MathemaTriX ⋅ Geometrische Aufgaben

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ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 von jedem Aufgabentyp probieren,
sie sind unterschiedlich!

	lle	Gaben
	uf-

Theorie in Kürze (mit Geogebra)

! AUFPASSEN: Einheiten müssen immer übereinstimmen!

Die Formeln kannst du immer in der Formelsammlung finden. Es gibt (zumindest) vier Varianten:

Wenn das, was auch immer allein auf der linken Seite einer Formel steht gefragt wird und all der Rest gegeben ist (z.B. x-Wert gegeben), dann KEINE löse in Geogebra benutzen (sondern einfach als Taschenrechner benutzen). Wenn das Volumen (Symbol: V) eines Würfels gefragt wird und seine Kante (Symbol: a) gegeben ist, dann ist die Formel (in der Formelsammlung schauen):
$V=a^{3}$
V steht auf der rechten Seite der Gleichung. Du benutzt also Geogebra als Taschenrechner (ohne V= einzugeben). Du setzt einfach den Wert von der Kante (a) ein.
Was auf der linken Seite der Formel ganz allein steht, kann auch gegeben sein. Beispiel: $V=a^{3},$ Volumen V gegeben und a wird gefragt. → löse OHNE geschweifte Klammer und OHNE Beistriche!
Wenn wir NUR eine Gleichung haben aber mehrere Symbole, dann benutzen wir löse OHNE geschweifte Klammern, allerdings mit Beistrich. Nach dem Beistrich steht das Symbol, auf das wir die Gleichung lösen wollen (sonst weiß GeoGebra nicht, auf welches Symbol die Gleichung zu lösen ist). Beispiel: $V=a^{3},$ Formel für a wird gefragt. → löse OHNE geschweifte Klammer, Formel eingeben, Beistrich a (auf a muss die Gleichung gelöst werden, weil das gefragt wird).
Es kann auch sein, dass wir zwei (oder sogar mehrere) Schritte brauchen, wenn das gefragte berechnet werden muss, aber die Sachen in seiner Formel nicht gegeben sind. Beispiel: $V=a^{3},$ Das Volumen wird gefragt, die Oberfläche ist gegeben. In der Formel für die Oberfläche $O=6a^{2}$ den Wert der Oberfläche einsetzen und mit löse die Kante a finden. Diesen Wert dann in die Formel fürs Volumen einsetzen (ohne "löse").

Grundwissen Einheiten:

Phys. Größe	Einheiten

Zeit (t)	Tag	24	h	60	min	60	s	1000	ms

Masse (m) ("Gewicht")	t	1000	kg	1000	g	1000	mg

Abstand (d, $\ell$ ,...) (Strecke, ...)	km	1000	m	10	dm	10	cm	10	mm

Fläche (A)	km²	1000²	m²	10²	dm²	10²	cm²	10²	mm²

Volumen (V)	km³	1000³	m³	10³	dm³	10³	cm³	10³	mm³

Umrechnung	groß	$----\longrightarrow$			mal	$----\longrightarrow$			klein

		$\longleftarrow ----$			durch	$\longleftarrow ----$

Zusammengesetzte Figuren

Jede Formel, die in der Figur vorkommt, muss man addieren oder subtrahieren, je nachdem, wie die Angabe ist. Außerdem muss man Variablen in der Formel (Seiten, Höhe oder was auch immer) auf die angegebene Größe anpassen. Beispiel:

Die dunkle Fläche (im Koordinatengitter) ist gefragt, die Seite des äußersten Quadrats a ist angegeben. Wir merken, dass von der Fläche des äußersten Quadrats, die Fläche des inneren Quadrats und der zwei kleineren Kreisen subtrahiert werden muss (sie sind weiß) und die Fläche des größeren Kreises (etwa in der Mitte) addiert werden muss (er ist dunkel). Die Formel fürs Quadrat ist A=a² (a ist die entsprechende Seite) und für den Kreis πr² (r ist der entsprechende Radius). Für das äußerste Quadrat sollen wir die Formel, wie sie ist benutzen (seine Seite ist a). Für das innere Quadrat gilt, dass seine Seite die Hälfte der Seite des äußersten Quadrats ist, also es gilt: $A_{kQ}=\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}$ Der Radius jeden kleinen Kreises ist ein Sechstel der Seite des Quadrats und des großen Kreises ein Viertel. Daher gilt insgesamt:

$A=a^{2}-\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}-2\ \pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}+\pi \left({\tfrac {a}{4}}\right)^{2}$

Formel Einsetzen in der ebenen Geometrie[Bearbeiten]

	$\$
	$\$

Der Radius eines Autorads ist 28 cm.
Die Breite eines Fensters ist 32 cm und seine Höhe 5 dm.
Die Seiten des Verkehrszeichens sind alle gleich 3,2 cm.

Antwort

$\ u\approx 175{,}9\ cm\quad A\approx 2463\ cm^{2}\qquad$
$\ u=164\ cm\quad A=16\ dm^{2}\qquad$
$\ u=9{,}6cm\quad A\approx 4{,}43\ cm^{2}\qquad$

Die Seite eines Quadrats ist 28 cm.
Die Breite eines Bildschirms ist 32 cm und die Länge 5 dm.
Der Durchmesser des Bodens einer Tasse ist 3,2 cm.

Antwort

$\ u=112\ cm\quad A=784\ cm^{2}\qquad$
$\ u=164\ cm\quad A=16\ dm^{2}\qquad$
$\ u=10{,}1cm\quad A\approx 8{,}04\ cm^{2}\qquad$

Der Boden einer Flasche ist 8 cm "lang".
Die Seite einer Raute ist 2,5 dm,
die Diagonalen 40 cm bzw. 0,3 m.
Ein Zimmer ist 3,2 m mal 42 dm groß.

Antwort

$\ u\approx 25{,}1\ cm\quad A\approx 50{,}3\ cm^{2}\qquad$
$\ u=10\ dm\quad A=6\ dm^{2}\qquad$
$\ u=14{,}8\ dm\quad A=13{,}44\ dm^{2}\qquad$

Eine Tür ist 21,5 dm hoch und 77 cm breit.
Der größte Abstand zwischen den Punkten eines Tellerrands ist 2,8 dm.
Die Länge eines Parallelogramms ist 0,34 m, die entsprechende Höhe 9 cm und die kürzere Seite 2,3 dm.

Antwort

$\ u=58{,}4\ dm\quad A=165{,}55\ dm^{2}\qquad$
$\ u=8{,}80\ dm\quad A=6{,}16\ dm^{2}\qquad$
$\ u=114\ cm\quad A=306\ cm^{2}\qquad$

Der Radius eines Autorads ist 14 cm.
Die Breite eines Fensters ist 16 cm und seine Höhe 2,5 dm.
Die Seiten des Verkehrszeichens sind alle gleich 6,4 cm.

Antwort

$\ u\approx 88\ cm\quad A\approx 616\ cm^{2}\qquad$
$\ u=8{,}2\ dm\quad A=4\ dm^{2}\qquad$
$\ u=4{,}8\ cm\quad A\approx 1{,}11\ cm^{2}\qquad$

Die Seite eines Quadrats ist 14 cm.
Die Breite eines Bildschirms ist 16 cm und die Länge 2,5 dm.
Der Durchmesser des Bodens einer Tasse ist 1,6 cm.

Antwort

$\ u=56\ cm\quad A=196\ cm^{2}\qquad$
$\ u=82\ cm\quad A=4\ dm^{2}\qquad$
$\ u\approx 5{,}1\ cm\quad A\approx 2\ cm^{2}\qquad$

Der Boden einer Flasche passt genau in einem Quadrat mit 4 cm Seite.
Die Seite einer Raute ist 1,25 dm, die Diagonalen 20 cm bzw. 0,15 m.
Ein Zimmer ist 1,6 m mal 21 dm groß.

Antwort

$\ u\approx 12{,}55\ cm\quad A\approx 12{,}58\ cm^{2}\qquad$
$\ u=5\ dm\quad A=1{,}5\ dm^{2}\qquad$
$\ u=7{,}4\ dm\quad A=3{,}36\ dm^{2}\qquad$

Eine Tür ist 10,75 dm hoch und 38,5 cm breit.
Der größte Abstand zwischen den Punkten eines Tellerrands ist 1,4 dm.
Die Länge eines Parallelogramms ist 0,17 m, die entsprechende Höhe 4,5 cm und die kürzere Seite 1,15 dm.

Antwort

$\ u=29{,}2\ dm\quad A\approx 41{,}4\ dm^{2}\qquad$
$\ u=4{,}4\ dm\quad A=1{,}54\ dm^{2}\qquad$
$\ u=57\ cm\quad A=76.5\ cm^{2}\qquad$

Umformen in der ebenen Geometrie konkret[Bearbeiten]

	$\$
	$\ \$

Der Umfang eines Quadrats ist 12cm. Berechnen Sie die Fläche!

Antwort

A=9\ cm^{2}

Die Fläche eines Kreises ist 12cm². Berechnen Sie den Umfang!

Antwort

u\approx 12{,}23\ cm\qquad

Der Umfang eines Rechtecks ist 3,8 dm, seine Breite 9 cm. Berechnen Sie seine Fläche!

Antwort

A=90\ cm^{2}\qquad

Der Umfang eines Kreises ist 12cm. Berechnen Sie die Fläche!

Antwort

A\approx 11{,}46\ cm^{2}\qquad

Die Fläche eines Quadrats ist 576 cm². Berechnen Sie den Umfang!

Antwort

u=96\ cm\qquad

Die Fläche eines Parallelogramms ist 12 dm², die zur längsten Seite entsprechende Höhe 20cm und die kürzere Seite 0,3 m. Berechnen Sie den Umfang!

Antwort

u=18\ dm\qquad

Die Fläche eines Rechtecks ist 3,8 dm², seine Breite 16 cm. Berechnen Sie seinen Umfang!

Antwort

u=7{,}95\ dm\qquad

Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks ist 12cm. Berechnen Sie die Fläche!

Antwort

A\approx 6{,}93\ cm^{2}\qquad

Umformen in der ebenen Geometrie abstrakt[Bearbeiten]

	$\$
	$\$

Grundaufgaben[Bearbeiten]

\ R={\tfrac {\sqrt {A}}{\pi }}

Antwort

$r={\sqrt {\tfrac {A}{\pi }}}$

a={\tfrac {2u-b}{2}}\

Antwort

$a={\tfrac {u-2\cdot b}{2}}={\tfrac {u}{2}}-b$

b={\sqrt {a^{2}+d^{2}}}\

Antwort

$b={\sqrt {d^{2}-a^{2}}}$

\textstyle {a={\sqrt {A\cdot {\tfrac {4}{\sqrt {3}}}\ }}}

Antwort

$a={\sqrt {\tfrac {4A}{\sqrt {3}}}}\left(=2{\sqrt {\tfrac {A}{\sqrt {3}}}}={\sqrt {A\cdot {\tfrac {4}{\sqrt {3}}}\ }}\right)$

b={\tfrac {u-2a}{2}}\

Antwort

$b={\tfrac {u-2\cdot a}{2}}={\tfrac {u}{2}}-a$

d={\tfrac {u\cdot 2}{\pi }}

Antwort

$d={\frac {u}{\pi }}$

b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\

Antwort

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$

\ d={\sqrt {\tfrac {4\,A}{\pi }}}

Antwort

$d={\sqrt {\tfrac {4\,A}{\pi }}}$

Multiple Choice[Bearbeiten]

m² + k² = f²	□
f² + m² = k²	□
f² − k² = m²	□
m² − k² = f²	□

Welche Formel passt zum abgebildeten rechtwinkligen Dreieck? Kreuzen Sie an und begründen Sie!

Antwort

die vierte

$f={\tfrac {A}{c}}$	□
$c={\tfrac {g}{A}}$	□
$A=c\cdot g$	□
$f={\tfrac {A}{c}}$	□

Welche Formel passt zum abgebildeten rechtwinkligen Dreieck mit Fläche A? Kreuzen Sie an und begründen Sie!

Antwort

keine

$A=\ell \cdot {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}$	□
$A=\ell ^{2}\cdot {\tfrac {4}{\sqrt {3}}}$	□
$\ell ^{2}=A\cdot {\tfrac {4}{\sqrt {3}}}$	□
$\ell ^{2}={\sqrt {A\cdot {\tfrac {4}{\sqrt {3}}}}}$	□

Welche Formel passt zum abgebildeten gleichseitigen Dreieck? Kreuzen Sie an und begründen Sie!

Antwort

die dritte

$m=OB^{2}\cdot \pi$	□
$OB={\sqrt {\frac {F}{\pi }}}$	□
$OB={\tfrac {m}{\pi }}$	□
$OB={\tfrac {2F}{\pi }}$	□

Welche Formel passt zum abgebildeten Kreis mit Umfang m und Fläche F? Kreuzen Sie an und begründen Sie!

Antwort

die zweite

$f={\tfrac {2A}{m}}$	□
$f=2\cdot {A}\cdot {k}$	□
$f={\tfrac {2k}{A}}$	□
$f={\tfrac {2A}{k}}$	□

Welche Formel passt zum abgebildeten rechtwinkligen Dreieck mit Fläche A? Kreuzen Sie an und begründen Sie!

Antwort

die vierte

f² + c² = g²	□
f² + g² = c²	□
f² − g² = c²	□
c² − g² = f²	□

Welche Formel passt zum abgebildeten rechtwinkligen Dreieck? Kreuzen Sie an und begründen Sie!

Antwort

die dritte

$w={\tfrac {2u-\ell }{2}}$	□
$A=\ell ^{2}\cdot w$	□
$w={\tfrac {u-2\ell }{2}}$	□
$w=2u+2\ell$	□

Welche Formel passt zum abgebildeten Rechteck mit Umfang u und Fläche A? Kreuzen Sie an und begründen Sie!

Antwort

die dritte

$m=OB^{2}\cdot \pi$	□
$OB={\frac {m}{2\pi }}$	□
$OB={\tfrac {2m}{\pi }}$	□
$OB={\tfrac {2F}{\pi }}$	□

Welche Formel passt zum abgebildeten Kreis mit Umfang m und Fläche F? Kreuzen Sie an und begründen Sie!

Antwort

die zweite

Zusammengesetzte Figuren[Bearbeiten]

	$\$
	$\ \$

Drücken Sie den dunklen Flächeninhalt durch die Länge a der Seite des Quadrats aus!

Antwort

$A=a^{2}-{\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}-2\pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}$

Drücken Sie den dunklen Flächeninhalt durch die Länge a der Seite des großen Quadrats aus!

Antwort

$A=a^{2}-2\ \pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}-\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}+\pi \left({\tfrac {a}{4}}\right)^{2}$

Drücken Sie den dunklen Flächeninhalt durch die Länge a der Seite des Quadrats aus!

Antwort

$A=\ a^{2}-9\ \pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}$

Drücken Sie den dunklen Flächeninhalt durch die Länge a der Seite des gleichseitigen Dreiecks aus!

Antwort

$A=\ {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}-\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}$

Drücken Sie den grünen Flächeninhalt durch die Längen a, b, c, und r aus!
Drücken Sie den schwarzen Flächeninhalt durch die Längen a, b, c, und r aus!

Antwort

$A=2\ b\ r+\pi \ r^{2}$
$A=a\cdot (b+2c)-(2\ b\ r+\pi \ r^{2})$

Drücken Sie den dunklen Flächeninhalt durch die Seite a des großen (dunklen) Quadrats aus!

Antwort

$A=\ a^{2}\$

Drücken Sie den dunklen Flächeninhalt durch die Länge r des Radius des kleinen (dunklen) Kreises aus!

Antwort

$A=\ (20-3\ \pi )\ r^{2}$

Drücken Sie den dunklen Flächeninhalt durch die Seite a des kleinen (weißen) Quadrats aus!

Antwort

$A=\ 3\ \pi \ a^{2}$

Satz von Pythagoras[Bearbeiten]

	$\$
	$\$

A[Bearbeiten]

Die zwei Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks sind 1dm bzw. 105mm. Wie lang ist die Hypotenuse?

