SRT (Spezielle Relativitätstheorie)
Gebräuchliche Abkürzungen
Geschwindigkeit v relativ zur Lichtgeschwindigkeit c:
Lorentzfaktor:
mit .
Addition von Lorentzfaktoren:
Rapidität:
Beachte auch:
Die Galileitransformation auf ein in x-Richtung bewegtes Bezugssystem
unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten |v| < 0,1 c eine gute Näherung. Da v' = -v:
Galilei-Tranformation in -Richtung
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Inverse Galilei-Transformation
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Anmerkung.
Die Transformationen vermitteln zwischen den privilegierten globalen
Koordinatensystemen für Raum und Zeit, den Inertialsystemen.
Bei zeitlich unbewegten Koordinaten sind auch die Drehungen um den
Ursprung und dessen Verschiebungen erlaubte Transformationen, sowohl
bei Galilei wie bei Lorentz. Drehungen haben 3 Parameter, konstante
Raumzeit-Verschiebungen 4, gleichförmige Bewegungen 3. Mit 10 Parametern
bilden die Kombinationen in beiden Fällen eine kontinuierliche Gruppe
von Transformationen.
Lorentz-Transformation in -Richtung
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Inverse Lorentz-Transformation
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Das Labor A misst Ereignisse bei Koordinaten (t,x,y,z). Labor B bewegt sich
relativ zu A mit der Geschwindigkeit v (v<c) und misst sie bei
den Werten (t',x',y',z'). Unterschiede zu der Galilei-Transformation:
- Gleichzeitige Ereignisse, von A aus gesehen, sind es nicht aus der Sicht von B,
- Zeit-Intervalle Δt sind ungleich für A und B,
- Räumliche Abstände Δx sind ungleich für A und B,
- Lichtstrahlen durch den Ursprung bleiben unverändert, x = ±c·t ⇐⇒ x' = ±c·t' .
Lorentz-Transformation in -Richtung im Vierer-Formalismus
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Inverse Lorentz-Transformation
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Vierer-Koordinaten:
Als Funktion des Parameters θ (in γ= cosh θ) bilden die
Transformationen Λ(θ) entlang einer Achse
eine Ein-Parameter-Gruppe von Matrizen:
Zeitdilatation
Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich die Eigenzeit als Ablesung zwischen zwei Ortszeiten (Zeiten an Bord)
im gemessenen Ruhesystem-Zeitabstand :
- (Eigenzeit) Uhr an Bord des Flugkörpers
- (Laborzeit) Uhr, die im Bezugssystem ruht
Anmerkung. Die Bordzeit geht langsamer als die Laborzeit.
Zum Beispiel leben unstabile Myonen ein Vielfaches lânger in
Laborzeit, wenn sie nahe an Lichtgeschwindigkeit beschleunigt
wurden.
Sollte nicht auch anders herum die Laborzeit langsamer gehen, vom
Flugkörper aus gemessen? Tut sie. Im ersten Fall erfassen die
Stoppuhren zwei Ereignis-Marken am Flugobjekt, im zweiten Fall
am Laborzentrum.
- [1]
- [2]
Um die wirklich interessante Zeitbilanz von Rundwegen
— mit Beschleunigungen also — zu erhalten,
muss die Allgemeine
Relativität bemüht werden. Es gibt kein "Zwillingsparadoxon".
Längenkontraktion
Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus.
Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:
Uhrendesynchronisation
Die Relativität der Gleichzeitigkeit bewirkt eine Desynchronisation der Uhren im Abstand , wobei sowohl dieser Abstand als auch die Bewegungsrichtung v vorzeichenbehaftet sind. Maßgeblich für den Gangunterschied sind nur die Komponenten des Abstandes in Richtung der Bewegung:
- .
Dabei ist zu beachten, dass die Uhren bei und vom Beobachter gleichzeitig abgelesen werden und nicht gleichzeitig vom beobachteten System aus gesehen, genau daraus resultiert die beobachtete Uhrendesynchronisation.
Rot-/Blauverschiebung
Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.
- mit f beobachtete Frequenz und f' Originalfrequenz
Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.
Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):
Bei Annäherung zum Beobachter (v < 0) ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:
- insgeamt also
Bei Entfernung vom Beobachter (v > 0) ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:
- insgeamt also
Der z-Faktor ergibt sich aus
Kinematik
Die Bahnkurve eines fliegenden Objekts kann entweder als Funktion
der Laborzeit aufgezeichnet werden, oder
besser als Funktion der Eigenzeit , die
eine mitgeführte Uhr an Bord liefert (mit Funksignalen ans Labor).
Geschwindigkeit
Definition. Vierergeschwindigkeit:
Es gilt:
Die Minkowski-Norm der Vierergeschwindigkeit ist konstant:
Beschleunigung
Definition. Viererbeschleunigung:
Ableitung des Lorentzfaktors:
Es gilt:
Die Vierervektoren
transformieren sich mit der gleichen Lorentz-Matrix beim Wechsel
in ein gleichförmig bewegtes Bezugssystem. Der Parameter Eigenzeit
verändert sich nicht.
Klassische Addition der Geschwindigkeiten
Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:
Relativistische Addition der Geschwindigkeiten
Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:
Dynamik
Die Galilei-Transformationen sind die Symmetriegruppe der
Newtonschen Mechanik, die Lorentz-Transformationen sind die der
Maxwellschen Elektrodynamik. Die Spezielle Relativität postuliert
den Vorrang der Lorentzgruppe. Daher müssen die Grundbegriffe der
Mechanik wie Kraft, Energie, Impuls so geändert werden, dass auch
sie sich mit den Lorentz-Matrizen transformieren. Die spektakulärste
Konsequenz davon ist die Ruhe-Energie E=mc².
Impuls
Für den relativistischen Impuls eines Flugkörpers mit der trägen Masse
ergibt sich:
Definition. Viererimpuls:
Dieser 4-Vektor kombiniert Energie und Impuls, transformiert sich mit
der Lorentzgruppe, und es gilt:
und:
Energie-Impuls-Beziehung:
- (Lorentz-invarianter Wert).
Formulierung als „relativistischer Pythagoras“:
Die Photonen mit m=0 haben die Energie-Impuls-Beziehung
Anmerkung. Bei den Reaktionen und Zerfällen von Teilchen mit
hoher Energie gilt streng die Energie-Impuls-Erhaltung. Die Summe der
Vierer-Impulse vorher und nachher ist gleich. Die Auswertung erfolgt
nach der Lorentztransformation ins Schwerpunktsystem, wo diese
Vektorsumme die Form (E,0,0,0) hat. Man nennt alle Folgerungen
aus dem Erhaltungssatz die Kinematik der Reaktion. Die wesentlich
schwierigere Dynamik berechnet Quantenfeld-theoretisch die
Häufigkeitsverteilung von Art, Zahl, Energien und Flugrichtungen
der Produkte.
Kraft
Definition. Viererkraft:
Es gilt:
Mit
gilt:
Relativistische Masse
Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):
-
- Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
- Ruhemasse.
Anmerkung. In der Teilchenphysik gibt es nur eine Masse, die Ruhemasse. Variable Massen
sind ein Rechentrick, um Newton-ähnlichere Formeln vorzuzeigen.
Energie
Einsteins Energieformel:
-
- Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),
- relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
- Ruhemasse.
Ruheenergie:
Kinetische Energie:
Maclaurin-Reihe des Lorentzfaktors:
In der Literatur gibt es zwei unterschiedliche Konventionen bei der Signatur (- + + +) und (+ - - -). Beide Konventionen sind gleichwertig. Hier wird die zweite Variante dargestellt:
Vierervektor
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Kontravariante Koordinaten
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Kovariante Koordinaten
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Darstellungsmatrix des (pseudo)-metrischen (Minkowski)-Tensors:
Es gilt bzw. .
Minkowski-Skalarprodukt:
In der Einsteinkonvention wird das Summenzeichen nicht geschrieben und immer über gleiche Indexvariablen summiert.
Das Minkowski-Skalarprodukt ist nicht positiv definit und daher kein echtes Skalarprodukt.
