MathemaTriX ⋅ Aufgabenheft Antworten

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Grundniveau 1

G1.1 Grundrechenartenvorrang

$24$
$9$

$- 9$
$0$

$- 27$
$7$

$49$
$8$

$10$
$21$

$98$
$15$

$- 27$
$13$

$- 14$
$- 1$

G1.2 Strich und Punkt Bruchrechnungen

	$\frac{3}{13}$ $\frac{23}{12}$ $\frac{15}{28}$ $\frac{35}{12}$		$- \frac{57}{44}$ $\frac{35}{44}$ $- \frac{12}{11}$ $\frac{20}{77}$		$\frac{63}{55}$ $- \frac{8}{45}$ $\frac{77}{45}$ $\frac{18}{9} (= 2)$		$\frac{143}{24}$ $\frac{119}{39}$ $- \frac{13}{13} (= - 1)$ $\frac{88}{39}$
	$\frac{4}{7}$ $\frac{60}{77}$ $\frac{137}{28}$ $\frac{165}{28}$		$\frac{26}{13} (= 2)$ $\frac{165}{104}$ $\frac{143}{120}$ $\frac{23}{104}$		$\frac{3}{13}$ $\frac{23}{20}$ $\frac{28}{15}$ $\frac{12}{35}$		$- \frac{57}{55}$ $\frac{44}{35}$ $- \frac{12}{11}$ $\frac{77}{20}$

G1.3 Grundaufgaben der Prozentrechnung

	$x \approx 23170 %$ $x = 1225,67 k g$ $x \approx 0,432 kg$		$x \approx 61786 V$ $x \approx 0,162 %$ $x \approx 1,94 V$		$x \approx 58,82 %$ $x = 170 h$ $x = 1,7 h$		$x \approx 0,0026 h$ $x \approx 3830000 %$ $x \approx 11,1 h$
	$x = 40 h$ $x = 625000 %$ $x = 0,016 h$		$x = 180000 h$ $x = 50 h$ $x = 200 %$		$x = 125000 Volt$ $x = 0,08 %$ $x = 0,98 Volt$		$x = 250 %$ $x = 40 h$ $x = 7,225 h$

G1.4 Direkte Proportionalität

	$x = 0,0224 l$ $x \approx 14344 min$		$x = 0,0735 k g$ $x \approx 916,7 l$		1980 € 132000 Flaschen		$x \approx 0,125 t$ $x = 7, 3 T a g e$
	$x \approx 26717 L i t e r$		$x = 92,25 t$ $x = 20 Kühe$		$x = 115 Menschen$ $x = 17,5 k m^{2}$		$x = 320 m$ $x = 28 g$

G1.5 Ausmultiplizieren mit einer oder zwei Klammer

	$6 x^{7} - 14 x^{2} + 10 x^{3}$ $6 m^{5} + 8 m^{3} + 15 m^{7} + 20 m^{5} =$ $= 26 m^{5} + 8 m^{3} + 15 m^{7}$		$14 b^{9} + 8 b^{8} - 14 b^{7}$ $10 w^{7} + 8 w^{5} + 25 w^{5} + 20 w^{3} =$ $= 10 w^{7} + 33 w^{5} + 20 w^{3}$
	$8 s^{8} + 4 s^{9} - 28 s^{7}$ $15 w^{8} + 12 w^{6} + 35 w^{6} + 28 w^{4} =$ $= 15 w^{8} + 47 w^{6} + 28 w^{4}$		$28 v^{11} + 12 v^{12} - 8 v^{8}$ $10 g^{7} + 8 g^{6} + 15 g^{5} + 12 g^{4}$
	$14 n^{1} 4 - 14 n^{9} + 35 n^{7}$ $15 c^{5} + 20 c^{4} + 18 c^{4} + 24 c^{3} =$ $= 15 c^{5} + 38 c^{4} + 24 c^{3}$		$6 z^{6} + 12 z^{7} - 21 z^{5}$ $8 p^{5} + 10 p^{7} + 12 p^{3} + 15 p^{5} =$ $= 23 p^{5} + 10 p^{7} + 12 p^{3}$
	$8 s^{8} + 4 s^{5} - 28 s^{7}$ $10 w^{7} + 8 w^{6} + 5 w^{5} + 4 w^{4}$		$4 v^{5} + 12 v^{6} - 8 v^{2}$ $10 a^{7} + 8 a^{5} + 15 a^{5} + 12 a^{4}$

G1.6 Textaufgaben zu den Grundrechenarten

Typ 1

3
42
41
−4

5
21
19
−42

4
28
12
−46

33
10
-18
26

3
42
41
−4

5
21
19
−42

4
28
12
−46

33
10
-18
26

Typ 2

1C, 2A, 3B

1C, 2B, 3A

1A, 2B, 3C

1B, 2A, 3C

1C, 2A, 3B

1C, 2B, 3A

1A, 2B, 3C

1B, 2A, 3C

G1.7 Einleitung Formeln

	$130$ $26, 1$ $430$ $568$ $G = 5 B + 8 A$		$- 24$ $7, 8$ $87$ $99, 6$ $A = 4 k + 7 g$		$16$ $13, 2$ $340$ $348$ $z = 6 k + 9 g$		$- 3, 5$ $- 1$ $55$ $62$ $T = 6 x + 9 y$
	$- 10, 9$ $0$ $317$ $397$ $p = 3 k + 4 m$		$57, 7$ $46$ $72$ $78$ $t = 15 a + 4 b$		$1$ $0$ $67, 5$ $85, 7$ $s = 3 x + 9 x$		$23$ $18$ $68$ $67$ $z = 10 k + 6 h$

G1.8 Strichrechnungen mit mehreren Variablen

	$a^{5} - 8 a^{3} + a^{2}$ $- 8 a^{5} - 10 m^{5} - m^{4}$ $2 a^{3} w - 12 a^{3} + 2 w^{3} + 3 q$		$4 s^{5} + 8 s^{3} - 1$ $4 x^{5} - 23 x^{3} - 4 y^{3}$ $6 m z^{7} - 7 m^{7} z - 12 c^{7} + 2 m^{7} + 5 q$
	$- m^{7} - 9 m^{4} - 5 m^{3}$ $2 v^{7} - 5 b^{3}$ $- 12 w^{7} - 4 c w^{2} - 3 m w^{2} - 7 c^{2} w + 2 c^{2} + 5 q$		$8 k^{8} - 5$ $11 j^{9} + k^{9} - 7$ $14 a w^{3} - 3 a^{3} w - 12 a^{3} + 2 w^{3} + 5 q$
	$5 a^{5} + 3$ $5 a^{7} - 5 b^{7} + 5 a^{6}$ $14 a w^{3} - 3 a^{3} w - 12 a^{3} + 2 w^{3} + 5 q$		$- 5 x^{3} - 4 x^{2} + 10$ $- 3 x^{3} - 10 z^{3}$ $2 c m^{4} - 5 c^{4} m - 7 c^{4} + 2 m^{4} + 3 q$
	$- c^{7} - 2 c^{2}$ $4 k^{7} - 7 m^{7} + 22 k^{6}$ $- 12 m z^{7} - 12 m^{7} z - 12 c^{7} + 2 m^{7} + 5 q$		$14 k^{4} - 2 k^{3} - 1$ $8 k^{4} + 6 u^{4} - k^{3}$ $- 6 c w^{9} - m w^{9} - 10 c^{9} w + 2 c^{9} - 12 w^{7} + 5 b$

