Grundlagen der Mathematik: Zusammenfassung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Logik[Bearbeiten]

Mind Map

Aussagenlogik (Mind Map).png


Wahrheitstabellen der Junktoren[Bearbeiten]

Wahrheitstabelle: Negation
Wahrheitstabelle: Konjunktion
Wahrheitstabelle: Disjunktion
Wahrheitstabelle: Implikation
Wahrheitstabelle: Äquivalenz

Tautologien[Bearbeiten]

Name der Umformungsregeln Tautologie Bedeutung
Assoziativgesetze Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Weise die einzelnen Teilaussagen verknüpft werden.
Kommutativgesetze Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Reihenfolge die einzelnen Teilaussagen verknüpft werden.
Distributivgesetze Eine Disjunktion kann in eine Konjunktion reingezogen werden und umgekehrt.
Absorptionsgesetze
Idempotenzgesetze
Gesetze vom ausgeschlossenen Dritten
Darstellung von Implikation und Äquivalenz Mit Hilfe dieser Gesetze kann die Implikation und die Äquivalenz auf Aussagen mit anderen Junktoren zurückgeführt werden. So können bestimmte Aufgaben gelöst werden (wie: Finden sie die Negation der Implikation).
Prinzip der Kontraposition (Diese Äquivalenz kann insbesondere für Beweise verwendet werden)
Negation von zusammengsetzten Aussagen Bei der Negation einer Und- bzw. Oder-Verknüpfung wird die Negation in die Klammer gesetzt und das entsprechende Symbol der Verknüpfung umgedreht.
Negation quantifizierter Aussagen
Gesetze mit „wahr“ und „falsch“
Doppelte Verneinung Doppelte Verneinung ist wieder die Ausgangsaussage.
Äquivalenzen zu quantifizierte Aussagen Aussagen mit dem Allquantor können durch den Existenzquantor ausgedrückt werden und umgekehrt.
Allquantoren sind untereinander vertauschbar.
Existenzquantoren sind untereinander vertauschbar.
Allquantoren können aus Konjunktionen rausgezogen werden.
Existenzquantoren können aus Disjunktionen rausgezogen werden.
Implikation zu quantifizierten Aussagen Implikationen sind im Allgemeinen nicht umkehrbar.

Vokabelliste[Bearbeiten]

natürliche Sprache formale Schreibweise
nicht
und
oder *)
Wenn , dann
dann, wenn
Aus folgt
impliziert
ist hinreichend für
ist notwendig für
Genau dann , wenn
Dann und nur dann , wenn
ist gleichwertig mit
ist äquivalent zu
ist notwendig und hinreichend für
Für alle ist
Jedes erfüllt
Es ist A(x) für alle
Für alle aus ist
Jedes der Menge erfüllt
Es ist A(x) für alle
Es gibt ein mit
Es existiert ein , so dass gilt
Für mindestens ein gilt
Es gibt ein aus mit
Für mindestens ein gilt
Es gibt genau ein mit
Es existiert genau ein , so dass gilt
Für genau ein gilt
Es gibt genau ein aus mit
Für genau ein gilt

*) Hier ist „oder“ als „und/oder“ zu verstehen

Umformungsregeln zur Negation[Bearbeiten]

zu bestimmende Negation umgeformte Aussage

Beweis[Bearbeiten]

Definition (Beweis)

Ein Beweis ist eine fehlerfreie Herleitung eines mathematischen Satzes aus Axiomen und bereits bewiesenen Aussagen.

Beweisarten[Bearbeiten]

Direkter Beweis[Bearbeiten]

Widerspruchsbeweis[Bearbeiten]

Beweismethoden[Bearbeiten]

Vollständige Fallunterscheidung[Bearbeiten]

Beweis durch Kontraposition[Bearbeiten]

Anstatt eine Implikation zu beweisen, kann man alternativ auch die Implikation beweisen.

Vollständige Induktion[Bearbeiten]

Sei eine Aussageform in der freien Variablen . Sei (oder ) eine wahre Aussage (Induktionsanfang) und die Implikation für alle erfüllt (Induktionsschritt), dann ist die Aussageform allgemeingültig in .

Mengenlehre[Bearbeiten]

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Mengenlehre (Mindmap).png


Verknüpfungen zwischen Mengen[Bearbeiten]

Name der Verknüpfung Schreibweise Aussprache Diagramm Definition
Durchschnitt geschnitten Venn0001.svg - die Menge aller Objekte, die sowohl in der Menge als auch in der Menge enthalten sind
Vereinigung vereinigt Venn0111.svg - die Menge aller Objekte, die in mindestens einer der Mengen enthalten sind
Differenz ohne Venn0100.svg - die Menge aller Objekte, die in der Menge enthalten sind und keine Elemente der Menge sind
Symmetrische Differenz „symmetrische Differenz von und Venn0110.svg - die Menge aller Objekte, die in genau einer der Mengen und enthalten sind
Komplement „Komplement von Venn1010.svg - die Menge aller Objekte (der Grundmenge), die keine Elemente von sind

Gesetzmäßigkeiten[Bearbeiten]

Assoziativgesetze[Bearbeiten]

Kommutativgesetze[Bearbeiten]

Distributivgesetze[Bearbeiten]

Idempotenzgesetze[Bearbeiten]

Absorptionsgesetze[Bearbeiten]

De-Morgansche Regeln[Bearbeiten]

Gesetzmäßigkeiten zur Differenz[Bearbeiten]

Weitere Regeln[Bearbeiten]

Im Folgenden sei die Grundmenge.

