MathemaTriX ⋅ Aufgabenheft Antworten

Grundniveau 1

G1.1 Grundrechenartenvorrang

Typ 1

$24$ $9$

$-9$ $0$

$-27$ $7$

$49$ $8$

$10$ $21$

$98$ $15$

$-27$ $13$

$-12$ $-1$

G1.2 Strich und Punkt Bruchrechnungen

$\textstyle \ {\frac {3}{13}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {23}{12}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {15}{28}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {35}{12}}\qquad$	$\textstyle \ -{\frac {57}{44}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {35}{44}}\qquad$ $\textstyle \ -{\frac {12}{11}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {20}{77}}\qquad$
$\textstyle \ {\frac {63}{55}}\qquad$ $\textstyle \ -{\frac {8}{45}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {77}{45}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {18}{9}}(=2)\qquad$	$\textstyle \ {\frac {143}{24}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {119}{39}}\qquad$ $\textstyle \ -{\frac {13}{13}}(=-1)\qquad$ $\textstyle \ {\frac {88}{39}}\qquad$
$\textstyle \ {\frac {4}{7}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {60}{77}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {137}{28}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {165}{28}}\qquad$	$\textstyle \ {\frac {26}{13}}(=2)\qquad$ $\textstyle \ {\frac {165}{104}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {143}{120}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {23}{104}}\qquad$
$\textstyle \ {\frac {3}{13}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {23}{20}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {28}{15}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {12}{35}}\qquad$	$\textstyle \ -{\frac {57}{55}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {44}{35}}\qquad$ $\textstyle \ -{\frac {12}{11}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {77}{20}}\qquad$

G1.3 Direkte Proportionalität

1980 € 132000 Flaschen	$\ x=0{,}0224\ \ l\quad$ $\ x\approx 14344\ {\text{ min}}$	$\ x=0{,}0735\ \ kg\quad$ $\ x\approx 916{,}7\ l$	$\ x\approx 0{,}125\ \ t\quad$ $\ x=7,3\ Tage$
$\ x\approx 26717\ \ Liter\quad$	$\ x=92{,}25\ \ t\quad$ $\ x=20\ {\text{Kühe}}$	$\ x=115\ {\text{Menschen}}$ $\ x=17{,}5\ \ km^{2}\quad$	$\ x=320\ m$ $\ x=28\ \ g\quad$

G1.4 Grundaufgaben der Prozentrechnung

$\ x\approx 23170\%\quad$ $\ x=1225{,}67\ kg\quad$ $\ x\approx 0{,}432\ {\text{kg}}\quad$	$\ x\approx 61786\ {\text{V}}\quad$ $\ x\approx 0{,}162\%\quad$ $\ x\approx 1{,}94\ {\text{V}}\quad$	$\ x\approx 58{,}82\%\quad$ $\ x=170\ {\text{h}}\quad$ $\ x=1{,}7\ {\text{h}}\quad$	$\ x\approx 0{,}0026\ {\text{h}}\quad$ $\ x\approx 3830000\%\quad \$ $x\approx 11{,}1\ {\text{h}}\quad$
$\ x=40\ {\text{h}}\quad$ $\ x=625000\%\quad \$ $x=0{,}016\ {\text{h}}\quad$	$\ x=180000\ {\text{h}}\quad$ $\ x=50\ {\text{h}}\quad \$ $x=200\%\quad$	$\ x=125000\ {\text{Volt}}\quad$ $\ x=0{,}08\%\quad \$ $x=0{,}98\ {\text{Volt}}\quad$	$\ x=250\%\quad$ $\ x=40\ {\text{h}}\quad \$ $x=7{,}225\ {\text{h}}\quad$

G1.5 Ausmultiplizieren mit einer oder zwei Klammer

$\ 6x^{7}-14x^{2}+10x^{3}$ $\ 6m^{4}-8m^{2}-15m^{2}+20=6m^{4}-23m^{2}+20$	$\ 14b^{9}+8b^{8}-14b^{7}$ $\ 10w^{7}-8w^{5}-25w^{5}+20w^{3}=10w^{7}-33w^{5}+20w^{3}$
$\ 8s^{8}+20s^{9}-28s^{5}$ $\ 15w^{8}-12w^{6}+5w^{6}-4w^{4}=15w^{8}-7w^{6}-4w^{4}$	$\ 28v^{11}+12v^{12}-8v^{8}$ $\ 10g^{7}+8g^{6}-15g^{5}-12g^{4}$
$14n^{1}4-14n^{9}+35n^{7}$ $15c^{2}-20c^{4}-18+24c^{2}=39c^{2}-20c^{4}-18$	$6z^{6}+12z^{7}-21z^{5}$ $8p^{5}-10p^{7}-12p^{3}+15p^{5}=23p^{5}-10p^{7}-12p^{3}$
$8s^{8}+20s^{5}-28s^{7}$ $10w^{7}-8w^{6}+5w^{5}-4w^{4}$	$4v^{5}+12v^{6}-8v^{2}$ $10a^{7}-8a^{5}+15a^{5}-12a^{4}$

G1.6 Textaufgaben zu den Grundrechenarten

Typ 1

3 42 41 −4	5 21 19 −42	4 28 12 −46	33 10 -18 26
3 42 41 −4	5 21 19 −42	4 28 12 −46	33 10 -18 26

Typ 2

1C, 2A, 3B

1C, 2B, 3A

1A, 2B, 3C

1B, 2A, 3C

1C, 2A, 3B

1C, 2B, 3A

1A, 2B, 3C

1B, 2A, 3C

G1.1 Grundrechenartenvorrang mit Plus-Minus Regel

Typ 2

$-17$

$73$

$39$

$-5$

$29$

$-5$

$-13$

$0$

Typ 3

$9$

$0$

$-15$

$16$

$21$

$0$

$-13$

$-1$

Typ 4

$-7$

$0$

$3$

$-1$

$3$

$1$

$1$

$1$

Typ 5

${\color {red}21+56}:7-(79-2\cdot 5):3=$ ${\color {red}77}:7-(79-10):3=$ ...→ Punkt vor Strich 6	$43+56:8-({\color {red}30-2}\cdot 5):4=$ $43+7-({\color {red}28}\cdot 5):4=$ ...→ Punkt vor Strich 45	$43+72:8-(56-2\cdot {\color {red}20}):{\color {red}4}=$ $43+9-(56-2\cdot {\color {red}5})=$ ... → Klammer vor Punkt 48
$63-(56:7-2)\cdot {\color {red}9+72}:3=$ $63-(8-2)\cdot {\color {red}81}:3=$ ...→ Punkt vor Strich 33	$21+56:7-({\color {red}77-2\cdot 4}):3=$ $21+8-({\color {red}75}\cdot 4):3=$ ...→ Punkt vor Strich 6	${\color {red}40+56:8}(30-2\cdot 5):4=$ ${\color {red}96:8}(30-10):4=$ ...→ Punkt vor Strich 45
$33+72:8-(56-2\cdot 20):4=$ $33+9-(56-2\cdot {\color {red}40}):{\color {red}4}=$ $33+9-(56-2\cdot {\color {red}10})=$ ... → Klammer vor Punkt 38	$63-(56:7-2):3+72:6=$ $63-(8-2):3+72:6=$ ${\color {red}63-6}:3+72:6=$ ${\color {red}57}:3-12=$ ...→ Punkt vor Strich 73

Grundniveau 2

Gemischte Zahlen

Gemischte Zahl in unechten Bruch

$\ {\tfrac {40}{9}}\qquad$$\ {\tfrac {120}{13}}\qquad$$\ {\tfrac {12}{7}}$	$\ {\tfrac {53}{7}}\qquad$$\ {\tfrac {9}{5}}\qquad$$\ {\tfrac {35}{3}}$	$\ {\tfrac {11}{3}}\qquad$$\ {\tfrac {76}{11}}\qquad$$\ {\tfrac {17}{9}}$	$\ {\tfrac {37}{7}}\qquad$$\ {\tfrac {7}{6}}\qquad$$\ {\tfrac {89}{9}}$
$\ {\tfrac {37}{9}}\qquad$$\ {\tfrac {111}{13}}\qquad$$\ {\tfrac {36}{7}}$	$\ {\tfrac {60}{7}}\qquad$$\ {\tfrac {19}{5}}\qquad$$\ {\tfrac {32}{3}}$	$\ {\tfrac {5}{3}}\qquad$$\ {\tfrac {72}{11}}\qquad$$\ {\tfrac {25}{13}}$	$\ {\tfrac {47}{7}}\qquad$$\ {\tfrac {13}{12}}\qquad$$\ {\tfrac {82}{9}}$

Unechten Bruch in gemischte Zahl

$\ 35{\tfrac {7}{11}}\qquad$$\ 7\qquad$$\ 11{\tfrac {1}{12}}$	$\ 37{\tfrac {3}{12}}\qquad$$\ 6{\tfrac {3}{5}}\qquad$$\ 11$	$\ 34\qquad$$\ 1{\tfrac {4}{5}}\qquad$$\ 12{\tfrac {1}{8}}$	$\ 40{\tfrac {7}{11}}\qquad$$\ 1{\tfrac {2}{7}}\qquad$$\ 7$
$\ 35{\tfrac {4}{11}}\qquad$$\ 9\qquad$$\ 11{\tfrac {3}{12}}$	$\ 37{\tfrac {7}{12}}\qquad$$\ 7{\tfrac {4}{5}}\qquad$$\ 11$	$\ 35\qquad$$\ 2{\tfrac {1}{5}}\qquad$$\ 11{\tfrac {7}{8}}$	$\ 37\qquad$$\ 1{\tfrac {1}{7}}\qquad$$\ 7{\tfrac {3}{5}}$