Quadratische Form:
Ein Viererort (auch Ereignis genannt) heißt
- zeitartig, wenn
- raumartig, wenn
- lichtartig, wenn
Minkowski-Norm:
Die Minkowski-Norm ist keine echte Norm im Sinne eines normierten Raumes.
Minkowski-Metrik:
mit .
Die Minkowski-Metrik ist keine echte Metrik im Sinne eines metrischen Raumes.
Linienelement:
Man kann die beiden Signaturen auch gezielt zur unterschiedlichen Darstellung raumartiger und zeitartiger Abstände verwenden:
Isometriegruppen
Definition. Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion , die einem
Ereignis der Raumzeit ein anderes Ereignis
zuordnet, so dass gilt:
wobei die quadratische Form ist.
Gruppe der Translationen
Gruppe der Translationen:
Gruppe der Rotationen
Rotationsmatrizen:
Die Gruppe aller Rotationsmatrizen ist trivial isomorph zur und wird zur Unterscheidung als notiert.
Die ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.
Lorentz-Gruppe
Lorentz-Gruppe:
Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller linearen Transformationen, welche die Hyperflächen
- { (t,r) | c² t² - r² = const },
insbesondere den Lichtkegel durch den Ursprung, invariant lassen.
Die anfangs definierten Abbildungen zwischen bewegten Bezugssystemen bilden eine Teilmenge, die "Boosts".
Die eigentliche orthochrone Lorentzgruppe "SO(1,3)" ist die topologisch
zusammenhängende Komponente der Gruppe ohne Raumspiegelung oder Zeitumkehr.
Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:
- .
Aus der Definition folgt mit . Ausgeschrieben:
bzw.
bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)
Die Elemente der 6-dimensionalen Gruppe SO(1,3) lassen sich z.B. darstellen
als Produkt RB aus einer Raum-Rotation R (3 Parameter: Winkel und
Einheitsvektor der Achse) und einem Lorentz-Boost B (3 Parameter:
Vektor der Geschwindigkeit). Die Rotationen sind die Untergruppe, die
den Vierervektor (1,0,0,0)T als Fixpunkt hat. Das Produkt zweier
verschieden orientierter Boosts aber ist kein reiner Boost, es enthält
ein Stück Rotation.
Poincaré-Gruppe
Affine Abbildungen:
Poincaré-Gruppe:
Die 6-dimensionale Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der 10-dimensionalen Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei .
Das sind alle Poincaré-Transformationen mit . Die 4-dimensionale Gruppe der Translationen ist eine abelsche Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit .
Die Elemente der Poincarégruppe sind eindeutig den Paaren (Λ,a)
zugeordnet. Die Gruppenverknüpfung sieht so aus:
- (Λ,a) · (Λ',a') = (ΛΛ', a+Λa').
ART (Allgemeine Relativitätstheorie)
Verzerrung von Länge und Zeit
Dem Lorentzfaktor γ der SRT, Funktion der Relativgeschwindigkeit,
vergleichbar erscheint im Feld um eine schwere Masse am Ursprung der
Schwarzschildfaktor γG, Funktion der Radiuskoordinate:
-
- mit SI-Einheit kg
- mit SI-Einheit m/s
- mit SI-Einheit m³/s²kg
- mit SI-Einheit m
- mit SI-Einheit m
- mit SI-Einheit m²/s²
- mit SI-Einheit m/s²
- mit SI-Einheit m/s
- mit SI-Einheit m/s
Das Gravitationspotenzial eines Sterns verformt Raum und Zeit.
Element der flachen Minkowski-Metrik ohne Gravitation,
in Kugelkoordinaten:
Element der Schwarzschild-Metrik im zentralsymmetrischen Feld:
-
Anschaulich vergeht im Schwerefeld nahe am Zentrum weniger Zeit
als weit außen, der Faktor von (dt)² sinkt <1.
Die radialen Abstände werden im Nahbereich gestreckt, mit wachsendem
Faktor >1 von (dr)² im Vergleich zum euklidischen Raum.
Merkregel: Der Kopf des Menschen altert schneller als die Füße.
Geometrisches Weltmodell
Die Raumzeit ist eine Mannigfaltigkeit ausgestattet mit Feldern, die
der Differenzialgeometrie gehorchen. Lokale, weitgehend beliebige
4-dimensionale Koordinatensysteme überdecken die Raumzeit. Diese
sind äquivalent, wo immer sie sich stetig-differenzierbar überlappen.
Krummlinige und beschleunigte Bezugssysteme eingeschlossen.
Keine Koordinaten haben physikalisch Vorrang, sie sind
alle nur rechentechnische Hilfen.
Die quadratische Form ds², auf Tangentialvektoren anzuwenden,
beschreibt an jedem Punkt Lorentz-symmetrisch die Maße im Kleinen für
Länge und Zeit. Die Variation der metrischen Form von Punkt zu Punkt
enthält die Auswirkung der Gravitation. Genauer: die
koordinaten-unabhängige Variation, genannt die Krümmung, folgt aus den
Massen, Energien und Impulsen anderer Felder.
Das traditionelle ds² meint das metrische Feld g(x), ein
symmetrisches Tensorfeld vom Typ (0,2).
Die Vierervektoren a mit g(x)(a,a)=0 sind der Lichtkegel,
die Menge der Richtungen der Grenzgeschwindigkeit am
Raumzeit-Punkt x. g(x)(a,a)>0 sind die zeitartigen
Richtungen (das Innere des Kegels). g(x)(a,a)<0
definiert die raumartigen Auslenkungen von x her. Ein
Ereignis am Punkt x kann nur dann auf Punkt y einwirken, wenn
es eine Kurve mit zeitartigen und/oder lichtartigen Tangenten von
x nach y gibt. Die Mannigfaltigkeit hat eine Orientierung
Vergangenheit → Zukunft. Geschlossene zeitartige Wege alias
Zeitreisen sind realitätsfern, obwohl sie in "pathologischen"
Lösungen der Feldgleichungen vorkommen (Gödel, Taub-NUT).
Die klassische Feldtheorie erlebte eine Steigerung.
Modell |
Quelle des Feldes |
Typ des Feldes |
Effekt auf Proben
|
Newton-Gravitation |
Massen-Dichte |
Skalares Potenzial |
Schwerkraft
|
Elektrostatik |
Ladungsdichte |
Skalares Potenzial |
Coulomb-Kraft
|
Elektrodynamik |
Ladungs-und-Strom-Dichte |
4-Vektor-Potenzial |
Lorentz-Kraft
|
Einstein-Gravitation |
Energie-Impuls-Tensordichte
|
Tensor-Potenzial |
Gravitation+Trägheits-Kraft
|
Horizonte und Singularitäten
Im Gravitationsfeld gibt es Gebiete, in denen alle zeitartigen und
lichtartigen Kurven gefangen bleiben. Keine Information oder Materie
kann aus solchen Käfigen nach außen kommen. Ihre Grenzflächen sind
die Ereignis-Horizonte. Alles, was von außen her die Grenze
übertritt, wird verschlungen.
Der Schwarzschildfaktor des Schwerefeldes um einen Massenpunkt wird Unendlich am
Radius rS. Doch die Mannigfaltigkeit-mit-Metrik geht nach innen
weiter. Geschickt gemachte alternative Koordinaten überbrücken die Kugelfläche
mit endlichen, glatten Formeln für die Metrik. Nur der Ursprung hat eine
unrettbare Singularität. Dies ist das einfachste Modell für ein Schwarzes Loch.
Die Schwarzschild-Kugel ist dessen Horizont. Sein Innenleben bleibt für die
Außenwelt unsichtbar.
