Formelsammlung Physik: Elektrizitätslehre

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Spannung / Potential

die Spannung / das Potential und deren Einheit

U \qquad \text{Einheit ist Volt: V} = \frac{\mathrm I}{\mathrm C}
\varphi \qquad \text{Einheit: V}

Spannung zwischen zwei Punkten im E-Feld

U_{AB} = \frac{W_{AB}}{q}
U_{AB} = \int\limits_{A}^{B}{\vec{E}\cdot\vec{\mathrm{d}s}}
im homogenen Feld:
U_{AB} = \vec{E}\cdot\vec{s}

Potential im E-Feld

\varphi_{A} = U_{AZ} = -\int\limits_{Z}^{A}{\vec{E}\cdot\vec{\mathrm{d}s}}
Z: Bezugspunkt; \varphi_{Z} = 0

Stromstärke

Formelzeichen

I\

Einheit

Ampere
Das Ampere ist eine SI-Basiseinheit und hat daher keine Definitionsgleichung
\mathrm{A}\

Ladung

Formelzeichen

Q = \int_t I(t)\mathrm{d}t\

Einheit

Coulomb
1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A} \cdot 1\,\mathrm{s}\


Widerstand

Formelzeichen

R = \frac{U}{I}

Einheit

Ohm
1 \Omega=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3\cdot\mathrm{A}^2}


Dass der Widerstand konstant ist, gilt übrigens nur bei konstanter Temperatur und metallischen Leitern! Für den Fall, dass der Widerstand sich mit der Temperatur ändert, gilt folge Gesetzmäßigkeit:

R_\theta = R_{20} \cdot \left(1 + \alpha \cdot \Delta\theta\right)

Der Widerstand bei einer Temperatur ist der Widerstand bei einer bekannten Temperatur multipliziert mit einem Faktor, der von einer Materialkonstante α abhängt und der Temperaturdifferenz \Delta\theta.

Einfacher Gleichstromkreis

elektrische Spannung U  U = \frac{W}{Q} t = Zeit
Q = elektrische Ladung
W = mechanische Arbeit

Gleichstromkreis.png

\vartheta = Temperatur
\rho = spezifischer elektrischer Widerstand
elektrische Strom-
stärke I
 I = \frac{dQ}{dt}
Unter der Bedingung eines stationären Stromes (I = konstant) gilt:
 I = \frac{Q}{t}
elektrischer Wider-
stand R
 R = \frac{U}{I}
elektrischer Leitwert G  G = \frac{1}{R}
elektrische Leistung P  P = U \cdot I
elektrische Arbeit W  W = P \cdot t
ohmsches Gesetz Unter der Bedingung \vartheta = \mathrm{konstant} gilt:
 U \sim I, \frac{U}{I} = \mathrm{konstant}
Widerstandsgesetz  R = \frac{\rho \cdot l}{A}
elektrische Leitfähigkeit \gamma = \frac{1}{\rho}

Unverzweigter und verzweigter Gleichstromkreis

Reihenschaltung von Widerständen Parallelschaltung von Widerständen
Reihenschaltung von Widerständen Parallelschaltung von Widerständen
I = I_1 = I_2 = \dots = I_n\ I = I_1 + I_2 + \dots + I_n\
U = U_1 + U_2 + \dots + U_n\ U = U_1 = U_2 = \dots = U_n\
R = R_1 + R_2 + \dots + R_n\ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}\
Spannungsteilerregel:
\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}  \qquad \frac{U_1}{U} = \frac{R_1}{R}
Stromteilerregel:
\frac{I_2}{I_1} = \frac{R_1}{R_2}  \qquad \frac{I_1}{I} = \frac{R}{R_1}
Reihenschaltung von Spannungsquellen Parallelschaltung von Spannungsquellen
Reihenschaltung von Spannungsquellen Parallelschaltung von Spannungsquellen
U = U_1 + U_2 + \dots + U_n Unter der Bedingung gleicher Spannungsquellen gilt:
U = U_1 = U_2 = ... = U_n

Kondensatoren

Kapazität

die Kapazität und deren Einheit

die Kapazität ist ein Maß für die Speicherfähigkeit eines Kondensators. Ihr Symbolbuchstabe ist:

C\

Ihre Einheit ist das Farad:

[C] = 1\,\mathrm{F} = \frac{\mathrm C}{\mathrm V}

Die Einheit veranschaulicht die einfachste Berechnung der Kapazität:

C = \frac{Q}{U}

Kapazität einer beliebigen Ladungsverteilung

C = \frac QU =\frac{\oint_A \varepsilon \vec{E(A)}\cdot d\vec{A}}{\int_A^B \vec{E(s)}\cdot d\vec{s}}

Kapazität eines Plattenkondensators

C = \varepsilon\frac{A}{d} \quad \text{mit} \quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r}
\varepsilon: Permittivität (Dielektrizitätszahl)
\varepsilon_0: elektrische Feldkonstante = 8{,}85418782\dots\cdot10^{-12}\,\frac{\mathrm As}{\mathrm Vm}
\varepsilon_{\mathrm r}: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)

Kapazität eines Zylinderkondensators

könnte z.B. ein Koax-Kabel sein

C = \frac{2\pi\varepsilon l}{\ln{\frac{r_{\mathrm a}}{r_{\mathrm i}}}} \quad \text{mit}\quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}


r_\mathrm{a}: Außenradius
r_\mathrm{i}: Innenradius
l: Zylinderlänge

Kapazität einer freistehenden Kugel

C = 4\pi\varepsilon r \quad \text{mit} \quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r}
r: Kugelradius

Kapazität eines Kugelkondensators

C = \frac{4\pi\varepsilon}{\left({\frac{1}{r_{\rm i}}-\frac{1}{r_{\rm a}}}\right)} \quad {\rm mit}\quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}
r_\mathrm{a}: äußerer Kugelradius
r_\mathrm{i}: innerer Kugelradius
Allgemein
Ladung Q im Kondensator  Q = C \cdot U
Energie W im Kondensator  W = \frac{1}{2} \ C \cdot U^2
Strom in den Kondensator  I = C \cdot \frac{dU}{dt} \
Laden / Entladen in Reihenschaltung
Anfangsladestrom  I = \frac{U}{R}
Zeitkonstante \tau  \tau = R \cdot C
Kondensatorspannung beim Ladevorgang  u_c = U \cdot ( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} )
Ladestrom  i_c = \frac{U}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}
Kondensatorspannung beim Entladevorgang  u_c = U \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}
Entladestrom  i_c = -\frac{U}{R}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}
Reihenschaltung von Kondensatoren Parallelschaltung von Kondensatoren
 U_g = U_1 + U_2 + \dots + U_n \  Q_g = Q_1 + Q_2 + \dots + Q_n \
 \frac{1}{C_g} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}  C_g = C_1 + C_2 + \dots + C_n \
 \frac{U_1}{U_2} = \frac{C_2}{C_1}  \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{C_1}{C_2}
Für n gleiche C
 C_g = \frac{C}{n}
Für n gleiche C
 C_g = n \cdot C

Elektrisches Feld

Anziehungskraft zweier Punktladungen

\vec{F}\,=\,\frac{1}{4\pi\varepsilon }\,\cdot\,\frac{Q_1Q_2}{r^2}\,\cdot\,\frac{\vec{r}}{r} \qquad \mathrm{mit} \quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}

wobei

\varepsilon\,: Permittivität (Dielektrizitätszahl)
\varepsilon_0\,: elektrische Feldkonstante =\,8{,}85418782\dots\cdot10^{-12}\,\frac{\rm As}{\rm Vm}
\varepsilon_{\rm r}\,: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)
\pi\,: (Pi) Kreiszahl =\,3{,}14159265\dots
Q_1\,,\, Q_2: Ladungen
\vec{r}\,: Abstandsvektor der Ladungen
r\,=\,|\vec{r}|\,: Abstand der Ladungen

die elektrische Feldstärke (E-Feld) und deren Einheit

Die elektrische Feldstärke ist eine vektorielle Größe; sie hat somit ein Betrag und eine Richtung.

\vec{E} \qquad  \text{Einheit:}\,\frac{\mathrm V}{\mathrm m} \text{ bzw. } \frac{\mathrm N}{\mathrm C}

Die Einheiten veranschaulichen die einfachste Berechnungen des E-Feldes:

\vec{E}\,=\,\frac{\vec{F}}{q}\,=\,\frac{\mathrm{d}U}{\vec{\mathrm{d}l}}

Feldstärke im Potenzialfeld:

\vec E = - \operatorname{grad}(\varphi)

E-Feld einer Punktladung

skalar:

E = \frac{1}{4\pi\varepsilon }\,\cdot\,\frac{Q}{r^2} \quad \text{mit}\quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}

vektoriell:

\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon }\,\cdot\,\frac{Q}{r^2}\,\cdot\,\frac{\vec{r}}{r} \quad \text{mit} \quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}
\varepsilon_0: Elektrische Feldkonstante =\,8{,}85418782\dots\cdot10^{-12}\,\frac{\mathrm As}{\mathrm Vm}
\varepsilon_{\mathrm r}: Dielektrizitätszahl

E-Feld eines geladenen Leiters

äußeres Feld:

skalar:
E = \frac{Q}{2\pi\varepsilon lr}\,=\,\frac{\rho}{2\pi\varepsilon r} \quad {\rm mit} \quad \rho=\frac Ql
vektoriell:
\vec{E}(P) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon l(\vec{p}\times\vec{e_l})^2}\cdot (\vec{e_l}\times(\vec{p}\times\vec{e_l})) = \frac{\rho}{2\pi\varepsilon (\vec{p}\times\vec{e_l})^2}\cdot (\vec{e_l}\times(\vec{p}\times\vec{e_l})) \quad \text{mit} \quad \vec{e_l}=\frac{\vec l}{|\vec l|},\quad \vec{p}=\vec{OP}

inneres Feld:

Für eine Statische Ladungsverteilung muss die Summe aller Kräfte auf jede Ladung 0 sein. Da Ladungen im inneren eines Leiters frei beweglich sind gilt, darf es kein Feld geben. Diesem würde jede Ladung folgen, bis auftretende Ladungsverteilungen das Ursprungsfeld kompensieren. Das heißt, dass es keine Potentialdifferenz gibt:
\Delta U = 0.
U(\vec{r})=const. erfüllt diese Bedingung. Wonach das Feld 0 sein muss:
\vec{E}(\vec{r})=-\nabla U(\vec{r})=0
Nach dem Eindeutigkeitssatz, ist dies die richtige Lösung.

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Magnetisches Feld

Lorentzkraft

\boldsymbol F_L = q \left(\boldsymbol v \times \boldsymbol B\right)= I\,\mathbf{\ell}\times \mathbf{B}

Elektromagnetisches Feld

Braunsche Röhre

Ablenkung im Kondensator y_1=\frac{1}{4} \cdot \frac{U_y}{U_A} \cdot \frac{l^2}{d} U_y = Ablenkspannung
U_A = Beschleunigungsspannung
l = Kondensatorlänge
d = Plattenabstand
s = Abstand von Kondensator zum Schirm
Ablenkung außerhalb des Kondensator y_2= \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y}{U_A} \cdot \frac{l \cdot s}{d}
Gesamte Ablenkung y= \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y}{U_A} \cdot \frac{l}{d}\left(\frac{l}{2} + s\right)

Wechselstromkreis

Stromstärke i im Wech-
selstromkreis
Momentanwert: i = \hat i \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \varphi_0 \right)
 Effektivwert: I = \frac{1}{\sqrt{2}} \ \hat i \approx 0{,}707 \ \hat i
\omega = 2\pi \cdot f


i\ = Momentanwert
t\ = Zeit
\hat i = Scheitelwert
I\ = Effektivwert
\varphi_0 = Phasenwinkel
u\ = Momentanwert
\hat u = Scheitelwert
U\ = Effektivwert
Wechsel sinus.png
\cos \varphi = Leistungsfaktor
\varphi = Phasenverschiebungswinkel

Spannung u im Wech-
selstromkreis
Momentanwert: u = \hat u \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \varphi_0 \right)
 Effektivwert: U = \frac{1}{\sqrt{2}} \ \hat u \approx 0{,}707 \ \hat u
Scheinleistung S S = U \cdot I
Wirkleistung P P = U \cdot I \cdot \cos \varphi
Blindleistung Q Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi

Widerstände im Wechselstromkreis

kapazitiver Widerstand X_C=\frac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}


f\ = Frequenz
C\ = Kapazität

induktiver Widerstand X_L={2 \cdot \pi \cdot f \cdot L}


f\ = Frequenz
L\ = Induktivität

Transformator

Transformer principle.png
\frac{U_1}{U_2} =  \frac{N_1}{N_2}
\frac{I_1}{I_2} =  \frac{N_2}{N_1}
\frac{I_1}{I_2} =  \frac{U_2}{U_1}

U_1 = Spannung in der Primärspule
U_2 = Spannung in der Sekundärspule
N_1 = Windungen der Primärspule
N_2 = Windungen der Sekundärspule
I_1 = Stromstärke in der Primärspule
I_2 = Stromstärke in der Sekundärspule

Elektromagnetische Schwingungen

Elektromagnetische Wellen

Leitungsvorgänge in festen und flüssigen Körpern