Subtraktion

$\ {\tfrac {11}{9}}\qquad$$\ 8{\tfrac {10}{13}}\qquad$$\ -1{\tfrac {1}{7}}\qquad$$\ 3{\tfrac {3}{5}}$	$\ 3{\tfrac {4}{7}}\qquad$$\ {\tfrac {1}{5}}\qquad$$\ {\tfrac {11}{3}}\qquad$$\ -2{\tfrac {1}{4}}$	$\ -5{\tfrac {1}{3}}\qquad$$\ {\tfrac {56}{11}}\qquad$$\ {\tfrac {1}{9}}\qquad$$\ -4{\tfrac {8}{13}}$	$\ -{\tfrac {17}{7}}\qquad$$\ {\tfrac {5}{6}}\qquad$$\ {\tfrac {53}{9}}\qquad$$\ -{\tfrac {1}{17}}$
$\ -{\tfrac {2}{9}}\qquad$$\ -{\tfrac {1}{8}}\qquad$$\ {\tfrac {34}{7}}\qquad$$\ -{\tfrac {6}{7}}$	$\ {\tfrac {52}{7}}\qquad$$\ -1{\tfrac {4}{5}}\qquad$$\ {\tfrac {9}{11}}\qquad$$\ -3{\tfrac {5}{14}}$	$\ {\tfrac {5}{7}}\qquad$$\ -{\tfrac {1}{11}}\qquad$$\ 4{\tfrac {1}{13}}\qquad$$\ -1{\tfrac {1}{9}}$	$\ -2{\tfrac {3}{7}}\qquad$$\ {\tfrac {11}{12}}\qquad$$\ 8{\tfrac {1}{9}}\qquad$$\ -{\tfrac {1}{3}}$

Bruchkürzen

$\ {\frac {2}{5}}\qquad$ $\ {\frac {3}{7}}\qquad$ $\ {\frac {3}{2}}\qquad$ $\ {\frac {5}{2}}\qquad$ $\ {\frac {7}{4}}\qquad$

$\ {\frac {2}{3}}\qquad$ $\ {\frac {3}{5}}\qquad$ $\ {\frac {3}{4}}\qquad$ $\ {\frac {5}{6}}\qquad$ $\ {\frac {2}{3}}\qquad$

$\ {\frac {2}{3}}\qquad$ $\ {\frac {10}{11}}\qquad$ $\ {\frac {9}{11}}\qquad$ $\ {\frac {5}{6}}\qquad$ $\ {\frac {3}{2}}\qquad$

$\ {\frac {3}{2}}\qquad$ $\ {\frac {7}{4}}\qquad$ $\ {\frac {4}{13}}\qquad$ $\ {\frac {3}{4}}\qquad$ $\ {\frac {1}{3}}\qquad$

Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

$c=-4111\qquad$ $k=55\qquad$ $f=38$ $x=1208\qquad$ $\textstyle m={\tfrac {214}{23}}\approx 9{,}3\qquad$ $w=19{,}{\overline {45}}$	$c=1992\qquad$ $k=52\qquad$ $f=45$ $x=3983\qquad$ $\textstyle m=22\qquad$ $w={\tfrac {214}{13}}=16{,}{\overline {461538}}\approx 16{,}46$	$c=-4011\qquad$ $k=60\qquad$ $f=56$ $x=-3654\qquad$ $\textstyle m={\tfrac {72}{11}}=6{,}{\overline {54}}\qquad$ $w=12{\tfrac {10}{17}}\approx 12{,}59$	$c=-2603\qquad$ $k=91\qquad$ $f=28$ $x=-4834\qquad$ $\textstyle m={\tfrac {493}{29}}=17\qquad$ $w=17{\tfrac {11}{17}}\approx 17{,}65$
$c=-4111\qquad$ $k=55\qquad$ $f=38$ $x=1208\qquad$ $\textstyle m={\tfrac {214}{23}}\approx 9{,}3\qquad$ $w=19{,}{\overline {45}}$	$c=1992\qquad$ $k=52\qquad$ $f=45$ $x=3983\qquad$ $\textstyle m=22\qquad$ $w={\tfrac {214}{13}}=16{,}{\overline {461538}}\approx 16{,}46$	$c=-4011\qquad$ $k=60\qquad$ $f=56$ $x=-3654\qquad$ $\textstyle m={\tfrac {72}{11}}=6{,}{\overline {54}}\qquad$ $w=12{\tfrac {10}{17}}\approx 12{,}59$	$c=-2603\qquad$ $k=91\qquad$ $f=28$ $x=-5514\qquad$ $\textstyle m={\tfrac {493}{29}}=17\qquad$ $w=17{\tfrac {11}{17}}\approx 17{,}65$

Einheiten und physikalische Größen

Typ 1

Ordnen Sie richtig zu: Länge einer Zunge cm $\qquad$ $\$cm³ Dauer eines Filmes h $\$km Dauer eines Herzschlags s $\$m Länge eines Zuges m $\$h Abstand zwischen Paris und Rom$\quad$ km$\ \ \$ $\$s Volumen einer Spritze cm³ $\$cm	Ordnen Sie richtig zu: Höhe eines Fernsehturms m $\qquad$ $\$cm³ Volumen eines Ölkanisters ${\boldsymbol {\ell }}$ $\$km Dauer einer Unterrichtspause min $\$m Volumen eines LKWs m3 $\$m3 Abstand Mogadischu-Kambala$\quad$ km$\quad$ $\$min Volumen einer Spritze cm3 $\ \ell$
Ordnen Sie richtig zu: Fläche eines Fingernagels mm2 $\qquad$ $\$m2 Dauer einer Flugreise h $\$km2 Höhe eines Hauses m $\$h Fläche eines Zimmers m2 $\$m Abstand zwischen den Augen$\quad$ cm$\quad$ $\$mm2 Fläche eines Staates km2 $\$cm	Ordnen Sie richtig zu: Fläche eines Staates km² $\qquad$ $\$m2 Dauer einer Flugreise h $\$km2 Dauer eine Schulpause min $\$h Fläche eines Zimmers m² $\$min Abstand zwischen den Augen$\quad$ cm$\quad$ s$\$ Dauer eines Atemzugs s cm$\$

Typ 2

$\ m^{2}\qquad$ $\ m\qquad$ $\ h\qquad$ $\ km\qquad$ $\ g\qquad$ $\ m\qquad$	$\ s\qquad$ $\ dm^{2}\qquad$ $\ kg\qquad$ $\ km^{2}\qquad$ $\ mm\qquad$ $\ t\qquad$	$\ m^{2}\qquad$ $\ min\qquad$ $\ m^{3}\qquad$ $\ mm\qquad$ $\ g\qquad$ $\ cm^{3}\qquad$	$\ dm^{2}\qquad$ $\ cm^{3}\qquad$ $\ t\qquad$ $\ mm\qquad$ $\ m^{3}\qquad$ $\ min\qquad$
$\ cm^{2}\qquad$ $\ km\qquad$ $\ min\qquad$ $\ dm\qquad$ $\ t\qquad$ $\ cm\qquad$	$\ min\qquad$ $\ dm^{2}\qquad$ $\ cm^{2}\qquad$ $\ m^{2}\qquad$ $\ cm\qquad$ $\ kg\qquad$	$m^{2}$ $s$ $m^{3}$ $mm$ $kg$ $m\ell \ (cm^{3})$	$cm^{2}$ $cm^{3}$ $g$ $mm$ $mm^{3}$ $s$

Einheiten ohne Hochzahl

$53700000\ cm\qquad$ $0{,}537\ m\qquad$ $13{,}95\ h\qquad$ $470\ g\qquad$ $2764{,}8\ s$	$44500\ cm\qquad$ $4{,}45\ dm\qquad$ $3{,}15\ Tage\qquad$ $445\ g\qquad$ $178{,}2\ s$	$0{,}000793\ kg\qquad$ $79300\ cm\qquad$ $0{,}0000793\ km\qquad$ $0{,}793\ g\qquad$ $1{,}8792\ h$	$0{,}000577\ m\qquad$ $5770000\ km\qquad$ $793000\ mg\qquad$ $0{,}00001305\ min\qquad$ $111{,}312\ min$
$53700000\ mm\qquad$ $0{,}537\ km\qquad$ $13{,}95\ min\qquad$ $470\ mg\qquad$ $2764{,}8\ s$	$44500\ m\qquad$ $4{,}45\ m\qquad$ $3{,}15\ Tage\qquad$ $445\ mg\qquad$ $178{,}2\ s$	$0{,}000793\ t\qquad$ $79300\ mm\qquad$ $0{,}0000793\ m\qquad$ $0{,}793\ mg\qquad$ $1{,}8792\ h$	$0{,}000577\ km\qquad$ $5770000\ mm\qquad$ $793000\ g\qquad$ $0{,}00001305\ h\qquad$ $111{,}312\ min$

Lageparameter

$D\approx 57{,}86\ kg\qquad Med=54\ kg\qquad Mod=65\ kg$	$D=58{,}75\ kg\qquad Med=58{,}5\ kg\qquad Mod=45\ und\ 65\ kg$
$D=11{,}{\dot {7}}\qquad Med=5{,}5\qquad Mod=2\ und\ 7$	DE: $D=36\qquad Med=10\qquad Mod=1\ \&\ 10\quad$ GR: $D=16\qquad Med=10\qquad Mod=1$
$D=6\ {\text{bzw.}}\ 21\qquad Med=1\qquad Mod=1$	$D=2{,}875\qquad Med=3{,}5\qquad Mod=2\ und\ 5$
AT: $D=35{,}6\qquad Med=9\qquad Mod=2\ \&\ 10\quad$ PO: $D=16\qquad Med=11\qquad Mod=1\&\ 11$	$D=12\ {\text{bzw.}}\ 42\qquad Med=2\qquad Mod=2$