Schwarzschildradius
Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:
- Sagittarius A*: km (Zentrum der Galaxis)
- Sonne: 3 km
- Erde: 8 mm
Gravitationsradius
Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:
Singularität
Nach tiefschürfender Mathematik (Penrose, Hawking,..) entwickeln die Raumzeiten
mit Lorentz-artiger Metrik g und positiver Energiedichte,
Tμν·uμ·uν ≥ 0 für alle
zeitartigen Vektoren u, unweigerlich Singularitäten (Symbole weiter
unten definiert). Eigenschaften einer Singularität sind:
- Invarianten wie Rμνρσ·Rμνρσ
werden Unendlich. Kein Raum kann dahin erweitert werden, auch nicht
mit noch unbekannten Feldgleichungen.
- Die Raumzeit ist geodätisch unvollständig.
Gefangene zeitartige Weltlinien — insbesondere im freien Fall (Geodäten)
— werden angezogen und enden abrupt nach kurzer Eigenzeit.
Kollaps. Ende der Welt für alles in der Umgebung.
- Vermutung der kosmischen Zensur:
Singularitäten kommen nicht nackt vor, sondern verbergen sich hinter Horizonten.
Einstein-Effekte der Gravitation
Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen,
ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen
Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jede Beobachterin aus
ihrer Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachtenden über die
relativen Wirkungen der ART einig.
Gravitations-Zeitdilatation (Näherung)
Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:
-
Beispiele, übertrieben:
Von weit außen beobachtet ('Raumschiff') läuft die Zeit nahe am
Zentrum ('Bodenstation') langsamer, in Zeitlupe. Vom Boden aus
gesehen, tickt die Zeit im Raumschiff schneller, im Zeitraffer.
Beispiel, konkret.
Die Uhren der GPS-Satelliten, rund 20000 km über der Erde, sollten nach dem
Verhältnis der Schwarzschildfaktoren 45 μs/Tag schneller ticken als die
gleich gebauten am Erdboden. Andererseits empfangen wir 7 μs/Tag weniger
Zeit wegen des Lorentzfaktors der Orbitalgeschwindigkeit. Folgerichtig
gehen die Satellitenuhren vor um etwa 38 μs/Tag.
Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)
Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus.
Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:
- Radiale Länge weit entfernt vom Zentrum
- Radiale Länge auf einer Kugel mit Umfang = 2πr
Ein radialer Weg aufwärts in Bodennähe ist länger als weit außen in der
flachen Geometrie, wenn der Umfang der Kugel im gleichen Maß zunimmt.
Anmerkung.
Zeitdilatation, Längenkontraktion meinen hier die
trügerische absolute Deutung 'am Raumschiff'. Gälte überall streng
die Euklidische Geometrie und eine
universelle Koordinatenzeit, dann bekäme ein radiales Metermaß
am Radius r eine Kontraktion um (1/γ)<1
und eine Sekunde eine Verlängerung um Faktor (γ)>1.
Vielmehr sind Raum und Zeit krumm, nicht-euklidisch. Meter und
Sekunde bleiben an allen Orten gleich, sind geeicht in
atomaren Wellenlängen und Perioden.
Am Radius r dehnt sich der Raum und läuft die Zeit behäbiger.
Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)
Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:
und Frequenz:
Ein Signal von 1000 Hz aus dem Raumschiff wird am Boden als 2000 Hz
gemessen, weil die Bodenzeit langsamer vergeht.
Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)
Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:
und für die Frequenz:
Ein Signal von 1000 Hz vom Boden wird im Raumschiff nur als 500 Hz
gemessen, weil die Zeit weit außen schneller abläuft.
Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld
Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:
Ein hypothetischer lichtschneller Massenpunkt in der Mechanik von
Galilei und Newton hat eine Hyperbelbahn mit dem halben Winkel
zwischen Asymptoten.
Lokale Lichtgeschwindigkeit (Shapiro-Effekt)
Ein Rundweg des Radar-Wellenpakets Erde-Merkur-Erde dauert länger, wenn
die Sonne ganz nahe am Weg steht. Erklärung im Schwarzschild-Schwerefeld.
Die Koordinaten txyz messen nur weit weg vom Zentrum die dortige
Eigenzeit bzw. die Eigen-Abstände. Weiter innen vergeht weniger Eigenzeit
als Δt. Und radialer Abstand ist größer als Δr. Nun ist
die lokal mit Eigen-Mitteln gemessene Lichtgeschwindigkeit immer, überall
und in allen Richtungen gleich c.
Daraus folgen die scheinbar variablen Geschwindigkeiten in
Schwarzschild-Koordinaten, in radialer bzw. tangentialer Richtung:
- Lokale Funkstrecken gemessen am Ort (0,0,r) auf der z-Achse.
Mit dem Einfallswinkel φ zur radialen z-Achse (φ = Koordinaten-Winkel, ungleich dem vor Ort gemessenen):
Ein radial auslaufender Lichtstrahl verzögert sich doppelt (Quadrat von
) wegen der langsameren Zeit und der gedehnten vertikalen
Länge nahe am Boden. Versinkt die Bodenstation im Schwarzschild-Radius,
wartet das Raumschiff unendlich lange auf ihr letztes Lebenszeichen.
Wird ein Radar-Rundweg mit diesem 'Geschwindigkeitsfeld' zusammengerechnet,
kommt brauchbar die Verzögerung heraus. (Streng muss man die Differenzialgleichung
für Null-Geodäten lösen). Die Hilfsgößen sind nicht-messbare weil
koordinaten-abhängige Schein-Geschwindigkeiten. Messbare Daten wie die
Laborzeit des Radar-Echos hängen nicht von der Koordinatenwahl ab.
Anmerkung. Die ortsvariable Geschwindigkeit funktioniert gut als Rechentrick,
behindert aber die geometrische Interpretation: Im Kleinen ist die Lichtgeschwindigkeit
erzkonstant, nämlich homogen und isotrop gleich c in Normalkoordinaten,
also in lokalen Inertialsystemen um jeden Raumzeit-Punkt. Nur streckt und krümmt
sich stellenweise der Raum und die Zeit macht "Pausen".
Deshalb braucht das 'Licht' länger, wenn es an der Sonne vorbei
streicht. Ein ähnlicher Bluff versieht die Raumzeit mit dielektrischen und magnetischen
Permeabilitäten .
Perihel-Bewegung der Merkur-Bahn
Bestimmungsstücke der elliptischen Planetenbahn sind
- a,b große und kleine Halbachse
- Exzentrizität. Brennpunkte bei ±a·e vom Zentrum auf der großen Achse.
- Perihel und Aphel: (min,max Abstand vom Brennpunkt)
Nach Einstein rückt der Perihelwinkel bei jedem Umlauf vor,
- Schwarzschild-Radius der Sonne ≈ 3 km.
Merkur: e= 0,2036, p≈ 57 Gm, T≈ 88 d,
- Δφ ≈ 43 Winkelsekunden/Jahrhundert.
Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie
Die Einstein-Gleichungen
Vorbemerkung.
Die Größen im Folgenden sind Felder, also glatte Funktionen, die als
Definitionsbereich die 4-dimensionale Raumzeit-Mannigfaltigkeit haben,
zumindest eine Teilmenge davon. Die Indizes ihrer Werte-Komponenten beziehen
sich zwar auf eine Koordinatenwahl, aber die Gleichungen sehen in allen
Koordinaten gleich aus. Das stand ganz vorne bei den Anforderungen an
die Theorie. Die geometrisch orientierte Mathematik, Differenzialgeometrie
und Tensoranalysis, war das passende Werkzeug.
Der Wertebereich der Vektor- und Tensor-Felder kann von Punkt zu Punkt
verschieden "orientiert" sein, wie etwa die Tangentialebenen einer hügeligen
Landschaft. Der Feldwert am Punkt p liegt in einer "privaten" Tangentialmenge
T(p) des Punktes. In streng formaler Geometrie heißen Felder "Schnitte durch
Faserbündel". Die N-Tupel-Komponenten der Feldwerte transformieren sich beim
Koordinatenwechel kovariant. Das heißt, punktweise linear mit einer
Gruppendarstellung der Jacobimatrix: algebraisch kombiniert aus den Elementen
derselben, ihrer Inversen und ihrer Determinanten.
Nur Skalarfelder sind invariant.