Grundniveau 2

G2.1 Berechnungen mit Bruch und ganzer Zahl

	a und b: Addition:	c: Unechten Bruch in gemischte Zahl
	$\frac{40}{9}$ $\frac{120}{13}$ $\frac{12}{7}$	$35 \frac{7}{11}$ $7$ $11 \frac{1}{12}$
d: Subtraktion		e: Multiplikation
$\frac{11}{9}$ $8 \frac{10}{13}$ $- 1 \frac{1}{7}$ $3 \frac{3}{5}$		$\frac{30}{3} = 10$ $\frac{1275}{12} = 106, 25$ $\frac{63}{7} = 9$ $\frac{6}{13} \approx 0, 46$

	a und b: Addition:	c: Unechten Bruch in gemischte Zahl
	$\frac{53}{7}$ $\frac{9}{5}$ $\frac{35}{3}$	$37 \frac{3}{12}$ $6 \frac{3}{5}$ $11$
d: Subtraktion		e: Multiplikation
$3 \frac{4}{7}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{11}{3}$ $- 2 \frac{1}{4}$		$\frac{14}{20} = 0, 7$ $\frac{1515}{24} = 63, 125$ $\frac{231}{11} = 21$ $\frac{156}{13} = 12$

	a und b: Addition:	c: Unechten Bruch in gemischte Zahl
	$\frac{11}{3}$ $\frac{76}{11}$ $\frac{17}{9}$	$34$ $1 \frac{4}{5}$ $12 \frac{1}{8}$
d: Subtraktion		e: Multiplikation
$- 5 \frac{1}{3}$ $\frac{56}{11}$ $\frac{1}{9}$ $- 4 \frac{8}{13}$		$\frac{3}{4} = 0, 75$ $\frac{924}{8} = 115, 5$ $\frac{56}{7} = 8$ $\frac{156}{4} = 39$

	a und b: Addition:	c: Unechten Bruch in gemischte Zahl
	$\frac{37}{7}$ $\frac{7}{6}$ $\frac{89}{9}$	$40 \frac{7}{11}$ $1 \frac{2}{7}$ $7$
d: Subtraktion		e: Multiplikation
$- \frac{17}{7}$ $\frac{5}{6}$ $\frac{53}{9}$ $- \frac{1}{17}$		$\frac{60}{5} = 12$ $\frac{12}{27} = 0, \dot{4}$ $\frac{105}{6} = 17, 5$ $\frac{627}{11} = 57$

	a und b: Addition:	c: Unechten Bruch in gemischte Zahl
	$\frac{37}{9}$ $\frac{111}{13}$ $\frac{36}{7}$	$35 \frac{4}{11}$ $9$ $11 \frac{3}{12}$
d: Subtraktion		e: Multiplikation
$- \frac{2}{9}$ $- \frac{1}{8}$ $\frac{34}{7}$ $- \frac{6}{7}$		$\frac{510}{5} = 102$ $\frac{3}{5} = 0, 6$ $\frac{66}{11} = 6$ $\frac{35}{12} = 2, 91 \dot{6}$

	a und b: Addition:	c: Unechten Bruch in gemischte Zahl
	$\frac{60}{7}$ $\frac{19}{5}$ $\frac{32}{3}$	$37 \frac{7}{12}$ $7 \frac{4}{5}$ $11$
d: Subtraktion		e: Multiplikation
$\frac{52}{7}$ $- 1 \frac{4}{5}$ $\frac{9}{11}$ $- 3 \frac{5}{14}$		$\frac{4}{5} = 0, 8$ $\frac{1001}{13} = 77$ $\frac{210}{7} = 30$ $\frac{21}{10} = 2, 1$

	a und b: Addition:	c: Unechten Bruch in gemischte Zahl
	$\frac{5}{3}$ $\frac{72}{11}$ $\frac{25}{13}$	$35$ $2 \frac{1}{5}$ $11 \frac{7}{8}$
d: Subtraktion		e: Multiplikation
$\frac{5}{7}$ $- \frac{1}{11}$ $4 \frac{1}{13}$ $- 1 \frac{1}{9}$		$\frac{1422}{3} = 474$ $\frac{28}{20} = 1, 4$ $\frac{6}{11} = 0, \overline{54}$ $\frac{12}{5} = 2, 4$

	a und b: Addition:	c: Unechten Bruch in gemischte Zahl
	$\frac{47}{7}$ $\frac{13}{12}$ $\frac{82}{9}$	$37$ $1 \frac{1}{7}$ $7 \frac{3}{5}$
d: Subtraktion		e: Multiplikation
$- 2 \frac{3}{7}$ $\frac{11}{12}$ $8 \frac{1}{9}$ $- \frac{1}{3}$		$\frac{10}{16} = 0, 625$ $\frac{50}{5} = 10$ $\frac{651}{7} = 93$ $\frac{78}{13} = 6$

G2.2 Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

	$c = - 4111$ $k = 55$ $f = 38$ $x = 1208$ $m = \frac{214}{23} \approx 9,3$ $w = 19, \overline{45}$		$c = 1992$ $k = 52$ $f = 45$ $x = 3983$ $m = 22$ $w = \frac{214}{13} = 16, \overline{461538} \approx 16,46$		$c = - 4011$ $k = 60$ $f = 56$ $x = - 3654$ $m = \frac{72}{11} = 6, \overline{54}$ $w = 12 \frac{10}{17} \approx 12,59$		$c = - 2603$ $k = 91$ $f = 28$ $x = - 4834$ $m = \frac{493}{29} = 17$ $w = 17 \frac{11}{17} \approx 17,65$
	$c = - 4111$ $k = 55$ $f = 38$ $x = 1208$ $m = \frac{214}{23} \approx 9,3$ $w = 19, \overline{45}$		$c = 1992$ $k = 52$ $f = 45$ $x = 3983$ $m = 22$ $w = \frac{214}{13} = 16, \overline{461538} \approx 16,46$		$c = - 4011$ $k = 60$ $f = 56$ $x = - 3654$ $m = \frac{72}{11} = 6, \overline{54}$ $w = 12 \frac{10}{17} \approx 12,59$		$c = - 2603$ $k = 91$ $f = 28$ $x = - 5514$ $m = \frac{493}{29} = 17$ $w = 17 \frac{11}{17} \approx 17,65$

G2.3 Einheiten und physikalische Größen

...0,04...	m
...110...	min
...0,8...	s
...12000...	cm
...950...	km
...21...	$𝐦 ℓ$

...0,0055...	t
...150...	dm
...5...	dm³
...700...	s
...14,5...	m²
...730000...	g

...0,48...	cm²
...320...	min
...290...	cm³
...0,002...	km
...24500...	g
...4,9...	t

...560...	km²
...0,15...	dm
...0,55...	$ℓ$
...0,002...	h
...0,021...	kg
...6100...	s

...5...	cm
...5000...	s
...0,01...	min
...0,15...	km
...950000...	m
...21...	cm³

...550000...	mg
...0,015...	m
...5...	$ℓ$
...0,25...	h
...1450...	dm²
...190000...	km

...48...	mm²
...0,15...	Tage
...320...	$𝐦 ℓ$
...2000...	mm
...0,0245...	t
...5430...	kg

...80000...	km²
...15...	mm
...0,55...	dm³
...0,25...	min
...24500...	mg
...0,08...	Tage