Säulendiagramm

$\ 5,\ \ 0,\ \ 4,\ \ 9,\ \ 6,\ \ {\text{und }}8\ {\text{Pack.}}$	$\ 0,\ \ 6,\ \ 2,\ \ 10,\ \ 14,\ \ {\text{und }}11\ {\text{Tische}}$
$\ 2,\ \ 0,\ \ 5,\ \ 12,\ \ 13,\ \ {\text{und }}10\ {\text{T.}}$	$\ 2,\ \ 6,\ \ 1,\ \ 5,\ \ 18,\ \ {\text{und }}7\ {\text{Punkte}}$
$\ 0,\ \ 1,\ \ 3,\ \ 15,\ \ 9,\ \ {\text{und }}6\ {\text{Sch.}}$	$\ 4,\ \ 3,\ \ 3,\ \ 8,\ \ 12,\ \ {\text{und }}10\ {\text{Autob.}}$
$\ 5,\ \ 6,\ \ 2,\ \ 14,\ \ 17,\ \ {\text{und }}8\ {\text{Packungen}}$	$\ 6,\ \ 6,\ \ 5,\ \ 14,\ \ 19,\ \ {\text{und }}10\ {\text{Packungen}}$

Kürzen mit Primfaktorzerlegung

$\ {\frac {34}{45}}\qquad$ $\ {\frac {91}{99}}\qquad$ $\ {\frac {77}{68}}$	$\ {\frac {10}{9}}\qquad$ $\ {\frac {121}{225}}\qquad$ $\ {\frac {56}{55}}$	$\ {\frac {21}{22}}\qquad$ $\ {\frac {65}{77}}\qquad$ $\ {\frac {136}{273}}$	$\ {\frac {52}{35}}\qquad$ $\ {\frac {13}{33}}\qquad$ $\ {\frac {77}{45}}$
$\ {\frac {17}{9}}\qquad$ $\ {\frac {455}{297}}\qquad$ $\ {\frac {385}{306}}$	$\ {\frac {4}{9}}\qquad$ $\ {\frac {121}{25}}\qquad$ $\ {\frac {168}{275}}$	$\ {\frac {27}{22}}\qquad$ $\ {\frac {65}{77}}\qquad$ $\ {\frac {4}{3}}$	$\ {\frac {136}{245}}\qquad$ $\ {\frac {13}{33}}\qquad$ $\ {\frac {11}{5}}$

Prozentrechnung bei Wachstum und Abnahme

$1755\ {\text{€}}\qquad 45\ {\text{€}}$	$24\ {\text{cm}}\qquad 36\ {\text{cm Unterschied (das ist 60}}\ \%{\text{ von 60 cm)}}$
$60\ {\text{cm}}\qquad 36\ {\text{cm Unterschied (das ist 150}}\ \%{\text{ von 24 cm)}}$	$685100\ {\text{€}}\qquad 35100\ {\text{€ mehr}}$
$71{,}4\ {\text{kg}}\qquad 3{,}4\ {\text{kg}}$	$68{,}4\ {\text{kg}}\qquad 3{,}6\ {\text{kg}}$
$3{,}91\ {\text{min}}\qquad 0{,}51\ {\text{min}}$	$50\ {\text{Jahre}}\qquad 30\ {\text{Jahre mehr}}$

Einheiten mit Hochzahl

$53700000000\ dm^{2}\qquad$ $0{,}000537\ dm^{3}\qquad$ $0{,}00000537\ km^{2}\qquad$ $537000000\ dm^{3}\qquad$ $0{,}00032\ m^{2}$	$0{,}374\ m^{3}\qquad$ $374000000\ mm^{3}\qquad$ $0{,}000374\ m^{2}\qquad$ $374\ cm^{3}\qquad$ $0{,}00000374\ m^{2}$	$2570000\ mm^{2}\qquad$ $0{,}000000257\ km^{3}\qquad$ $0{,}00000257\ km^{2}\qquad$ $0{,}257\ mm^{3}\qquad$ $0{,}000257\ dm^{2}$	$447000\ cm^{3}\qquad$ $0{,}00000257\ km^{2}\qquad$ $0{,}000311\ m^{2}\qquad$ $3{,}35\ mm^{3}$ $25700\ mm^{3}\qquad$
$53700000000\ mm^{2}\qquad$ $0{,}000537\ m^{3}\qquad$ $0{,}00000537\ m^{2}\qquad$ $537000000\ mm^{3}\qquad$ $0{,}00032\ cm^{2}$	$0{,}374\ cm^{3}\qquad$ $374000000\ cm^{3}\qquad$ $0{,}000374\ km^{2}\qquad$ $374\ mm^{3}\qquad$ $0{,}00000374\ dm^{2}$	$2570000\ cm^{2}\qquad$ $0{,}000000257\ m^{3}\qquad$ $0{,}00000257\ m^{2}\qquad$ $0{,}257\ dm^{3}\qquad$ $0{,}000257\ cm^{2}$	$447000\ mm^{3}\qquad$ $0{,}00000257\ m^{2}\qquad$ $0{,}000311\ km^{2}\qquad$ $3{,}35\ cm^{3}$ $25700\ cm^{3}\qquad$

Formel Einsetzen in der ebenen Geometrie

$\ u\approx 175{,}9\ cm\quad A\approx 2463\ cm^{2}\qquad$ $\ u=164\ cm\quad A=16\ dm^{2}\qquad$ $\ u=9{,}6cm\quad A\approx 4{,}43\ cm^{2}\qquad$	$\ u=112\ cm\quad A=784\ cm^{2}\qquad$ $\ u=164\ cm\quad A=16\ dm^{2}\qquad$ $\ u=10{,}1cm\quad A\approx 8{,}04\ cm^{2}\qquad$
$\ u\approx 25{,}1\ cm\quad A\approx 50{,}3\ cm^{2}\qquad$ $\ u=10\ dm\quad A=6\ dm^{2}\qquad$ $\ u=14{,}8\ dm\quad A=13{,}44\ dm^{2}\qquad$	$\ u=58{,}4\ dm\quad A=165{,}55\ dm^{2}\qquad$ $\ u=8{,}80\ dm\quad A=6{,}16\ dm^{2}\qquad$ $\ u=114\ cm\quad A=306\ cm^{2}\qquad$
$\ u\approx 88\ cm\quad A\approx 616\ cm^{2}\qquad$ $\ u=8{,}2\ dm\quad A=4\ dm^{2}\qquad$ $\ u=4{,}8\ cm\quad A\approx 1{,}11\ cm^{2}\qquad$	$\ u=56\ cm\quad A=196\ cm^{2}\qquad$ $\ u=82\ cm\quad A=4\ dm^{2}\qquad$ $\ u\approx 5{,}1\ cm\quad A\approx 2\ cm^{2}\qquad$
$\ u\approx 12{,}55\ cm\quad A\approx 12{,}58\ cm^{2}\qquad$ $\ u=5\ dm\quad A=1{,}5\ dm^{2}\qquad$ $\ u=7{,}4\ dm\quad A=3{,}36\ dm^{2}\qquad$	$\ u=29{,}2\ dm\quad A\approx 41{,}4\ dm^{2}\qquad$ $\ u=4{,}4\ dm\quad A=1{,}54\ dm^{2}\qquad$ $\ u=57\ cm\quad A=76.5\ cm^{2}\qquad$

Liniendiagramm

${\text{ca. }}\ 36{,}1^{\circ }C\quad 36{,}5^{\circ }C\quad 36{,}5^{\circ }C\quad 36{,}4^{\circ }C\quad \qquad$ ${\text{ca. }}1^{30}\quad 6\quad {\text{und }}22\ {\text{Uhr}}\qquad$ ${\text{ca. }}0\quad 8\quad 17^{40}\quad 18\quad {\text{und }}21^{55}\ {\text{Uhr}}\qquad$ ${\text{ca. }}10^{40}\quad 16^{15}\quad 19\quad {\text{und }}21^{50}\ {\text{Uhr}}\qquad$	$\ {\text{ca. }}4\quad 1\quad 1\quad {\text{bzw. }}6\ ^{\circ }C\qquad$ $\ {\text{ca. }}-0{,}8\quad 4\quad 5\quad 6\quad 6{,}8\ m$ $\ {\text{ca. }}-0{,}6\quad 0{,}8\quad 1\quad {\text{bzw. }}3{,}4\ m$ $\ {\text{ca. }}-0{,}4\quad 0\quad 1{,}8\quad {\text{bzw. }}2{,}6\ m$ $\ {\text{ca. }}-1\quad {\text{bzw. }}6{,}6\ m$
$\ {\text{ca. }}3\quad 2\quad 5{,}5\quad {\text{bzw. }}8\quad {\text{F/min}}\qquad$ $\ {\text{ca. um }}4^{30}\ \ 6^{00}\ \ {\text{und }}\ 11^{00}\qquad$ $\ {\text{ca. um }}10^{00}\qquad$ $\ {\text{ca. um }}\ 1^{00}\ \ 3^{30}\ \ 6^{30}\ \ {\text{und }}\ 10^{30}\qquad$ $\ {\text{ca. um }}\ 5\ {\text{und um}}\ 12\qquad$	$\ {\text{ca. }}200\quad 250\quad {\text{bzw. }}280\quad {\text{ppmv}}\qquad$ $\ {\text{ca. }}400\ \ 320\ \ 240\ \ 130\ \ {\text{und }}\ 0\$Tausende Jahre her. $\ {\text{ca. }}360\ \ 345\ \ 270\ \ 260\ \ 165\ \ 150\ \ 40\ \ {\text{und }}\ 30\$Tausende Jahre her.
$\ 2\quad 3\quad {\text{ca. }}\ 6{,}2{\text{bzw. }}{\text{ca. }}\ 3{,}4\quad m^{3}\qquad$ $\ 0\ {\text{ca. }}1{,}3\ \ 3\ {\text{und }}\ {\text{ca. }}\ 1{,}8\ s$ $\ {\text{ca. }}\ 3{,}4\ {\text{und }}\ {\text{ca. }}\ 5{,}4\ s$ War nicht ${\text{ca. }}2{,}3\ ({\text{bzw. ca. }}-0{,}3)\ s\qquad$	${\text{ca. }}\ 3^{\circ }C\quad 5^{\circ }C\quad 1^{\circ }C\quad 1^{\circ }C\quad \qquad$ ${\text{ca. }}0\quad 1{,}2\quad 5{,}6\quad {\text{und }}6\ m\ {\text{(und -0,4 m)}}\qquad$ ${\text{ca. }}1{,}6\quad 3\quad 5{,}2\quad {\text{und }}6{,}2\ m\qquad$ ${\text{ca. }}4{,}3\quad 4{,}8\quad {\text{und }}6{,}3\ m\qquad$ ${\text{ca. }}0{,}2\quad 1{\text{und }}\quad 5{,}8\ m\ {\text{(und -0,4 m)}}\qquad$
${\text{ca. }}\ 36{,}1^{\circ }C\quad 36{,}5^{\circ }C\quad 36{,}5^{\circ }C\quad 36{,}4^{\circ }C\quad \qquad$ ${\text{ca. }}1^{30}\quad 6\quad {\text{und }}22\ {\text{Uhr}}\qquad$ ${\text{ca. }}0\quad 8\quad 17^{40}\quad 18\quad {\text{und }}21^{55}\ {\text{Uhr}}\qquad$ ${\text{ca. }}10^{40}\quad 16^{15}\quad 19\quad {\text{und }}21^{50}\ {\text{Uhr}}\qquad$	${\text{ca. }}\ 36{,}1^{\circ }C\quad 36{,}5^{\circ }C\quad 36{,}5^{\circ }C\quad 36{,}4^{\circ }C\quad \qquad$ ${\text{ca. }}1^{30}\quad 6\quad {\text{und }}22\ {\text{Uhr}}\qquad$ ${\text{ca. }}0\quad 8\quad 17^{40}\quad 18\quad {\text{und }}21^{55}\ {\text{Uhr}}\qquad$ ${\text{ca. }}10^{40}\quad 16^{15}\quad 19\quad {\text{und }}21^{50}\ {\text{Uhr}}\qquad$

