Formelsammlung Physik: Relativitätstheorie

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Formelsammlung Physik

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SRT (Spezielle Relativitätstheorie)[Bearbeiten]

Gebräuchliche Abkürzungen[Bearbeiten]

Geschwindigkeit v relativ zur Lichtgeschwindigkeit c:

Lorentzfaktor:

mit .

Rapidität:

Beachte auch:

Galilei-Transformation[Bearbeiten]

Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten |v| < 0,1 c eine gute Näherung. Da v' = -v:

Galilei-Tranformation in -Richtung Inverse Galilei-Transformation

Lorentz-Transformation[Bearbeiten]

Lorentz-Transformation in -Richtung Inverse Lorentz-Transformation
Lorentz-Transformation in -Richtung im Vierer-Formalismus Inverse Lorentz-Transformation

Vierer-Koordinaten:

Zeitdilatation[Bearbeiten]

Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich die Eigenzeit als Ablesung zwischen zwei Ortszeiten im gemessenen Zeitabstand :

oder in einer anderen, ebenfalls modernen Schreibweise:

Längenkontraktion[Bearbeiten]

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus. Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:

Uhrendesynchronisation[Bearbeiten]

Die Relativität der Gleichzeitigkeit bewirkt eine Desynchronisation der Uhren im Abstand , wobei sowohl dieser Abstand als auch die Bewegungsrichtung v vorzeichenbehaftet sind. Maßgeblich für den Gangunterschied sind nur die radialen Komponenten der Geschwindigkeit und des Abstandes:

.

Dabei ist zu beachten, dass die Uhren bei und vom Beobachter gleichzeitig abgelesen werden und nicht gleichzeitig vom beobachteten System aus gesehen, genau daraus resultiert die beobachtete Uhrendesynchronisation.

Rot-/Blauverschiebung[Bearbeiten]

Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.

mit f beobachtete Frequenz und f' Originalfrequenz

Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.

Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):

Bei Annäherung zum Beobachter (v < 0) ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:

insgeamt also

Bei Entfernung vom Beobachter (v > 0) ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:

insgeamt also

Der z-Faktor ergibt sich aus

Kinematik[Bearbeiten]

Geschwindigkeit[Bearbeiten]

Definition. Vierergeschwindigkeit:

Es gilt:

Die Minkowski-Norm der Vierergeschwindigkeit ist konstant:

Beschleunigung[Bearbeiten]

Definition. Viererbeschleunigung:

Ableitung des Lorentzfaktors:

Es gilt:

Klassische Addition der Geschwindigkeiten[Bearbeiten]

Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

Relativistische Addition der Geschwindigkeiten[Bearbeiten]

Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

Dynamik[Bearbeiten]

Impuls[Bearbeiten]

Für den relativistischen Impuls ergibt sich:

Definition. Viererimpuls:

Es gilt:

und:

Energie-Impuls-Beziehung:

Formulierung als „relativistischer Pythagoras“:

Kraft[Bearbeiten]

Definition. Viererkraft:

Es gilt:

Mit

gilt:

Relativistische Masse[Bearbeiten]

Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):

Ruhemasse,
Lorentzfaktor.

Energie[Bearbeiten]

Einsteins Energieformel:

Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),
relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
Ruhemasse.

Ruheenergie:

Kinetische Energie:

Maclaurin-Reihe des Lorentzfaktors:

Vierer-Formalismus[Bearbeiten]

Vierervektor

Kontravariante Koordinaten Kovariante Koordinaten

Darstellungsmatrix des (pseudo)-metrischen (Minkowski)-Tensors:

Es gilt bzw. .

Minkowski-Skalarprodukt:

Das Minkowski-Skalarprodukt ist nicht positiv definit und daher kein echtes Skalarprodukt.

Quadratische Form:

Ein Viererort (auch Ereignis genannt) heißt

  • zeitartig, wenn
  • raumartig, wenn
  • lichtartig, wenn

Minkowski-Norm:

Die Minkowski-Norm ist keine echte Norm im Sinne eines normierten Raumes.

Minkowski-Metrik:

mit .

Die Minkowski-Metrik ist keine echte Metrik im Sinne eines metrischen Raumes.

Linienelement:

Isometriegruppen[Bearbeiten]

Definition. Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion , die einem Ereignis der Raumzeit ein anderes Ereignis zuordnet, so dass gilt:

wobei die quadratische Form ist.

Gruppe der Translationen[Bearbeiten]

Gruppe der Translationen:

Gruppe der Rotationen[Bearbeiten]

Rotationsmatrizen:

Die Gruppe aller Rotationsmatrizen ist trivial isomorph zur und wird zur Unterscheidung als notiert.

Die ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.

Lorentz-Gruppe[Bearbeiten]

Lorentz-Gruppe:

Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.

Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:

.

Aus der Definition folgt mit . Ausgeschrieben:

bzw.

bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)

Poincaré-Gruppe[Bearbeiten]

Affine Abbildungen:

Poincaré-Gruppe:

Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei . Das sind alle Poincaré-Transformationen mit . Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit .

ART (Allgemeine Relativitätstheorie)[Bearbeiten]

Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jeden Beobachter aus seiner Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachter über die relativen Wirkungen der ART einig.

Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:

  • mit SI-Einheit kg
  • mit SI-Einheit m/s
  • mit SI-Einheit m³/s²kg
  • mit SI-Einheit m
  • mit SI-Einheit m
  • mit SI-Einheit m²/s²
  • mit SI-Einheit m/s²
  • mit SI-Einheit m/s
  • mit SI-Einheit m/s

Gravitative Zeitdilatation[Bearbeiten]

Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Für die gravitative Zeitdilatation ergibt sich:

Gravitative Längenkontraktion[Bearbeiten]

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus. Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich:

Gravitative Rotverschiebung[Bearbeiten]

Für die gravitative Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich für die Vergrößerung der Wellenlänge:

.

Dabei ist:

und für die Frequenz:

.

Dabei ist:

Gravitative Blauverschiebung[Bearbeiten]

Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich für die Verkleinerung der Wellenlänge:

.

und Frequenz:

.

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld[Bearbeiten]

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

Lokale Lichtgeschwindigkeit[Bearbeiten]

In Folge der Zeitdilatation und der Lorentzkontraktion ist die Lichtgeschwindigkeit im Gravitationsfeld geringer, wobei die Lorentzkontraktion nur in radialer Richtung wirksam ist:

mit dem Einfallswinkel φ zur radialen X-Achse

Schwarzschildradius[Bearbeiten]

Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:

Gravitationsradius[Bearbeiten]

Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:

Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie[Bearbeiten]

Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:

mit:

  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit J/m³
  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit 1
  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit 1/N
  • mit SI-Einheit m³/s²kg
  • mit SI-Einheit m/s

Weblinks[Bearbeiten]

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