Moderne Texte lehren Differenzialgeometrie weitgehend mit Axiomen,
Definitionen, Sätzen und Beweisen, die ganz ohne Koordinaten auskommen.
Die Abstraktion unterstreicht die Willkür solcher Bezugssysteme, erreicht
mathematische Eleganz, verjagt Indexwälder aus den Gleichungen. Dann und
wann beim konkreten Rechnen muss die Physik sich aber doch damit plagen.
Hier kommt altbackener Unterricht mit Koordinatendarstellungen. Das sind
Funktionen
ein allgemeiner Punkt der Raumzeit-Mannigfaltigkeit ist. p und M
und die Felder auf M existieren, bevor überhaupt jemand mit Koordinaten
kommt und darauf bezogene Messungen vornimmt.
Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:
mit:
- mit SI-Einheit 1/m²
- mit SI-Einheit J/m³
- mit SI-Einheit 1/m²
- mit SI-Einheit 1
- mit SI-Einheit 1/m²
- mit SI-Einheit 1/N
- mit SI-Einheit m³/s²kg
- mit SI-Einheit m/s
Der Energie-Impuls-Tensor T ist das Feld der in der Raumzeit verteilten,
sich bewegenden Materie und enthält die Informationen über die Dichte
und Strömung von Massen, Energien, Impulsen. Energie und Masse sind
äquivalent und 'fühlen' und erzeugen Gravitation.
Die Materie verursacht die verformte Metrik g der Raumzeit, genannt
das Gravitationsfeld:
Das Ricci-Tensorfeld R ergibt sich in 2 Schritten aus Ableitungen dieses metrischen
Feldes , hängt nicht von einer Koordinatenwahl ab und
charakterisiert die Krümmungen der Geometrie von Raum und Zeit:
- (Christoffel-Funktionen)
- (Ricci-Tensor)
Ein "Operator" führt also vom Tensor g nach G:
Symbol g mit Hoch-Indizes ist dual zum g-Tensor, siehe unten.
Es gilt
Die Feldgleichungen G{g} = κ·T sind nichtlineare
partielle Differenzialgleichungen für g, wenn der Zustand der
strömenden Materie, das Tensorfeld T, bekannt ist. Im linearen,
statischen Vorgängermodell der Gravitation gab es statt T die
einfache Dichteverteilung ρ und statt g das skalare Potenzial
Φ. Und die Gleichung lautete –ΔΦ = (4πG)·ρ.
Im neueren Modell spielt die Zeit mit. Das g-Feld hat Eigendynamik,
Wellenausbreitung, Energietransport.
Anmerkung. Warum ist G so kompliziert? Ein zeitunabhängiger
Δ-Operator ist nicht einmal Lorentz-invariant. Dagegen ist der
Tensor-Operator G{·} allgemein kovariant (Pflicht!) und praktisch der
einzige der nötigen (divergenzfreien) Art. Jemand musste ihn finden
(Hilbert kurz vor Einstein, sagt man).
Die Schwarzschild-Metrik ist die kugelsymmetrische, statische
Lösung der Differenzialgleichungen außerhalb der Materie (T = 0),
die als Asymptote die flache Minkowski-Metrik hat.
Konvention: Griechische Indizes haben den Wertebereich {0,1,2,3}
und die lateinischen {1,2,3}. In jedem Term wird über doppelt
vorhandene Indizes summiert, wenn einer tief und der andere hoch steht.
Anmerkung.
Faktoren wie werden gern hemdsärmelig
als "kleine Abweichungen" behandelt, und so verstandene Berechnungen
funktionieren. Streng mathematisch-technisch sind sie aber 1-Formen,
äußere Ableitungen d der Koordinatenfunktionen.
Bewegung von Körpern im Gravitationsfeld
Der freie Fall, also die Bewegung bei Schwerelosigkeit, eines
Testkörpers ('Raumsonde') verläuft auf einer zeitartigen
geodätischen Kurve.
Vierevektor x(s) ist Funktion des reellen Parameters s.
- (Vierergeschwindigkeit)
- (Viererbeschleunigung)
- Die Christoffelschen Γ=Γ(x(s)) sind abgeleitet von .
- ist konstant als Funktion von s.
- löst die selbe Gleichung (s = affiner Parameter).
Mit der Anfangsbedingung misst der
Parameter s die Eigenzeit (mal c) an Bord der Raumsonde.
Längs einer allgemeinen zeitartigen Weltlinie x(s) (die Sonde verwendet
Raketen, steht auf dem Mond, usw.) wächst die Eigenzeit mit
Beispiel, der ruhende Punkt in der Schwarzschild-metrik
"verbraucht" weniger als die Koordinatenzeit.
Lichtstrahlen sind Null-Geodäten. Sie haben keine definierte 'Zeit'.
Anmerkung.
Die Geodäten der Riemannschen Geometrie lösen das Variationsproblem,
Punkte mit Linien kleinster Länge zu verbinden. Zeitartige Geodäten
der Gravitation allerdings sind oft lokale Extrema mit maximaler
Eigenzeit! Das Zwillingsphänomen oder: Bewegung hält jung. Bob,
der schwerelos ohne sich zu regen von A nach B kommt, altert mehr als
Alice, die nach Beschleunigungen, Umwegen, gefühlter Erdanziehung,
zum Treffpunkt B gelangt.
Motivation. In rotierenden und allgemein in beschleunigten Systemen
benutzt die nichtrelativistische Mechanik die massen-proportionalen
Trägheitskräfte wie Zentrifugal- und Coriolis-Kraft. Sie werden
Scheinkräfte genannt, da sie in Inertialsystemen verschwinden.
Die Gleichheit von schwerer und träger Masse führte der Entdecker der ART
darauf zurück, dass auch die Gravitation eine Art Scheinkraft ist.
Im frei fallenden Aufzug gleich Null. Trägheits- und Schwerkräfte werden
äquivalent und formen zusammen die Bahnbewegung geometrisch, also
zwangsweise koordinaten-kovariant. Die Geodätenformel leistet genau das.
Varianten der Schwarzschild-Metrik
enstpricht einer Einstein-Gleichung mit kosmologischem Term
Anmerkung. In Dimension 4 unter sehr schwachen Voraussetzungen
sind dies die einzig möglichen Tensor-Differenzialgleichungen,
die ein Extremalproblem lösen mit der Eigenschaft:
- Allgemein-relativistisch ( = koordinaten-kovariant = geometrisch ).
Anmerkung.
Erhaltungssätze machen die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors zu Null.
Einsteins Gleichung koppelt die Metrik an den divergenzfreien Tensor
so einfach wie es geht, besagt folgender Satz von Weyl/Cartan:
Wenn eine lokale Tensorfunktion T(g) eines (0,2)-Tensors
g kovariant-divergenzfrei ist und zweite Ableitungen von g
höchstens linear enthält, dann ist T(g) eine
Linearkombination aus dem Einstein-Tensor G(g) und g selbst.
Reissner-Nordström-Metrik: Die Modifikation
entspricht einer elektrisch geladenen zentralen Masse und erfüllt
die gekoppelten Einstein-Maxwell-Gleichungen.
Die innere Schwarzschild-Lösung füllt eine Kugel mit idealem
druckfreiem Medium, kosmischem Staub. Sie hat keine Singularität
am Ursprung und die Form
An die Vakuum-Metrik außen anschließen kann man mit drei Radien
- : Divergenz der Vakuum-Schwarzschild-Lösung
- : Stern-Radius, Stetigkeitspunkt für Außen- und Innenlösung
- : Divergenz der Innenraum-Lösung, Funktion von
Eigenschaften des metrischen Feldes
• Ist zugleich Gravitationspotenzial und Maß für Länge, Zeit,
Höchstgeschwindigkeit.
• ; Signatur der Eigenwerte von g:
(+ – – –).
• Das Newtonsche Potenzial der schwachen Gravitation
steckt im metrischen Tensor:
• Zu jedem Raumzeit-Punkt x gibt es 'lokal-inertiale'
Koordinaten,
so dass genau für x die Minkowski-Metrik zutrifft ('freier Fall'):
- Solche Bezugssysteme heißen Normalkoordinaten am Pol x.
