gibt die pro Masse auf einen Probekörper entfallende potentielle Energie an, ist also per Definition von dieser unabhängig. Befindet sich die Probemasse in einem Abstand r von der Masse , so herrscht dort ein Potential:

Eine Masse innerhalb eines Ensembles von Körpern unterliegt demgemäß einem Potential:

Wie später gezeigt wird, ist das Gravitationspotential vor allem für solche Fragestellungen von großer Wichtigkeit, die vorzugsweise auf Grundlage einer kontinuerlichen Dichteverteilung zu bearbeiten sind, anstatt mit einem Modell diskreter Massen.


Kosmische Geschwindigkeiten

Die bisher zusammengetragenen Beziehungen gestatten es, zwei häufig benutze Geschwindigkeitsskalen herzuleiten, welche als kosmische Geschwindigkeiten bezeichnet werden. Die 1. kosmische Geschwindigkeit gibt die Kreisbahngeschwindigkeit im niedrigsten möglichen Orbit um einen Himmelskörper an (wieder mit Größen und ). Sie folgt aus der Gleichsetzung der auf einer solchen Bahn herrschenden Zentripetalkraft mit der Anziehungskraft :

Die 2. kosmische Geschwindigkeit gibt an, auf welche Mindestgeschwindigkeit eine Probemasse beschleunigt werden muss, um von der Oberfläche startend die von ausgehende Gravitation überwinden zu können. Man gewinnt diese sogenannte Fluchtgeschwindigkeit, indem man die erforderliche kinetische Energie mit der potentiellen Energie im Gravitationsfeld von gleichsetzt:

Mit den in der Einleitung genannten Werten für die Masse und den Radius der Erde erhält man einen Wert von 7.9 km/s für die 1. und von 11.2 km/s für die 2. kosmische Geschwindigkeit.

Gezeiten[Bearbeiten]

Gezeitenkraft

Für die meisten Anwendungen der Himmelsmechanik reicht es aus, Himmelskörper als punktförmig zu betrachten. Kommen sich zwei solche aber sehr nahe, ist diese Vorgehensweise nicht mehr zulässig. Die Schwerebeschleunigungen, welche die beiden Körper wechselseitig spüren, sind innerhalb deren Volumina nicht mehr überall gleich. Diese lokalen Unterschiede machen sich als Gezeitenkräfte bemerkbar.

Man betrachte einen Körper mit Masse und Radius sowie einen zweiten mit Masse und Radius . Der Abstand der Mittelpunkte sei .

Der Mittelpunkt von erleidet durch eine Schwerebeschleunigung . Die Ort an der Oberfläche von , welcher direkt zugewandt ist, hat von dem zweiten Körper aber nur einen Abstand . Dementsprechend herrscht dort eine höhere Beschleunigung . Subtrahiert man die beiden Beschleunigungen voneinander und benutzt dabei die für zulässige Näherung , so folgt für das Beschleunigungsgefälle innerhalb von

Betrachtet man die Rückseite von , wo ein Abstand vom zweiten Körper bis zu gegeben ist, erhält man mittels des obigen Vorgehens das gleiche Resultat.

Selbstverständlich unterliegt ebenfalls einer Gezeitenkraft, welche analog lautet:

Als Beispiel seien die Gezeitenkräfte betrachtet, welche Mond und Sonne auf die Erde ausüben. Aus den eingangs gegebenen Daten für den Mond folgt eine Gezeitenbeschleunigung von etwa 1.1 10-6 m/s2. Die Sonne liefert einen Beitrag von ungefähr 5.0 10-7 m/s2. Aufgrund ihrer enormen Masse stellt die Sonne trotz ihrer großen Entfernung noch fast 1/3 der auf der Erde herrschenden Gezeitenkraft.


Roche-Grenze

Für das Erde-Mond-System sind die Gezeitenbeschleunigungen im Vergleich zu den absoluten Schwerebeschleunigungen sehr gering. Die -Abhängigkeit der Gezeitenkraft legt jedoch nahe, dass dies bei Abständen, die nur noch wenig größer als die Radien der beteiligten Körper sind, nicht mehr gilt. Tatsächlich gibt es einen Minimalabstand , die sogenannte Roche-Grenze, unterhalb dessen ein Mond nicht mehr stabil ist.

Es seien wieder die beiden obigen Körper betrachtet. Sie sollen zunächst als starr betrachtet werden. Auf der zugewandten Seite von soll ein kleines Steinchen liegen. kann dieses nur festhalten, solange die darauf einwirkende Schwerebeschleunigung mindestens gleich der Gezeitenbeschelunigung ist. Daraus resultiert ein Mindestabstand . Ersetzt man noch die Massen durch die mittleren Dichten und , erhält man die übliche Formulierung:

In Wirklichkeit sind Himmelskörper nicht starr, sondern verformen sich unter dem Einfluss von Gezeiten (wie man es auch von Ebbe und Flut her kennt). Aus Kugeln werden Ellipsoide, die mit ihren Spitzen aufeinander zeigen. Die großen Halbachsen der Ellipsoide sind natürlich größer als die ursprünglichen Kugelradien, was die lokalen Unterschiede der Schwerebeschleunigung und damit die Gezeiten noch verstärkt. Je näher sich die beiden Körper kommen, umso mehr weichen sie von der Kugelgestalt ab. Aus diesem Mechanismus folgt ein im Vergleich zum einfachen Modell starrer Körper bedeutend größerer Mindestabstand von:

Der umfangreiche Beweis kann im Rahmen eines Nachschlagewerkes nicht gezeigt werdem, es sei daher auf die Wikipedia verwiesen. Gemäß obiger Formel könnte sich der Mond der Erde bis auf circa 18000 km nähern, bevor er von den Gezeiten zerissen würde.

Planetenbewegung[Bearbeiten]

Keplersche Gesetze

Diese klassischen Gesetze der Planetenbewegung stellen gleichwohl eine Idealisierung dar. Sie gelten streng genommen nur für ein lediglich aus zwei Körpern bestehendes System. Jedoch ist im Sonnensystem die Anziehungskraft der Sonne so dominant, dass Sonne und ein Planet in guter Näherung als ein Zweikörpersystem betrachtet werden dürfen, das durch die übrigen Planeten und sonstige kleinere Massen nur sehr geringfügig gestört wird. Die Keplerschen Gesetze lauten folgendermaßen:

1) Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einen Brennpunkt die Sonne steht. Exakt betrachtet, steht jedoch nicht die Sonne, sondern der Schwerpunkt von Sonne und Planet in einem Brennpunkt.

2) Die Verbindungslinie Sonne - Planet, der sogenannte Fahrstrahl, überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (siehe Abbildung). Physikalisch bedeutet dieses Gesetz die Erhaltung des Bahndrehimpulses.

3) Die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Halbachsen.


Zweites Keplersche Gesetz


Die Keplerschen Gesetze können auf Grundlage des Newtonschen Gravitationsgesetzes hergeleitet werden, wozu jedoch auf die Wikipedia verwiesen wird. Das 3. Keplersche Gesetz kann anhand einer kleinen Masse , die auf einer Kreisbahn mit Radius eine Zentralmasse umläuft, jedoch leicht plausibel gemacht werden. Wie bereits dargelegt wurde, gilt für die Umlaufsgeschwindikeit nämlich (siehe 1. kosmische Geschwindigkeit). Andererseits ist gemäß der Definition Geschwindigkeit = Strecke / Zeit , wobei T die Umlaufszeit ist. Das Gleichsetzen der beiden Ausdrücke liefert unmittelbar . Die exakte Herleitung liefert, dass in Wahrheit die Summe beider beteiligten Massen einzusetzen ist:

Das 3. Keplersche Gesetz stellt eine weitere Methode dar, die Massen von Himmelskörpern zu bestimmen. Sind und bekannt, liefert es unmittelbar:

Als beispielsweise im 18.Jh. auf Grundlage eines Venustransits erstmals der Abstand der Erde zur Sonne exakt bestimmt werden konnte, war damit auch die Sonnenmasse bekannt.