Indirekte Proportionalität

Typ 1

$9\ {\text{Stunden}}\qquad$	$65\ {\text{g}}\qquad$	$371\ {\text{€}}\qquad$	$1{,}4\ {\text{kWh}}\qquad$
$7{,}8\ {\text{Tage}}\qquad$	$21\ {\text{Tage}}\qquad$	$3\ {\text{Stücke}}\qquad$	100000 €

Typ 2

1,5 Tage später	34 Tage	20 Jahre	7 Kinder je 3 Stücke und 14 Kinder je 6 Stücke
1,5 Tage später	34 Tage	15,5 Tage	100000 €

Textaufgaben zu den Bruchrechnungen

$\ 3{,}76\ {\text{Mill. Liter}}\qquad \ 30080{\text{€}}\qquad$ $A\ 42000\ {\text{€}}\qquad B\ 35000\ {\text{€}}\qquad C\ und\ D\ je\ 14000\ {\text{€}}\qquad$	360 t Kart., 280 t Tom., 189 t Gur., 11 t Karot., 420 t Getr. $\textstyle {\frac {1}{3}}\ {\text{der Ernte}}$
462 Öst., 168 Serb., 132 Türk., 162 Rest $\textstyle {\frac {27}{154}}\ {\text{der SchülerInnen}}$	$\textstyle {\frac {1}{98000}}\ {\text{der Menschen}}\qquad \ 352\ {\text{Millionen €}}\qquad$ $\textstyle {\frac {1}{3675}}\ {\text{der Menschen}}\qquad \ 400\ {\text{Millionen €}}\qquad$ $\textstyle {\frac {4}{11}}\ {\text{der Menschen}}\qquad \ 480\ {\text{Millionen €}}\qquad$ $\textstyle {\text{fast}}\ {\frac {7}{11}}\ {\text{der Menschen}}\qquad \ 88\ {\text{Millionen €}}\qquad$
die Orangen $128\ kg$	Saskia $5\ Punkte$
die Hosen $28$	Elektrolytkondensatoren $313$ g

Sachaufgaben zu den Grundrechenarten

50,4 € das 4-Fache

9 3

12 6

9 3

Vertiefendes Niveau 1

Umkehraufgaben der Prozentrechnung

$4{,}5\ {\text{kW}}$

$3\ {\text{m}}$

$35\ {\text{cm}}$

$0{,}24\ {\text{kW}}$

Bruchstrichrechnungen mit Primfaktorzerlegung

$-{\frac {313}{1800}}$	${\frac {296}{60}}\ also\ {\frac {74}{15}}$	$-{\frac {232}{252}}\ also\ -{\frac {58}{63}}$	${\frac {649}{504}}$
$-{\frac {85}{100}}\ also\ -{\frac {17}{20}}$	$-{\frac {32}{36}}\ also\ -{\frac {8}{9}}$	$-{\frac {37}{300}}$	${\frac {1082}{180}}\ also\ {\frac {541}{90}}$

Umformen einfache Kombinationen

$x=5$ 8	$b=-2$ −3	$m=0{,}4$ −1	$z=-2$ −1
$z=2{,}5$ 2	$z=-{\frac {1}{3}}$ −1	$z=5$ −2	$z=-1$ 1

Vergleich direkter und indirekter Proportionalität

1,65 kWh $3{,}{\dot {8}}\ {\text{kWh pro h}}$ 1,25 Milliarden Menschen $36{,}9{\dot {4}}\ {\text{kWh}}$	525 € 87,5 € 3937,5 €	9,375 mal (durchschnittlich) 7 mal ca. 7,2 mal (durchschnittlich)	3,15 h 14 h 19,6875 h
$325\ t$ 11,7 Tage 6 Tage	40,5 Tage ca. 11,6 Tage ca. 3.8 Tage	14 Kinder 9 Kinder 20 Tage	4,2 Tage 25 Tage 27 Arbeiter

Punktrechnungen von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

$\ a^{-2}\qquad$ $\ 4^{3+b}\qquad$ $\ c^{-4}\qquad$ $\ w^{-3}$	$\ a^{b-x}\qquad$ $\ 4^{4}\qquad$ $\ c^{-14}\qquad$ $\ w^{12}$	$\ 1\qquad$ $\ t^{-3b}\qquad$ $\ c^{3-b}\qquad$ $\ w^{-b-12}$	$\ 3\qquad$ $\ b^{-7t}\qquad$ $\ b^{2}\qquad$ $\ w^{12-b}$
$\ c^{-7}\qquad$ $\ 3^{2t-7}\qquad$ $\ 5^{6}\qquad$ $\ w^{-5b}$	$\ 3^{0}\ also\ 1\qquad$ $\ a^{z-2t}\qquad$ $\ b^{-2}\qquad$ $\ 3^{-4w}$	$\ 7^{b}\qquad$ $\ t^{t-3}\qquad$ $\ 20^{2}\qquad$ $\ u^{b+12}$	$\ 7\qquad$ $\ j^{2w}\qquad$ $\ 3^{4b}\qquad$ $\ b^{-w-5}$

Textaufgaben linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen

$11\ {\text{T. mit 3 B.}}\qquad \ 22\ {\text{T. mit 8 B.}}$	$5\ {\text{W. mit 40 S.}}\qquad \ 8\ {\text{W. mit 65 S.}}\qquad$
$37\ {\text{M. mit 2 K.}}\qquad \ 14\ {\text{M. mit 3 K.}}\qquad$	$9\ {\text{W mit 15 S.}}\qquad \ 9\ {\text{W.mit 20 S.}}\qquad$
$2\ {\text{T. mit 3 P.}}\qquad \ 6\ {\text{T. mit 5 P.}}$	$5\ {\text{T. mit 4 B.}}\qquad \ 18\ {\text{T. mit 7 B.}}\qquad$
$11\ {\text{F. mit 130 P.}}\qquad \ 15\ {\text{F. mit 150 P.}}\qquad$	$13\ {\text{Mädchen}}\qquad \ 11\ {\text{Jungen}}\qquad$

Kombinationsaufgaben der Prozentrechnung

$7\ {\text{Stunden}}$ 77% reduziert	$2{,}4\ cm\qquad$ 2,5% zurückgegangen	$1750\ {\text{€}}\qquad$ 0,8% erhöht	$15\ {\text{t}}\qquad$ 9,2% erhöht
$155\ {\text{cm}}$ ca. 12,28% reduziert	$2{,}5\ cm\qquad$ keine Änderung	$350\ {\text{ml}}\qquad$ ca. 43% mehr	$440\ {\text{ml}}\qquad$ keine Änderung

Vorrang und Bruchrechnungen

Vorrang mit Klammern in Klammern

$\ 22$

$\ -10$

$\ -25$

$\ 51$

$\ -37$

$\ 55$

$\ 53$

$\ 49$

Bruchrechnungen und Vorrang

${\frac {16}{15}}$

$-{\frac {1}{4}}$

$-{\frac {383}{180}}$

$-{\frac {35}{11}}$

$-{\frac {1}{6}}$

$-{\frac {1}{15}}$

${\frac {4}{15}}$

$0$

Umformen in der ebenen Geometrie konkret

$A=9\ cm^{2}$	$u\approx 12{,}23\ cm\qquad$	$A=90\ cm^{2}\qquad$	$A\approx 11{,}46\ cm^{2}\qquad$
$u=96\ cm\qquad$	$u=18\ dm\qquad$	$u=7{,}95\ dm\qquad$	$A\approx 6{,}93\ cm^{2}\qquad$