• g definiert einen affinen Zusammenhang. Eine
kovariante Ableitung, deren Null-Richtungen anzeigen, wo auf
Vektorfeldern Längen und Winkel ( )
erhalten bleiben:
• g definiert geodätische Kurven: die kovariante Ableitung der
Tangenten ('Vierergeschwindigkeit') in ihrer eigenen Richtung ist Null.
• g definiert Tensor-Transformationen
(Heben und Senken von Indizes).
- Definition
- (dualer Tensor, ist rechnerisch die inverse Matrix)
Die Metrik bindet zu jedem Index ein duales Tensorpaar T,
hier mit unbeteiligten Indexmengen A,B:
• Die kovariante Ableitung wird per Produktregel erweitert auf
Tensoren jeden Typs und bildet (r,s)-Tensoren auf (r,s+1)-Tensoren ab:
-
- (Addition für jeden hohen, Subtraktion für jeden tiefen Index)
• g definiert ein vierdimensionales Volumen-Maß für
koordinaten-unabhängige Integrale,
Der Faktor wird abgekürzt notiert als , denn
• Aus Bianchi-Identitäten folgt: Die kovariante Divergenz des
Einstein-Tensors ist Null,
• Rechenregel zwischen gewöhnlicher und kovarianter Divergenz
und dem Maß-Faktor:
Anmerkung. Gewöhnliche Ableitungen allein zerstören die
Koordinaten-Kovarianz, definierende Eigenschaft eines Tensorfeldes.
Die kovariante Ableitung von Skalaren ist die gewöhnliche, ihr Gradient.
Für die kovariante Ableitung, hier entweder mit "D"-Präfix oder mit
Semikolon-verziertem Index notiert, kommt in der Literatur
mancherlei andere Symbolik vor.
Anmerkung. Schon ohne Metrik sind duale ('kontragredient'
transformierende) Vektor- und Tensorräume an jedem Punkt angeheftet.
- • Tangentialraum mathematisch = Menge der Richtungsableitungen
- • Sein Dualraum mathematisch = Menge der Pfaffschen 1-Formen
Ein Tensor vom Typ (r,s) am Punkt x ist ein Element des
Tensorprodukts aus r Faktoren Tangentialraum und s Faktoren
Dualraum. Tensoren sind die Bausteine der Theorie, weil sie unabhängig
von Koordinaten existieren. Nur ihre Darstellung wird linear
transformiert.
Anmerkung. Die Γ-Christoffel-Symbole enthalten
Schwerkraft-plus-Trägheitskräfte. Sie sind keine Tensoren und können
in passenden Bezugssystemen an gezielten Punkten
verschwinden: Äquivalenzprinzip, Schwere=Träge Masse, Gravitation =
verformte Geometrie statt traditionelle 'Kraft'.
Anmerkung. Die Gamma-Symbole folgen eindeutig aus zwei Forderungen
- (Symmetrie)
- (Kovariante Ableitung von g = Null)
Die Krümmung
Anders als die gewöhnlichen partiellen Ableitungen
vertauschen die kovarianten nicht. Jedoch ist ihr Kommutator eine
lineare Abbildung im Tangentialraum, ein Tensor vom Typ (1,3).
Mit Tangentialvektoren
-
- (kovariante Richtungsableitung ist linear in a, nicht in c)
- (Krümmungstensor, multilinear)
Der Ricci-Tensor, die Kontraktion (= Spurbildung, Verjüngung) über den ersten und letzten
Index des Riemannschen Krümmungstensors, ist symmetrisch.
Bianchi-Identität. Eine zyklische Summe von kovarianten
Ableitungen über das antisymmetrische Indexpaar des Krümmungstensors
ist Null.
Der affine Zusammenhang erlaubt es, Vierervektoren a 'möglichst starr'
entlang von Kurven x(s) zu transportieren mittels der
Vektor-Differenzialgleichung
Speziell ist 0=Du/ds die Gleichung von geodätischen Kurven
x(s).
Die Krümmung verschwindet genau dann, wenn der Vektor-Transport über
geschlossene Kurven stets die Identität ergibt. Andernfalls erzeugen
solche Transporte eine nichttriviale Gruppe von linearen
Transformationen. Je nach Topologie der Mannigfaltigkeit kann diese
Gruppe deutlich größer sein für globale als für lokale Kurven.
Eine Lösung der Transportgleichung wird als Menge von
parallelen Vektoren längs der Kurve interpretiert.
Nur im flachen Räum gibt es einen globalen Parallelismus.
Definition Konstante Krümmung.
Eine Raumzeit hat konstante Krümmung, wenn der Krümmungstensor
eindeutig durch den Ricci-Skalar bestimmt ist.
- Äquivalent:
- Äquivalent: der Weyl-Tensor ist Null. Formel?
Aus kontraktierten Bianchi-Identitäten folgt:
- R ist konstant auf der Raumzeit. Die Raumzeit ist homogen.
- Einstein-Tensor
- Die Raumzeit ist ein Vakuum mit der kosmologischen Konstanten λ=R/4.
Der Fall R>0 heißt ein De-Sitter-Raum, R<0 ist ein
Anti-De-Sitter-Raum.
Weyl-Tensorfeld
Ein Krümmungstensor R allgemein auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension
n, ausgestattet mit der Metrik g, kommt gern mit Indizes
abc... daher und hat folgende Symmetrien:
Der symmetrische Ricci-Tensor hat
n(n+1)/2 Komponenten. Seine Verjüngung sei der Ricci-Skalar
Der Krümmungstensor hat n²(n²–1)/12 algebraisch
unabhängige Zahlen, d.h. Differenzialgleichungen wie Bianchi nicht berücksichtigt.
Für n=3 zählen wir je 6, der Ricci-Tensor bestimmt also den Krümmungstensor.
Für n>3 erfasst der Weyl-Tensor C den Teil des Tensors R,
der nicht schon im verjüngten Abkömmling Ricci enthalten ist.
Der Weyl-Tensor hat alle Symmetrien des Tensors R und ist derart gemacht,
dass folgende Verjüngung verschwindet:
Zwei Metriken, die sich nur durch einen Skalarfeld-Faktor unterscheiden, haben
den gleichen Weyl-Tensor: C ist konform-invariant.
Für n=4 bestimmen die Einstein-Gleichungen direkt den Ricci-Tensor.
Die weiteren Komponenten der Krümmung sind Lösung von Differenzialgleichungen
für den Weyl-Tensor, welche zu den Bianchi-Identitäten äquivalent sind:
Tensor C entsteht anschaulich als sekundärer Effekt der Krümmung nach
einer weiteren Ausbreitung ihres primären Ricci-Anteils.
Kruskal-Koordinaten
Die Schwarzschild Metrik (Zeit als ct in Metern,
Winkelanteil als W abgekürzt) hat die Form
- G = f(r)(dt)² - (1/f(r))(dr)² - r²·W.
- f(r) = 1 - R/r hat eine störende Nullstelle bei r=R.
Mit vier Tricks geht es vom Koordinatenpaar (t,r) zu einem
System (t',r') ohne die Divergenz bei R.
• Transformation r→s, so dass (dt)²
und (ds)² den gleichen Faktor f(r) haben,
• Transformation (t,s)→(v,w) auf antidiagonale
Metrik (dv)·(dw),
• Skalierung v'∝exp(v), w'∝exp(-w) so dass
(dv')(dw')∝ function(r)·(dv)(dw),
• Rücktransformation auf Diagonalform
((dt')² - (dr')²).
Die nicht-statische Kruskal-Form der Metrik
- G = F²(t',r')·[(dt')² - (dr')²] - r²(t',r')·W
erweitert stetig und glatt den Definitionsbereich auf alle r>0.
Die zwei Quadranten r'>|t'| und r'<-|t'| sind abgebildet
auf Schwarzschild-Außenzonen r>R, die anderen auf Innenräume.
Zwei Exemplare Raumzeit sind über gesperrte Brücken (Horizont)
verbunden, sozusagen.