Gesamtenergie auf einer Planetenbahn

Die Gesamtenergie auf einer Planetenbahn kann anhand des soeben skizzierten Kreisbahn-Szenarios ebenfalls plausibel diskutiert werden. Für den kinetischen Anteil gilt . Die potentielle Energie ist wie bereits besprochen . Somit gilt:

Dieser Zusammenhang gilt auch für Ellipsenbahnen. Im Fall einer gegen Unendlich tendierenden großen Halbachse geht die Gesamtenergie gegen Null. Die beiden Massen sind dann nicht mehr durch die Schwerkraft aneinander gebunden. Der Begleiter umläuft nun die Zentralmasse auf einer Parabel ein einziges Mal und verschwindet dann auf Nimmerwiedersehen. Auch das Szenario einer positiven Gesamtenergie ist möglich. In diesem Fall liegt eine Hyperbelbahn vor, auf welcher die kleine Masse der großen bis auf einen Abstand nahekommt und dann abermals wieder verschwindet. Hyperbelbahnen werden oft bei einmalig auftauchenden Kometen beobachtet.


Position und Geschwindigkeit auf einer Planetenbahn

Mit Hilfe der ersten beiden Keplerschen Gesetze, aus welchen wiederum die Kepler-Gleichung folgt, lassen sich auch Position und Geschwindigkeit eines Planeten auf seiner Bahn in Abhängigkeit von der Zeit bestimmen. Dazu dient die folgende Konstruktion.


Positionsbestimmung auf Planetenbahn


Im 1. Schritt zeichnet man um die elliptische Bahn den dazugehörigen Umkreis. Man nimmt zunächst an, dass der Planet auf diesem Kreis anstatt der Ellipse und dementsprechend mit konstanter Winkelgeschwindigkeit umläuft. Nun betrachtet man den Winkel, der durch die Verbindungslinie Kreismittelpunkt - Perihel CZ und die Verbindungslinie Kreismittelpunkt - fiktive Planetenposition auf dem Kreis CY definiert ist. Dieser wird mittlere Anomalie genannt. Wegen der konstanten Winkelgeschwindigkeit des Planeten auf dem Kreis gilt für die Zeitabhängigkeit von einfach (wobei nun die Umlaufsdauer mit bezeichnet wird und zu Beginn der Planet sich im Perihel Z befinden soll):

Im 2. Schritt wird die sogenannte exzentrische Anomalie betrachtet. Dazu wird die tatsächliche Position des Planeten auf der Ellipse P in Richtung der kleinen Halbachse b auf den Umkreis projeziert, wodurch man den Punkt X erhält. ist nun durch die beiden Verbindungslinien CZ und CX festgelegt und kann aus mittels der Keplergleichung bestimmt werden, wobei die Exzentrizität der Bahn angibt.

Algebraisch lässt sich diese Beziehung nicht nach auflösen. Man kann sie jedoch iterativ lösen, z.B. mit dem Ansatz:

Die Kenntnis der exzentrischen Anomalie reicht bereits aus, um den Abstand des Planten vom Brennpunkt S anzugeben, denn es gilt:

Daraus folgt unmittelbar, dass der kleinste Abstand und der größte beträgt. Um die Positionsangabe zu vervollständigen, muss in einem 3. Schritt auch noch der durch die Verbindungslinien SZ und SP definierte Winkel bestimmt werden. Dieser wird wahre Anomalie genannt und kann wie der Abstand aus der exzentrischen Anomalie abgeleitet werden, wofür mehrere Vorschriften bekannt sind:

Die wahre Anomalie liefert ebenfalls den Abstand, und zwar gemäß

Um zusätzlich zur momentanen Position auch die dazugehörige Geschhwindigkeit zu gewinnen, muss man die Erhaltung der Gesamtenergie mit heranziehen. Der gesuchte Zusammenhang zwischen Abstand und Geschwindigkeit ist durch die sogenannte Vis-Viva-Gleichung gegeben.

Obige Gleichung gilt auch für Hyperbelbahnen. In diesem Fall muss für jedoch der Zahlenwert negativ eingesetzt werden.

Hinsichtlich der Beweise der Kepler- und Vis-Viva-Gleichung sei erneut auf die Wikipedia verwiesen.

Behandlung kontinuierlicher Masseverteilungen[Bearbeiten]

Relativitätstheorie[Bearbeiten]

Eine detaillierte Darstellung der Relativitätstheorie und damit exakte Beweisführung der in diesem Kapitel zusammengestellten Beziehungen kann wegen des dafür erforderlichen Umfangs nicht gegeben werden. Für viele in der Astronomie bedeutsame Effekte kann anhand physikalisch plausibler Argumente aber auch ohne den für eine genaue Beschreibung notwendigen mathematischen Apparat zumindest die Größenordnung abgeschätzt werden.

Speziell[Bearbeiten]

Die spezielle Relativitätstheorie widmet sich der Struktur von Raum und Zeit in Bezugssystemen, die sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit gegeneinander bewegen, d.h. sie vernachlässigt auf diese einwirkende Kräfte, insbesondere die Gravitation. Dennoch sind die von ihr gelieferten Resultate von großer Bedeutung.


Lorentzfaktor

Wie die nachfolgend behandelten Beispiele zeigen, sind viele relativistische Effekte vom Verhältnis bestimmt gemäß folgender, als Lorentzfaktor bezeichnete Größe:

Der Lorentzfaktor ist nachstehend als Funktion von dargestellt.


Lorentzfaktor als Funktion des Verhältnisses


Beziehung zwischen Gesamtenergie , Ruhemasse und Impuls eines Körpers

Der allgemeine Zusammenhang zwischen diesen Größen lautet:

Der Sonderfall entspricht der berühmten Masse-Energie-Äquivalenz

Weitere Spezialfälle sind sind (klassischer Grenzfall) und (extrem relativistischer Grenzfall):

(klassisch)

(extrem relativistisch)


Relativistische Massenzunahme

Wird ein Körper beschleunigt, so kann die an ihm verrichtete Arbeit nicht beliebig in Bewegungsenergie umgesetzt werden, weil eine Beschleunigung über die Lichtgeschwindigkeit hinaus nicht möglich ist. Nach der Masse-Energie-Äquivalenz muss somit zumindest ein Teil der dem Körper zugeführten Energie sich als zusätzliche Masse bemerkbar machen. Für die bewegte Masse als Funktion der Geschwindigkeit gilt (siehe dazu auch unter relativistische Masse)


Beziehung zwischen Gesamtenergie und Geschwindigkeit eines Körpers

Die klassische Beziehung gilt auch in der Relativitätstheorie, sofern man die bewegte Masse verwendet. Setzt man diese Beziehung mitsamt der relativistischen Massenzunahme in obige Energieformel ein, so ergibt sich:


Zeitdilatation

Die Zeitdilatation ist ebenfalls ein recht bekannter relativistischer Effekt. Er besagt, dass in einem relativ zu einem ruhenden Beobachter bewegten Bezugssystem alle physikalischen Prozesse langsamer abzulaufen scheinen. Ist für den ruhenden Betrachter ein Zeitintervall verstrichen, scheint in dem bewegten System erst eine kürzere Zeit vergangen zu sein:


Dopplereffekt

Die Zeitdilatation führt in zweierlei Hinsicht zu einer Korrektur für den bereits skizzierten Dopplereffekt. Sie bewirkt eine Modifikation der Frequenzverschiebung für eine relativ zum Beobachter in Blickrichtung sich bewegende Lichtquelle. Sie lautet nun:

Weiterhin gilt, dass sich vom Beobachter weg bewegendes Licht eine Rotverschiebung, auf den Beobachter zukommendes Licht eine Blauverschiebung erleidet.