Mittelwerte bei einem Säulendiagramm

$D=2{,}2\ {\text{Ban./Pack.}},\ Med=2,\ Mod=4$	$D\approx 3{,}42\ {\text{St./Tisch}},\ Med=4,\ Mod=2\ und\ 5$
$D\approx 3{,}04\ {\text{Bl/T}},\ Med=3,\ Mod=6$	$D\approx 4{,}19\ {\text{Pun./Sch.}},\ Med=5,\ Mod=5$
$D\approx 2{,}78\ {\text{B/S}},\ Med=2,\ Mod=1$	$D\approx 3{,}06\ {\text{Aut/H}},\ Med=3{,}5,\ Mod=4$
$D=3{,}5\ {\text{Sch/Kl}},\ Med=3,\ Mod=5\ und\ 6$	$D=3{,}{\dot {2}}\ {\text{Schl./Haus}},\ Med=3,\ Mod=3\ und\ 5$

Vertiefendes Niveau 2

Prozentrechnung und Brüche

✘, ✔, ✔

✘, ✘, ✘

✘, ✔, ✔

✔, ✘, ✔

✘, ✔, ✔

✘, ✘, ✘

✘, ✔, ✔

✔, ✘, ✔

Umformen in der ebenen Geometrie abstrakt

$r={\sqrt {\tfrac {A}{\pi }}}$	$a={\tfrac {u-2\cdot b}{2}}={\tfrac {u}{2}}-b$	$b={\sqrt {d^{2}-a^{2}}}$	$a={\sqrt {\tfrac {4A}{\sqrt {3}}}}\left(=2{\sqrt {\tfrac {A}{\sqrt {3}}}}={\sqrt {A\cdot {\tfrac {4}{\sqrt {3}}}\ }}\right)$
$b={\tfrac {u-2\cdot a}{2}}={\tfrac {u}{2}}-a$	$d={\frac {u}{\pi }}$	$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$	$d={\sqrt {\tfrac {4\,A}{\pi }}}$

Lineare Funktion Diagramm

ca. 2500 €, 3700 €, −600 € bzw. −1200 € ca. 1 t, 1200 € ca. 2,6, 3,8 bzw. 5,8 t	ca.60, 50, 35 bzw. 10 Hz ca. 70 Hz, 140 cm ca. 100, 60, 40 bzw. 120 cm	ca. 85, 70, bzw. 52 g/L ca. 100 g/L, 250 °C ca. 0, 75, 100 bzw. 150 °C
ca. 71 Jahre ca. 77 Jahre ca. 30 Zig./Tag ca. 34 Zig./Tag ca. 85 Jahre	$600\ m$ $346\ m$ $2{,}2\ km$ $1{,}5\ km$	$3{,}5\ t\ CO_{2}$ $4\ t\ CO_{2}$ $ca.\ 260\ g$ $ca.\ 620\ g$
$ca.\ 3{,}8\ m$ $ca.\ 5{,}3\ m$ $1{,}1\ h$ $1{,}75\ h$	ca. 71 Jahre ca. 77 Jahre ca. 30 Zig./Tag ca. 34 Zig./Tag ca. 85 Jahre

Kreisdiagramm

$W-h,\ X-f,\ Y-g,\ Z-e$	$P-b,\ Q-a,\ R-keiner,\ S-e$	$K-c,\ L-b,\ M-g,\ N-e$
$W-g,\ X-d,\ Y-keiner,\ Z-e$	$P-c,\ Q-d,\ R-a,\ S-b$	$N-h,\ M-c,\ L-g,\ K-a$
$X-keiner,\ R-keiner,\ L-h,\ O-keiner$	$Q-e,\ M-d,\ L-g,\ V-c$

Vergleichen von Mittelwerten

Verteilung möglicherweise gleichmäßig	Verteilung möglicherweise gleichmäßig
Verteilung eher ungleichmäßig (?)	DE: Verteilung ungleichmäßig GR: Verteilung möglicherweise gleichmäßig
Verteilung ungleichmäßig	Verteilung eher ungleichmäßig (?)
AT: Verteilung ungleichmäßig PO: Verteilung möglicherweise gleichmäßig	Verteilung ungleichmäßig

Wachstum und Abnahme

$\approx 1{,}73\ 10^{14}\ {\text{Personen!}}$$\approx 40522\ {\text{Atome}}$	$\approx 9{,}22\ 10^{18}\ {\text{Körner!}}$$\approx 4488601\ {\text{Personen}}$	$\approx 75{,}7\approx 75\ {\text{Bakterien}}$$\approx 3{,}147\ {\text{Ampere}}$
$\approx 340\ {\text{Millionen bzw. }}2{,}00\ {\text{Billionen Personen!}}$$\approx 47847\ {\text{Atome}}$		$\approx 328\ {\text{Bakterien}}$$\approx 117686\ {\text{Bakterien}}$
$\approx 318\ {\text{Menschen}}$$\approx 34{,}2{\text{°C}}$	$\approx 20636\ {\text{Bakterien}}$$\approx 21700000\ {\text{Personen}}$	$\approx 9{,}8\ {\text{bzw. }}59\ {\text{Millionen Menschen}}$$\approx 136{,}12\ {\text{V}}$

Satz von Pythagoras

Typ 1

$145\ {\text{mm}}$

$112\ \ {\text{dm}}$

$18541\ \ {\text{cm}}$

$119\ \ {\text{mm}}$

Typ 2

$105\ {\text{cm}}^{2}$	${\sqrt {3362}}\ \ {\text{cm}}\approx 58{,}0\ {\text{cm}}$	$90{\sqrt {2}}\ \ {\text{mm}}\approx 127{,}3\ {\text{mm}}$	$221\ \ {\text{cm}}$
$90{\sqrt {2}}\ \ {\text{mm}}\approx 127{,}3\ {\text{mm}}$	${\sqrt {3362}}\ \ {\text{cm}}\approx 58{,}0\ {\text{cm}}$	$105\ {\text{cm}}^{2}$	$221\ \ {\text{cm}}$

Umsatzsteuer und Rabatt

Umsatzsteuer (USt.)

BVP: 56 €, USt.: 6 €

NVP: 60 €

12,5%

NVP: 75 €

Rabatt

BVP: 66 €

PnR: 572 €

12%

$685100\ {\text{€}}\qquad 35100\ {\text{€ mehr}}$

{{clear}

USt. und Rabatt Gegebener Endwert

NVP: 60 €, Rabatt: 9,9 €, USt.: 6 €	NVP: 85 €, Rabatt: 20%
NVP: 455 €, BVP: 527,8 €, Rabatt: 131,95 €, USt.: 72,8 €	NVP: 88 €, BVP: 110 €, Rabatt: 22 €, USt.: 22 €

USt. und Rabatt Kombinationsaufgaben

$\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$ $\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$55$\$ $\$780€$\$ Umsatzsteuer % 60% 25% Umsatzsteuer € 33 195€ Bruttoverkaufspreis € 88€ 975 Rabatt % 37,5% 20% Rabatt € 33€ 195€ Preis nach dem Rabatt € 55€ 780€	$\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$ $\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$336000€$\$ $\$420€$\$ Umsatzsteuer % 10% 20% Umsatzsteuer € 33600 84€ Bruttoverkaufspreis € 369600€ 504€ Rabatt % 3% 5% Rabatt € 11088€ 25,2€ Preis nach dem Rabatt € 358512€ 478,8€
$\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$ $\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$914,94$\$ $\$780€$\$ Umsatzsteuer % 14,1% 25% Umsatzsteuer € 129€ 195€ Bruttoverkaufspreis € 1043,94€ 975 Rabatt % 10% 20%1 Rabatt € 104,39€ 95€ Preis nach dem Rabatt € 939,55€ 780€	$\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$ $\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$3500€$\$ $\$84$\$ Umsatzsteuer % 14% 10% Umsatzsteuer € 490€ 8,4€ Bruttoverkaufspreis € 3990€ 92,4€ Rabatt % 10% 10% Rabatt € 399€ 9,24€ Preis nach dem Rabatt € 3591€ 83,16€
$\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$ $\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$55€$\$ $\$3500€$\$ Umsatzsteuer % 60% 14% Umsatzsteuer € 33€ 490€ Bruttoverkaufspreis € 88€ 3990€ Rabatt % 37,5% 10% Rabatt € 33€ 399€ Preis nach dem Rabatt € 55€ 3591€	$\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$ $\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$420€$\$ $\$55€$\$ Umsatzsteuer % 20% 60% Umsatzsteuer € 84€ 33€ Bruttoverkaufspreis € 504€ 88€ Rabatt % 5% 37,5% Rabatt € 25,2€ 33€ Preis nach dem Rabatt € 478,8€ 55€
$\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$ $\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$60€$\$ $\$85€$\$ Umsatzsteuer % 10% 14% Umsatzsteuer € 6€ 11,9€ Bruttoverkaufspreis € 66€ 96,9€ Rabatt % 15% 20% Rabatt € 9,9€ 19,38€ Preis nach dem Rabatt € 56,1€ 77,52€	$\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$ $\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$455€$\$ $\$40€$\$ Umsatzsteuer % 16% 10,5% Umsatzsteuer € 72,8€ 4,2€ Bruttoverkaufspreis € 527,8€ 44,2€ Rabatt % 25% 5% Rabatt € 131,95 2,21€ Preis nach dem Rabatt € 395,85€ 41,99€

Eine lineare Funktion mit Hilfe von zwei Punkten ermitteln

$\ y={\frac {5x-5}{4}}$ x: Tonnen, y: 1000 €, S: 1000 €/t	$\ y=-0{,}5x+70$ x: cm, y: Hz, S: Hz/cm	$\ y=-0{,}4x+100$ x: °C, y: g/L, S: g/(L mal °C).
$\ y=-{\frac {17x}{30}}+85$ x: Zig./Tag, y: Jahre, S: Jahre mal Tag/Zig.	$\ y=205{,}63x+346$ x: km, y: m, S: m/km	$\ y=-0{,}004x+4$ x: g Obst, y: t CO2, S: g/t
$\ y=-3x+5{,}25$ x: h, y: m, S: m/h	$\ y=-{\frac {17x}{30}}+85$ x: Zig./Tag, y: Jahre, S: Jahre mal Tag/Zig.