Zentrale Masse in Rotation (Kerr-Metrik)
Diese Metrik mit Koordinatenzeit-unabhängigen Termen ist anzuwenden
außerhalb eines Himmelskörpers in Drehbewegung.
Sie hat zwei Parameter a,b von der Dimension Länge.
a misst den Drehimpuls und b entspricht dem
Schwarzschild-Radius. Die Formel ist
- 1. symmetrisch um eine z-Achse
- 2. nicht statisch sondern stationär: hat Mischterme '(dt)(dx)' etc.
-
Die Variable r=r(x,y,z) ist eine Lösung von
An einen Ring auf der xy-Ebene divergiert die Metrik mit r=0.
Die Lösungsmannigfaltigkeit hat zwei Sätze von xyz-Koordinaten, die
an der zentralen Scheibe wechselseitig verklebt sind.
Energie-Impuls-Tensor des Maxwell-Feldes
Alle wichtigen Feldgleichungen können mit der Variationsrechnung als
Kriterium für eine stationäre Wirkung dienen. Damit
ergibt sich automatisch, wie etwa Materie und Elektromagnetismus
ein Gravitationsfeld anregen und wie ein g-Feld umgekehrt
auf diese Partner einwirkt. Dass Probemassen auf
Geodäten entlang fliegen, folgt aus dem selben Wirkungsprinzip wie
die Einstein-Gleichungen. Systematisch enthält solcher Code die
ganze Wechselwirkung, gegenseitige Einflussnahme.
Das stationäre Funktional der Felder ist ein koordinaten-invariantes
Integral über eine Dichte, die aus Feldkomponenten
und ihren Ableitungen gebaut ist. Das g-Feld selbst hat mit
einen Dichtefaktor, und im Ricci-Skalar R sind
seine Ableitungen verpackt. Also ist
ein brauchbarer Integrand, nämlich
die Einstein-Hilbert-Lagrangedichte. Die Euler-Lagrange-Variation
liefert den Einstein-Tensor.
Dessen Verschwinden ergibt die Einstein-Gleichungen im Vakuum.
Die Variation der Feldkomponente f einer Lagrange-Dichte
ist die reellwertige Dichte, an jedem Punkt x auszuwerten:
Zusatzterme zum g-Feld-Integranden wären skalare Funktionen anderer
Felder, mal , womit sie unweigerlich an die Gravitation
koppeln. Die Feldfunktionen haben mindestens Quadratisches, linear
allein gibt die Variation solcher Felder zu wenig her.
Die Eigendynamik des g-Feldes steckt in , also in R. An die
anderen Felder soll g koppeln ohne seine Ableitungen in
Dichten . Die Euler-Lagrange-Variation
ist dann per Definition der Energie-Impuls-Tensor
(mal ) der Felder, die Gravitation erzeugen.
(Rechenregel am Rande: Wird nach einer Größe mit Tief-Index
abgeleitet, erhält die andere Seite der Gleichung einen Hoch-Index.
Und umgekehrt. Daher auch die Operator-Notation
)
Beispiel Vektorfeld a. Es soll eine Kinetik haben, also mit
Ableitungen auftreten. Quadratisch, so einfach es geht.
Sei a eine 1-Form . Nun gilt, dass
Gradientenfelder () nicht zu invarianten
Lagrange-Dichten beitragen. Also baut man die Dichte aus Termen
Das ist ein Tensor, nämlich die 2-Form da,
äußere Ableitung der Form a. (Auf der Grassmann-Algebra der
k-Formen ist allgemein dieser d-Operator automatisch kovariant, ohne
Hilfsgrößen Γ). Ansatz
Der Faktor entspricht Maßeinheiten, deren Einzelheiten hier übergangen
werden. Probeweise koppelt noch ein Strom-Feld j linear an.
Das g-Feld fließt implizit über das Heben der Indizes ein und
ermöglicht einen invarianten bilinearen Skalar.
Der Energie-Impuls-Tensor des Vektorfelds a hat die Formel
Die Variation des Lagrange-Funktionals S nach ergibt die
Feldgleichung
und die Geschlossenheit (df=0) der exakten 2-Form f (=da) bedeutet
In der Minkowski-Metrik und nach Raum und Zeit aufgeschlüsselt
bekommen die Gleichungen folgende Form:
- Ladungs- und Stromdichte:
- Skalare Invariante:
- Pseudoskalare Invariante:
- (Maxwell-Gleichungen)
- (Ladungserhaltung).
Komponenten des Energie-Impuls-Tensors mit i,j,k = 1,2,3 = x,y,z:
- Energiedichte,
- Poynting-Vektor, Energiefluss,
- Maxwellscher Spannungstensor.
Fazit. Das Maxwellfeld und seine Energien und Impulse sind wohl die
unvermeidliche Folge einer Variationsrechnung, die Vektorfeld und
metrisches Tensorfeld vermischt. Die Einstein-Maxwell-Gleichungen gehören praktisch zur reinen
Mathematik, Kapitel Geometrische Variationsprobleme in Dimension 4.
Regeln für Energie-Impuls-Tensoren.
Ableitungen sind zu berechnen, als wären die
16 Komponenten unabhängige Variablen. Sonst würden in Summen bei
Kettenregeln die nicht-diagonalen Terme irrtümlich verdoppelt.
Anmerkung. Ein allgemeines Funktional der Form
mit einer invarianten skalaren Funktion definiert den Tensor T:
Dieser ist kovariant-divergenzfrei, was aus der Invarianz von S
unter allen "infinitesimalen Koordinatentransformationen" hergeleitet
wird. Streng formuliert, sind das die Vektorfelder a(x), die lokale
Ein-Parameter-Gruppen von Diffeomorphismen erzeugen über
Differenzialgleichungen
Anmerkung. In Abwesenheit von Gravitation wird aus
Lagrangedichten der Form der
kanonische Energie-Impuls-Tensor gebildet,
Für Felder mit stationärer Wirkung ist er genau dann divergenzfrei,
, wenn L nicht
explizit von x abhängt. Diese vier Kontinuitäts-Gleichungen,
nämlich für Energiedichte und Impulsdichte, sind ein Beispiel der
Korrespondenz Symmetrien ←→ Erhaltungsgrößen:
Die Translations-Invarianz in Zeit und Raum
bedingt die Energie- und Impulserhaltung des Feldes {f}. Ein
kanonischer Tensor ist leider nicht symmetrisch und braucht eine
antisymmetrische, divergenzfreie Korrektur, bevor er an die
Gravitation koppelt.
Energie-Impuls-Tensor des idealen Fluids
Ein Massenpunkt mit Vierergeschwindigkeit
- ,
hat den Energie-Impuls-Vektor , wenn Einheiten
mit c=1 gelten. Ein Schwarm solcher Punkte soll kontinuierlich
approximiert werden. Es gebe einen Dichteskalar ρ(x) und ein
normiertes zeitartiges Vektorfeld u(x), so dass
die Dichte der Masse und ihre Strömung an jedem Ort angibt. Der
Volumenfaktor sorgt für invariante Integrale.
Wegen der Erhaltung von Teilchenzahl soll die
Kontinuitätsgleichung gelten. Nach den Rechenregeln
bedeutet das kovariant:
- .
Im Minkowski-Ruhesystem ist ρ die gewohnte Dichte, gleich Dichte
der Ruheenergie. Bewegt sich der Schwarm ohne innere Wechselwirkung,
beschreibt die
relativistische kinetische Energie und den Impuls.
Das Modell sieht abstoßende Teilchen vor, die sich mit Druck gegen
die Verdichtung stemmen. Die totale Energiedichte bei Ruhe ist
die potenzielle Energie macht die
Teilchen schwerer. Die Kompressions-Energiedichte ε hat mit
dem Druck p standardmäßig die Beziehung:
Die Zustandsgleichung ε=ε(ρ) bzw.
p=p(ρ) sei isentrop
alias adiabatisch: es gebe keinen Wärmetausch,
Temperatur sei irrelevant.