Die zweite Korrektur ist besonders interessant. Selbst eine senkrecht zur Blickrichtung sich bewegende Lichtquelle erleidet eine Frequenzänderung, was als transversaler Dopplereffekt bezeichnet wird. Für diese gilt:

Der transversale Dopplereffekt bewirkt immer eine Rotverschiebung. Im Vergleich zum gewöhnlichen Dopplereffekt handelt es sich um einen Beitrag 2.Ordnung.

Allgemein[Bearbeiten]

Die allgemeine Relativitätstheorie betrachtet gegeneinander beschleunigte Bezugssysteme, sodass auf diese einwirkende Kräfte berücksichtigt werden. Sie muss dann herangezogen werden, wenn starke Gravitationsfelder ins Spiel kommen. Wie im Folgenden aufgezeigt wird, ist das wichtigste Maß für die Stärke eines solchen Feldes das Verhältnis zwischen Schwarzschildradius und dem tatsächlichen Radius eines Körpers.


Schwarzschildradius

Der Schwarzschildradius gibt an, auf welchen Radius eine Masse komprimiert werden muss, damit von deren Oberfläche selbst Licht nicht mehr entweichen kann, diese also zu einem Schwarzen Loch wird. Schon im 18.Jh. wurde die Idee dichter dunkler Körper diskutiert. Setzt man nämlich die Lichtgeschwindigkeit in die klassische Formel für die Fluchtgeschwindigkeit ein, so lautet der entsprechende Radius . Die allgemeine Relativitätstheorie bestätigt zumindest grob dieses Ergebnis. Für ein nicht rotierendes Schwarzes Loch liefert sie zusätzlich einen Faktor 2:

Für ein rotierendes Schwarzes Loch mit einem Drehimpuls gilt:

Der Drehimpuls kann maximal einen Wert annehmen. In diesem Fall verschwindet die Wurzel, und es stellt sich ein minimaler Schwarzschildradius ein, welcher als Gravitationsradius bezeichnet wird. Dieser stimmt sogar mit der einfachen klassischen Rechnung überein:

Für einen nicht rotierenden Körper mit der Masse der Sonne beträgt der Schwarzschildradius 2.953 km.


Schwarzschilddichte

Aus dem Schwarzschildradius lässt sich unmittelbar die entsprechende Dichte ableiten, wobei das dazugehörige Volumen bezeichnet. Es ist:

Die Dichte, auf welche Materie komprimiert werden muss, um daraus ein Schwarzes Loch zu bilden, nimmt umgekehrt proportional mit dem Quadrat von deren Masse ab. Dies erklärt zum Teil, wie die Entstehung supermassiver Schwarzer Löcher möglich ist. Damit eine Sonnenmasse zu einem Schwarzen Loch wird, muss eine Dichte von 1.843 1019 kg m-3 erreicht werden, was etwa eine Größenordnung über der Dichte eines Neutronensterns liegt. Um eine Milliarde Sonnenmassen in ein Schwarzes Loch zu verwandeln, sind jedoch nur 18.43 kg m-3 erforderlich, also etwa 1/50 der Dichte von Wasser.


Rotverschiebung im Gravitationsfeld

Lichtquanten der Frequenz weisen eine Masse auf. Um dem Gravitationspotential einer Masse mit Radius zu entkommen, müssen sie eine Hubarbeit verrichten. Diese entspricht wiederum einer Verringerung der Frequenz . Setzt man in letztere Beziehung das Potential und die Photonenmasse ein, so gewinnt man für die relative Frequenzänderung den Ausdruck und mit Hilfe des Schwarzschildradius schließlich:

Die Rotverschiebung des Lichts durch ein von einer kugelförmigen Masse ausgehendes Gravitationsfeld ist also direkt durch das Verhältnis zwischen deren Schwarzschild- und tatsächlichem Radius gegeben.

Bei obiger Herleitung handelt es sich um eine Näherung, die nur für schwache Gravitationsfelder gültig ist. Mit der Rotverschiebung ist ja zugleich auch eine Änderung der Photonenmasse gegeben, welche hier vernachlässigt wurde Die exakte Diskussion liefert für die Rotverschiebung das Resultat:

Mit der Regel für folgt daraus wiederum die angegebene Approximation. Doch auch gemäß des genauen Ergebnisses bleibt das Verhältnis für den Effekt maßgeblich. Schrumpft eine Masse bis auf den Schwarzschildradius zusammen, so wird . Das von dieser ausgesandte Licht kommt dann mit verschwindender Frequenz bzw. unendlich stark gedehnter Wellenlänge an einem weit entfernten Beobachter an.

In der Praxis wird das Verhältnis oft mit dem Buchstaben abgekürzt:


Zeitdilation im Gravitationsfeld

Die Rotverschiebung im Gravitationsfeld hat unmittebar als weiteren Effekt eine Zeitdilatation zur Folge, welche nicht mit der bei hohen Geschwindigkeiten auftretenden Zeitdilatation der speziellen Relativitätstheorie verwechselt werden darf. Man stelle sich Lichtquanten der Frequenz als Uhr vor. Werden solche am Ort eines weitab der Masse sich aufhaltenden Beobachters emittiert, so registriert dieser tatsächlich Wellenzüge pro Sekunde. Sendet jedoch solche Photonen aus, kommen am Beobachter nur Wellenzüge pro Sekunde an. Von diesem aus gesehen, erscheinen somit alle Vorgänge auf der Oberfläche der Masse verlangsamt abzulaufen. Ist am Ort des Beobachters eine Zeit verflossen, so scheint auf erst eine kürzere Zeit verstrichen zu sein:

Erwartungsgemäß spielt abermals das Verhältnis Schwarzschild- zu wirklichem Radius eine Schlüsselrolle. Mit wird = 0, d.h. von einem fernen Beobachter aus gesehen scheint dann die Zeit auf still zu stehen. Dies hat Schwarzen Löchern im Russischen die Bezeichung "Gefrorener Stern" eingetragen.


Lichtablenkung im Gravitationsfeld

Die Tatsache, dass die Schwerkraft auch auf Licht einwirkt, hat einen weiteren Effekt zur Folge. Passiert ein Lichtstrahl eine Masse in einem Abstand , so erfährt dieser eine Ablenkung um einen Winkel (siehe Zeichnung).


