Digitale Schaltungstechnik/ Schaltalgebra/ De Morgan

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Gesetze der Schaltalgebra Beispiel Aufgaben Beispiel: Lampenschaltung Einleitung Wahrheitstabelle KV Diagramm Schaltbild Übungen LogicTraffic Lösungen Zusammenfassung De Morgan Realisierung mit NAND Realisierung mit NOR

Herleitung und Beweis

Vergleichen wir die Wahrheitstabelle eines Und und eines Oders, fällt folgendes auf:

$A\land B$ Dez. A B X 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 1

$A\lor B$ Dez. A B X 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1

Das Und ist nur in einem einzigen Fall 1 und das Oder nur in einem einzigen Fall 0.

Mittels einer Negation des Oders, also in dem wir das Oder zum Nor machen, können wir die eine 0 zur einer 1 machen:

$A\land B$ Dez. A B X 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 1

${\overline {A\lor B}}$ Dez. A B X 0 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 0

Beide Wahrheitstabellen enthalten nun eine 1, aber an einer anderen Stelle:

$A\land B$ Dez. A B X 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 1

${\overline {A\lor B}}$ Dez. A B X 0 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 0

Das AND ist also eins, wenn A=1 und B=1. Das NOR ist dagegen eins, wenn A=0 und B=0. Invertieren wir die Eingänge, des NORs, wird es bei A=1 und B=1 am Ausgang 1.

Sehen wir uns das in der Tabelle genauer an:

$A\land B$ Dez. A B X 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 1

${\overline {{\overline {A}}\lor {\overline {B}}}}$ Dez. A B X 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 1

Die beiden Wahrheitstabellen sind nun identisch, also können wir ja sagen:

$A\land B={\overline {{\overline {A}}\lor {\overline {B}}}}$

Wir können also ein Und in ein Oder umwandeln; und natürlich auch umgekehrt.

Anwendung in der Schaltalgebra

In der Schaltalgebra wird dieses Gesetz z.B. so interpretiert und angewendet:

Nehmen wir den Ausdruck

$X=A\land B$

diesen negieren wir nun doppelt:

$X={\overline {\overline {A\land B}}}$

Wie wir oben bereits festgestellt haben, heben sich doppelte Negationen auf, also haben den Ausdruck eigentlich nicht verändert. Interpretieren wir das Gesetz von DeMorgan so, dass das Aufbrechen einer Negation zu einer Änderung der Verknüpfung führt, ergibt sich:

$X={\overline {{\overline {A}}\lor {\overline {B}}}}$

Beispiele

Diese Regel mit dem Aufbrechen der Negation gilt für beliebig grosse Ausdrücke.

Erstes Beispiel:

$Y=A\lor B\lor C$

$Y={\overline {\overline {A\lor B\lor C}}}$

$Y={\overline {{\overline {A}}\land {\overline {B}}\land {\overline {C}}}}$

---

Zweites Beispiel:

$Z=A\land {\overline {B}}\land C$

$Z={\overline {\overline {A\land {\overline {B}}\land C}}}$

$Z={\overline {{\overline {A}}\lor B\lor {\overline {C}}}}$

Anderes

Die Gesetze des englischen Mathematikers De Morgan dienen der Vereinfachung von Verknüpfungen mit negierten Eingängen.

${\overline {A}}\land {\overline {B}}={\overline {A\lor B}}$

${\overline {A}}\lor {\overline {B}}={\overline {A\land B}}$