G2.4 Einheiten ohne Hochzahl

	$53700000 c m$ $0,537 m$ $13,95 h$ $470 g$ $2764,8 s$		$44500 c m$ $4,45 d m$ $3,15 T a g e$ $445 g$ $178,2 s$		$0,000793 k g$ $79300 c m$ $0,0000793 k m$ $0,793 g$ $1,8792 h$		$0,000577 m$ $5770000 k m$ $793000 m g$ $0,00001305 m i n$ $111,312 m i n$
	$53700000 m m$ $0,537 k m$ $13,95 m i n$ $470 m g$ $2764,8 s$		$44500 m$ $4,45 m$ $3,15 T a g e$ $445 m g$ $178,2 s$		$0,000793 t$ $79300 m m$ $0,0000793 m$ $0,793 m g$ $1,8792 h$		$0,000577 k m$ $5770000 m m$ $793000 g$ $0,00001305 h$ $111,312 m i n$

G2.5 Säulendiagramm

$5, 0, 4, 9, 6, und 8 Pack.$	$0, 6, 2, 10, 14, und 11 Tische$	$2, 0, 5, 12, 13, und 10 T.$
$2, 6, 1, 5, 18, und 7 Punkte$	$0, 1, 3, 15, 9, und 6 Sch.$	$4, 3, 3, 8, 12, und 10 Autob.$
$5, 6, 2, 14, 17, und 8 Packungen$	$6, 6, 5, 14, 19, und 10 Packungen$

G2.6 Lageparameter

	$D \approx 57,86 k g M e d = 54 k g M o d = 65 k g$		$D = 58,75 k g M e d = 58,5 k g M o d = 45 u n d 65 k g$
	$D = 11, \dot{2} M e d = 5,5 M o d = 2 u n d 7$		DE: $D = 36 M e d = 10 M o d = 1 & 10$ GR: $D = 16 M e d = 10 M o d = 1$
	$D = 6 bzw. 21 M e d = 1 M o d = 1$		$D = 2,875 M e d = 3,5 M o d = 2 u n d 5$
	AT: $D = 35,6 M e d = 9 M o d = 2 & 10$ PO: $D = 16 M e d = 11 M o d = 1 & 11$		$D = 12 bzw. 42 M e d = 2 M o d = 2$

G2.7 Grundrechenarten mit Plus-Minus Regel

Strich- und Punktrechnungen mit ± Regel
Strich	$- 3$	$9$	$7$	$- 3$	$- 3$	$- 7$	$9$	$- 7$
Punkt	$- 71$	$71$	$71$	$- 71$	$- 61$	$- 61$	$- 71$	$61$

Kombinationen

Typ A

- 17

73

39

- 5

29

- 5

- 13

0

Typ B

9

0

- 15

16

21

0

- 13

- 1

Typ C

- 7

0

3

- 1

3

1

1

1

Klammer auflösen
$6 m^{4} - 8 m^{2} - 15 m^{2} + 20 = 6 m^{4} - 23 m^{2} + 20$ $10 w^{7} - 8 w^{5} - 25 w^{5} + 20 w^{3} = 10 w^{7} - 33 w^{5} + 20 w^{3}$ $15 w^{8} - 12 w^{6} + 5 w^{6} - 4 w^{4} = 15 w^{8} - 7 w^{6} - 4 w^{4}$ $10 g^{7} + 8 g^{6} - 15 g^{5} - 12 g^{4}$	$15 c^{2} - 20 c^{4} - 18 + 24 c^{2} = 39 c^{2} - 20 c^{4} - 18$ $8 p^{5} - 10 p^{7} - 12 p^{3} + 15 p^{5} = 23 p^{5} - 10 p^{7} - 12 p^{3}$ $10 w^{7} - 8 w^{6} + 5 w^{5} - 4 w^{4}$ $10 a^{7} - 8 a^{5} + 15 a^{5} - 12 a^{4}$

G2.8 Kürzen mit Primfaktorzerlegung

$\frac{34}{45}$
$\frac{91}{99}$
$\frac{77}{68}$

$\frac{10}{9}$
$\frac{121}{225}$
$\frac{56}{55}$

$\frac{21}{22}$
$\frac{65}{77}$
$\frac{136}{273}$

$\frac{52}{35}$
$\frac{13}{33}$
$\frac{77}{45}$

$\frac{17}{9}$
$\frac{455}{297}$
$\frac{385}{306}$

$\frac{4}{9}$
$\frac{121}{25}$
$\frac{168}{275}$

$\frac{27}{22}$
$\frac{65}{77}$
$\frac{4}{3}$

$\frac{136}{245}$
$\frac{13}{33}$
$\frac{11}{5}$

G2.9 Prozentrechnung bei Wachstum und Abnahme

$1755 €$
$45 €$

$24 cm$
$36 cm$

$60 cm$
$36 cm$

$685100 €$
$35100 €$

$71,4 kg$
$3,4 kg$

$68,4 kg$
$3,6 kg$

$3,91 min$
$0,51 min$

$50 Jahre$
$30 Jahre$

G2.10 Formel Einsetzen in der ebenen Geometrie

$u \approx 33,3 d m A \approx 5,00 d m^{2}$ $u = 164 c m A = 16 d m^{2}$ $u = 9,6 c m A \approx 4,43 c m^{2}$	$u = 112 c m A = 784 c m^{2}$ $u = 164 c m A = 16 d m^{2}$ $u \approx 31,4 c m A \approx 22,0 c m^{2}$	$u \approx 25,1 c m A \approx 50,3 c m^{2}$ $u = 10 d m A = 6 d m^{2}$ $u = 14,8 d m A = 13,44 d m^{2}$
$u = 58,4 d m A = 165,55 d m^{2}$ $u = 8,80 d m A = 6,16 d m^{2}$ $u = 114 c m A = 306 c m^{2}$	$u \approx 94,9 c m A \approx 612 c m^{2}$ $u = 8,2 d m A = 4 d m^{2}$ $u = 4,8 c m A \approx 1,11 c m^{2}$	$u = 56 c m A = 196 c m^{2}$ $u = 82 c m A = 4 d m^{2}$ $u \approx 17,6 c m A \approx 3,52 c m^{2}$
$u \approx 12,55 c m A \approx 12,58 c m^{2}$ $u = 5 d m A = 1,5 d m^{2}$ $u = 7,4 d m A = 3,36 d m^{2}$	$u = 29,2 d m A \approx 41,4 d m^{2}$ $u = 4,4 d m A = 1,54 d m^{2}$ $u = 57 c m A = 76.5 c m^{2}$

G2.11 Einheiten mit Hochzahl

	$53700000000 d m^{2}$ $0,000537 d m^{3}$ $0,00000537 k m^{2}$ $537000000 d m^{3}$ $0,00032 m^{2}$		$0,374 m^{3}$ $374000000 m m^{3}$ $0,000374 m^{2}$ $374 c m^{3}$ $0,00000374 m^{2}$		$2570000 m m^{2}$ $0,000000257 k m^{3}$ $0,00000257 k m^{2}$ $0,257 m m^{3}$ $0,000257 d m^{2}$		$447000 c m^{3}$ $0,00000257 k m^{2}$ $0,000311 m^{2}$ $3,35 m m^{3}$ $25700 m m^{3}$
	$53700000000 m m^{2}$ $0,000537 m^{3}$ $0,00000537 m^{2}$ $537000000 m m^{3}$ $0,00032 c m^{2}$		$0,374 c m^{3}$ $374000000 c m^{3}$ $0,000374 k m^{2}$ $374 m m^{3}$ $0,00000374 d m^{2}$		$2570000 c m^{2}$ $0,000000257 m^{3}$ $0,00000257 m^{2}$ $0,257 d m^{3}$ $0,000257 c m^{2}$		$447000 m m^{3}$ $0,00000257 m^{2}$ $0,000311 k m^{2}$ $3,35 c m^{3}$ $25700 c m^{3}$