Lichtablenkung im Gravitationsfeld


Um abzuschätzen, soll folgendes einfaches Modell angewandt werden. Das Licht soll auf der Strecke in Y-Richtung eine konstante Beschleunigung spüren, sonst sich aber kräftefrei bewegen. Damit lautet die Bewegungsglecichung in X-Richtung und in Y-Richtung . Das Licht umläuft dann die Masse auf einer Parabel . Der Ablenkwinkel ist durch die Steigung derselben an der Stelle gegeben. Es gilt und damit . Mit dem Schwarzschildradius von vereinfacht sich dieser Ausdruck zu . Das Ergebnis stimmt mit der Vorhersage der Allgemeinen Relativitätstheorie zumindest der Größenordnung nach überein. Exakt gilt:

Ein weiteres Mal zeigt sich das Verhältnis für die Größe des Effekts als entscheidend. Die Lichtablenkung durch große dichte Massen hat z.T. spektakulär verzerrte Abbildungen kosmischer Objekte zur Folge (siehe Gravitationslinseneffekt), da diese dadurch wie eine Linse wirken (siehe untenstehende Skizze)


Prinzip der Gravitationslinse


Periheldrehung der Planeten

Um die Einwirkung der Gravitation auf Licht zu beschreiben, darf die klassische Abhängigkeit vom Abstand zur anziehenden Masse weiterhin als gültig betrachtet werden. Um die relativistische Periheldrehung der Planeten korrekt zu beschreiben, muss jedoch das Newtonsche Gravitationsgesetz um eine Komponente erweitert werden, welche einem Gesetz folgt. Diese setzt sich wiederum aus zwei Anteilen zusammen, der relativistischen Zunahme der Ruhemasse des umlaufenden Trabanten sowie der im Vergleich zur physischen Masse des Zentralgestirns größeren effektiven Masse .


Ein mit einer Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn mit Radius sich bewegender Planet weist gemäß der speziellen Relativitätstheorie eine Masse auf. Wegen gilt in guter Näherung . Setzt man und erneut den Schwarzschildradius ein, so gewinnt man den Ausdruck:


Die effektive Masse des Zentralgestirns ist eine Folge des Energiegehalts des Gravitationsfeldes, welches dieses umgibt. So wie ein elektrisches Feld weist auch ein Schwerefeld eine bestimmte Energiedichte auf. Nach dem Masse-Energie-Prinzip entspricht diese wiederum einer Massendichte. Nach dem Birkhoff-Theorem spürt man im Abstand von einer Masse somit nicht nur diese selbst, sondern auch die gesamte zusätzliche Masse, welche sich aufgrund der Energiedichte des Gravitationsfeldes innerhalb einer Kugel mit Radius um herum befindet.

Die lokale Energiedichte eines Schwerefeldes ist unmittelbar mit der lokalen Schwerebeschleunigung verknüpft gemäß:

Setzt man und die Masse-Energie-Äquivalenz ein, so gewinnt man für die entsprechende Massendiche :

Entsprechend der vorliegenden Dichteverteilung spürt man in der Entfernung von so eine effektive Masse

Das Integral über die Kugelschale um die Masse herum lässt sich am besten mit Hilfe von Kugelkoordinaten auswerten. Die Winkelkomponenten liefern einen Beitrag von , das Volumenelement zudem einen solchen von . Damit bleibt die vereinfachte Beziehung:

Das verbliebene Integral läuft vom Anstand von bis ins Unendliche. Löst man dieses auf und zieht abermals den Schwarzschildradius heran, so lautet das Endresultat:

Wendet man schließlich beide Korekturen auf das Newtonsche Gravitationsgesetz an, so lautet unter Vernachlässigung höherer Potenzen von die auf einen Planeten einwirkende Kraft:

Auch dieses Mal stellt sich als Maß aller Dinge heraus. Für eine Kreisbahn liefert die exakte Theorie für die Periheldrehung folgende Winkelgeschwindigkeit, wobei die aus der klassischen Mechanik folgende Umlaufdauer bedeutet:

In der Praxis liefert die Relativitätstheorie nur einen sehr kleinen Anteil der beobachteten Periheldrehung. Diese geht vielmehr größtenteils auf die Bahnstörungen zurück, welche die Planeten gegenseitig auf sich ausüben. So liefert obige Formel für den Perihel selbst des sonnennächsten Planeten Merkur ( = 87.969 Tage, = 57.909 106 km) eine winzige Winkelgeschwindigkeit von nur 6.323 10-14 rad s-1, entsprechend circa 41 Bogensekunden pro Jahrhundert. Tatsächlich beläuft sich dessen Periheldrehung jedoch auf 5602 Bogensekunden pro Jahrhundert. Um den nicht einmal 1% ausmachenden relativistischen Beitrag zu erkennen, ist also eine extrem sorgfältige Diskussion der klassischen Bahnstörungen erforderlich.


Gravitationswellen

Dieses kürzlich weltberühmt gewordene Phänomen stellt kleine Schwingungen der Raum-Zeit dar, welche sich durch winzige Streckungen und Stauchungen von Längenabmessungen bemerkbar machen. Gravitationswellen werden von beschleunigten Massen mit nicht kugelsymmetrischer Dichteverteilung abgestrahlt, so wie beschleunigte elektrische Ladungen elektromagnetische Strahlung aussenden. Die Abweichung einer Massenverteilung von der Kugelsymmetrie wird durch das Quadrupolmoment ausgedrückt, dieses bestimmt gemäß folgender Beziehung die Strahlungsleistung :

Erneut soll eine um eine Zentralmasse auf einem Kreis umlaufende Probemasse betrachtet werden. Die Zeitabhängigkeit des Quadrupolmoments ist dann von der Art , wobei die Winkelgeschwindigkeit auf der Kreisbahn angibt. Jede Zeitableitung liefert einen Beitrag , mit drei solchen Ableitungen ergibt sich also ein Beitrag und durch das Quadrat von letzlich ein solcher von . Der von der Zeit unabhängige Anteil des Quadrupolmoments ist von der Größenordnung , dessen Quadrat also etwa . Für die Winkelgeschwindigkeit gilt weiterhin . Einsetzen in obige Definition liefert:

Verwendet man zuletzt die Schwarzschildradien beider Massen, so ergibt sich das Endergebnis:

Der Vorfaktor ist mit einer Größenordnung von 1052 W gigantisch, er entspricht der Leuchtkraft von 1026 Sonnen bzw. von 1014 großen Galaxien. Kommen sich zwei sehr kompakte Objekte wie Neutronensterne oder gar schwarze Löcher sehr nahe, können sie für einen Augenblick eine Leistung erbringen, welche die Leuchtkraft aller Sterne des Universums zusammen bei weitem übertirfft.

Physik der Sterne[Bearbeiten]

Zustandsgrößen[Bearbeiten]

Sternatmosphären[Bearbeiten]

Eine der markantesten Erscheinungen von Sternspektren sind die sogenannten Fraunhoferlinien. Sie lassen sich durch die nachfolgend besprochenen Größen der Linienbreite und Linienstärke charakterisieren.

Breite von Spektrallinien[Bearbeiten]

Natürliche Linienbreite

Jede Spektrallinie hat von Natur aus eine gewisse Breite. Das Abklingen angeregter Zustände in einem Atom kann man durch eine gedämpfte Schwingung beschreiben, welche einen Abklinganteil aufweist, wobei der Kehrwert der mittleren Lebensdauer des angeregten Zustands ist. Indem man auf den zeitlichen Verlauf der Schwingung eine Fouriertransformation anwendet, erhält man den entsprechenden Verlauf des Linienprofils in Abhängigkeit von der Freqenz , das sogenannte Lorentzprofil (mit gleich der Mittenfrequenz der Linie):

Als Maß für die Breite einer Spektrallinie wird sehr oft die Halbwertsbreite verwendet. Für das Lorentzprofil gilt:

In der Astronomie ist es zumeist praktischer, die Halbwertsbreite auf der Wellenlängen- anstatt der Frequenzskala anzgeben. Wegen gilt und damit:

Die natürliche Linienbreite ist wegen der folgenden Mechanismen der Linienverbreiterung in Sternatmosphären bedeutungslos.