Geometrie Beweise

hier	hier	hier	hier
hier	hier	+ =	$-$ =

Zinsrechnung

$G\approx 6397{,}19\ {\text{€}}\quad$ $Z\approx {\text{38,21 € }}\quad$ $eZ\approx {\text{28,66 € }}\quad$ $KESt.\approx {\text{9,55 € }}$ $G=6340\ {\text{€}}\quad$ $eZs=0{,}45\%$ $G_{45}\approx 7794{,}47\ {\text{€}}$	$G\approx 7660{,}89\ {\text{€}}\quad$ $Z\approx {\text{268,54 € }}\quad$ $eZ\approx {\text{201,41 € }}\quad$ $KESt.\approx {\text{67,14 € }}$ $G\approx 7263{,}37\ {\text{€}}\quad$ $eZs=2{,}7\%$ $G_{15}\approx 11124{,}11\ {\text{€}}$	$G\approx 6454{,}51\ {\text{€}}\quad$ $Z\approx {\text{114,63 € }}\quad$ $eZ\approx {\text{85,98 € }}\quad$ $KESt.\approx {\text{28,66 € }}$ $G\approx 6283{,}70\ {\text{€}}\quad$ $eZs=1{,}35\%$ $G_{158}\approx 52989{,}79\ {\text{€}}$	$G=80840\ {\text{€}}\quad$ $Z={\text{1120 € }}\quad$ $eZ={\text{840 € }}\quad$ $KESt.={\text{280 € }}$ $G\approx 79168{,}73\ {\text{€}}\quad$ $eZs=1{,}05\%$ $G_{106}\approx 242069{,}28\ {\text{€}}$
$G\approx 6397{,}19\ {\text{€}}\quad$ $Z\approx {\text{38,21 € }}\quad$ $eZ\approx {\text{28,66 € }}\quad$ $KESt.\approx {\text{9,55 € }}$ $G=6340\ {\text{€}}\quad$ $eZs=0{,}45\%$ $G_{45}\approx 7794{,}47\ {\text{€}}$	$G\approx 7660{,}89\ {\text{€}}\quad$ $Z\approx {\text{268,54 € }}\quad$ $eZ\approx {\text{201,41 € }}\quad$ $KESt.\approx {\text{67,14 € }}$ $G\approx 7263{,}37\ {\text{€}}\quad$ $eZs=2{,}7\%$ $G_{15}\approx 11124{,}11\ {\text{€}}$	$G\approx 6454{,}51\ {\text{€}}\quad$ $Z\approx {\text{114,63 € }}\quad$ $eZ\approx {\text{85,98 € }}\quad$ $KESt.\approx {\text{28,66 € }}$ $G\approx 6283{,}70\ {\text{€}}\quad$ $eZs=1{,}35\%$ $G_{158}\approx 52989{,}79\ {\text{€}}$	$G=80840\ {\text{€}}\quad$ $Z={\text{1120 € }}\quad$ $eZ={\text{840 € }}\quad$ $KESt.={\text{280 € }}$ $G\approx 79168{,}73\ {\text{€}}\quad$ $eZs=1{,}05\%$ $G_{106}\approx 242069{,}28\ {\text{€}}$

Potenzen Erklärung

Siehe Theorie

Säulendiagramm erstellen

D Ö R F E R 3 1 5 5 4 3 4 6 7 8 Toten pro Dorf $D=6{,}{\dot {1}}\ {\text{T./D.}},\ Med=6{,}5,\ Mod=6\ und\ 7,\ S=5$	R Ä Ü M E 1 2 5 5 3 0 1 2 4 8 Betten pro Raum $D=3{,}5\ {\text{B./R.}},\ Med=3,\ Mod=2\ und\ 4,\ S=8$
T I S C H E 4 5 1 4 1 0 1 2 3 9 Personen/Tisch $D=1{,}8{\dot {6}}\ {\text{P./T.}},\ Med=1,\ Mod=1,\ S=9$	P E R S O N 3 5 1 5 1 0 1 2 3 14 Part./Person $D=2{,}4\ {\text{Par./Per.}},\ Med=1,\ Mod=3,\ S=14$
K I N D E R 5 2 3 5 2 4 5 6 7 8 Tonnen/Kind $D\approx 5{,}82\ {\text{t/K}},\ Med=6,\ Mod=4\ und\ 7,\ S=4$	T Ö P F E 3 2 2 5 4 0 3 5 7 8 Blumen pro Topf $D\approx 5{,}19\ {\text{Bl./T.}},\ Med=7,\ Mod=7,\ S=8$
M Ü T T E R 6 6 5 1 1 1 2 3 6 7 Kinder/Mutter $D\approx 2{,}42\ {\text{K./M.}},\ Med=2,\ Mod=1\ und\ 2,\ S=6$	K I N D E R 3 5 1 5 1 0 1 2 3 14 Bücher pro Kind $D=2{,}4\ {\text{B./K.}},\ Med=1,\ Mod=1\ und\ 3,\ S=14$

Expertenniveau 1

Herausheben

$15\ y\ n^{7}(3\ b^{4}y-2\ y^{4}n^{2}-5\ b^{8}y^{7}n+7\ b)$	$7\ x^{4}\ c\ m^{3}(5\ c\ m-2\ x^{5}c^{2}-1+9\ b\ x^{3}c^{8}m^{10})$
$3\ x^{4}\ c^{2}\ m^{4}(1-11\ x^{5}c^{2}m^{3}-9\ m+21\ b\ x^{3}c^{7}m^{9})$	$6\ y^{3}\ n^{4}(3\ b^{4}-2\ y^{4}n^{2}-5\ b^{8}y^{7}n+1)$
$9\ x\ c^{4}\ m^{2}(5\ c\ m-2\ x^{5}c^{2}-1+9\ b\ x^{3}c^{8}m^{10})$	$4\ x^{4}\ c^{3}\ m\ (5\ c\ m-2\ x^{5}c^{2}-1+9\ b\ x^{3}c^{8}m^{10})$
$11\ y^{3}\ n\ (3\ b^{4}-2\ y^{4}n^{2}-5\ b^{8}y^{7}n+1)$	$5\ y^{3}\ b^{4}(3\ b^{4}-2\ y^{4}n^{2}-5\ b^{8}y^{7}n+1)$

Zusammengesetzte Figuren

Formel

$A=a^{2}-{\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}-2\pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}$	$A=a^{2}-2\ \pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}-\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}+\pi \left({\tfrac {a}{4}}\right)^{2}$	$A=\ a^{2}-9\ \pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}$
$A=\ {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}-\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}$	$A=2\ b\ r+\pi \ r^{2}$ $A=a\cdot (b+2c)-(2\ b\ r+\pi \ r^{2})$	$A=\ a^{2}\$
$A=\ (20-3\ \pi )\ r^{2}$	$A=\ 3\ \pi \ a^{2}$

Einheiten

$A=(19{,}75+2{,}25\ \pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 26{,}82\ {\text{Einheiten}}$	$A=\ (3\ \pi \ 2{,}5^{2})\ \ {\text{Einheiten}}\approx 58{,}9\ {\text{Einheiten}}$
$A=(108+\pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 111{,}14\ \ {\text{Einheiten}}$	$A=25\ {\text{Einheiten}}$
$A=(36-9{\sqrt {3}}-2\ \pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 14{,}13\ {\text{Einheiten}}$	$A=(67+11{,}875\ \pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 104{,}3\ {\text{Einheiten}}$
$A=\ 9\ (20-3\ \pi )\ {\text{Einheiten}}\approx 95{,}2\ {\text{Einheiten}}$	$A=(47{,}5-4\ \pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 35\ {\text{Einheiten}}$

