Formelsammlung Physik: Relativitätstheorie

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Formelsammlung Physik

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SRT (Spezielle Relativitätstheorie)

Gebräuchliche Abkürzungen

Geschwindigkeit v relativ zur Lichtgeschwindigkeit c:

Lorentzfaktor:

mit .

Rapidität:

Beachte auch:

Galilei-Transformation

Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten |v| < 0,1 c eine gute Näherung. Da v' = -v:

Galilei-Tranformation in -Richtung Inverse Galilei-Transformation

Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation in -Richtung Inverse Lorentz-Transformation
Lorentz-Transformation in -Richtung im Vierer-Formalismus Inverse Lorentz-Transformation

Vierer-Koordinaten:

Zeitdilatation

Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich die Eigenzeit als Ablesung zwischen zwei Ortszeiten im gemessenen Zeitabstand :

Längenkontraktion

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus. Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:

Uhrendesynchronisation

Die Relativität der Gleichzeitigkeit bewirkt eine Desynchronisation der Uhren im Abstand , wobei sowohl dieser Abstand als auch die Bewegungsrichtung v vorzeichenbehaftet sind. Maßgeblich für den Gangunterschied sind nur die radialen Komponenten der Geschwindigkeit und des Abstandes:

.

Dabei ist zu beachten, dass die Uhren bei und vom Beobachter gleichzeitig abgelesen werden und nicht gleichzeitig vom beobachteten System aus gesehen, genau daraus resultiert die beobachtete Uhrendesynchronisation.

Rot-/Blauverschiebung

Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.

mit f beobachtete Frequenz und f' Originalfrequenz

Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.

Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):

Bei Annäherung zum Beobachter (v < 0) ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:

insgeamt also

Bei Entfernung vom Beobachter (v > 0) ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:

insgeamt also

Der z-Faktor ergibt sich aus

Kinematik

Geschwindigkeit

Definition. Vierergeschwindigkeit:

Es gilt:

Die Minkowski-Norm der Vierergeschwindigkeit ist konstant:

Beschleunigung

Definition. Viererbeschleunigung:

Ableitung des Lorentzfaktors:

Es gilt:

Klassische Addition der Geschwindigkeiten

Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

Dynamik

Impuls

Für den relativistischen Impuls ergibt sich:

Definition. Viererimpuls:

Es gilt:

und:

Energie-Impuls-Beziehung:

Formulierung als „relativistischer Pythagoras“:

Kraft

Definition. Viererkraft:

Es gilt:

Mit

gilt:

Relativistische Masse

Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):

Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
Ruhemasse.

Energie

Einsteins Energieformel:

Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),
relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
Ruhemasse.

Ruheenergie:

Kinetische Energie:

Maclaurin-Reihe des Lorentzfaktors:

Vierer-Formalismus

Vierervektor

Kontravariante Koordinaten Kovariante Koordinaten

Darstellungsmatrix des (pseudo)-metrischen (Minkowski)-Tensors:

Es gilt bzw. .

Minkowski-Skalarprodukt:

Das Minkowski-Skalarprodukt ist nicht positiv definit und daher kein echtes Skalarprodukt.

Quadratische Form:

Ein Viererort (auch Ereignis genannt) heißt

  • zeitartig, wenn
  • raumartig, wenn
  • lichtartig, wenn

Minkowski-Norm:

Die Minkowski-Norm ist keine echte Norm im Sinne eines normierten Raumes.

Minkowski-Metrik:

mit .

Die Minkowski-Metrik ist keine echte Metrik im Sinne eines metrischen Raumes.

Linienelement:

Isometriegruppen

Definition. Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion , die einem Ereignis der Raumzeit ein anderes Ereignis zuordnet, so dass gilt:

wobei die quadratische Form ist.

Gruppe der Translationen

Gruppe der Translationen:

Gruppe der Rotationen

Rotationsmatrizen:

Die Gruppe aller Rotationsmatrizen ist trivial isomorph zur und wird zur Unterscheidung als notiert.

Die ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.

Lorentz-Gruppe

Lorentz-Gruppe:

Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.

Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:

.

Aus der Definition folgt mit . Ausgeschrieben:

bzw.

bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)

Poincaré-Gruppe

Affine Abbildungen:

Poincaré-Gruppe:

Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei . Das sind alle Poincaré-Transformationen mit . Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit .

ART (Allgemeine Relativitätstheorie)

Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jeden Beobachter aus seiner Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachter über die relativen Wirkungen der ART einig.

Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:

  • mit SI-Einheit kg
  • mit SI-Einheit m/s
  • mit SI-Einheit m³/s²kg
  • mit SI-Einheit m
  • mit SI-Einheit m
  • mit SI-Einheit m²/s²
  • mit SI-Einheit m/s²
  • mit SI-Einheit m/s
  • mit SI-Einheit m/s


Gravitations-Zeitdilatation (Näherung)

Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:

Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus. Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:

Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:

und Frequenz:

Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:

und für die Frequenz:

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

lokale Lichtgeschwindigkeit

In Folge der Zeitdilatation und der Lorentzkontraktion ist die Lichtgeschwindigkeit im Gravitationsfeld geringer, wobei die Lorentzkontraktion nur in radialer Richtung wirksam ist:

mit dem Einfallswinkel φ zur radialen X-Achse

Schwarzschildradius

Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:

Gravitationsradius

Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:

Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:

mit:

  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit J/m³
  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit 1
  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit 1/N
  • mit SI-Einheit m³/s²kg
  • mit SI-Einheit m/s

Allgemein

Weblinks

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