Dopplerverbreiterung

Aufgrund der hohen Temperaturen in Sternatmosphären unterliegen die dort sich befindlichen Atome einer erheblichen thermischen Bewegung. Während des Abklingens eines angeregten Zustands bewegen sich die Atome somit mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten auf uns zu bzw. von uns weg, so dass die entsprechenden Spektrallinien aufgrund des bereits geschilderten Dopplereffekts unterschiedliche Blau- bzw. Rotverschiebungen aufweisen. Durch die Überlagerung all dieser individuellen Verschiebungen entsteht in der Gesamtheit ein gegenüber dem natürlichen verbreitertes Linienprofil. Diese Erscheinung wird als Dopplerverbreiterung bezeichnet.

Gemäß der Maxwell-Boltzmann-Verteilung sind die Geschwindigkeitskomponenten in jeder Raumrichtung gaußverteilt. Die Standardabweichung dieser Verteilung lautet, wobei die Temperatur des Gases, die Atommasse und die Boltzmann-Konstante bedeuten:

Die Gaußverteilung der Geschwindigkeiten zieht auch ein gaußförmiges Linienprofil nach sich, wobei sich mittels der Dopplerformel leicht in eine entsprechende Standardabweichung auf der Frequenz- bzw. Wellenlängenskala umrechnen lässt. Die Halbwertbreite einer Gaußkurve entspricht dem -fachen von , woraus schließlich resultiert:

Als Beispiel betrachte man die sogenannte H-Linie des Wasserstoffs bei 656.28 nm. Die tiefste noch durchsichtige Schicht der Sonnenatmosphäre weist eine Temperatur von etwa 6300 K auf, was bei einer Atommasse von ungefähr 1.67 10−27 kg eine Halbwertsbreite von ca. 0.037 nm nach sich zieht.

In der Praxis ist die Sichtweise natürlich umgekehrt. Kennt man die Linienbreite, kann man aus ihr auf die Temperatur schließen. Das Beispiel zeigt, dass man für entsprechende Beobachtungen aber eine gute spektrale Auflösung benötigt. Im hier geschilderten Fall beträgt das Verhältnis etwa 18000.


Druckverbreiterung

Das Abklingen eines angeregten Zustands wird oft gestört, weil das Atom währenddessen mit anderen Teilchen zusammenstößt. Die Breite des Lorentzprofils wird dann nicht mehr durch die natürliche Lebensdauer des Zustands, sondern durch die kürzere mittlere Zeit zwischen zwei Stößen bestimmt. Man spricht in diesem Fall von Druckverbreiterung.

ist gegeben durch die mittlere freie Weglänge , welche das Atom zwischen zwei Kollisionen zurücklegen kann, und dessen charakteristische Geschwindigkeit gemäß .

Die mittlere freie Weglänge errechnet sich aus der gesamten Teilchendichte des Gases und der effektiven Querschnittsfläche des Atoms, mit welcher es zu Stößen mit anderen Partikeln beiträgt:

Für die charakteristische Geschwindigkeit kann die aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung folgende wahrscheinlichste Geschwindigkeit genommen werden:

Setzt man all dies in die Halbwertsbreite des Lorentzprofils ein, so gewinnt man als Endergebnis:

Wieder werde die H-Linie als Beispiel herangezogen. Die Teilchendichte in der tiefsten gerade noch durchsichtigen Schicht der Sonne beträgt etwa 1.48 1023 m-3. Der effektive Querschnitt eines Wasserstoffatoms (beruhend auf dem kovalenten Radius von 3.1 10-11 m) ist ca. 3.0 -21 m2. Daraus resultiert eine extrem geringe Halbwertsbreite von nur ungefähr 10-6 nm.

Die Druckverbreiterung schent in Sternatmospären damit bedeutungslos zu sein. Jedoch fällt das durch die Dopplerverbreiterung bewirkte Gaußprofil viel rascher von der Linienmitte weg ab als das durch den Druck hervorgerufene Lorentzprofil. Durch die Überlagerung beider entsteht ein Gesamtprofil, das zwar nahe der Mitte vom Dopplereffekt dominiert wird, weiter außen jedoch vom Druck. Dass dies doch meßbare Konsequenzen hat, wird im nächsten Abschnitt erläutert.

Stärke von Spektrallinien[Bearbeiten]

Definition der Äquivalentbreite

Ein sehr anschauliches und auch sehr häufig benutztes Maß für die Stärke einer Spektrallinie ist die Äquivalentbreite bzw. . Um diese zu bestimmen, trägt man die ankommende Intensität gegen die Wellenlänge bzw. Frequent aus und betrachtet die Fläche , die von dieser Kurve und der durch die ungestörte Intensität außerhalb der Linie definierte Horizontale eingeschlossen wird. Dann ersetzt man diese Fläche durch ein gleich großes Rechteck, dessen Höhe wiederum durch gegeben ist (siehe Abbildung).


Definition der Äquivalentbreite


Mit dieser Definition gilt:

Diese anschauliche Definition hat leider einen Haken. Vor allem bei kühlen Sternen liegen die Spektrallinien oft so dicht beieinander, dass es kaum noch möglich ist, das ungestörte Intensitätsniveau anzugeben. In den Spektren heißer Sterne finden sich weite Bereiche mit einem überwiegend glatten Intensitätsverlauf. Dieser entspricht aber auch nicht wirklich , da neben der linienhaften auch eine kontinuierliche Absorption z.B. durch Streuung an freien Elektronen auftritt. Eine zuverlässige Bestimmung der ungestörten Intensität ist nur anhand komplizierter Atmosphärenmodelle möglich, welche alle Absorptions- und Emmissionsvorgänge im Detail berücksichtigen.


Lambert-Beersches-Gesetz für Spektrallinien

Gemäß der bisher erläuterten Form des Lambert-Beerschen-Gesetzes kann im Falle einer sehr stark absorbierenden Schicht die ankommende Intensität praktisch bis auf Null abfallen. In Sternatmosphären sind die Verhältnisse jedoch komplizierter. Über dichten, undurchsichtigen Schichten liegen in der Regel dünnere, noch durchsichtige Bereiche, von denen noch Strahlung zu uns gelangen kann. Dadurch bleibt selbst in der Linienmitte noch eine Restintensität erhalten. Dementsprechend muss das Lambert-Beersche-Gesetz folgendermaßen formuliert werden:

Eine Berechnung der zu erwartenden Mindestintensität erfordert abermals ein detailliertes Modell der Sternatmosphäre.