G2.12 Textaufgaben zu den Bruchrechnungen

360 t Kart., 280 t Tom., 189 t Gur., 11 t Karot., 420 t Getr. $\frac{1}{3} der Ernte$	462 Öst., 168 Serb., 132 Türk., 162 Rest $\frac{27}{154} der SchülerInnen$	$\frac{1}{98000} der Menschen 3, 52 Milliarden €$ $\frac{1}{3675} der Menschen 4 Milliarden €$ $\frac{4}{11} der Menschen 4, 8 Milliarden €$ $fast \frac{7}{11} der Menschen 880 Millionen €$
$3,76 Mill. Liter 30080 €$ $A 42000 € B 35000 €$ $C u n d D j e 14000 €$	die Orangen $128 k g$
Saskia $5 P u n k t e$	die Hosen $28$	Elektrolytkondensatoren $313 g$

G2.13 Liniendiagramm

$ca. 36, 1^{\circ} C 36, 5^{\circ} C 36, 5^{\circ} C 36, 4^{\circ} C$ $ca. 1^{30} 6 und 22 Uhr$ $ca. 0 8 1 7^{40} 18 und 2 1^{55} Uhr$ $ca. 1 0^{40} 1 6^{15} 19 und 2 1^{50} Uhr$	$ca. 4 1 1 bzw. 6^{\circ} C$ $ca. - 0,8 4 5 6 6,8 m$ $ca. - 0,6 0,8 1 bzw. 3,4 m$ $ca. - 0,4 0 1,8 bzw. 2,6 m$ $ca. - 1 bzw. 6,6 m$	$ca. 3 2 5,5 bzw. 8 F/min$ $ca. um 4^{30} 6^{00} und 1 1^{00}$ $ca. um 1 0^{00}$ $ca. um 1^{00} 3^{30} 6^{30} und 1 0^{30}$ $ca. um 5 und um 12$
$ca. 200 250 bzw. 280 ppmv$ $ca. 400 320 240 130 und 0$ Tausende Jahre her. $ca. 360 345 270 260 165 150 40 und 30$ Tausende Jahre her.	$2 3 ca. 6,2 bzw. ca. 3,4 m^{3}$ $0 ca. 1,3 3 und ca. 1,8 s$ $ca. 3,4 und ca. 5,4 s$ War nicht $ca. 2,3 (bzw. ca. - 0,3) s$	$ca. 3^{\circ} C 5^{\circ} C 1^{\circ} C 1^{\circ} C$ $ca. 0 1,2 5,6 und 6 m (und -0,4 m)$ $ca. 1,6 3 5,2 und 6,2 m$ $ca. 4,3 4,8 und 6,3 m$ $ca. 0,2 1 und 5,8 m (und -0,4 m)$
$ca. 36, 1^{\circ} C 36, 5^{\circ} C 36, 5^{\circ} C 36, 4^{\circ} C$ $ca. 1^{30} 6 und 22 Uhr$ $ca. 0 8 1 7^{40} 18 und 2 1^{55} Uhr$ $ca. 1 0^{40} 1 6^{15} 19 und 2 1^{50} Uhr$	$ca. 36, 1^{\circ} C 36, 5^{\circ} C 36, 5^{\circ} C 36, 4^{\circ} C$ $ca. 1^{30} 6 und 22 Uhr$ $ca. 0 8 1 7^{40} 18 und 2 1^{55} Uhr$ $ca. 1 0^{40} 1 6^{15} 19 und 2 1^{50} Uhr$

G2.14 Sachaufgaben zu den Grundrechenarten

50,4 €
das 4-Fache

9
3

12
6

9
3

Vertiefendes Niveau 1

V1.1 Bruchstrichrechnungen mit Primfaktorzerlegung

- \frac{313}{1800}

\frac{296}{60} (= \frac{74}{15})

- \frac{232}{252} (= - \frac{58}{63})

\frac{649}{504}

- \frac{85}{100} (= - \frac{17}{20})

- \frac{32}{36} (= - \frac{8}{9})

- \frac{37}{300}

\frac{1082}{180} (= \frac{541}{90})

V1.2 Umformen einfache Kombinationen

$x = 5$
8

$b = - 2$
−3

$m = 0,4$
−1

$z = - 2$
−1

$z = 2,5$
2

$z = - \frac{1}{3}$
−1

$z = 5$
−2

$z = - 1$
1

V1.3 Indirekte Proportionalität

9 h

65 g

371 €

1,4 kWh

7,8 Tage

21 Tage

3 Stücke

100000 €

V1.4 Punktrechnungen von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

$a^{- 2}$
$4^{3 + b}$
$c^{- 4}$
$w^{- 3}$

$a^{b - x}$
$4^{4}$
$c^{- 14}$
$w^{12}$

$1$
$t^{- 3 b}$
$c^{3 - b}$
$w^{- b - 12}$

$3$
$b^{- 7 t}$
$b^{2}$
$w^{12 - b}$

$c^{- 7}$
$3^{2 t - 7}$
$5^{6}$
$w^{- 5 b}$

$3^{0} a l s o 1$
$a^{z - 2 t}$
$b^{- 2}$
$3^{- 4 w}$

$7^{b}$
$t^{t - 3}$
$2 0^{2}$
$u^{b + 12}$

$7$
$j^{2 w}$
$3^{4 b}$
$b^{- w - 5}$

V1.5 Kreisdiagramm

Einfache Bruchteile

	$W - h, X - f, Y - g, Z - e$		$P - b, Q - a, R - k e i n e r, S - e$		$K - c, L - b, M - g, N - e$		$W - g, X - d, Y - k e i n e r, Z - e$
	$P - c, Q - d, R - a, S - b$		$N - h, M - c, L - g, K - a$		$X - k e i n e r, R - k e i n e r, L - h, O - k e i n e r$		$Q - e, M - d, L - g, V - c$

Ergänzung: Prozentsätze und Winkle

	40%=144°,20%=72°, 10%=36°,5%=18°		25%=90°,20%=72°,16,5%≈60°, 12,5%=45°,8,5%≈30°,5%=18°		25%=90°,16,7%≈60°, 12,5%=45°,4,2%≈15°		37,5%=135°,16,7%≈60°, 12,5%=45°,8,3%≈30°
	20%=72°,16,7%≈60°,10%=36°		25%=90°,17%≈60°		25%=90°,20%=72°, 15%=54°,10%=36°,5%=18°		25%=90°,17%≈60°, 15%=54°,10%=36°,8%≈30°

V1.6 Kombinationsaufgaben der Prozentrechnung

	$7 Stunden$ 77\% reduziert		$2,4 c m$ 2,5\% zurückgegangen		$1750 €$ 0,8\% erhöht		$15 t$ 9,2\% erhöht
	$155 cm$ ca. 12,28\% reduziert		$2,5 c m$ keine Änderung		$350 ml$ ca. 43\% mehr		$440 ml$ keine Änderung