Relation[Bearbeiten]

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Relation (Mindmap).png


Eigenschaften homogener, binärer Relationen[Bearbeiten]

Im Folgenden sei eine homogene Relation auf der Grundmenge , also .

Eigenschaft Definition Definition in formaler Schreibweise Merkmale
reflexiv Jedes Objekt der Grundmenge steht mit sich selbst in Relation.
  • Im Pfeildiagramm ist jedes Objekt mit sich selbst verbunden.
  • In der Relationsmatrix ist die Hauptdiagonale voll besetzt.
irreflexiv Es gibt kein Objekt, welches mit sich selbst in Relation steht
  • Im Pfeildiagramm steht kein Objekt mit sich selbst in Relation
  • In der Relationsmatrix ist die Hauptdiagonale komplett unbesetzt.
symmetrisch Steht ein Objekt in Relation mit dem Objekt , dann steht auch in Relation mit
  • Die Relationsmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonale
antisymmetrisch Zwei verschiedene Objekte und stehen nicht gegenseitig in Relation zueinander.
  • Die Relationsmatrix ist komplementär zu Hauptdiagonale.
transitiv Steht mit und mit in Relation, dann steht auch mit in Relation.
linear Für jeweils zwei Objekte und stehen mit und/oder mit in Relation.

Abbildung[Bearbeiten]

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Abbildungen (Mindmap).png


Eigenschaften von Abbildungen[Bearbeiten]

Die folgende Tabelle bezieht sich auf Abbildungen .

Eigenschaft Definition Definition in formaler Schreibweise Beispiel
injektiv
  • Verschiedene Argumente werden auf verschiedene Funktionswerte abgebildet.
  • Jeder Funktionswert besitzt höchstens ein Urbild.
  • Ist , dann ist

Injection.svg

surjektiv
  • Jeder Funktionswert wird mindestens einmal durch die Abbildung getroffen.
  • Jeder Funktionswert besitzt mindestens ein Urbild.

Surjection.svg

bijektiv bzw. umkehrbar
  • Die Abbildung ist surjektiv und injektiv.
  • Jeder Funktionswert besitzt genau ein Urbild.
  • Es gibt für die Funktion eine Umkehrfunktion.

Bijection.svg

Eigenschaften binärer Verknüpfungen[Bearbeiten]

Die folgende Tabelle bezieht sich auf binäre Verknüpfungen auf der Grundmenge .

Eigenschaft Definition Definition in formaler Schreibweise
assoziativ Werden mehrere Verknüpfungen hintereinander ausgeführt, ist die Reihenfolge, in welcher die einzelnen Verknüpfungen ausgerechnet werden, für das Ergebnis egal
kommutativ Für das Ergebnis ist die Reihenfolge der Operanden egal

Mächtigkeit von Mengen[Bearbeiten]

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Mächtigkeit von Mengen (Mindmap).png


Summe und Produkt[Bearbeiten]

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Summe und Produkt (Mindmap).png


Eigenschaften der Summen- und Produktschreibweise[Bearbeiten]

Eigenschaften der Summe
Eigenschaft Erklärung
Indexumbennungsregel: Die Indizes können beliebig umbenannt werden, solange die neu eingeführte Laufvariable nicht in Konflikt mit einer bereits definierten Variable tritt.
Summen können in zwei Summen aufgeteilt werden.
Spezialfall der obigen Eigenschaften bzw. Rekursionsschritt bei der rekursiven Definition der Summe.
Konstantenregel: Konstanten können aus Summen rausgezogen werden.
Allgemeines Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Summen bei Doppel- und damit auch bei Mehrfachsummen ist egal.
Allgemeines Distributivgesetz
Eigenschaften des Produkts
Eigenschaft Erklärung
Indexumbennungsregel: Die Indizes können beliebig umbenannt werden, solange die neu eingeführte Laufvariable nicht in Konflikt mit einer bereits definierten Variable tritt.
Produkte können in mehrere Produkte aufgeteilt werden.
Spezialfall der obigen Eigenschaften bzw. Rekursionsschritt bei der rekursiven Definition des Produkts.
Konstantenregel: Konstanten können aus Produkten rausgezogen werden (Beachte den dabei entstehenden Exponenten ).
Allgemeines Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Produkte bei Doppel- und damit auch bei Mehrfachprodukten ist egal.

Binomialkoeffizient[Bearbeiten]

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Binomialkoeffizient (Mindmap).png


Rechenregeln[Bearbeiten]