Extinktionskoeffizient für Spektrallinien

Für Spektrallinien ist der Extinktionskoeffizient natürlich sehr stark von der Wellenlänge abhängig, und zwar genau entsprechend dem Linienprofil . Wie gewöhnlich ist der Dichte der absorbierenden Teilchen direkt proportional. Eine weitere wichtige in den Extinktionskoeffizienten eingehende Größe ist die sogenannte Oszillatorstärke . Diese ist ein Maß für die in der Linienmitte absorbierte Energie, wenn die Dichte der Absorber nur 1 Teilchen pro m3 beträgt. Insgesamt gilt folgender Zusammenhang:


Äquivalentbreite als Funktion der Teilchendichte

Mit Hilfe der soeben skizzierten Beziehungen lässt sich die Äquivalentbreite einer Spektrallinie in Abhängigkeit von der Teilchendichte bestimmen. Solange die absorbierende Schicht optisch dünn, also noch weitgehend durchsichtig ist, dominiert das Dopplerprofil die Absorption und damit die Äquivalentbreite. Es ist:

(optisch dünne Schicht)

Beginnt die Schicht in der Linienmitte undurchsichtig zu werden, tritt eine Sättigung des Dopplerprofils ein. Aus der Gaußkurve wird mehr und mehr ein kastenförmiges Profil, das bei der Restintensität verharrt. Jetzt dominiert zunehmend die Absorption durch das Lorentzprofil, wobei sich aber der Anstieg der Äquivalentbreite mit der Teilchendichte verlangsamt:

(optisch dicke Schicht)

ist wie schon erwähnt die mittlere Zeit zwischen zwei Stößen eines absorbierenden Teilchens.

Häufigkeit von Energieniveaus[Bearbeiten]

Aus der Äquivalentbreite einer Spektrallinie kann man also auf die Dichte der absorbierenden Teilchen schließen. Diese ist aber nicht gleichbedeutend mit der Dichte des entsprechenden chemischen Elements. Betrachtet man z.B. die H-Linie, so erfasst man als Absorber nur Wasserstoffatome, die sich schon im 1. angeregten Zustand befinden und von dort aus in den 2. angeregten Zustand gelangen. Um alle Atome zu erfassen, muss man zusätzlich die Boltzmann-Formel heranziehen. Diese gibt die relative Häufigkeit eines Energieniveaus in Abhängigkeit von der Temperatur an, wobei die Summe im Nenner über alle Niveaus einschließlich des Grundzustandes läuft:

bezeichnet die Energie, die man aufwenden muss, um vom Grundzustand in das Niveau zu gelangen. Das sogenannte statistische Gewicht berücksichtigt, ob das Niveau entartet ist, also in einem elektromagnetischen Feld weiter aufspaltet. Für das Wasserstoffatom beispielsweise ist das Gewicht eines Energieniveaus gleich dem Quadrat der Hauptquantenzahl. Die Summe im Nenner über alle Zustände wird als Zustandssumme bezeichnet. Die Gesamtheit aller relativen Häufigkeiten entspricht hier der Menge aller Atome einer einheitlichen Ionisationsstufe (z.B. alle neutralen Atome).

Bei tiefen Temperaturen, d.h. befinden sich fast alle Atome im Grundzustand. Mit steigender Temperatur finden sich mehr und mehr Atome in auch zunehmend höheren Zuständen.

Häufigkeit von Ionen[Bearbeiten]

Die Boltzmann-Formel erfasst, wie soeben schon angedeutet, nur die Häufigkeiten unterschiedlich angeregter Atome einer bestimmten Ionisationsstufe. Um ein vollständiges Bild der Häufigkeit eines chemischen Elements in einer Sternatmosphäre zu bekommen, muss man auch noch die relative Häufigkeiten der Ionisationsstufen untereinander ermitteln, was mit der Saha-Gleichung möglich ist. Diese ist eine Erweiterung der Boltzmann-Formel und gibt das Verhältnis der Teilchendichten und zweier Ionisationsstufen und an. Zusätzlich geht auch die Elektronendichte ein:

bedeutet das Plancksche Wirkungsquantum, die Elektronenmasse und die notwendige Energie, um von der Ionisationsstufe zur nächsthöheren zu gelangen, d.h. ein weiteres Elektron vom Atom abzulösen. Die stellen die Zustandssummen innerhalb der Ionisationsstufen dar.

Die Saha-Gleichung führt zu analogen Schlussfolgerungen wie die Boltzmann-Formel. Bei tiefen Temperaturen () sind praktisch alle Atome neutral. Mit zunehmender Temperatur werden Ionen immer häufiger, und es treten auch immer höhere Ionisationsstufen auf.

Innerer Aufbau und Entwicklung[Bearbeiten]

Zeitskalen[Bearbeiten]

Grundgleichungen des Sternaufbaus[Bearbeiten]

Im Folgenden soll das Modell des inneren Aufbaus eines kugelförmigen, d.h. nicht rotierenden Sterns skizziert werden. Man stelle sich diesen aus dünnen Schichten aufgebaut vor, in welchen je nach Abstand vom Mittelpunkt unterschiedliche Bedingungen herrschen. Betrachtet werden sollen insbesondere Dichte , Druck , Temperatur und Leuchtkraft (nachfolgend kurz , , und geschrieben). Der Stern soll sich überall in lokalem hydrostatischen und thermischen Gleichgewicht befinden.

Massenverteilung

Die Masse einer Schicht ist durch deren Dichte und Volumen gemäß gegeben, wobei wiederum gilt. Damit ist für die pro Schicht nach außen hin erfasste Masse:


Hydrostatische Druckschichtung

Obige Massenverteilung zieht unmittelbar eine entsprechende Druckschichtung nach sich. Jede Schicht weist eine bestimmte Masse pro Fläche auf. Betrachtet man eine Schicht an der Stelle , so übt die unmittelbar darüberliegende eine Gewichtskraft pro Fläche, d.h. einen Druck aus. Nach dem Birkhoff-Theorem trägt für eine radialsymmetrische Massenverteilung nur die innerhalb von sich befindliche Masse zur Gewichtskraft bei. Damit lautet diese . Für die Druckzunahme pro Schicht erhält man so:


Energieerzeugung

Um die Leuchtkraft einer Schicht angeben zu können, muss man die pro Masse generierte Leistung kennen. Dann gilt unmittelbar:

Die Bestimmung von ist eine äußerst schwierige Aufgabe der Kernphysik. Es zeigt sich, dass diese Materialeigenschaft neben der Dichte vor allem sehr empfindlich von der Temperatur und den im Sterninnern ablaufenden nuklearen Reaktionen abhängt. Für den Proton-Proton-Zyklus gilt laut Fowler (1967):

Für den CNO-Zyklus wurden die ursprünglichen Berechnungen von Fowler in jüngerer Zeit erheblich korrigiert. Brosch (2008) gibt an:


Energietransport

Die im Sterninneren erzeugte Energie wird durch verschiedene Transportmechanismen nach außen abgeführt. Sofern das Temperaturgefälle kleiner als der sogenannte adiabatische Temperaturgradient ist, geschieht der Energietransport in der Regel durch Strahlung. Anderenfalls tritt Konvektion auf, welche aufgrund ihrer enormen Komplexität hier nicht näher erläutert werden soll.

Der Energietransport durch Strahlung lässt sich als Diffusionsvorgang beschreiben, in welchem das Strahlungsleitvermögen eine entscheidende Rolle spielt. Es gibt an, welche Leistung pro Weglänge transportiert werden kann, wenn entlang dieses Weges eine Temperaturdifferenz vorliegt. Aufgrund dieser Definition gilt:

Die Bestimmung des Strahlungsleitvermögens als weitere Materialeigenschaft ist ebenfalls äußerst schwierig. hängt von der Dichte, Temperatur und der sogenannten Opazität ab. Letztere gibt an, welcher Anteil der transportierten Energie pro Weglänge wieder absorbiert wird, ist also ein Maß für die Durchsichtigkeit der Materie. Es besteht folgender Zusammenhang (mit gleich der Stefan-Boltzmann-Konstante):


Zustandsgleichungen[Bearbeiten]

Um die den Sternaufbau beschreibenden Gleichungen lösen zu können, benötigt man zusätzlich noch eine Zustandsgleichung, welche Dichte, Druck und Temperatur miteinander verknüpft. Hierfür sind mehrere nachfolgend vorgestellte Fälle zu unterscheiden.