(Leider sind die Buchstaben "p" und "rho" zu ähnlich in
Wiki-Typografie, bitte scharf hinsehen.)
Das Wirkungsprinzip nimmt eine stationäre Dichte der Gesamtenergie
dieses idealen flüssigen Mediums an, in der Form:
Die Dichte L benutzt implizit ein Geschwindigkeitsfeld u mit
-
Die leicht kniffelige Variationsrechnung geht über Felder von
"Stromlinien". Eine beliebige Schar von Bahnkurven wird mit einem
Tangenten-Vektorfeld beschrieben. Mit einem metrischen
Tensor g wird daraus das normierte
projiziert. Dann werden durch Zeit-Integration
erzeugt von:
aus Anfangsbedingungen auf raumartiger Hyperfläche zur Zeit t=0.
Der gesuchte Tensor
wird mit einer magischen Formel berechnet.
Beweis der Formel. Man definiert
Bei gegebenem Stromlinienfeld v ist die Integration von h
möglich, etwa von Anfangsbedingungen mit Minkowski-Metrik weit
in der Vergangenheit. Differenzialgleichung:
Also ist h unabhängig von der Metrik,
Resultat. Aus der Variation des g-Tensors, bei fest gehaltenen
Stromlinien, ergibt sich ein Energie-Impuls-Tensor der Form
Die kovariante Divergenz sei Null, denn das
Materiefeld (ρ,u) soll Quelle der Gravitation sein.
Folglich, mit
Der Gradient des Drucks p ist die Ursache einer Beschleunigung
, mit der die Stromlinien von Geodäten abweichen.
Der Teilchenschwarm sei noch mit einer Ladungsdichte σ(x)
versehen. Die Viererstromdichte () koppelt an ein
Vektorpotenzial ;
auch dieser Strom erfüllt die Kontinuitätsgleichung.
Dann kann eine Lagrangedichte mit allem Luxus geschrieben werden,
Gravitation, Maxwell-Feld, Massenfeld, Ladungsfeld:
Alles erzeugt Gravitation und wird von ihr abgelenkt.
Das volle Gleichungssystem mit g,a,m,u,p,ρ,σ lautet
Kosmischer Staub
Wenn kein Druck aufgebaut wird, heißt das Modell der kräftefreie
Staub. Sein Energie-Impuls-Tensor hat (mit ρ>0)
die einfache Form
- .
Wegen der
vorausgesetzten Kontinuität und
der Produktregel ist das Verschwinden der kovarianten Divergenz von
T dann äquivalent dazu, dass die Stromlinien x(s) Geodäten sind.
- mit
Modelle von homogenen Universen
In diesem Abschnitt sind zeitartige Koordinaten
als (ct) in Metern zu lesen. Der Faktor
kommt vor. Theorie-lastige Texte eichen
auch ihn hinweg und verkleiden Energien-Impulse-Massen als Längen.
Seit Kopernikus spielen Erdlinge keine Sonderrolle mehr im Kosmos.
Gemittelt über große Entfernungen, sieht es vermutlich überall und in
allen Richtungen gleich aus. Ein solches Modell des Weltalls ist
räumlich homogen und isotrop.
Definition Isometrie und konforme Abbildung.
Seien M, M' Mannigfaltigkeiten mit Bilinear-Formen g,g' .
Eine glatte, bijektive Abildung induziert die
linearen Abbildungen der Tangential-Vektorräume.
- In Koordinaten .
A ist eine Isometrie, wenn die 'Metrik' erhalten bleibt,
A ist eine konforme Abbildung, wenn es auf M ein skalares Feld
s(x)>0 gibt mit
Robertson-Walker-Metrik
Satz von Walker. Aus der Isotropie, also Kugelsymmetrie an jedem
Punkt, folgt räumliche Homogenität. Eine 6-Parameter-Gruppe von
Isometrien ist transitiv auf raumartigen (3D-)Hyperflächen, die
eine Riemann-Metrik mit konstanter Krümmung
K∈{-1,0,+1} besitzen.
Es gibt (zunächst lokal) Koordinaten mit Robertson-Walker-Metrik:
S³ ist die 3-Sphäre, Kugelfläche im 4D-euklidischen Raum. Da
ist r kein Radius, sondern eine Winkel-Koordinate. Ein positiv
gekrümmter Raum ist kompakt, hat endliches Volumen.
Der Skalenfaktor S²(t) verfolgt räumliche Abstände in
einem Universum, das zeitlich sich aufbläht oder schrumpft.
Eine alternative radiale Koordinate vermag den Raumanteil euklidisch-
konform darzustellen:
Gleichungen für S(t) folgen aus den Einstein-Gleichungen mit dem
kosmologischen Parameter λ und zwei Materie-Variablen
p,ρ.
Ein ideal fluides Medium füllt homogen den Raum und hat mitbewegte
Fluss-Linien, Vierergeschwindigkeit u=(1,0,0,0). Druck p(t)
und Dichte ρ(t) hängen nur von t ab.
Komponenten des Energie-Impuls-Tensors:
Gleichungen, nach Friedmann und Raychaudhury:
- (Energie-Erhaltung)
- (Integral der vorigen)
Mit ρ>0, p≥0 folgt, dass S bei λ=0 nicht
konstant sein darf. Alle Modelle mit (ρ+3p)>0 und
λ<λ(max) haben expandierende Lösungen mit einer
Singularität am Zeitpunkt t=0, wo die Dichte unendlich hoch wird.
Der Urknall.
Modell ohne kosmologischen Term
Speziell sei p=0. Dann wird ρ eine Potenz von S:
- mit Konstante M, Massenerhaltung.
Mit λ=0 ergibt sich zusätzlich
E ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie.
- E≥0 ⇒ K≤0 ⇒ S(t) wächst monoton
- E<0 ⇒ K>0 ⇒ S(t) hat ein Maximum, fällt danach gegen 0.
Die Friedmann-Gleichung für S wird gelöst mit neuem Parameter
τ, (dt)=S(t)·(dτ),
K=0 ist das Einstein-de-Sitter-Universum,
Mit negativem λ expandiert die Raumzeit aus einer Singularität
und bricht später in einer zweiten Singularität zusammen. Mit positivem
λ und nichtpositiver Krümmung dehnt sich die Welt auf Dauer aus.
Das statische Modell
Bei positiver Raumkrümmung K=1 und p=0 gibt es kritische
Werte (λ, κρ, S) wo alle Zeitableitungen
verschwinden:
- κρ = 2λ, λ·S² = 1.
Hier liegt Einsteins Statisches Universum dS/dt=0.
Mit S=1, κρ=2, λ=1 lautet die Statische Metrik
- ds² = (dt)² -(dr)² - sin²r·W.
Die flache Minkowski-metrik hätte r² statt sin²r.
Robertson-Walker-Metriken lassen sich konform auf die Statische Metrik
abbilden. Denn mit dem Parameter τ als Zeit, dτ/dt = 1/S,
- K=1: f=sin r, die eckige Klammer ist die statische Metrik.
- K=0: f=r, die Metrik ist konform zur flachen Raum
- K=-1: die Metrik wird konform auf ein Gebiet im Statischen Raum wie folgt abgebildet.
Satz. Ein Robertson-Walker-Raum kann nicht (mit
Transformation seiner Teile zu neuen Koordinaten) weiter ausgedehnt
werden. Die Urknall-Singularität ist im Rahmen der ART unheilbar.
Realitätsnahes Modell
Ist irgendein realistisches Szenario dabei? Ja. Das Gleichungspaar
wird im Spezialfall p=0, K=0:
Angenommen eine Lösung ρ(t) sei da, dann
Ein Ansatz macht den Dritte-Potenz-Term der
Differenzialgleichung für ρ konstant, mit z= -2:
Das riecht nach Trignonometrie, sin, cos, sinh, cosh? In der Tat.
Einsetzen ergibt das Skalenfaktor-Verhalten mit Urknall bei t=0:
Die Kosmologie studiert die Hubblesche Beinahe-Konstante
und ihre Zeitentwicklung. Das homogen-isotrope
Modell mit Krümmung=Null und Druck=Null passt zur Beobachtung.