V1.7 Textaufgaben linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen

$11 T. mit 3 B. 22 T. mit 8 B.$	$5 W. mit 40 S. 8 W. mit 65 S.$	$37 M. mit 2 K. 14 M. mit 3 K.$
$9 W mit 15 S. 9 W.mit 20 S.$	$2 T. mit 3 P. 6 T. mit 5 P.$	$5 T. mit 4 B. 18 T. mit 7 B.$
$11 F. mit 130 P. 15 F. mit 150 P.$	$13 Mädchen 11 Jungen$

V1.8 Vorrang und Bruchrechnungen

Vorrang mit Klammern in Klammern

22

- 10

- 25

51

- 37

55

53

49

Vorrangregeln Fehlerfindung

	$21 + 56 : 7 - (79 - 2 \cdot 5) : 3 =$ $77 : 7 - (79 - 10) : 3 =$ ...→ Punkt vor Strich 6		$43 + 56 : 8 - (30 - 2 \cdot 5) : 4 =$ $43 + 7 - (28 \cdot 5) : 4 =$ ...→ Punkt vor Strich 45		$43 + 72 : 8 - (56 - 2 \cdot 20) : 4 =$ $43 + 9 - (56 - 2 \cdot 5) =$ ... → Klammer vor Punkt 48		$63 - (56 : 7 - 2) \cdot 9 + 72 : 3 =$ $63 - (8 - 2) \cdot 81 : 3 =$ ...→ Punkt vor Strich 33
	$21 + 56 : 7 - (77 - 2 \cdot 4) : 3 =$ $21 + 8 - (75 \cdot 4) : 3 =$ ...→ Punkt vor Strich 6		$40 + 56 : 8 (30 - 2 \cdot 5) : 4 =$ $96 : 8 (30 - 10) : 4 =$ ...→ Punkt vor Strich 45		$33 + 72 : 8 - (56 - 2 \cdot 20) : 4 =$ $33 + 9 - (56 - 2 \cdot 40) : 4 =$ $33 + 9 - (56 - 2 \cdot 10) =$ ... → Klammer vor Punkt 38		$63 - (56 : 7 - 2) : 3 + 72 : 6 =$ $63 - (8 - 2) : 3 + 72 : 6 =$ $63 - 6 : 3 + 72 : 6 =$ $57 : 3 - 12 =$ ...→ Punkt vor Strich 73

Doppelbrüche

\frac{5}{9}

1,5

- \frac{1}{8}

1 \frac{1}{3}

\frac{5}{6}

- \frac{3}{2}

- 2

- \frac{3}{4}

Bruchrechnungen und Vorrang

\frac{16}{15}

- \frac{1}{4}

- \frac{383}{180}

- \frac{35}{11}

- \frac{1}{6}

- \frac{1}{15}

\frac{4}{15}

0

V1.9 Umformen in der ebenen Geometrie konkret

A = 9 c m^{2}

u \approx 12,23 c m

A = 90 c m^{2}

A \approx 11,46 c m^{2}

u = 96 c m

u = 18 d m

u = 7,95 d m

A \approx 6,93 c m^{2}

V1.10 Mittelwerte bei einem Säulendiagramm

	$D = 2,2 Ban./Pack., M o d = 4$		$D \approx 3,42 St./Tisch, M o d = 2 u n d 5$		$D \approx 3,04 Bl/T, M o d = 6$		$D \approx 4,19 Pun./Sch., M o d = 5$
	$D \approx 2,78 B/S, M o d = 1$		$D \approx 3,06 Aut/H, M o d = 4$		$D = 3,5 Sch/Kl, M o d = 5 u n d 6$		$D = 3, \dot{2} Schl./Haus, M o d = 3 u n d 5$

V1.11 Wachstum und Abnahme

	$\approx 1,73 1 0^{14} Personen!$ $\approx 40522 Atome$		$\approx 9,22 1 0^{18} Körner!$ $\approx 4488601 Personen$		$\approx 75,7 \approx 75 Bakterien$ $\approx 3,147 Ampere$		$\approx 340 Millionen bzw. 2,00 Billionen Personen!$ $\approx 47847 Atome$
	$\approx 328 Bakterien$ $\approx 117686 Bakterien$		$\approx 318 Menschen$ $\approx 34,2 °C$		$\approx 20636 Bakterien$ $\approx 21700000 Personen$		$\approx 9,8 bzw. 59 Millionen Menschen$ $\approx 136,12 V$

Vertiefendes Niveau 2

V2.1 Prozentsatz, Faktor, Bruch

Rechenaufgaben

	$\frac{2}{5} = 0, 4 = 40 % \frac{5}{2} = 2, 5 = 250 % \frac{7}{9} = 0, \dot{7} = 77, \dot{7} %$ $\frac{50}{4} = 12, 5 = 1250 % \frac{1}{2000} = 0, 0005 = 0, 05 %$ $350 % = 3, 5 = \frac{350}{100} = \frac{7}{2} 90000 % = 900 = \frac{90000}{100} = \frac{900}{1}$ $0, 06 % = 0, 0006 = \frac{0, 06}{100} = \frac{3}{500} 75 % = 0, 75 = \frac{75}{100} = \frac{1}{4}$ $7, 5 % = 0, 075 = \frac{7, 5}{100} = \frac{1}{40}$		$\frac{3}{10} = 0, 3 = 30 % \frac{10}{3} = 3, \dot{3} = 333, \dot{3} % \frac{8}{9} = 0, \dot{8} = 88, \dot{8} %$ $\frac{48}{4} = 12 = 1200 % \frac{1}{400} = 0, 0025 = 0, 25 %$ $500 % = 5 = \frac{500}{100} = \frac{5}{1} 45000 % = 450 = \frac{45000}{100} = \frac{450}{1}$ $0, 08 % = 0, 0008 = \frac{0, 08}{100} = \frac{1}{125} 66, \dot{6} % = 0, \dot{6} = \frac{66, \dot{6}}{100} = \frac{2}{3}$ $3 % = 0, 03 = \frac{3}{100} = \frac{3}{100}$
	$\frac{1}{5} = 0, 2 = 20 % \frac{5}{1} = 5 = 500 % \frac{4}{9} = 0, \dot{4} = 44, \dot{4} %$ $\frac{400}{4} = 100 = 10000 % \frac{1}{80} = 0, 0125 = 1, 25 %$ $200 % = 2 = \frac{200}{100} = \frac{2}{1} 2050 % = 20, 5 = \frac{2050}{100} = \frac{410}{20}$ $0, 01 % = 0, 0001 = \frac{0, 01}{100} = \frac{1}{10000} 40 % = 0, 4 = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$ $7, \dot{7} % = 0, 0 \dot{7} = \frac{7, \dot{7}}{100} = \frac{7}{90}$		$\frac{4}{5} = 0, 8 = 80 % \frac{5}{4} = 1, 25 = 125 % \frac{6}{9} = 0, \dot{6} = 66, \dot{6} %$ $\frac{102}{4} = 25, 5 = 2550 % \frac{1}{200} = 0, 005 = 0, 5 %$ $750 % = 7, 5 = \frac{750}{100} = \frac{15}{2} 20000 % = 200 = \frac{20000}{100} = \frac{200}{1}$ $0, 03 % = 0, 0003 = \frac{0, 03}{100} = \frac{3}{10000} 80 % = 0, 8 = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$ $2, 5 % = 0, 025 = \frac{2, 5}{100} = \frac{1}{40}$
	$\frac{6}{10} = 0, 6 = 60 % \frac{10}{6} = 1, \dot{6} = 166, \dot{6} % \frac{2}{3} = 0, \dot{6} = 66, \dot{6} %$ $\frac{600}{4} = 150 = 15000 % \frac{1}{400} = 0, 0025 = 0, 25 %$ $800 % = 8 = \frac{800}{100} = \frac{8}{1} 40000 % = 400 = \frac{40000}{100} = \frac{400}{1}$ $0, 05 % = 0, 0005 = \frac{0, 05}{100} = \frac{1}{2000} 50 % = 0, 5 = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ $4 % = 0, 04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$		$\frac{3}{5} = 0, 6 = 60 % \frac{5}{3} = 1, \dot{6} = 166, \dot{6} % \frac{3}{9} = 0, \dot{3} = 33, \dot{3} %$ $\frac{82}{4} = 20, 5 = 2050 % \frac{1}{100} = 0, 01 = 1 %$ $250 % = 2, 5 = \frac{250}{100} = \frac{5}{2} 50050 % = 500, 5 = \frac{50050}{100} = \frac{1001}{2}$ $0, 04 % = 0, 0004 = \frac{0, 04}{100} = \frac{1}{2500} 25 % = 0, 25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ $8 % = 0, 08 = \frac{8}{100} = \frac{2}{25}$
	$\frac{9}{10} = 0, 9 = 90 % \frac{10}{9} = 1, \dot{1} = 111, \dot{1} % \frac{1}{3} = 0, \dot{3} = 33, \dot{3} %$ $\frac{40}{4} = 10 = 1000 % \frac{1}{800} = 0, 00125 = 0, 125 %$ $100 % = 1 = \frac{100}{100} = \frac{1}{1} 70000 % = 700 = \frac{70000}{100} = \frac{700}{1}$ $0, 02 % = 0, 0002 = \frac{0, 02}{100} = \frac{1}{5000} 60 % = 0, 6 = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ $5 % = 0, 05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$		$\frac{1}{10} = 0, 1 = 10 % \frac{10}{1} = 10 = 1000 % \frac{8}{9} = 0, \dot{8} = 88, \dot{8} %$ $\frac{90}{4} = 22, 5 = 2250 % \frac{1}{8000} = 0, 000125 = 0, 0125 %$ $600 % = 6 = \frac{600}{100} = \frac{6}{1} 4500 % = 45 = \frac{4500}{100} = \frac{45}{1}$ $0, 07 % = 0, 0007 = \frac{0, 07}{100} = \frac{7}{10000} 33, \dot{3} % = 0, \dot{3} = \frac{33, \dot{3}}{100} = \frac{1}{3}$ $9 % = 0, 09 = \frac{9}{100} = \frac{9}{100}$

Richtig/Falsch

✘, ✔, ✔

✘, ✘, ✘

✘, ✔, ✔

✔, ✘, ✔

✘, ✔, ✔

✘, ✘, ✘

✘, ✔, ✔

✔, ✘, ✔

Aufgaben mit Prozentänderung

	$6340 %$ $c a . 1, 58 %$ $6240 %$ mehr bzw. ca. $98, 42 %$ weniger		$13066, \dot{6} %$ $c a . 7, 69 %$ $12966, \dot{6} %$ mehr bzw. ca. $92, 31 %$ weniger		$22825 %$ $c a . 4, 38 %$ $22725 %$ mehr bzw. ca. $95, 62 %$ weniger		$5280 %$ $1, 8 \overline{93} %$ $5180 %$ mehr bzw. $98, 1 \overline{07} %$ weniger
	$5575 %$ $c a . 1, 79 %$ $5475 %$ mehr bzw. ca. $98, 21 %$ weniger		$16060 %$ $c a . 0, 623 %$ $15960 %$ mehr bzw. ca. $99, 377 %$ weniger		$6033, \dot{3} %$ $c a . 1, 66 %$ $5933, \dot{3} %$ mehr bzw. ca. $98, 34 %$ weniger		$1820 %$ $c a . 5, 49 %$ $1720 %$ mehr bzw. ca. $94, 51 %$ weniger

V2.2 Ebene Geometrie Satz des Pythagoras

Direkte Anwendung der Formel

\approx 225, 9 mm

\approx 12, 37 dm

\approx 66, 0 cm

119 mm

Beispiele mit mehreren Schritten

	$105 {cm}^{2}$		$\sqrt{3362} cm \approx 58,0 cm$		$90 \sqrt{2} mm \approx 127,3 mm$		$221 cm$
	$90 \sqrt{2} mm \approx 127,3 mm$		$\sqrt{3362} cm \approx 58,0 cm$		$105 {cm}^{2}$		$221 cm$

V2.3 Lineare Funktion Tabelle und Diagramm

Tabelle für eine lineare Funktion erstellen

\begin{matrix} x & y & (x | y) \\ - 2 & 5 & (- 2 | 5) \\ - 1 & 3 & (- 1 | 3) \\ 0 & 1 & (0 | 1) \\ 1 & - 1 & (1 | - 1) \\ 2 & - 3 & (2 | - 3) \end{matrix}

\begin{matrix} x \\ 2, 5 \\ 1, 5 \\ 0, 5 \\ - 0, 5 \\ - 1, 5 \end{matrix}

\begin{matrix} x & y & (x | y) \\ - 4 & 9 & (- 4 | 9) \\ - 2 & 5 & (- 2 | 5) \\ 0 & 1 & (0 | 1) \\ 2 & - 3 & (2 | - 3) \\ 4 & - 7 & (4 | - 7) \end{matrix}

\begin{matrix} x \\ 1, 5 \\ 1 \\ 0, 5 \\ 0 \\ - 0, 5 \end{matrix}

\begin{matrix} x & y & (x | y) \\ - 2 & - 7 & (- 2 | - 7) \\ - 1 & - 4 & (- 1 | - 4) \\ 0 & 1 & (0 | - 1) \\ 1 & 2 & (1 | 2) \\ 2 & 5 & (2 | 5) \end{matrix}

\begin{matrix} x \\ - 1 \\ - 0, \dot{3} \\ 0, \dot{3} \\ 1 \\ 1, \dot{6} \end{matrix}

\begin{matrix} x & y & (x | y) \\ - 4 & - 13 & (- 4 | - 13) \\ - 2 & - 7 & (- 2 | - 7) \\ 0 & - 1 & (0 | - 1) \\ 2 & 5 & (2 | 5) \\ 4 & 11 & (4 | 11) \end{matrix}

\begin{matrix} x \\ - 0, \dot{3} \\ 0 \\ 0, \dot{3} \\ 0, \dot{6} \\ 1 \end{matrix}

\begin{matrix} x & y & (x | y) \\ - 2 & 3 & (- 2 | 3) \\ - 1 & 2, 5 & (- 1 | 2, 5) \\ 0 & 2 & (0 | 2) \\ 1 & 1, 5 & (1 | 1, 5) \\ 2 & 1 & (2 | 1) \end{matrix}

\begin{matrix} x \\ 12 \\ 8 \\ 4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}

\begin{matrix} x & y & (x | y) \\ - 4 & 4 & (- 4 | 4) \\ - 2 & 3 & (- 2 | 3) \\ 0 & 2 & (0 | 2) \\ 2 & 1 & (2 | 1) \\ 4 & 0 & (4 | 0) \end{matrix}

\begin{matrix} x \\ 8 \\ 6 \\ 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x & y & (x | y) \\ - 2 & - 6 & (- 2 | - 6) \\ - 1 & - 4, 5 & (- 1 | - 4, 5) \\ 0 & - 3 & (0 | - 3) \\ 1 & - 1, 5 & (1 | - 1, 5) \\ 2 & 0 & (2 | 0) \end{matrix}

\begin{matrix} x \\ - 0, \dot{6} \\ 0, \dot{6} \\ 2 \\ 3, \dot{3} \\ 4, \dot{6} \end{matrix}

\begin{matrix} x & y & (x | y) \\ - 4 & - 9 & (- 4 | - 9) \\ - 2 & - 6 & (- 2 | - 6) \\ 0 & - 3 & (0 | - 3) \\ 2 & 0 & (2 | 0) \\ 4 & 3 & (4 | 3) \end{matrix}

\begin{matrix} x \\ 0, \dot{6} \\ 1, \dot{3} \\ 2 \\ 2, \dot{6} \\ 3, \dot{3} \end{matrix}

lineare Funktion Diagramm

	ca. 2500 €, 3700 €, −600 € bzw. −1200 € ca. 1 t, 1200 € ca. 2,6, 3,8 bzw. 5,8 t		ca.24, 32, 36 bzw. fast 39 Liter ca. 3, 1,5, 1 bzw. 0,5 kg ca. 16 Liter ca. 3,5 kg		ca. 6, 5, 4,5 bzw. 3,5 Liter ca. 8 Liter, ca. 120 °C ca. 80, 60, 40 bzw. 30 °C		ca. 71 Jahre ca. 77 Jahre ca. 30 Zig./Tag ca. 34 Zig./Tag ca. 85 Jahre
	ca.60, 50, 35 bzw. 10 Hz ca. 70 Hz, 140 cm ca. 100, 60, 40 bzw. 120 cm		ca. 3, 4, 6 bzw. 7,3 Pa ca. 1 Pa, ca. 115 °C ca. 45, 57, 70 bzw. 90 °C		ca.20, 28, 32 bzw. fast 34,2 Liter ca. 3, 2, 1,5, bzw. 1 kg ca. 12 Liter ca. 3,5 kg		ca. 79 Jahre ca. 74 Jahre ca. 26 Zig./Tag ca. 13 Zig./Tag ca. 85 Jahre

V2.4 Zeitbedingte indirekte Proportionalität

	1,5 Tage später		34 Tage		20 Jahre		7 Kinder je 3 Stücke und 14 Kinder je 6 Stücke
	1,5 Tage später		34 Tage		15,5 Tage		100000 €

V2.5 Einheiten Exakter

V2.6 Erklärungen und Beweise

Erklärungen der Potenzzahleneigenschaften

	$\frac{z^{n}}{z^{m}} = z^{n - m} daher bspw. \frac{z^{3}}{z^{3}} = \frac{z \cdot z \cdot z}{z \cdot z \cdot z} = \frac{z \cdot z \cdot z}{z \cdot z \cdot z}_{(kürzen)} =$ $... = 1 aber auch ... = z^{3 - 3} = z^{0} also z^{0} = 1$		$\frac{z^{7}}{z^{4}} = \frac{z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z}{z \cdot z \cdot z \cdot z} =$ $\frac{z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z}{z \cdot z \cdot z \cdot z}_{(kürzen)} = \frac{z \cdot z \cdot z}{1} = z^{3}_{= (z^{7 - 4})}$
	$w^{7} \cdot w^{4} = \underset{7 m a l}{\underset{⏟}{w \cdot w \cdot w \cdot w \cdot w \cdot w \cdot w}} \cdot \underset{4 m a l}{\underset{⏟}{w \cdot w \cdot w \cdot w}} =$ $\underset{11 m a l}{\underset{⏟}{w \cdot w \cdot w \cdot w \cdot w \cdot w \cdot w \cdot w \cdot w \cdot w \cdot w}} = w^{1} 1_{(= w^{7 + 4})}$		$\frac{z^{n}}{z^{m}} = z^{n - m} daher bspw. \frac{z^{3}}{z^{4}} = \frac{z \cdot z \cdot z}{z \cdot z \cdot z \cdot z} =$ $= \frac{z \cdot z \cdot z}{z \cdot z \cdot z \cdot z}_{(kürzen)} = \frac{1}{z} = z^{- 1}_{= (z^{3 - 4})}$

Geometrische Erklärungen und Beweise

Das Ganze ist die
Summe seiner Teilen

A_{g Q} = A_{k Q} + 4 \cdot A_{D}

(a + b)^{2} = c^{2} + 4 \cdot \frac{a \cdot b}{2}

a^{2} + 2 a b + b^{2} = c^{2} + 2 a b

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Das Ganze ist die
Summe seiner Teilen

A_{g Q} = A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{4}

(a + b)^{2} = a^{2} + a b + b a + b^{2}

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Das Ganze ist die
Summe seiner Teilen

A_{g Q} = A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{4}

a^{2} = (a - b)^{2} + (a - b) \cdot b + (a - b) \cdot b + b^{2}

a^{2} = (a - b)^{2} + a \cdot b - b^{2} + a \cdot b - b^{2} + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}

Das Ganze ist die
Summe seiner Teilen

A_{g Q} = A_{k Q} + 4 \cdot A_{D}

c^{2} = (a - b)^{2} + 4 \cdot \frac{a \cdot b}{2}

c^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} + 2 a b

c^{2} = a^{2} + b^{2}

+

=

-

=

V2.7 Zinsrechnung

	$G \approx 6397,19 €$ $Z \approx 38,21 €$ $e Z \approx 28,66 €$ $K E S t . \approx 9,55 €$ $G = 6340 €$ $e Z s = 0,45 %$ $G_{45} \approx 7794,47 €$		$G \approx 7660,89 €$ $Z \approx 268,54 €$ $e Z \approx 201,41 €$ $K E S t . \approx 67,14 €$ $G \approx 7263,37 €$ $e Z s = 2,7 %$ $G_{15} \approx 11124,11 €$		$G \approx 6454,51 €$ $Z \approx 114,63 €$ $e Z \approx 85,98 €$ $K E S t . \approx 28,66 €$ $G \approx 6283,70 €$ $e Z s = 1,35 %$ $G_{158} \approx 52989,79 €$		$G = 80840 €$ $Z = 1120 €$ $e Z = 840 €$ $K E S t . = 280 €$ $G \approx 79168,73 €$ $e Z s = 1,05 %$ $G_{106} \approx 242069,28 €$
	$G \approx 6397,19 €$ $Z \approx 38,21 €$ $e Z \approx 28,66 €$ $K E S t . \approx 9,55 €$ $G = 6340 €$ $e Z s = 0,45 %$ $G_{45} \approx 7794,47 €$		$G \approx 7660,89 €$ $Z \approx 268,54 €$ $e Z \approx 201,41 €$ $K E S t . \approx 67,14 €$ $G \approx 7263,37 €$ $e Z s = 2,7 %$ $G_{15} \approx 11124,11 €$		$G \approx 6454,51 €$ $Z \approx 114,63 €$ $e Z \approx 85,98 €$ $K E S t . \approx 28,66 €$ $G \approx 6283,70 €$ $e Z s = 1,35 %$ $G_{158} \approx 52989,79 €$		$G = 80840 €$ $Z = 1120 €$ $e Z = 840 €$ $K E S t . = 280 €$ $G \approx 79168,73 €$ $e Z s = 1,05 %$ $G_{106} \approx 242069,28 €$

V2.8 Säulendiagramm erstellen

D

Ö

R

F

E

R

3

1

5

5

4

3 4 6 7 8

Toten pro Dorf
$D = 6, \dot{1} T./D., M e d = 6,5,$
$M o d = 6 u n d 7, S = 5$

R

Ä

Ü

M

E

1

2

5

5

3

0 1 2 4 8

Betten pro Raum
$D = 3,5 B./R., M e d = 3,$
$M o d = 2 u n d 4, S = 8$

T

I

S

C

H

E

4

5

1

4

1

0 1 2 3 9

Personen/Tisch
$D = 1,8 \dot{6} P./T., M e d = 1,$
$M o d = 1, S = 9$

P

E

R

S

O

N

3

5

1

5

1

0 1 2 3 14

Part./Person
$D = 2,4 Par./Per., M e d = 1,$
$M o d = 3, S = 14$

K

I

N

D

E

R

5

2

3

5

2

4 5 6 7 8

Tonnen/Kind
$D \approx 5,82 t/K, M e d = 6,$
$M o d = 4 u n d 7, S = 4$

T

Ö

P

F

E

3

2

2

5

4

0 3 5 7 8

Blumen pro Topf
$D \approx 5,19 Bl./T., M e d = 7,$
$M o d = 7, S = 8$

M

Ü

T

T

E

R

6

6

5

1

1

1 2 3 6 7

Kinder/Mutter
$D \approx 2,42 K./M., M e d = 2,$
$M o d = 1 u n d 2, S = 6$

K

I

N

D

E

R

3

5

1

5

1

0 1 2 3 14

Bücher pro Kind
$D = 2,4 B./K., M e d = 1,$
$M o d = 1 u n d 3, S = 14$

V2.9 Eine lineare Funktion mit Hilfe von zwei Punkten ermitteln

	$y = \frac{5 x - 5}{4}$ x: Tonnen, y: 1000 €, S: 1000 €/t		$y = - 0,5 x + 70$ x: cm, y: Hz, S: Hz/cm		$y = - 0,4 x + 100$ x: °C, y: g/L, S: g/(L mal °C).		$y = - \frac{17 x}{30} + 85$ x: Zig./Tag, y: Jahre, S: Jahre mal Tag/Zig.
	$y = 205,63 x + 346$ x: km, y: m, S: m/km		$y = - 0,004 x + 4$ x: g Obst, y: t CO₂, S: g/t		$y = - 3 x + 5,25$ x: h, y: m, S: m/h		$y = - \frac{17 x}{30} + 85$ x: Zig./Tag, y: Jahre, S: Jahre mal Tag/Zig.

V2.10 Umsatzsteuer und Rabatt

Umsatzsteuer

BVP: 56 €, USt.: 6 €

NVP: 60 €

12,5%

NVP: 75 €

Rabatt

BVP: 66 €

PnR: 572 €

12%

6%

USt. und Rabatt Gegebener Endwert

	NVP: 60 €, Rabatt: 9,9 €, USt.: 6 €		NVP: 85 €, Rabatt: 20%
	NVP: 455 €, BVP: 527,8 €, Rabatt: 131,95 €, USt.: 72,8 €		NVP: 88 €, BVP: 110 €, Rabatt: 22 €, USt.: 22 €

USt. und Rabatt Kombinationsaufgaben

	Bsp. 1	Bsp. 2
Nettoverkaufspreis €	55	780€
Umsatzsteuer %	60%	25%
Umsatzsteuer €	33	195€
Bruttoverkaufspreis €	88€	975
Rabatt %	37,5%	20%
Rabatt €	33€	195€
Preis nach dem Rabatt €	55€	780€

	Bsp. 1	Bsp. 2
Nettoverkaufspreis €	336000€	420€
Umsatzsteuer %	10%	20%
Umsatzsteuer €	33600	84€
Bruttoverkaufspreis €	369600€	504€
Rabatt %	3%	5%
Rabatt €	11088€	25,2€
Preis nach dem Rabatt €	358512€	478,8€

	Bsp. 1	Bsp. 2
Nettoverkaufspreis €	914,94	780€
Umsatzsteuer %	14,1%	25%
Umsatzsteuer €	129€	195€
Bruttoverkaufspreis €	1043,94€	975
Rabatt %	10%	20%1
Rabatt €	104,39€	95€
Preis nach dem Rabatt €	939,55€	780€

	Bsp. 1	Bsp. 2
Nettoverkaufspreis €	3500€	84
Umsatzsteuer %	14%	10%
Umsatzsteuer €	490€	8,4€
Bruttoverkaufspreis €	3990€	92,4€
Rabatt %	10%	10%
Rabatt €	399€	9,24€
Preis nach dem Rabatt €	3591€	83,16€

	Bsp. 1	Bsp. 2
Nettoverkaufspreis €	55€	3500€
Umsatzsteuer %	60%	14%
Umsatzsteuer €	33€	490€
Bruttoverkaufspreis €	88€	3990€
Rabatt %	37,5%	10%
Rabatt €	33€	399€
Preis nach dem Rabatt €	55€	3591€

	Bsp. 1	Bsp. 2
Nettoverkaufspreis €	420€	55€
Umsatzsteuer %	20%	60%
Umsatzsteuer €	84€	33€
Bruttoverkaufspreis €	504€	88€
Rabatt %	5%	37,5%
Rabatt €	25,2€	33€
Preis nach dem Rabatt €	478,8€	55€

	Bsp. 1	Bsp. 2
Nettoverkaufspreis €	60€	85€
Umsatzsteuer %	10%	14%
Umsatzsteuer €	6€	11,9€
Bruttoverkaufspreis €	66€	96,9€
Rabatt %	15%	20%
Rabatt €	9,9€	19,38€
Preis nach dem Rabatt €	56,1€	77,52€

	Bsp. 1	Bsp. 2
Nettoverkaufspreis €	455€	40€
Umsatzsteuer %	16%	10,5%
Umsatzsteuer €	72,8€	4,2€
Bruttoverkaufspreis €	527,8€	44,2€
Rabatt %	25%	5%
Rabatt €	131,95	2,21€
Preis nach dem Rabatt €	395,85€	41,99€

V2.11 Umformen in der Geometrie abstrakt

	$r = \sqrt{\frac{A}{π}}$		$a = \frac{u - 2 \cdot b}{2} = \frac{u}{2} - b$		$b = \sqrt{d^{2} - a^{2}}$		$a = \sqrt{\frac{4 A}{\sqrt{3}}} (= 2 \sqrt{\frac{A}{\sqrt{3}}} = \sqrt{A \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}})$
	$b = \frac{u - 2 \cdot a}{2} = \frac{u}{2} - a$		$d = \frac{u}{π}$		$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$		$d = \sqrt{\frac{4 A}{π}}$

V2.12 Vergleich direkter und indirekter Proportionalität

	1,65 kWh $3, \dot{8} kWh pro h$ 1,25 Milliarden Menschen $36,9 \dot{4} kWh$		525 € 87,5 € 3937,5 €		9,375 mal (durchschnittlich) 7 mal ca. 7,2 mal (durchschnittlich)		3,15 h 14 h 19,6875 h
	$325 t$ 11,7 Tage 6 Tage		40,5 Tage ca. 11,6 Tage ca. 3.8 Tage		14 Kinder 9 Kinder 20 Tage		4,2 Tage 25 Tage 27 Arbeiter

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