Allgemeine Gasgleichung

In Sternen nicht sehr hoher Dichte stellt sich als wichtigste Gegenkraft der Gasdruck dem von der Gravitation ausgeübten hydrostatischen Druck entgegen. Die Sternmaterie darf als ideales Gas betrachtet werden, so dass als Zustandsgleichung die Allgemeine Gasgleichung verwendet werden kann:

bezeichnet die Boltzmann-Konstante, die mittlere molare Masse des Gases. Mit der thermischen Energie eines Teilchens lässt sich die Allgemeine Gasgleichung auch folgendermaßen darstellen:


Strahlungsdruck

Bei sehr hohen Temperaturen, wie sie im Inneren massereicher Sterne vorliegen, stellt auch der Strahlungsdruck ein signifikantes, im Extremfall sogar das vorherrschende Gegengewicht zur Gravitation dar. Dieser hängt nur von der Temperatur, nicht aber auch der Dichte der Materie ab:


Entartete Materie

In Sternen sehr hoher Dichte liegt Entartete Materie vor, das Gegenstück zur Schwerkraft bildet nun überwiegend der Fermi-Druck. Dieser kommt zustande, wenn durch eine sehr starke Verdichtung ein Teilchen mit einer Masse auf eine sehr kleine Längenskala eingesperrt wird. Nach der Heisenbergschen Unschärferelation hat dieses einen Impuls , welcher als Fermi-Impuls bezeichnet wird. Diesem Impuls entspricht wiederum eine Energie , welche Fermi-Energie genannt wird. Im nicht relativistischen Fall lautet diese:

(nicht relativistisch)

Bei extrem hoher Dichte kann der Fermi-Impuls so groß werden, dass die Geschwindigkeit der eingezwängten Teilchen der Lichtgeschwindigkeit nahe kommt. Im Extremfall gilt dann:

(extrem relativistisch)

Wird Sternmaterie stark verdichtet, so sind zunächst nur die Elektronen von Entartung betroffen. Die Fermi-Energie der sehr viel schwereren Nukleonen bleibt, sofern die Verdichtung nur bis zum Stadium des Weißen Zwerges voranschreitet, vernachlässigbar. Im Folgenden wird daher für die Teilchenmasse die Elektronenmasse eingesetzt.

Das der Längenskala entsprechende einem Elektron zur Verfügung stehende Volumen ist durch den Kehrwert der Elektronendichte gegeben. Diese wiederum folgt aus dem Quotienten von Massendichte und mittlerer Masse aller Teilchen (Elektronen und Nukleonen), d.h. es ist , wobei die Masse eines Protons bezeichnet.

Der oben skizzierte Zusammenhang zwischen Druck und thermischer Energie eines Teilchens ist auch für entartete Materie gültig. Setzt man in diese Beziehung die Fermi-Energie ein und eliminiert mit Hilfe der Dichte, so gewinnt man die Zustandsgleichung für entartete Elektronen. In dieser hängt der Druck nur noch von der Dichte, nicht aber der Temperatur ab:

(nicht relativistisch)

(extrem relativistisch)

Erreicht die Verdichtung das Stadium des Neutronensterns, so entarten auch die Nukleonen. Ganz grob kann man dafür eine Zustandsgleichung aufstellen, indem man in obigen Gleichungen sowohl die Elektronen- als auch Protonenmasse durch die Neutronenmasse ersetzt und die mittlere molare Masse gleich 1 setzt. Tatsächlich aber sind die Verhältnisse aufgrund der Kernkräfte, welche die Neutronen aufeinander ausüben, viel komplizierter.


Hauptreihensterne[Bearbeiten]

Zentrale Dichte

Gibt man adhoc eine einfache Massenverteilung, z.B. eine konstante Dichte vor, so lassen sich die beiden ersten Grundgleichungen des Sternaufbaus zusammen mit der Zustandsgleichung elementar lösen und so die folgenden Beziehungen ableiten. Schwarzschild (1958) zeigte, dass diese für Hauptreihensterne jedoch allgemein gelten. Die zentrale Dichte hängt demgemäß folgendermaßen von der Masse und dem Radius des Sterns ab:

Überraschenderweise dominiert hier der Beitrag des Radius. Massearme Hauptreihensterne weisen größere Dichten in ihrer Mitte auf als massereiche.


Zentraler hydrostatischer Druck

Auch in den zentralen Druck gehen Masse und Radius ein. Es besteht der Zusammenhang:

Auch hier hat der Radius gegenüber der Masse das stärkere Gewicht. In massearmen Sternen liegen höhere zentrale Drücke vor als in massereichen.


Zentrale Temperatur

Hier muss man zwischen vom Gasdruck und vom Strahlungsdruck beherrschten Sternen unterscheiden. Im ersten Fall gilt mit der allgemeinen Gasgleichung die Beziehung . Setzt man obige Proportionalitäten ein, so erhält man für die zentrale Temperatur :

(Gasdurck vorherrschend)

Nun setzt sich die Masse gegenüber dem Radius durch. Je massereicher ein Hauptreihenstern, um so heißer ist er im Zentrum. Dominiert der Strahlungsdruck gegenüber dem Gasdruck, so liegt vor, woraus durch abermaliges Einsetzen folgt:

(Strahlungsdruck vorherrschend)

Bei sehr massereichen Sternen liegt demgemäß nur noch ein flacher Anstieg der Mittentemperatur mit zunehmender Masse vor.


Masse-Leuchtkraft-Beziehung

Nimmt man zusätzlich eine konstante Opazität an, so lässt sich auch die Strahlungstransportgleichung elementar lösen. Sie liefert dann für die Leuchtkraft . Setzt man die soeben gezeigten Beziehungen für und ein, so gewinnt man die Masse-Leuchtkraft-Beziehung. Wiederum muss man zwischen einer Dominanz des Gasdrucks und des Strahlungsdrucks differenzieren:

(Gasdruck vorherrschend)

(Strahlungsdruck vorherrschend)

Der flachere Anstieg der Zentraltemperatur mit zunehmender Masse im Falle eines überwiegenden Strahlungsdrucks hat auch einen flacheren Anstieg der Leuchtkraft zur Folge.


Oberflächentemperatur

Setzt man schließlich in die Leuchtkraft das Stefan-Boltzmann-Gesetz ein, so erhält man abschließend folgende Gesetzmäßigkeiten für die Oberflächentemperatur :

(Gasdruck vorherrschend)

(Strahlungsdruck vorherrshend)

Wie für die Mittentemperatur, dominiert auch für die Oberflächentemperatur der Beitrag der Masse. Massereiche Hauptreihensterne sind auch an der Oberfläche heißer als massearme. Abermals flacht der Trend ab, sobald der Strahlungsdruck gegenüber dem Gasdruck dominiert.


Zusammenfassung

Abschließend seien in nachfolgender Tabelle typische Werte für Hauptreihensterne zusammengestellt.