Doppelbrüche

$\textstyle {\frac {5}{9}}$

$\textstyle 1{,}5$

$\textstyle -{\frac {1}{8}}$

$\textstyle 1{\frac {1}{3}}$

$\textstyle {\frac {5}{6}}$

$\textstyle -{\frac {3}{2}}$

$\textstyle -2$

$\textstyle -{\frac {3}{4}}$

Mittelwerte Argumentationsaufgaben

$D\approx 57{,}86\ kg\qquad Med=54\ kg\qquad Mod=65\ kg$ Verteilung möglicherweise gleichmäßig Was die Familien betrifft wird die Verteilung eindeutig gleichmäßig, sogar gleich verteilt. Was die einzelnen Personen betrifft, ist es nicht unbedingt so. Es kann sein, dass eine Familie viel mehr Personen hat als eine andere. Dann bekommt jede Person viel weniger. Beim CO2 Ausstoß soll der Ausstoß pro Kopf verglichen werden. Manche Bedingungen, wie das Wetter, sollten auch berücksichtigt werden.	$D=58{,}75\ kg\qquad Med=58{,}5\ kg\qquad Mod=45\ und\ 65\ kg$ Verteilung möglicherweise gleichmäßig Um die Frage zu beantworten brauchen wir auch die Größe des jeweiligen Schülers.
$D=11{,}{\dot {7}}\qquad Med=5{,}5\qquad Mod=2\ und\ 7$ Verteilung eher ungleichmäßig (?) Die Mischung aus positiven und negativen Werten kann sogar bei einer sehr stark ungleichmäßigen Verteilung den Unterschied zwischen Durchschnitt und Median sogar sehr stark schwächen. Der Vergleich verliert dadurch seine Aussagekraft.	$D=12\ {\text{bzw.}}\ 42\qquad Med=2\qquad Mod=2$ Verteilung ungleichmäßig Obwohl in beiden Verteilungen alle Werte 0,5 sind und nur eine ca. 55, ist der Unterschied zwischen Median und Durchschnitt nur in der Verteilung mit der kleinen Anzahl groß. Die Ungleichmäßigkeit der Verteilung wird mit steigender Anzahl der Werte weniger sichtbar, zumindest was den Vergleich von Median und Durchschnitt betrifft.
$D=6\ {\text{bzw.}}\ 21\qquad Med=1\qquad Mod=1$ Verteilung ungleichmäßig Obwohl in beiden Verteilungen alle Werte 1 sind und nur eine ca. 100, ist der Unterschied zwischen Median und Durchschnitt nur in der Verteilung mit der kleinen Anzahl groß. Die Ungleichmäßigkeit der Verteilung wird mit steigender Anzahl der Werte weniger sichtbar, zumindest was den Vergleich von Median und Durchschnitt betrifft.	$D=2{,}875\qquad Med=3{,}5\qquad Mod=2\ und\ 5$ Verteilung eher ungleichmäßig (?) Die Mischung aus positiven und negativen Werten kann sogar bei einer sehr stark ungleichmäßigen Verteilung den Unterschied zwischen Durchschnitt und Median sogar sehr stark schwächen. Der Vergleich verliert dadurch seine Aussagekraft.
AT: $D=35{,}6\qquad Med=9\qquad Mod=2\ \&\ 10\quad$ PO: $D=16\qquad Med=11\qquad Mod=1\&\ 11$ AT: Verteilung ungleichmäßig PO: Verteilung möglicherweise gleichmäßig Beide Verteilungen sind ziemlich ungleichmäßig, allerdings ist der Median in Portugal nicht so weit vom Durchschnitt. In den Zeitungen wurde der Median verglichen (der ist in PO größer), was völlig daneben ist (der Durchschnitt in AT ist viel höher als in PO). "Portugiesen" sind nicht "reicher" als "Österreicher", sondern das Vermögen in Österreich wird ziemlich ungleichmäßiger als in Protugal verteilt. Das (allerdings geliehene) Geld gelangt zu den Geldgebern in Österreich. Das führt zu einer Verstärkung der Ungleichmäßigkeit in AT (und allerdings auch in PO).	DE: $D=36\qquad Med=10\qquad Mod=1\ \&\ 10\quad$ GR: $D=16\qquad Med=10\qquad Mod=1$ DE: Verteilung ungleichmäßig GR: Verteilung möglicherweise gleichmäßig Beide Verteilungen sind ziemlich ungleichmäßig, allerdings ist der Median in Griechenland nicht so weit vom Durchschnitt. In den Zeitungen wurde der Median verglichen (der ist in GR größer), was völlig daneben ist (der Durchschnitt in DE ist viel höher als in GR). "Griechen" sind nicht "reicher" als "Deutsche", sondern das Vermögen in Deutschland wird ziemlich ungleichmäßiger als in Griechenland verteilt. Das (allerdings geliehene) Geld gelangt zu den Geldgebern in Deutschland. Das führt zu einer Verstärkung der Ungleichmäßigkeit in DE (und allerdings auch in GR).

Textaufgaben zu den linearen Funktionen

$V(t)=-0{,}05\ t+46\$ (t in min, V in Liter) $920\ min$ $420\ min$	$h(t)=3{,}5\ t+0{,}5\$ (t in min, h in km) $ca.\ 1{,}96\ km$ $60\ s\ (1\ min)$
$H(t)=-1{,}4\ t+18\$ (t in h, H in cm) $ca.\ 771{,}4\ min$ $ca\ 18{,}0\ cm\ (17{,}9615\ cm)$	$s(t)=-72\ t+311\$ (t in h, s in km) $4\,h\,19\,min\,10\,s$ $282{,}2\ km\ und\ 28{,}8\ \$ (von Brüssels bzw. von Paris) $5{,}04\approx 5\ kg$
$V(t)=-0{,}03\ t+74\$ (t in min, V in m3) $41\,h\,6\,min\,40\,s$ $420\ min$	$h(t)=-44\ t+2300\$ (t in s, h in m) $320\ m$ $22{,}{\overline {72}}\ sec$ $52{,}{\overline {72}}\ sec$
$V(t)=3{,}25\ t\$ (t in min, V in m3) $ca.\ 20{,}31\ min$ $45{,}5\ m^{3}$	$s(t)=-69\ t+287\$ (t in h, s in km) $ca.\ 4\,h\,9\,min\,34\,s$ $17{,}25\ km\ bzw.\ 269{,}75\ \$ $ca.\ 3{,}66\ kg$

Binomische Formeln

Ausmultiplizieren

$\ a^{6}-8\ a^{3}+16\qquad$ $\ 25\ x^{4}+40\ x^{2}\ z^{2{,}5}+16\ z^{5}$	$\ 49\ w^{7}+84\ w^{10}+36\ w^{13}\qquad$ $\ 25\ a^{6}-121\ a^{3}$
$4\ g^{8}-52\ g^{10{,}5}+169\ g^{13}\qquad$ $\ 121\ a^{12}-16\ a^{8}$	$144\ g^{5}+168\ g^{9}+49\ g^{13}\qquad$ $\ 16\ a^{8}-88\ a^{10}+121\ a^{12}$

Faktorisieren

$\left(13\ a^{4}-2\right)^{2}\qquad$ $\left(9\ x^{2}+10\ z^{4{,}5}\right)^{2}$

$\left(7\ w^{3{,}5}+5\ w^{6{,}5}\right)^{2}\qquad$ $(3\ c^{2}+7\ b^{5})(3\ c^{2}-7\ b^{5})$

$\left(11\ v^{2{,}5}-3\ v^{9{,}5}\right)^{2}\qquad$ $(2\ n^{2}-3\ n^{5})(2\ n^{2}+3\ n^{5})$

$\left(25\ v^{3{,}5}+12\ v^{8{,}5}\right)^{2}\qquad$ $(2\ n^{2}-2{,}5\ \ n^{8})^{2}$

Erkennen

Nein, 4 statt 16 ja

Nein, 9 statt 7 ja

Nein, 24 statt 12 ja

ja Nein, 28 statt 14 und 12 statt 11

Bruchterme kürzen

$\textstyle {\frac {3}{2(3x-1)}}$

$\textstyle {\frac {3(5b-2)}{c\ b(5b+2)}}$

$\textstyle {\frac {c\ y(3y-7)}{2(3y+7)}}$

$\textstyle (3x-1)$

$\textstyle {\frac {5b(5b+2)}{(5b-2)}}$

$\textstyle {\frac {c^{2}\ y(3y-7)}{3(3y+7)}}$

$\textstyle {\frac {3}{2(3x-1)}}$

$\textstyle {\frac {3(5b-2)}{c\ b(5b+2)}}$

Ähnlichkeit von Figuren

$b'\approx 32\ mm\qquad k'\approx 36\ mm$	$g\approx 199\ mm\qquad a\approx 35\ mm$	$g'\approx 69\ dm\qquad k'\approx 84\ dm$
$g\approx 239\ mm\qquad a\approx 56\ mm$	$b'=11\ cm\qquad k'=13{,}75\ cm$	$g=12\ cm\qquad a=6\ cm$
$g'=12\ m\qquad k=15\ dm$	$g=64\ mm\qquad a=45\ mm$

Die Steigung und ihre Zusammenhänge

Siehe Theorie!

Zahlenmengen

Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? $\quad$ $\ \ \ \mathbb {N} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Z} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Q} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {I} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {R} \ \ \$ $\textstyle {\frac {5}{13}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\frac {26}{13}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle -{\frac {\sqrt {5}}{13}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\sqrt {7}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ $-{\sqrt {196}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\sqrt {-4}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ${\sqrt {169}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle -{\frac {26}{13}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔	Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? $\quad$ $\ \ \ \mathbb {N} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Z} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Q} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {I} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {R} \ \ \$ $\textstyle {\frac {\sqrt {0{,}25}}{13}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\sqrt {33}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ $\textstyle -{\sqrt {441}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\sqrt {-9}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ $6$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\frac {\sqrt {11}}{13}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ $\textstyle {\frac {65}{13}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle -{\frac {8}{4}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔
Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? $\quad$ $\ \ \ \mathbb {N} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Z} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Q} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {I} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {R} \ \ \$ ${\sqrt {144}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle +{\frac {39}{3}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\frac {13}{6{,}5}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle -{\frac {\sqrt {81}}{13}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\frac {\sqrt {8}}{13}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\sqrt {289}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $-{\sqrt {-6}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ${\sqrt {4}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔	Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? $\quad$ $\ \ \ \mathbb {N} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Z} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Q} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {I} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {R} \ \ \$ $\textstyle {\frac {0{,}5}{\sqrt {0{,}0625}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle -{\frac {38}{3}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ $\textstyle -{\frac {52}{1{,}3}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\frac {\sqrt {169}}{13}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\frac {\sqrt {-9}}{13}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ $28$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $-{\sqrt {(-25)(-4)}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\sqrt {18}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔
Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? $\quad$ $\ \ \ \mathbb {N} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Z} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Q} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {I} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {R} \ \ \$ $\textstyle {\frac {11}{7}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\frac {28}{7}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle -{\frac {\sqrt {7}}{15}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\sqrt {15}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ $-{\sqrt {625}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\sqrt {-121}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ${\sqrt {256}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle -{\frac {45}{15}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔	Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? $\quad$ $\ \ \ \mathbb {N} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Z} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Q} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {I} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {R} \ \ \$ $\textstyle {\frac {\sqrt {0{,}09}}{11}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\sqrt {70}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ $\textstyle -{\sqrt {1600}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\sqrt {-25}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ $6$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\frac {\sqrt {33}}{33}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ $\textstyle {\frac {60}{12}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle -{\frac {33}{11}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔
Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? $\quad$ $\ \ \ \mathbb {N} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Z} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Q} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {I} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {R} \ \ \$ ${\sqrt {81}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle +{\frac {70}{5}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\frac {23}{11{,}5}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle -{\frac {\sqrt {144}}{12}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\frac {\sqrt {27}}{9}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\sqrt {324}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $-{\sqrt {-35}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ${\sqrt {49}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔	Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? $\quad$ $\ \ \ \mathbb {N} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Z} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {Q} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {I} \ \ \$ $\ \ \ \mathbb {R} \ \ \$ $\textstyle {\frac {0{,}2}{\sqrt {0{,}01}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle -{\frac {45}{6}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ $\textstyle -{\frac {42}{1{,}4}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\frac {\sqrt {289}}{17}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $\textstyle {\frac {\sqrt {-16}}{4}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ $41$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ $-{\sqrt {(-16)(-9)}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\sqrt {12}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔

Expertenniveau 2

Potenzen mit negativer Hochzahl

$\ 6^{4-x}\qquad$ $\ 3\cdot 7^{12-2u}\qquad$ $\ 5\ z^{d}\qquad$

$\ 6^{1-x}\qquad$ $\ 3\cdot 11^{6-4x}\qquad$ $\ 5\ z^{r}\qquad$

$\ 5\cdot r^{4-x}\qquad$ $\ 3\cdot b^{4z-13}\qquad$ $\ 5\ z^{-z}\qquad$

$\ 3\cdot r^{4-2r}\qquad$ $\ 11\cdot b^{4-8w}\qquad$ $\ 5^{1-z}\qquad$

Raumgeometrie Formelanwendung

Formel Einsetzen in der Raumgeometrie

$V=15500\ mm^{3}\qquad A=16840\ mm^{2}\qquad K=1348\ mm$	$U\approx 201\ mm\qquad O\approx 12868\ mm^{2}\qquad V\approx 137\ cm^{3}$
$U\approx 119\ mm\qquad O\approx 107\ cm^{2}\qquad V\approx 90{,}7\ cm^{3}$	$U\approx 245\ dm\qquad M\approx 58{,}8\ m^{2}\qquad$$B\approx 47{,}8\ m^{2}\qquad V\approx 44{,}6\ m^{3}$
$V=5\ dm^{3}\qquad A=19\ dm^{2}\qquad K=22\ dm$	$U\approx 100{,}5\ cm\qquad O\approx 3217\ cm^{2}\qquad V\approx 17\ dm^{3}$
$U=1200\ mm\qquad O=0{,}165\ km^{2}\qquad V=0{,}006\ km^{3}$	$U\approx 490\ dm\qquad M\approx 194{,}2\ m^{2}\qquad$$B\approx 95{,}6\ m^{2}\qquad V\approx 89{,}2\ m^{3}$

Umformen in der Raumgeometrie konkret

$O\approx 62{,}83\ dm^{2}$	$V\approx 149{,}54\ cm^{3}$	$O\approx 515\ cm^{2}$	$V\approx 4189\ cm^{3}$
$V=10\pi \ dm^{3}$	$V\approx 124{,}85\ mm^{3}$	$O\approx 21{,}24\ cm^{2}$	$V=343\ cm^{3}$

Umformen in der Raumgeometrie abstrakt

Grundaufgaben

$\textstyle R={\sqrt[{3}]{\frac {3\ V}{4\ \pi }}}$	$\textstyle a={\sqrt {\frac {O}{6}}}$	$\textstyle A={\frac {O}{2}}-\pi \ r\ h$	Formel stimmt
$\ h={\frac {3V}{\pi r^{2}}}$	$\ R={\sqrt {\frac {O}{4\ \pi }}}$	Formel stimmt	$\qquad O=2a^{2}+4{\frac {V}{a}}$

Faktoraufgaben

27- bzw. 9-fache	1,5-fache	halbiert	2,25-fache
12-fache	1,44-fache	2,5-fache	25-fache

Bruchtermegleichungen

$\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2\}\quad \mathbb {L} =\{\ 2{\frac {3}{8}}\},\ 2\notin \mathbb {D}$	$w\neq \{-1,\ 0\}\quad \mathbb {L} =\{4\}$
$y\neq \{0,\ 2\}\quad \mathbb {L} =\{\ 12\}$	$\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}\quad \mathbb {L} =\{-2\}$
$\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{\pm 2\}\quad \mathbb {L} =\{\ \},\ 2\notin \mathbb {D}$	$\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{\pm 2\}\quad \mathbb {L} =\{0{,}25\}$
$a\neq \{-1,\ 0,\ 1\}\quad \mathbb {L} =\{\ \},\ -1\notin \mathbb {D}$	$w\neq \{-1,\ 0,\ 1,\ 2\}\quad \mathbb {L} =\{4{\frac {1}{2}}\}$

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

$\textstyle (-2|5)$ unendlich viele Lösungen	$\mathbb {L} =\{\}$ $(-2|1)$	$\mathbb {L} =\emptyset$ $\textstyle (-{\frac {1}{3}}|2)$
$\infty \$ viele $\textstyle (-{\frac {1}{2}}|2)$	$(2|6)$ $\mathbb {L} =\emptyset$	$\textstyle (-5|{\frac {1}{2}})$ $\infty \$ viele
$\textstyle (-{\frac {1}{3}}|2)$ keine Lösung	$\textstyle (1|2)$ unendlich viele

Prozentrechnung abstrakt

$20\%\qquad$ 8,7 Jahre Männer ca. 79,4 Jahre, Frauen ca. 80,7 Jahre Quoten in der höheren Altersstufe Einfluss anderer Faktoren. Studien nach kann es großenteils (40%-60% des Unterschieds) stimmen.		Die stärkste Partei (V) hatte 39% der Stimmen, also weniger als die nicht Wähler. 75% WENIGER 90% 800% 2% 11,28%
$30\%\qquad$ 8 Jahre Männer 77,8 Jahre, Frauen 80,2 Jahre Quoten in der höheren Altersstufe Einfluss anderer Faktoren. Studien] nach, kann es großenteils (40%-60% des Unterschieds) stimmen.		Die stärkste Partei (V) hatte 29,4% der Stimmen, also weniger als die nicht Wähler. 200% 90% 800% 13,3% 13,93%
$50\%\qquad$ $33{,}{\dot {3}}\%\qquad$ $125\%\qquad$ $55{,}{\dot {5}}\%$	$50\%\qquad$ $1462{,}5\%\qquad$ $60\%\qquad$ $84\%$	$100\%\qquad$ $50\%\qquad$ $300\%\qquad$ $75\%$	$800\%\qquad$ $2600\%\qquad$ $66{,}{\dot {6}}\%\qquad$ $88{,}{\dot {8}}\%$

Raumgeometrie Textaufgaben

$\textstyle A\approx 351cm^{2}/Dose,\ ca.\ 0{,}5\ {\text{¢}}$	6 Eimer	82,66 €	Raumdiagonale > 1,5 m, also Ja
z.B. Kegel 44,76 km³ mit Kegelmantel 25,9 km²	4862 Boxen	ca. 1,7366 Cubits Höhe	65 Stücke. Man muss allerdings berücksichtigen, dass einige Stücke am Rand nicht genau passen werden und daher eine höhere Anzahl notwendig ist

Das pascalsche Dreieck Binompotenzen

$625\ x^{12}-3500\ x^{9}\ z^{2}+7350\ x^{6}\ z^{4}-6860\ x^{3}\ z^{6}+2401\ z^{8}$	$243\ a^{20}-2835\ a^{17}+13230\ a^{14}-30870\ a^{11}+36015\ a^{8}-16807\ a^{5}$
$8\ m^{12}-84\ m^{8}\ n^{5}+294\ m^{4}\ n^{10}-343\ n^{15}$	$625\ b^{8}-3500\ b^{6}\ e+7350\ b^{4}\ e^{2}-6860\ b^{2}\ e^{3}+2401\ e^{4}$
$256\ x^{8}-1280\ x^{6}\ z^{3}+2400\ x^{4}\ z^{6}-2000\ x^{2}\ z^{9}+625\ z^{12}$	$-32\ a^{15}+240\ a^{14}-720\ a^{13}+1080\ a^{12}-810\ a^{11}+243\ a^{10}$
$343\ m^{9}-441\ m^{6}\ n^{4}+189\ m^{3}\ n^{8}-27\ n^{12}$	$256\ b^{4}-1280\ b^{3}\ e^{2}+2400\ b^{2}\ e^{4}-2000\ b\ e^{6}+625\ e^{8}$

Textaufgaben Primfaktorzerlegung

${\frac {90}{31}}\approx 2{,}9\ \Omega$	Jede 231 min, also nach 21 bzw. 22 mal, 4 mal am Tag
3 cm, 462 Teile	1009008 Tage
7 cm, 88 Teile	Jede 42 min, also nach 3 bzw. 4 mal, 23 mal am Tag gemeinsam
${\frac {8}{3}}=2{,}{\dot {6}}\ \Omega$	$\textstyle \ -{\frac {57}{55}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {44}{35}}\qquad$ $\textstyle \ -{\frac {12}{11}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {77}{20}}\qquad$

Ähnlichkeit von Körpern

$\ 1{,}8\ m$

$\ 12{,}5\ \bullet \ 30\ \bullet \ 20\ mm$

$\ 2\ dm$

$\ 75\ dm$

$\ 8\ \bullet \ 10\ \bullet \ 18\ dm$

$\ 2\ dm$

$\ 2\ dm$

$\ 2\ cm$