Digitale Schaltungstechnik/ Addierer/ Mehr-Bit Addierer

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Addierer Mehr-Bit Addierer BCD Binäre Quersumme mehrere Variablen Subtraktion kombiniertes Rechenwerk Alternative Addierer Carry-Ripple-Addierer Carry-Skip-Addierer Stufe 2 bis n Stufe 1 Rückspiegel Carry-Look-Ahead-Addierer Serienaddierwerk

Mehr-Bit Addierer

Die bisherigen Addierer arbeiteten nur mit zwei beziehungsweise drei Eingangsbits. In der Praxis werden solche Addierer meistens zu größeren Addierern verschaltet.

Um das systematisch zu machen, legen wir hier einige Konventionen fest:

Wertigkeit der Leitungen

Die Wertigkeit der Leitungen ist ein nützliches Hilfsmittel beim Aufbau von Rechenwerken. Um die Idee dieser Gewichtung zu erklären, betrachten wir zuerst den uns bekannten Volladdierer:
Die Wertigkeit der Leitungen ist einfach der Wert, den die Leitung darstellt, wenn sie auf 1 ist. Unser Addierer zählt ja, wie wir gesehen haben, 1 und 1 zusammen. Beschriftet sieht das Bauteil dann so aus:
Das gilt natürlich nur für den ersten Addierer in einer Kette. Verallgemeinert sieht es dann so aus:
2n: Eingänge und Sigma haben die gleiche Wertigkeit 2n+1: Das Carry haben die doppelte Wertigkeit
Nun ist das natürlich nur ein Hilfsmittel. Um es wirklich einsetzen zu können, brauchen wir noch die dazugehörigen Regeln:	Nur Leitungen mit der gleichen Wertigkeit dürfen addiert werden Bei Sigma bleibt das Wertigkeit identisch Bei Carry verdoppelt sich die Wertigkeit

Anforderungen an ein Addiernetzwerk

Wenn wir die Addierer verschalten, stellen sich folgende Anforderungen:

• Funktionsfähigkeit
• Anzahl der Bauelemente
• Anzahl der Leitungskreuzungen

Dass die Funktionsfähigkeit die höchste Wichtigkeit hat, sollte klar sein. Die Anzahl Bauelemente ist ein Kostenfaktor und ist die Grundlage für eine übersichtliche Schaltung. Die Zahl der Leitungskreuzungen ist einfach ein objektives Maß für Übersichtlichkeit.

Benennung der Signale

Wollen wir zwei Binärzahlen addieren, so liegen sie normalerweise als Signalgruppe vor. Hier in diesem Beispiel wollen wir die 3-Bit Variable A und B miteinander addieren. Die einzelnen Bits heißen dabei $A_{0}$, $A_{1}$ und $A_{2}$ bzw. $B_{0}$, $B_{1}$ und $B_{2}$.

Der Index der Variablen entspricht dabei in diesem Fall auch der Wertigkeit, $A_{2}$ hat also die Wertigkeit 2² bzw. 4.

Realisierung

Wir beginnen oben links mit den niederwertigsten Bits:
Da sie die gleiche Wertigkeit haben, können wir sie einfach addieren:
Nun kümmern wir uns um die nächste Stelle. Zeichnen wir mal die Eingänge ein:
Der Carry des ersten Addieres hat die gleiche Wertigkeit, also können wir ihn auch gleich dorthin legen:
Da wir nun drei Eingangsbit haben, brauchen wir einen Volladdierer:
Mit dem letzten Bit verfahren wir genau gleich:
Da die Leitungswertigkeit 1 nur noch an einer Stelle nicht verbunden ist, ist dies einer der Ausgangspins der Schaltung. Schreiben wir ihn an:
Für die Leitungwertigkeiten 2 und 4 gilt dasselbe, also können wir sie auch anschreiben:
Und auch für die Leitungswertigkeit 8:
Diese Ausgangsvariable ist besonders zu betonen, weil unsere Eingangsvariablen nur 3 Bit lang waren, aber der Ausgang 4 Bit breit ist.

Hier zeigt sich auch die eigentliche Bedeutung des Carries bzw. Übertrages:

Der Übertrag der ersten Addierstufe geht in den Eingang der zweiten Stufe.

Carry in

Der erste Addierer wird zum Volladdierer gemacht und der zusätzliche Pin als Carry In bezeichnet (Übertragseingang) und der letzte als Carry Out (Übertragsausgang).

Wollen wir diese nützliche Schaltung universeller machen, müssen wir ein paar Modifikationen daran vornehmen:
Das Potenzial der Schaltung ist nicht direkt erkennbar, deshalb ein paar Hinweise: Wir können nun solche einfachen Addierer zusammenschalten, indem wir das Carry Out mit dem Carry In der nächsten Stufe verbinden. Da die Sprache des Ingenieurs die Zeichnung ist, bedienen wir uns nun dieser Sprache:

Funktion der Schaltung

Wir haben nun einen Mehrbit-Addierer gesehen, aber wie rechnet nun eigentlich nun so ein Mehrbit-Addierer?

Da die Schritt-für-Schritt-Analyse etwas aufwendig ist, gehen wir die Funktion mit nur einem markenten Beispiel durch: A sei 111, B sei 000 und das Carry In Anfangs 0 und dann 1.

Zusammengefasstes Schaltzeichen

Da diese Schaltung immer wieder gebraucht werden kann, hat sie ein zusammengefasstes Schaltzeichen:

Zusammengefasstes Schaltzeichen

Die Anzahl der Eingänge kann beliebig angepasst werden. Was zu bedenken ist: Carry In hat die Wertigkeit 1, während das Carry Out in diesem Beispiel die Wertigkeit 16 hat.