Spektraltyp M/M R/R M/M / (R/R)3 (M/M)2 / (R/R)4 M/M / R/R L/L Theorie L/L Messung TO/TO☉ Theorie TO/TO☉ Messung
O5 50 12 0.029 0.12 4.2 130000 800000 8.6 9.1
B0 18 7.5 0.043 0.10 2.4 5800 50000 5.5 5.2
A0 3.0 2.5 0.19 0.23 1.2 27 50 1.7 1.6
F0 1.8 1.5 0.53 0.64 1.2 5.8 7.0 1.3 1.2
G0 1.1 1.1 0.83 0.83 1.0 1.3 1.6 1.1 1.0
K0 0.8 0.9 1.1 0.98 0.89 0.51 0.40 0.84 0.91
M0 0.5 0.6 2.3 1.9 0.83 0.13 0.080 0.69 0.7

Während die elemenare Theorie die beobachteten Oberflächentemperaturen (genauer Effektivtemperaturen) gut wiedergibt, werden die Leuchtkräfte heißer Sterne stark unterschätzt. Eine mögliche Erklärung dafür ist, dass in solchen Sternen im Kern der Energietransport durch Konvektion anstatt durch Strahlung erfolgt, wodurch die erzeugte Energie wesentlich schneller in Richtung der Oberfläche befördert wird.

Weiße Zwerge[Bearbeiten]

Masse-Radius-Beziehung

Die für Hauptreihensterne hergeleiteten Beziehungen und gelten auch für Weiße Zwerge. Da für entartete Materie Druck und Dichte ohne zusätzliche Temperaturabhängikeit aber direkt miteinander zusammenhängen, lassen sich durch Eliminierung einer der Größen oder auch Radius und Masse des Sterns direkt miteinander verknüpfen. Im nicht relativistischen Fall ist wie schon dargelegt , unter extrem relativistischen Bedingungen . Daraus folgt:

(nicht relativistisch)

(extrem relativistisch)

Die Radien nicht relativistischer Weißer Zwerge werden mit zunehmender Masse kleiner. Im relativistischen Fall sollte der Radius dagegen mit der Masse wieder ansteigen.


Masse-Dichte-Beziehung

Was der relativistische Fall bedeutet, erkennt man, wenn man die zentrale Dichte als Funktion der Sternmasse betrachtet. Es gilt:

(nicht relativistisch)

(extrem relativistisch)

Im nicht relativistischen Fall nimmt die Mittendichte mit zu. Umgekehrt bedeutet das, dass stärker verdichtete Elektronen auch mehr Masse tragen können. Für relativistische Weiße Zwerge sollte dagegen die Dichte im Zentrum mit zunehmender Masse abfallen. Werden Elektronen so stark verdichtet, dass diese relativistisch werden, können sie weniger Masse standhalten als vorher. Dies wiederum zieht eine noch stärkere Komprimierung und dementsprechend einen noch schwächeren Widerstand gegen die Gravitation nach sich. Es liegt also eine instabile Konfguration vor. Tatsächlich können Weiße Zwerge oberhalb einer bestimmten Masse, der sogenannten Chandrasekhar-Grenze nicht mehr existieren, sondern kollabieren weiter zu einem Neutronenstern oder gar einem Schwarzen Loch.

Sternhaufen[Bearbeiten]

Galaxien[Bearbeiten]

Bewegung der Sterne[Bearbeiten]

Interstellare Materie[Bearbeiten]

Massenverteilung[Bearbeiten]

Kosmologie[Bearbeiten]

Literaturverzeichnis[Bearbeiten]

  • N. Brosch; Springer Verlag (Hrsg.): Sirius Matters, Astrophysics and Space Science Library 354, S. 150 ff.. 1 Auflage.
  • W. A. Fowler; International Association of Geochemistry and Cosmochemistry (Hrsg.): International Association of Geochemistry and Cosmochemistry. 1st Meeting.
  • K. Schwarzschild; Princeton University Press (Hrsg.): Structure and Evolution of the Stars. 1. Auflage.

Astronomie[Bearbeiten]

Gesamtmasse einer Spiralgalaxie[Bearbeiten]

Für die Gesamtmase einer Spiralgalaxie ergibt sich:

mit:

Materiedichteverteilung in Spiralgalaxien (Flächendichte)[Bearbeiten]

Für die Materiedichteverteilung in Spiralgalaxien (Flächendichte) ergibt sich:

Daraus folgt:

Radius R eines Himmelskörpers[Bearbeiten]

Der Radius eines Himmelskörpers lässt sich wie folgt bestimmen:

mit:

  • = Entfernung Beobachter-Himmelskörper
  • = Winkeldurchmesser.

Absolute Helligkeit und Entfernungsmodul[Bearbeiten]

Das Entfernungsmodul bestimmt sich wie folgt:

mit:

  • = absolute Helligkeit
  • = scheinbare Helligkeit
  • = Entfernung des Sterns.

Zur Herleitung siehe Literaturhinweise: H.R. Henkel: Astronomie, S.173 ff.

Bolometrische Helligkeit und bolometrische Korrektur[Bearbeiten]

Die Bolometrische Helligkeit gibt die Helligkeit eines Objektes nicht nur im sichtbaren Bereich an, sondern im gesamten Spektrum:

mit:

  • = visuelle Helligkeit
  • = bolometrische Helligkeit
  • = bolometrische Korrektur.

Entfernung r eines Sterns (in Parsec)[Bearbeiten]

Für die Entfernung eines Sterns ergibt sich:

mit:

  • = Parallaxe in Bogensekunden.

Kosmologie[Bearbeiten]

Der Hubble-Parameter[Bearbeiten]

für den Hubble-Parameter ergibt sich:

oder:

mit:

  • = Fluchtgeschwindigkeit
  • = Entfernung des Objektes.

Berechnung des Weltalters[Bearbeiten]

Das Weltalter erhalten wir durch Umkehrung des Hubble-Parameters:

Zusammenhang zwischen Rotverschiebung z und Fluchtgeschwindigkeit v[Bearbeiten]

Es besteht der folgende Zusammenhang zwischen der Rotverschiebung und der Fluchtgeschwindigkeit

(= Rapidität)

mit:

  • = Lichtgeschwindigkeit

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld[Bearbeiten]

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

Die Friedmann-Gleichungen[Bearbeiten]

1. Friedmann-Gleichung

Die 1. Friedmann-Gleichung lautet mit kosmologischer Konstante:

mit:

  • = Skalenfaktor
  • = 1. Ableitung des Skalenfaktors
  • = Dichte
  • = Krümmungsfaktor
  • = Kosmologische Konstante.

2. Friedmann-Gleichung

Die 2. Friedmann-Gleichung (Beschleunigungsgleichung) lautet:

mit:

  • = 2. Ableitung des Skalenfaktors
  • = Druck.

Oder etwas anschaulicher als Zeitableitung der Dichte:

Oder noch anschaulicher:

Das erinnert an die Thermodynamik.

Weblinks[Bearbeiten]

Literaturhinweise[Bearbeiten]

  • H.R. Henkel: Astronomie - Ein Grundkurs, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 1991
  • Humboldt-Astronomie-Lexikon, Humboldt-Taschenbuchverlag, München 1990
  • De Boer / Fürst: Duden Astronomie, Berlin 2001
  • Unsöld / Baschek: Der neue Kosmos, Springer 2000
  • Weigert / Wendker: Astronomie und Astrophysik. Wiley-VCH 2012
  • Peter Schneider: Extragalaktische Astronomie und Kosmologie, Springer 2007

Formelsammlung Physik

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