Antwort

145\ {\text{mm}}

Die eine Kathete und die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks sind 15dm bzw. 11,3m. Wie lang ist die andere Kathete?

Antwort

112\ \ {\text{dm}}

Antwort

18541\ \ {\text{cm}}

Antwort

119\ \ {\text{mm}}

B[Bearbeiten]

Die Diagonale eines Rechtecks ist 145 mm, seine Breite 1dm. Wie viel ist seine Fläche?

Antwort

105\ {\text{cm}}^{2}

Ein quadratisches Fenster wird an eine Wand angelehnt. Der Abstand seiner unteren Seite von der Wand ist 9cm, seiner oberen Seite vom Boden 4dm. Wie lang ist die Diagonale des Fensters (genau und mit zwei Nachkommastellen)?

Antwort

{\sqrt {3362}}\ \ {\text{cm}}\approx 58{,}0\ {\text{cm}}

Die Diagonale eines Quadrats ist 45mm. Wie viel ist sein Umfang (genau und mit zwei Nachkommastellen)?

Antwort

90{\sqrt {2}}\ \ {\text{mm}}\approx 127{,}3\ {\text{mm}}

Ein Schiff wird mit dem Dock über eine 229cm lange Rampe verbunden, der Hohenunterschied der beiden Enden der Rampe ist 6dm. Wie viel ist die horizontale Entfernung der beiden Enden der Rampe?

Antwort

221\ \ {\text{cm}}

Formel Einsetzen in der Raumgeometrie[Bearbeiten]

	$\$
	$\ \$

Die Länge eines Lineals ist 3,1 dm, seine Breite 2,5 cm, seine Dicke 2 mm. Berechnen Sie die Gesamtlänge seine Kanten, seine Oberfläche und sein Volumen!

Antwort

V=15500\ mm^{3}\qquad A=16840\ mm^{2}\qquad K=1348\ mm

Der Radius einer Christbaumkugel ist 32mm. Wie viel ist der Umfang eines Großkreises, die Oberfläche und das Volumen?

Antwort

U\approx 201\ mm\qquad O\approx 12868\ mm^{2}\qquad V\approx 137\ cm^{3}

Der Radius der Basis eines zylinderförmigen Glases ist 19 mm, seine Höhe 0,8 dm. Wie viel ist der Umfang der Basis, die (äußere) Oberfläche und das Volumen des Glases?

Antwort

U\approx 119\ mm\qquad O\approx 107\ cm^{2}\qquad V\approx 90{,}7\ cm^{3}

Tipis

Antwort

U\approx 245\ dm\qquad M\approx 58{,}8\ m^{2}\qquad

B\approx 47{,}8\ m^{2}\qquad V\approx 44{,}6\ m^{3}

Die Länge einer Schuhschachtel ist 2,5 dm, ihre Breite 20 cm, ihre Höhe 0,1 m. Berechnen Sie die Gesamtlänge ihre Kanten, ihre Oberfläche und ihr Volumen!

Antwort

V=5\ dm^{3}\qquad A=19\ dm^{2}\qquad K=22\ dm

Der Radius eines Balles ist 16 cm. Wie viel ist der Umfang eines Großkreises, die Oberfläche und das Volumen?

Antwort

U\approx 100{,}5\ cm\qquad O\approx 3217\ cm^{2}\qquad V\approx 17\ dm^{3}

Die Seite der Basis einer quadratischen Pyramide ist 0,3 km, ihre Höhe 200 m. Wie viel ist der Umfang der Basis, die Oberfläche und das Volumen der Pyramide?

Antwort

U=1200\ mm\qquad O=0{,}165\ km^{2}\qquad V=0{,}006\ km^{3}

Tipis

Antwort

U\approx 490\ dm\qquad M\approx 194{,}2\ m^{2}\qquad

B\approx 95{,}6\ m^{2}\qquad V\approx 89{,}2\ m^{3}

Umformen in der Raumgeometrie konkret[Bearbeiten]

	$\$
	$\ \$

Das Volumen eines Zylinders ist 12 π dm³, seine Höhe 30 cm. Wie viel ist seine Oberfläche?

Antwort

$O\approx 62{,}83\ dm^{2}$

Die Oberfläche eines Quaders ist 180 cm², zwei seiner Kanten 90 mm bzw. 0,4 dm. Wie viel ist sein Volumen?

Antwort

$V\approx 149{,}54\ cm^{3}$

Das Volumen eines Kegels ist 54π cm², der Durchmesser der Basis 1,8 dm. Wie viel ist seine Oberfläche?

Antwort

$O\approx 515\ cm^{2}$

Die Oberfläche eines Balles ist 1256,64 cm². Wie viel ist sein Volumen?

Antwort

$V=10\pi \ dm^{3}$

Die Oberfläche eines Zylinders ist 18 π dm², sein Radius 20 cm. Wie viel ist sein Volumen?

Antwort

$V=10\pi \ dm^{3}$

Die Oberfläche eines Tetraders ist 180 mm². Wie viel ist sein Volumen?

Antwort

$V\approx 124{,}85\ mm^{3}$

Das Volumen eines Prismas mit einem regelmäßigen Sechseck als BAsis ist 5,4 dm³, die Höhe 8 cm. Wie viel ist seine Oberfläche?

Antwort

$O\approx 21{,}24\ cm^{2}$

Die Oberfläche eines Wurfels ist 294 cm². Wie viel ist sein Volumen?

Antwort

$V=343\ cm^{3}$

Umformen in der Raumgeometrie abstrakt[Bearbeiten]

	$\$
	$\ \$

Grundaufgaben[Bearbeiten]

\qquad R={\sqrt {\frac {3\ V}{4\ \pi }}}

Antwort

\textstyle R={\sqrt[{3}]{\frac {3\ V}{4\ \pi }}}

\qquad a={\frac {\sqrt {O}}{6}}

Antwort

\textstyle a={\sqrt {\frac {O}{6}}}

\qquad A=O-\pi \ r\ h

Antwort

\textstyle A={\frac {O}{2}}-\pi \ r\ h

\qquad a={\sqrt[{3}]{3V}}

Antwort

Formel stimmt

\qquad h={\sqrt[{3}]{\frac {V}{r}}}

Antwort

\ h={\frac {3V}{\pi r^{2}}}

\qquad R={\sqrt {\frac {O}{2\ \pi }}}

Antwort

\ R={\sqrt {\frac {O}{4\ \pi }}}

\qquad O=4{\sqrt[{3}]{\pi \cdot V^{2}}}

Antwort

Formel stimmt

\qquad O=4a^{2}+2{\frac {V}{a}}

Antwort

\qquad O=2a^{2}+4{\frac {V}{a}}

Faktoraufgaben[Bearbeiten]

Was passiert mit dem Volumen einer Kugel und was mit ihrer Oberfläche, wenn sich ihre Radius verdreifacht?
Antwort

27- bzw. 9-fache
Was passiert mit dem Volumen eines Quaders, wenn sich eine seiner Kanten verdreifacht und eine andere halbiert, während die dritte gleich bleibt?
Antwort

1,5-fache
Was passiert mit dem Volumen eines Zylinders, wenn der Basisdurchmesser ein drittel wird und die Höhe das 4,5-fache?
Antwort

halbiert
Was passiert mit dem Volumen einer Quadratischen Pyramide, wenn die Seite der Basis das 1,5-fache wird und die Höhe gleich bleibt?
Antwort

2,25-fache
Was passiert mit dem Volumen eines Kegels, wenn sich der Radius seiner Basis verdoppelt und seine Höhe verdreifacht?
Antwort

12-fache
Was passiert mit der Oberfläche eines Würfels, wenn seine Kante das 1,2-fache wird?
Antwort

1,44-fache

Was passiert mit der Oberfläche eines Zylinders, dessen Höhe dem Radius der Basis gleich ist, wenn sich der Radius seiner Basis verdoppelt und seine Höhe halbiert?

Antwort

2,5-fache

Was passiert mit der Oberfläche einer Kugel, wenn ihre Volumen das 125-fache wird?
Antwort

25-fache

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