Digitale Schaltungstechnik/ Realisierung mit NAND

Titelseite
Gesetze der Schaltalgebra Beispiel Aufgaben Beispiel: Lampenschaltung Einleitung Wahrheitstabelle KV Diagramm Schaltbild Übungen LogicTraffic Lösungen Zusammenfassung De Morgan Realisierung mit NAND Realisierung mit NOR

Einleitung

Das Gesetz von DeMorgan zeigt, dass sich Und- und Oder-Verknüpfungen mittels Negation ineinander umwandeln lassen. Deshalb lassen sich auch alle digitalen Schaltungen ausschließlich aus Nicht- und Und-Gliedern aufbauen.

Beachten wir noch die Aussage, dass sich doppelte Negationen aufheben, dann können wir jede beliebige logische Funktion nur aus NAND-Gattern aufbauen.

Als Ausgangspunkt ist dazu die disjunktive Normalform geeignet.

Beispiel

Das Verfahren lässt sich am besten an einem Beispiel erklären.

Wahrheitstabelle

Gegeben sei eine Wahrheitstabelle:

dez	d	c	b	a	x
0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	1	0
2	0	0	1	0	0
3	0	0	1	1	1
4	0	1	0	0	1
5	0	1	0	1	1
6	0	1	1	0	1
7	0	1	1	1	1
8	1	0	0	0	1
9	1	0	0	1	1
10	1	0	1	0	1
11	1	0	1	1	1
12	1	1	0	0	1
13	1	1	0	1	1
14	1	1	1	0	1
15	1	1	1	1	1

Als erstes lesen wir die Gleichung aus und vereinfachen sie: $X={\overline {A}}\ {\overline {B}}\lor AB\lor C\lor D$

Normale Realisierung

im ersten Schritt realisieren wir die Schaltung wie gewohnt:

Die Farben dienen der Übersicht.

Dieser Schritt ist eigentlich nicht notwendig, hier im Beispiel soll er aber den Vergleich ermöglichen.

Realisierung mit NANDs

Hier kommt nun der wichtigste Schritt.

$X={\overline {A}}\ \lor B\lor C\lor D$	doppelte Negation
$X={\overline {\overline {{\overline {A}}\ \lor B\lor C\lor D}}}$	DeMorgan
$X={\overline {{\overline {{\overline {A}}\ }}\land {\overline {B}}\land {\overline {C}}\land {\overline {D}}}}\longrightarrow X={\overline {A\land {\overline {B}}\land {\overline {C}}\land {\overline {D}}}}$	Lösung

Die Doppelte Negation ist eine Vorbereitung und Vereinfachung, um den DeMorgan anzuwenden.

Die Anwendung des DeMorgans lässt sich so beschreiben: Beim Aufbrechen der Negation fallen sozusagen die Verknüpfungen um.

Realisierung mit 2-fach-NANDs

Wir brauchen mit dieser Methode zum Aufbau der Schaltungen zwar nur noch NANDs, aber mit unterschiedlich vielen Eingängen. In der Praxis sind NANDs mit 2 Eingängen gut erhältlich. Auch NANDs mit 3, 4, 8 und sogar 13 Eingängen sind erhältlich. Aber: Wenn wir viele verschiedene NANDs verwenden, haben wir genau wieder viele unterschiedliche Komponenten.

Um dieses Dilemma los zu werden, gehen wir noch einen Schritt weiter:

Wir bauen Schaltungen nur noch aus 2-fach-NANDs auf. Die Methode basiert auf dem vorher gelernten und ist an sich nicht schwer.

Es ist aber kein Geheimnis, dass es viel Aufwand macht und dadurch sehr fehlerträchtig ist.

Die ersten drei Schritte sind ähnlich:

Schritt	Gleichung	Kommentar
1	$X={\overline {A}}\ {\overline {B}}\lor AB\lor C\lor D$	doppelte Negation
2	$X={\overline {\overline {{\color {Red}{\overline {A}}\ {\overline {B}}\lor AB}\lor {\color {Blue}C\lor D}}}}$	DeMorgan
3	$X={\overline {\color {Red}{\overline {{\overline {A}}\ {\overline {B}}\lor AB}}\land {\color {Blue}{\overline {C\lor D}}}}}$

Im nächsten Schritt brechen wir die Negation über den Zweier-Gruppen auf:

Schritt	Gleichung	Kommentar
1	$X={\overline {A}}\ {\overline {B}}\lor AB\lor C\lor D$	doppelte Negation
2	$X={\overline {\overline {{\color {Red}{\overline {A}}\ {\overline {B}}\lor AB}\lor {\color {Blue}C\lor D}}}}$	DeMorgan
3	$X={\overline {\color {Red}{\overline {{\overline {A}}\ {\overline {B}}\lor AB}}\land {\color {Blue}{\overline {C\lor D}}}}}$	DeMorgan
4	$X={\overline {\color {Red}{\overline {{\overline {A}}\ {\overline {B}}}}\land {\overline {AB}}\land {\color {Blue}{\overline {C\lor D}}}}}$	DeMorgan
5	$X={\overline {\color {Red}({\overline {{\overline {A}}\ {\overline {B}}}}\land {\overline {AB}})\land {\color {Blue}({\overline {C}}\land {\overline {D}})}}}$	Doppelte Negation
6	$X={\overline {\color {Red}{\overline {\overline {{\overline {{\overline {A}}\ {\overline {B}}}}\land {\overline {AB}}}}}\land {\color {Blue}{\overline {\overline {{\overline {C}}\land {\overline {D}}}}}}}}$	Lösung

Vorteile

In der Praxis wird diese Erkenntnis genutzt, um die Zahl unterschiedlicher Bausteine gering zu halten. Daraus ergibt sich eine Vereinfachung der Lagerung (weniger verschiedene Halbleiter) und der Bestückung (weniger Verwechslungsgefahr) und evt. Einsparungen (z.B. durch Mengenrabatt). Wir gehen aber später auf dieses Thema näher ein.

Nachteile

höhere Zahl der Gatter in einer Schaltung
Schema Schwieriger zu Lesen