- Das Universum ist auf beschleunigtem Expansionskurs
- Der Urknall war vor etwa 13,5 Milliarden Jahren
- Derzeitiges Verhältnis 3:7 der Terme in (κρ+λ).
Ausgedrückt als Energiedichten, gibt es 30% Materie und 70%
Dunkle Energie. (Der Großteil der 30% ist auch noch dunkel, reagiert
nicht mit dem wahrnehmbaren Rest.) Mehr dazu im Kapitel Kosmologie von
- Formelsammlung Physik: Astronomie.
Näherungsweise Berechnungen
Planetenbahnen
Bewegung im Zentralpotenzial
Die Koordinaten i=(0,1,2,3) der kugelsymmetrischen Metrik seien
(t,r,θ,φ) genannt, wo t=ct meint.
Mit dem Schwarzschild-Radius R und q:= (1–R/r)
hat die Metrik die Matrix
- g = diag(q, –1/q, –r², –r²·sin²θ)
- Inverse ist: diag(1/q, –q, –1/r², –1/(r²·sin²θ))
Die nichtverschwindenden Christoffel-Symbole sind so zu berechnen,
ohne Summierung über Index i:
Gesucht sind Geodäten mit Eigenzeit-Parameter s und speziell
eine Bahnkurve auf Äquatorebene: θ=π/2, (dθ/ds) = 0.
- Ableitungen nach s sind ab hier mit Strichen notiert.
Die zwei Gleichungen vom Muster y" + a (z'/z) y'=0 haben
erste Integrale der Form
const, also 0. Denn:
Anwendung auf die zwei Fälle t' und φ' :
Solange r sehr viel größer als R bleibt, ergibt sich der
Keplersche Flächensatz. In gleichen Zeiten überstreicht die Bahn
Sektoren gleicher Fläche.
Nun zur Gleichung (mit θ'=0) der konstanten Norm 1 der
Vierergeschwindigkeit,
- q(t')² – (1/q)(r')² – r²(φ')² = 1.
Einsetzen t'=C/q und dies hier einbauen: 1=(φ' r²/H)².
Daraus mit Teilen durch φ'² eine Bahngleichung für r=r(φ):
Von den Potenzen 1...4 mit der Variablen u=1/r auf 0...3
runter transformieren:
Beide Seiten nach φ ableiten und durch 2(du/dφ) teilen:
Näherung Perihel-Anomalie
Es folgt eine Herleitung auf die Schnelle, Hau-Ruck-Methoden
ohne Fehleranalyse.
(Ru)=R/r ist winzig. Daher dominiert die lineare Gleichung ohne
quadratischen Term. Mit der Konstanten U:= R/(2H²):
- Hat eine trigonometrische Lösung
Die Kurve ist eine Kepler-Ellipse, p eine Art mittlerer Bahnradius.
Parameter sind 0≤e<1, p>0 und ein (unterschlagener)
Start-Winkel.
Zur Vereinfachung nun φ=x, Ableitungen als Striche.
- u" = U – u + ku² mit kleinem quadratischen Term, k:= (3R/2).
- Ansatz u = v + w(x) + z(x), wo (v+w) den linearen Teil löst.
Im quadratischen Term wird das kleine z(x) vernachlässigt.
- k u² ≈ k(v+w)² ≈ k·(v² + 2vw)
Das Quadrat des variablen Terms w² wird auch brutal entfernt!
- (v+w)"= U – (v+w) + kv² (beschreibt eine Kepler-Ellipse).
- z"= –z + 2kvw (linear-inhomogene Gleichung für den Rest z).
- v = (1/p), w(x) = e·cos(x)/p; 1/p = U+kv² = U+k/p² (Gleichung für p)
Exzentrizität e sei klein, um w²≈0 zu rechtfertigen.
- z"= –z + (2ke/p²) cos x hat eine Lösung: z(x)= (ke/p²)·x·sin x.
Zusammen: u = v+w+z = (1/p)·(1+e·cos x + (3Re/2p)·x·sin x).
- Trick:
Nach einem Umlauf x=2π der ungestörten Lösung hat die
verbesserte Kurve also ein Phasendefizit von 3π·R/p.
Das ist die Periheldrehung einer Planetenbahn.
Präzession der Koordinaten
Die Bahn um ein Zentralgestirn als Funktion der Zeit gehorcht in der
Newtonschen Mechanik folgender Gleichung in Polarkoordinaten, wenn
die Zeit als Länge ct und die Gravitation über den
Schwarzschild-Radius R gemessen wird.
Was ist nun die relativistische Korrektur in niedrigster Ordnung?
Aus der geodätischen Bewegung im Zentralpotenzial folgen Gleichungen
für das Paar (r,φ) als Funktion der Koordinatenzeit t.
Verglichen mit der alten Mechanik ergibt sich eine zusätzliche "Kraft"
in der Bahnebene, proportional und senkrecht zur Geschwindigkeit
des Satelliten. An den Haaren herbeigezogene Deutung: Die ungefähre
Kreisbewegung verformt das klassisch ruhende Inertialsystem in ein
leicht mit-rotierendes System, der Satellit spürt dessen Coriolis-Kraft.
Umformung der Geodäten-Gleichungen, wenn Radius und Winkel nur
indirekt über die Koordinatenzeit Funktion des affinen Parameters sind.
Bei der Näherung wird angenommen r>>R ⇒ q≈1, der Term
in R² vernachlässigt und auch , also die
radiale Bewegung sei viel langsamer als jene senkrecht zum Radius.
Mit einer tangentialen Koordinate s stellt es sich wie folgt dar.
Der relativistische "Störterm" bewirkt wie angekündigt eine
Beschleunigung senkrecht und proportional zur Geschwindigkeit.
Lichtablenkung
Die Null-Geodäten ergeben mit den gleichen Rechenschritten wie bei
der Perihel-Anomalie die Bahngleichung
- u" + u = ku² mit u:= 1/r, k:= 3R/2, x=φ.
- Näherung: u = v+w; v"+v = 0; w"+w = kv² ⇒ u"+u ≈ k u².
Die Lösung v= (cos φ)/p beschreibt die Gerade
r·cos φ = p, mit r= 1/v, die beim
Winkel Null den Mindestabstand p zur Sonne hat und für
r→±∞ die Winkel ±π/2 tangiert.
- Linear-inhomogene Gleichung für w:
- w" + w = k/p² cos²φ =k/(2p²)·(1+ cos 2φ).
- Passende Lösung: w = k/(2p²)(1 – (1/3)·cos 2φ)
- u = (cos φ)/p + k/(2p²)(1 – (1/3)·cos 2φ)
Für u→0 wird ein kleiner Winkel
φ = π/2 + ε erwartet. Approximation:
- u=0, cos φ ≈ –ε, cos 2φ ≈ –1, ⇒ ε = 2k/3p = R/p.
Dieser Winkel gilt für den Strahl vom Minimal-Abstand p bis
Unendlich und ist zu verdoppeln. Das Licht aus großer Entfernung, das
sich der Sonne bis zum Radius p nähert und weit entfernt
beobachtet wird, wird also um den Winkel 2R/p abgelenkt.
Nichtrelativistische Gravitation
Approximation für langsame Bewegung im schwachen statischen Feld:
Gegeben seien Koordinaten mit näherungsweiser Minkowski-Metrik.
- Komponenten (statisch, x°=ct)
- Langsame zeitartige Kurven,
Christoffel-Funktionen für die Geodäten:
- Speziell
- (in erster Ordnung von h)
- Kurve mit x° parametrieren:
Vergleich mit dem Ausdruck weiter oben ergibt
Mit x°=ct folgt die Bewegung im Skalar-Potenzial (k=1,2,3),
Der Ricci-Tensor, wenn quadratische Terme in Γ sehr klein sind:
Fürs Indexpaar 00 bleibt hier nur der zweite Teil mit ρ=1,2,3: