Formelsammlung Physik: Relativitätstheorie

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SRT (Spezielle Relativitätstheorie)

Gebräuchliche Abkürzungen

Geschwindigkeit v relativ zur Lichtgeschwindigkeit c:

$\beta :={\frac {v}{c}}=\tanh \theta .$

Lorentzfaktor:

$\gamma :={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=\cosh \theta$

mit $v:=|{\vec {v}}|$.

Addition von Lorentzfaktoren:

$\gamma _{\Sigma }=\cosh(\operatorname {arcosh} \gamma _{1}+\operatorname {arcosh} \gamma _{2})$

Rapidität:

$\theta :=\operatorname {artanh} \beta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {c+v}{c-v}}\right).$

Beachte auch:

$\gamma \cdot \beta =\sinh \theta .$

Galilei-Transformation

Die Galileitransformation auf ein in x-Richtung bewegtes Bezugssystem unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten |v| < 0,1 c eine gute Näherung. Da v' = -v:

Galilei-Tranformation in $x$-Richtung	Inverse Galilei-Transformation
$t'=t$ $x'=x-v\cdot t$ $y'=y$ $z'=z$	$t=t'$ $x=x'+v\cdot t'$ $y=y'$ $z=z'$

Anmerkung. Die Transformationen vermitteln zwischen den privilegierten globalen Koordinatensystemen für Raum und Zeit, den Inertialsystemen. Bei zeitlich unbewegten Koordinaten sind auch die Drehungen um den Ursprung und dessen Verschiebungen erlaubte Transformationen, sowohl bei Galilei wie bei Lorentz. Drehungen haben 3 Parameter, konstante Raumzeit-Verschiebungen 4, gleichförmige Bewegungen 3. Mit 10 Parametern bilden die Kombinationen in beiden Fällen eine kontinuierliche Gruppe von Transformationen.

Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation in $x$-Richtung	Inverse Lorentz-Transformation
$t'=\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}\cdot x\right)\cdot \gamma$ $x'=\left(x-v\cdot t\right)\cdot \gamma$ $y'=y$ $z'=z$	$t=\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}\cdot x'\right)\cdot \gamma$ $x=\left(x'+v\cdot t'\right)\cdot \gamma$ $y=y'$ $z=z'$

$(\gamma :={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=\cosh \theta )$

Das Labor A misst Ereignisse bei Koordinaten (t,x,y,z). Labor B bewegt sich relativ zu A mit der Geschwindigkeit v (v<c) und misst sie bei den Werten (t',x',y',z'). Unterschiede zu der Galilei-Transformation:

• Gleichzeitige Ereignisse, von A aus gesehen, sind es nicht aus der Sicht von B,
• Zeit-Intervalle Δt sind ungleich für A und B,
• Räumliche Abstände Δx sind ungleich für A und B,
• Lichtstrahlen durch den Ursprung bleiben unverändert, x = ±c·t ⇐⇒ x' = ±c·t' .

Lorentz-Transformation in $x$-Richtung im Vierer-Formalismus	Inverse Lorentz-Transformation
$({x'}^{\mu })=\Lambda _{v}\cdot (x^{\mu }),$ $\Lambda _{v}:={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$	$(x^{\mu })=\Lambda _{v}^{-1}\cdot ({x'}^{\mu }),$ $\Lambda _{v}^{-1}={\begin{pmatrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Vierer-Koordinaten:

$(x^{\mu }):={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}},\quad ({x'}^{\mu }):={\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}.$

Als Funktion des Parameters θ (in γ= cosh θ) bilden die Transformationen Λ(θ) entlang einer Achse eine Ein-Parameter-Gruppe von Matrizen:

$\Lambda (\theta _{1}+\theta _{2})=\Lambda (\theta _{1})\cdot \Lambda (\theta _{2}),\quad \Lambda (0)=\mathbf {1} ,\quad \Lambda (-\theta )=\Lambda (\theta )^{-1}.$

Zeitdilatation

Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich die Eigenzeit $\tau$ als Ablesung zwischen zwei Ortszeiten (Zeiten an Bord) $\tau _{o}$ im gemessenen Ruhesystem-Zeitabstand $t=\Delta t_{o}$:

$\tau =\Delta \tau _{o}=t\cdot {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

$t=\Delta t_{o}={\frac {\tau }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

$\tau _{0}:\quad$ (Eigenzeit) Uhr an Bord des Flugkörpers

$t_{0}:\quad$ (Laborzeit) Uhr, die im Bezugssystem ruht

Anmerkung. Die Bordzeit geht langsamer als die Laborzeit. Zum Beispiel leben unstabile Myonen ein Vielfaches lânger in Laborzeit, wenn sie nahe an Lichtgeschwindigkeit beschleunigt wurden.

Sollte nicht auch anders herum die Laborzeit langsamer gehen, vom Flugkörper aus gemessen? Tut sie. Im ersten Fall erfassen die Stoppuhren zwei Ereignis-Marken am Flugobjekt, im zweiten Fall am Laborzentrum.

[1]$\quad \Delta x=v\cdot \Delta t,\;\Delta x'=0\;\Rightarrow \;\Delta t'=\Delta t/\gamma ,$

[2]$\quad \Delta x'=-v\cdot \Delta t',\;\Delta x=0\;\Rightarrow \;\Delta t=\Delta t'/\gamma .$

Um die wirklich interessante Zeitbilanz von Rundwegen — mit Beschleunigungen also — zu erhalten, muss die Allgemeine Relativität bemüht werden. Es gibt kein "Zwillingsparadoxon".

Längenkontraktion

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus. Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:

$L'=L_{0}\cdot {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Uhrendesynchronisation

Die Relativität der Gleichzeitigkeit bewirkt eine Desynchronisation der Uhren im Abstand $\Delta x=x_{2}-x_{1}$, wobei sowohl dieser Abstand als auch die Bewegungsrichtung v vorzeichenbehaftet sind. Maßgeblich für den Gangunterschied $\tau _{\Delta }$ sind nur die Komponenten des Abstandes in Richtung der Bewegung:

$\tau _{\Delta }=\Delta \tau _{o}=\Delta x'\cdot v_{rad}/c^{2}=\Delta x\cdot \gamma \cdot v_{rad}/c^{2}$.

Dabei ist zu beachten, dass die Uhren bei $x'_{1}$ und $x'_{2}$ vom Beobachter gleichzeitig abgelesen werden und nicht gleichzeitig vom beobachteten System aus gesehen, genau daraus resultiert die beobachtete Uhrendesynchronisation.

Rot-/Blauverschiebung

Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.

$k=f/f'=k_{\gamma }\cdot k_{dop}$

mit f beobachtete Frequenz und f' Originalfrequenz

Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.

$k_{\gamma }:=1/\gamma ={\sqrt {1-\beta ^{2}}}$

Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):

$k_{dop}:=1/(1+\beta _{rad})$

Bei Annäherung zum Beobachter (v < 0) ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:

$k_{blue}=1/(1-|\beta _{rad}|)=1/(1-|v_{rad}|/c)$ insgeamt also $k={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-|\beta _{rad}|}}$

Bei Entfernung vom Beobachter (v > 0) ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:

$k_{red}=1/(1+\beta _{rad})=1/(1+v_{rad}/c)$ insgeamt also $k={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta _{rad}}}$

Der z-Faktor ergibt sich aus

$z:=k-1$

Kinematik

Die Bahnkurve eines fliegenden Objekts kann entweder als Funktion der Laborzeit $\;x^{\mu }(t)\;$ aufgezeichnet werden, oder besser als Funktion der Eigenzeit $\;x^{\mu }(\tau )\;$, die eine mitgeführte Uhr an Bord liefert (mit Funksignalen ans Labor).

Geschwindigkeit

Definition. Vierergeschwindigkeit:

$u^{\mu }:={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} t}},\quad \gamma =\gamma ({\vec {v}}(t))=(1-{\vec {v}}^{2}/c^{2})^{-1/2}.$

Es gilt:

$(u^{\mu })=\gamma \cdot {\begin{pmatrix}c\\{\vec {v}}\end{pmatrix}}.$

Die Minkowski-Norm der Vierergeschwindigkeit ist konstant:

$c^{2}=\|(u^{\mu })\|^{2}=\sum _{\mu }u^{\mu }u_{\mu }.$

Beschleunigung

Definition. Viererbeschleunigung:

$a^{\mu }:={\frac {\mathrm {d} u^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma {\frac {\mathrm {d} u^{\mu }}{\mathrm {d} t}}.$

Ableitung des Lorentzfaktors:

${\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}={\frac {\gamma ^{3}}{c^{2}}}\langle {\vec {v}},{\vec {a}}\rangle .$

Es gilt:

$(a^{\mu })={\frac {\gamma ^{4}}{c^{2}}}\langle {\vec {v}},{\vec {a}}\rangle {\begin{pmatrix}c\\{\vec {v}}\end{pmatrix}}+\gamma ^{2}{\begin{pmatrix}0\\{\vec {a}}\end{pmatrix}}.$

Die Vierervektoren $\;x^{\mu },\;u^{\mu },\;a^{\mu }\;$ transformieren sich mit der gleichen Lorentz-Matrix beim Wechsel in ein gleichförmig bewegtes Bezugssystem. Der Parameter Eigenzeit verändert sich nicht.

Klassische Addition der Geschwindigkeiten

Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

$v_{ges}=v_{1}+v_{2}$

Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

$v_{ges}={\dfrac {v_{1}+v_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}\cdot v_{2}}{c^{2}}}}}=c\cdot \tanh(\theta _{1}+\theta _{2}\dots )=c\cdot \tanh(\operatorname {artanh} (v_{1}/c)+\operatorname {artanh} (v_{2}/c)\dots )$

Dynamik

Die Galilei-Transformationen sind die Symmetriegruppe der Newtonschen Mechanik, die Lorentz-Transformationen sind die der Maxwellschen Elektrodynamik. Die Spezielle Relativität postuliert den Vorrang der Lorentzgruppe. Daher müssen die Grundbegriffe der Mechanik wie Kraft, Energie, Impuls so geändert werden, dass auch sie sich mit den Lorentz-Matrizen transformieren. Die spektakulärste Konsequenz davon ist die Ruhe-Energie E=mc².

Impuls

Für den relativistischen Impuls eines Flugkörpers mit der trägen Masse $\;m_{0}\;$ ergibt sich:

${\vec {p}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.$

Definition. Viererimpuls:

$p^{\mu }:=m_{0}u^{\mu }.$

Dieser 4-Vektor kombiniert Energie und Impuls, transformiert sich mit der Lorentzgruppe, und es gilt:

$(p^{\mu })={\begin{pmatrix}E/c\\{\vec {p}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma m_{0}c\\\gamma m_{0}{\vec {v}}\end{pmatrix}},\quad \Rightarrow \;{\frac {\vec {v}}{c}}={\frac {{\vec {p}}\,c}{E}}$

und:

$\|(p^{\mu })\|^{2}=m_{0}^{2}c^{2}.$

Energie-Impuls-Beziehung:

$(E/c)^{2}-|{\vec {p}}|^{2}=m_{0}^{2}c^{2}\quad$ (Lorentz-invarianter Wert).

Formulierung als „relativistischer Pythagoras“:

$E^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}+(c|{\vec {p}}|)^{2}.$

Die Photonen mit m=0 haben die Energie-Impuls-Beziehung $\;E=|{\vec {p}}|c.$

Anmerkung. Bei den Reaktionen und Zerfällen von Teilchen mit hoher Energie gilt streng die Energie-Impuls-Erhaltung. Die Summe der Vierer-Impulse vorher und nachher ist gleich. Die Auswertung erfolgt nach der Lorentztransformation ins Schwerpunktsystem, wo diese Vektorsumme die Form (E,0,0,0) hat. Man nennt alle Folgerungen aus dem Erhaltungssatz die Kinematik der Reaktion. Die wesentlich schwierigere Dynamik berechnet Quantenfeld-theoretisch die Häufigkeitsverteilung von Art, Zahl, Energien und Flugrichtungen der Produkte.

Kraft

Definition. Viererkraft:

$K^{\mu }:={\frac {\mathrm {d} p^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma {\frac {\mathrm {d} p^{\mu }}{\mathrm {d} t}}.$

Es gilt:

$K^{\mu }=m_{0}a^{\mu }.$

Mit

${\vec {F}}:={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}=\gamma ^{3}m_{0}{\frac {\vec {v}}{c^{2}}}\langle {\vec {v}},{\vec {a}}\rangle +\gamma m_{0}{\vec {a}}$

gilt:

$(K^{\mu })={\begin{pmatrix}K^{0}\\\gamma {\vec {F}}\end{pmatrix}}.$

Relativistische Masse

Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):

$M(v)=\gamma (v)\cdot m_{0}.$

$\gamma (v)\colon$ Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,

$m_{0}\colon$ Ruhemasse.

Anmerkung. In der Teilchenphysik gibt es nur eine Masse, die Ruhemasse. Variable Massen sind ein Rechentrick, um Newton-ähnlichere Formeln vorzuzeigen.

Energie

Einsteins Energieformel:

$E=M(v)\cdot c^{2}=\gamma (v)\cdot m_{0}\cdot c^{2}.$

$E\colon$ Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),

$M(v)\colon$ relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,

$m_{0}\colon$ Ruhemasse.

Ruheenergie:

$E_{0}:=m_{0}c^{2}.$

Kinetische Energie:

$E_{\mathrm {kin} }=E-E_{0}=\gamma m_{0}c^{2}-m_{0}c^{2}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}.$

Maclaurin-Reihe des Lorentzfaktors:

${\begin{aligned}\gamma &={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\bigg (}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2k}}{\bigg )}\beta ^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma {\big (}n+{\frac {1}{2}}{\big )}}{\Gamma (n+1)\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}{\big )}}}\beta ^{2n}\\&=1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\frac {5}{16}}\beta ^{6}+{\frac {35}{128}}\beta ^{8}+\cdots \end{aligned}}$

Vierer-Formalismus

In der Literatur gibt es zwei unterschiedliche Konventionen bei der Signatur (- + + +) und (+ - - -). Beide Konventionen sind gleichwertig. Hier wird die zweite Variante dargestellt:

Vierervektor
$x=\sum _{\mu =0}^{3}x^{\mu }e_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}x_{\mu }e^{\mu }$
$\eta _{\mu \nu }=\langle e_{\mu },e_{\nu }\rangle$	$\eta ^{\mu \nu }=\langle e^{\mu },e^{\nu }\rangle$	$\langle e^{\mu },e_{\nu }\rangle =\delta _{\mu \nu }$
$x_{\mu }=\sum _{\mu ,\nu }\eta _{\mu \nu }x^{\nu }$	$x^{\mu }=\sum _{\mu ,\nu }\eta ^{\mu \nu }x_{\nu }$

Kontravariante Koordinaten	Kovariante Koordinaten
$(x^{\mu }):={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}$	$(x_{\mu }):=(ct,-x,-y,-z)$

Darstellungsmatrix des (pseudo)-metrischen (Minkowski)-Tensors:

$\eta =(\eta _{\mu \nu })={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.$

Es gilt $\eta ^{-1}=\eta$ bzw. $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }$.

Minkowski-Skalarprodukt:

${\begin{aligned}&\langle x,y\rangle :=\eta (x,y)=x^{T}\eta \,y=\sum _{\mu ,\nu }\eta _{\mu \nu }x^{\mu }y^{\nu }\\&=\sum _{\mu }\eta _{\mu \mu }x^{\mu }y^{\mu }=x^{0}y^{0}-x^{1}y^{1}-x^{2}y^{2}-x^{3}y^{3}\\&=\sum _{\mu }x^{\mu }y_{\mu }=x^{0}y_{0}+x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}+x^{3}y_{3}\\&=\sum _{\mu }x_{\mu }y^{\mu }=x_{0}y^{0}+x_{1}y^{1}+x_{2}y^{2}+x_{3}y^{3}.\end{aligned}}$

In der Einsteinkonvention wird das Summenzeichen nicht geschrieben und immer über gleiche Indexvariablen summiert.

Das Minkowski-Skalarprodukt ist nicht positiv definit und daher kein echtes Skalarprodukt.

Quadratische Form:

$q(x):=\langle x,x\rangle =(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

Ein Viererort $x$ (auch Ereignis genannt) heißt

• zeitartig, wenn $q(x)>0$
• raumartig, wenn $q(x)<0$
• lichtartig, wenn $q(x)=0$

Minkowski-Norm:

$\|x\|:={\sqrt {|q(x)|}}={\sqrt {|(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}|}}$

Die Minkowski-Norm ist keine echte Norm im Sinne eines normierten Raumes.

Minkowski-Metrik:

$d(x_{1},x_{2}):=\|x_{1}-x_{2}\|={\sqrt {|q(x_{1}-x_{2})|}}$

mit $q(x_{1}-x_{2})=(ct_{1}-ct_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}-(y_{1}-y_{2})^{2}-(z_{1}-z_{2})^{2}$.

Die Minkowski-Metrik ist keine echte Metrik im Sinne eines metrischen Raumes.

Linienelement:

$c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=\mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}$

Man kann die beiden Signaturen auch gezielt zur unterschiedlichen Darstellung raumartiger und zeitartiger Abstände verwenden:

$\mathrm {d} s^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}$

$\mathrm {d} \tau ^{2}=\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}/c^{2}-\mathrm {d} y^{2}/c^{2}-\mathrm {d} z^{2}/c^{2}$

Isometriegruppen

Definition. Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion $f$, die einem Ereignis $x=(ct,x,y,z)^{T}$ der Raumzeit ein anderes Ereignis $f(x)=(ct',x',y',z')^{T}$ zuordnet, so dass gilt:

$\forall x,y\in \mathbb {R} ^{4}\colon \,q(f(x)-f(y))=q(x-y),$

wobei $q(x):=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ die quadratische Form ist.

Gruppe der Translationen

Gruppe der Translationen:

$T:=\{T\mid T(x)=x+a,\,T\colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4},\,a\in \mathbb {R} ^{4}\}.$

Gruppe der Rotationen

Rotationsmatrizen:

$R={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&r_{11}&r_{12}&r_{13}\\0&r_{21}&r_{22}&r_{23}\\0&r_{31}&r_{32}&r_{33}\end{pmatrix}},\quad (r_{ij})\in \mathrm {SO} (3).$

Die Gruppe aller Rotationsmatrizen $R$ ist trivial isomorph zur $\mathrm {SO} (3)$ und wird zur Unterscheidung als $\mathrm {SO} (3)(4\times 4)$ notiert.

Die $\mathrm {SO} (3)(4\times 4)$ ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.

Lorentz-Gruppe

Lorentz-Gruppe:

$O(1,3):=\{\Lambda \in \mathbb {R} ^{4\times 4}\mid \forall x,y\in \mathbb {R} ^{4}\colon \langle \Lambda x,\Lambda y\rangle =\langle x,y\rangle \}.$

Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.

Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:

$\forall \Lambda \in O(1,3)\colon \;q(\Lambda x-\Lambda y)=q(x-y)$.

Aus der Definition folgt $q(x')=q(x)$ mit $x':=\Lambda x$. Ausgeschrieben:

$c^{2}\cdot t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}=c^{2}\cdot t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$

bzw.

$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-c^{2}\cdot t'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}\cdot t^{2}$

bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)

$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}+\mathrm {i} ^{2}\cdot c^{2}\cdot t'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\mathrm {i} ^{2}\cdot c^{2}\cdot t^{2}.$

Poincaré-Gruppe

Affine Abbildungen:

$T(x)=\Lambda x+a,\;T\colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4},\;a\in \mathbb {R} ^{4},\;\Lambda \in \mathbb {R} ^{4\times 4}.$

Poincaré-Gruppe:

$E(1,3):=\{T\mid T\;{\text{ist affin und}}\;\forall x,y\in \mathbb {R} ^{4}\colon \;q(T(x)-T(y))=q(x-y)\}.$

Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei $x=0$. Das sind alle Poincaré-Transformationen mit $a=0$. Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit $\Lambda =0$.

ART (Allgemeine Relativitätstheorie)

Verzerrung von Länge und Zeit

Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:

$\gamma _{G}={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {2\cdot \Phi }{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot v_{o}^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {2\cdot g\cdot r}{c^{2}}}}}}$

• $M={\text{Zentralmasse}}$ mit SI-Einheit kg
• $c={\text{Lichtgeschwindigkeit im flachen Vakuum}}$ mit SI-Einheit $2,99792458\cdot 10^{8}$ m/s
• $G={\text{Gravitationskonstante}}$ mit SI-Einheit $6,67408\cdot 10^{-11}$ m³/s²kg
• $r={\text{Abstand vom Gravizentrum}}$ mit SI-Einheit m
• $r_{S}=2\cdot G\cdot M/c^{2}={\text{Schwarzschildradius}}$ mit SI-Einheit m
• $\Phi =-G\cdot M/r={\text{Gravitationspotential}}\,<0$ mit SI-Einheit m²/s²
• $g=-G\cdot M/r^{2}={\text{Gravitationsbeschleunigung}}\,<0$ mit SI-Einheit m/s²
• $v_{f}=c{\sqrt {r_{S}/r}}={\text{Fluchtgeschwindigkeit (klassisch)}}$ mit SI-Einheit m/s
• $v_{o}=c{\sqrt {r_{S}/2r}}={\text{Orbitalgeschwindigkeit (klassisch)}}$ mit SI-Einheit m/s

Das Gravitationspotenzial eines Sterns verformt Raum und Zeit.

Element der flachen Minkowski-Metrik ohne Gravitation, in Kugelkoordinaten:

$ds^{2}=c^{2}(dt)^{2}-(dr)^{2}-r^{2}\cdot (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta (d\phi )^{2})$

Element der Schwarzschild-Metrik im zentralsymmetrischen Feld:

$ds^{2}=(c/\gamma _{G})^{2}\cdot (dt)^{2}-\gamma _{G}^{2}\cdot (dr)^{2}-r^{2}\cdot (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta (d\phi )^{2})$

$\gamma _{G}(r):=(1-r_{S}/r)^{-1/2}>1,\quad r>r_{S}$

Anschaulich vergeht im Schwerefeld nahe am Zentrum weniger Zeit als weit außen, der Faktor von (dt)² sinkt <1. Die radialen Abstände werden im Nahbereich gestreckt (wachsender Faktor >1 von (dr)² im Vergleich zum euklidischen Raum.

Geometrisches Weltmodell

Die Raumzeit ist eine Mannigfaltigkeit ausgestattet mit Feldern, die der Differenzialgeometrie gehorchen. Lokale, weitgehend beliebige 4-dimensionale Koordinatensysteme überdecken die Raumzeit. Diese sind äquivalent, wo immer sie sich stetig-differenzierbar überlappen. Krummlinige und beschleunigte Bezugssysteme eingeschlossen. Keine Koordinaten haben physikalisch Vorrang, sie sind alle nur rechentechnische Hilfen.

Die quadratische Form ds², auf Tangentialvektoren anzuwenden, beschreibt an jedem Punkt Lorentz-symmetrisch die Maße im Kleinen für Länge und Zeit. Die Variation der metrischen Form von Punkt zu Punkt enthält die Auswirkung der Gravitation. Genauer: die koordinaten-unabhängige Variation, genannt die Krümmung, folgt aus den Massen, Energien und Impulsen anderer Felder.

Das traditionelle ds² meint das metrische Feld g(x), ein symmetrisches Tensorfeld vom Typ (0,2). Die Vierervektoren a mit g(x)(a,a)=0 sind der Lichtkegel, die Menge der Richtungen der Grenzgeschwindigkeit am Raumzeit-Punkt x. g(x)(a,a)>0 sind die zeitartigen Richtungen (das Innere des Kegels). g(x)(a,a)<0 definiert die raumartigen Auslenkungen von x her. Ein Ereignis am Punkt x kann nur dann auf Punkt y einwirken, wenn es eine Kurve mit zeitartigen und/oder lichtartigen Tangenten von x nach y gibt. Die Mannigfaltigkeit hat eine Orientierung Vergangenheit → Zukunft. Geschlossene zeitartige Wege alias Zeitreisen sind realitätsfern, obwohl sie in "pathologischen" Lösungen der Feldgleichungen vorkommen (Gödel, Taub-NUT).

Die klassische Feldtheorie erlebte eine Steigerung.

Modell	Quelle des Feldes	Typ des Feldes	Effekt auf Proben
Newton-Gravitation	Massen-Dichte	Skalares Potenzial	Schwerkraft
Elektrostatik	Ladungsdichte	Skalares Potenzial	Coulomb-Kraft
Elektrodynamik	Ladungs-und-Strom-Dichte	4-Vektor-Potenzial	Lorentz-Kraft
Einstein-Gravitation	Energie-Impuls-Tensordichte	Tensor-Potenzial	Gravitation+Trägheits-Kraft

Horizonte

Im Gravitationsfeld gibt es Gebiete, in denen alle zeitartigen und lichtartigen Kurven gefangen bleiben. Keine Information oder Materie kann aus solchen Käfigen nach außen kommen. Ihre Grenzflächen sind die Ereignis-Horizonte. Alles, was von außen her die Grenze übertritt, wird verschlungen.

Schwarzschildradius

Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:

$r_{S}={\frac {2\cdot G\cdot M}{c^{2}}}$

• Sagittarius A*: $r_{S}\simeq \ 25\cdot 10^{6}$ km (Zentrum der Galaxis)
• Sonne: $r_{S}\simeq \;$ 3 km
• Erde: $r_{S}\simeq \;$ 5 mm

Gravitationsradius

Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:

$r_{G}={\frac {r_{S}}{2}}={\frac {G\cdot M}{c^{2}}}$

Einstein-Effekte der Gravitation

Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jede Beobachterin aus ihrer Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachtenden über die relativen Wirkungen der ART einig.

Gravitations-Zeitdilatation (Näherung)

Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:

$\Delta \tau _{o}={\Delta t_{\infty }}\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}={\Delta t_{\infty }}\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}=\Delta t_{\infty }/\gamma _{G}$

$\Delta t_{\infty }={\frac {\Delta \tau _{0}}{\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}}={\frac {\Delta \tau _{0}}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}}=\Delta \tau _{o}\cdot \gamma _{G}$

• $t_{\infty }={\text{Koordinatenzeit}}$
• $\tau _{o}={\text{Ortszeit beim Radius}}\,r$

Beispiele, übertrieben:

Von weit außen beobachtet ('Raumschiff') läuft die Zeit nahe am Zentrum ('Bodenstation') langsamer, in Zeitlupe. Vom Boden aus gesehen, tickt die Zeit im Raumschiff schneller, im Zeitraffer.

Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus. Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:

$\Delta r_{\infty }=\Delta r_{o}\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}=\Delta r_{o}\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}=\Delta r_{o}/\gamma _{G}$

$\Delta r_{o}={\frac {\Delta r_{\infty }}{\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}}={\frac {\Delta r_{\infty }}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}}=\Delta r_{\infty }\cdot \gamma _{G}$

• $\Delta r_{\infty }=\;$ Radiale Länge weit entfernt vom Zentrum
• $\Delta r_{o}=\;$ Radiale Länge auf einer Kugel mit Umfang = 2πr

Ein radialer Weg aufwärts in Bodennähe ist länger als weit außen in der flachen Geometrie, wenn der Umfang der Kugel im gleichen Maß zunimmt.

Anmerkung. Zeitdilatation, Längenkontraktion meinen hier die trügerische absolute Deutung 'am Raumschiff'. Gälte überall streng die Euklidische Geometrie und eine universelle Koordinatenzeit, dann bekäme ein radiales Metermaß am Radius r eine Kontraktion um (1/γ)<1 und eine Sekunde eine Verlängerung um Faktor (γ)>1.

Vielmehr sind Raum und Zeit krumm, nicht-euklidisch. Meter und Sekunde bleiben an allen Orten gleich, sind geeicht in atomaren Wellenlängen und Perioden. Am Radius r dehnt sich der Raum und läuft die Zeit behäbiger.

Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:

$\lambda '=\lambda _{\infty }\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}=\lambda _{\infty }\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}=\lambda _{\infty }/\gamma _{G}$

und Frequenz:

$f'=f_{\infty }\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}}=f_{\infty }\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}}=f_{\infty }\cdot \gamma _{G}$

Ein Signal von 1000 Hz aus dem Raumschiff wird am Boden als 2000 Hz gemessen, weil die Bodenzeit langsamer vergeht.

Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:

$\lambda _{\infty }=\lambda _{0}\cdot {\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r_{1}\cdot c^{2}}}}}}=\lambda _{0}\cdot {\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r_{2}}}}}}=\lambda _{0}\cdot \gamma _{G}$

und für die Frequenz:

$f_{\infty }=f_{0}\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r_{1}\cdot c^{2}}}}}=f_{0}\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r_{2}}}}}=f_{0}/\gamma _{G}$

Ein Signal von 1000 Hz vom Boden wird im Raumschiff nur als 500 Hz gemessen, weil die Zeit weit außen schneller abläuft.

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

$\alpha \approx {\frac {4\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}=2\cdot {\frac {r_{S}}{r}}$

Ein hypothetischer lichtschneller Massenpunkt in der Mechanik von Galilei und Newton hat eine Hyperbelbahn mit dem halben Winkel zwischen Asymptoten.

Lokale Lichtgeschwindigkeit (Shapiro-Effekt)

In Folge der Zeitdilatation und der Lorentzkontraktion ist die Lichtgeschwindigkeit im Gravitationsfeld geringer, wobei die Lorentzkontraktion nur in radialer Richtung wirksam ist:

${\vec {c}}_{rad}=c\cdot \left(1-{\frac {r_{S}}{r}}\right)=c/{\gamma _{G}}^{2}$

${\vec {c}}_{tang}=c\cdot {\sqrt {1-{\frac {r_{S}}{r}}}}=c/\gamma _{G}$

mit dem Einfallswinkel φ zur radialen X-Achse

$c'={\sqrt {\cos ^{2}{\varphi }\cdot c_{rad}^{2}+\sin ^{2}{\varphi }\cdot c_{tang}^{2}}}={\frac {c}{\gamma _{G}}}\cdot {\sqrt {1-\cos ^{2}{\varphi }\cdot {\frac {r_{S}}{r}}}}$

Ein radial auslaufender Lichtstrahl verzögert sich doppelt (Quadrat von $\gamma _{G}$) wegen der langsameren Zeit und der gedehnten vertikalen Länge nahe am Boden. Versinkt die Bodenstation im Schwarzschild-Radius, wartet das Raumschiff unendlich lange auf ihr letztes Lebenszeichen.

Anmerkung. Die ortsvariable Geschwindigkeit funktioniert gut als Rechentrick, behindert aber die geometrische Interpretation: Im Kleinen ist die Lichtgeschwindigkeit erzkonstant, nämlich homogen und isotrop gleich c in Normalkoordinaten, also in lokalen Inertialsystemen um jeden Raumzeit-Punkt. Nur streckt und krümmt sich stellenweise der Raum und die Zeit macht "Pausen". Deshalb braucht das 'Licht' länger, wenn es etwa als Radar-Echo an der Sonne vorbei streicht. Ein ähnlicher Bluff versieht die Raumzeit mit dielektrischen und magnetischen Permeabilitäten $\epsilon =\mu =\gamma _{G}$.

Perihel-Bewegung der Merkur-Bahn

Bestimmungsstücke der elliptischen Planetenbahn sind

• a,b große und kleine Halbachse
• $e:={\sqrt {1-(b/a)^{2}}}$ Exzentrizität. Brennpunkte bei ±a·e vom Zentrum auf der großen Achse.
• Perihel und Aphel: $a\cdot (1\mp e)=p/(1\pm e);\quad (ap=b^{2})$ (min,max Abstand vom Brennpunkt)

Nach Einstein rückt der Perihelwinkel bei jedem Umlauf vor,

$\Delta \phi =3\pi \cdot (r_{S}/p);\quad p=a(1-e^{2});\quad r_{S}=2GM/c^{2}=$ Schwarzschild-Radius der Sonne ≈ 3 km.

Merkur: e= 0,2036, p≈ 57 Gm, T≈ 88 d,

Δφ ≈ 43 Winkelsekunden/Jahrhundert.

Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie

Die Einstein-Gleichungen

Vorbemerkung. Die Größen im Folgenden sind Felder, also glatte Funktionen, die als Definitionsbereich die 4-dimensionale Raumzeit-Mannigfaltigkeit haben, zumindest eine Teilmenge davon. Die Indizes ihrer Werte-Komponenten beziehen sich zwar auf eine Koordinatenwahl, aber die Gleichungen sehen in allen Koordinaten gleich aus. Das stand ganz vorne bei den Anforderungen an die Theorie. Die geometrisch orientierte Mathematik, Differenzialgeometrie und Tensoranalysis, war das passende Werkzeug.

Der Wertebereich der Vektor- und Tensor-Felder kann von Punkt zu Punkt verschieden "orientiert" sein, wie etwa die Tangentialebenen einer hügeligen Landschaft. Der Feldwert am Punkt p liegt in einer "privaten" Tangentialmenge T(p) des Punktes. In streng formaler Geometrie heißen Felder "Schnitte durch Faserbündel". Die N-Tupel-Komponenten der Feldwerte transformieren sich beim Koordinatenwechel kovariant. Das heißt, punktweise linear mit einer Gruppendarstellung der Jacobimatrix: algebraisch kombiniert aus den Elementen derselben, ihrer Inversen und ihrer Determinanten. Nur Skalarfelder sind invariant.

Moderne Texte lehren Differenzialgeometrie weitgehend mit Axiomen, Definitionen, Sätzen und Beweisen, die ganz ohne Koordinaten auskommen. Die Abstraktion unterstreicht die Willkür solcher Bezugssysteme, erreicht mathematische Eleganz, verjagt Indexwälder aus den Gleichungen. Dann und wann beim konkreten Rechnen muss die Physik sich aber doch damit plagen.

Hier kommt altbackener Unterricht mit Koordinatendarstellungen. Das sind Funktionen $\;x^{\mu }(p),{\text{ wo }}p\in M\;$ ein allgemeiner Punkt der Raumzeit-Mannigfaltigkeit ist. p und M und die Felder auf M existieren, bevor überhaupt jemand mit Koordinaten kommt und darauf bezogene Messungen vornimmt.

Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:

$G_{\mu \nu }=\kappa \cdot T_{\mu \nu }\quad {\text{wobei }}\;G_{\mu \nu }:=R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\cdot {\frac {R}{2}}$

mit:

• $G_{\mu \nu }={\text{Einsteinscher Tensor}}$ mit SI-Einheit 1/m²
• $T_{\mu \nu }={\text{Energie-Impuls-Tensor}}$ mit SI-Einheit J/m³
• $R_{\mu \nu }={\text{Ricci-Tensor}}$ mit SI-Einheit 1/m²
• $g_{\mu \nu }={\text{(allgemeiner) metrischer Tensor}}$ mit SI-Einheit 1
• $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }={\text{Ricci-Skalar}}$ mit SI-Einheit 1/m²
• $\mu ,\nu ={\text{Indizes (0, 1, 2, 3)}}$
• $\kappa :={\frac {8\pi G}{c^{4}}}={\text{Einsteinkonstante}}$ mit SI-Einheit $2,07650\cdot 10^{-43}$ 1/N
• $G={\text{Gravitationskonstante}}$ mit SI-Einheit $6,67408\cdot 10^{-11}$ m³/s²kg
• $c={\text{Lichtgeschwindigkeit im flachen Vakuum}}$ mit SI-Einheit $2,99792458\cdot 10^{8}$ m/s
• $\pi ={\text{Kreiszahl}}$

Der Energie-Impuls-Tensor T ist das Feld der in der Raumzeit verteilten, sich bewegenden Materie und enthält die Informationen über die Dichte und Strömung von Massen, Energien, Impulsen. Energie und Masse sind äquivalent und 'fühlen' und erzeugen Gravitation.

Die Materie verursacht die verformte Metrik g der Raumzeit, genannt das Gravitationsfeld:

$ds^{2}=g_{\mu \nu }(x)\cdot (dx^{\mu })(dx^{\nu })=g_{00}\cdot (c\;dt)^{2}+(g_{0i}+g_{i0})\cdot (c\;dt)(dx^{i})+g_{ik}\cdot (dx^{i})(dx^{k})\quad (i,k=1,2,3).$

Das Ricci-Tensorfeld R ergibt sich in 2 Schritten aus Ableitungen dieses metrischen Feldes $g_{\mu \nu }(x)$, hängt nicht von einer Koordinatenwahl ab und charakterisiert die Krümmungen der Geometrie von Raum und Zeit:

$\Gamma _{\mu \,\rho \sigma }=g_{\mu \nu }\Gamma _{\rho \sigma }^{\nu }={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\mu \rho }}{\partial x^{\sigma }}}+{\frac {\partial g_{\mu \sigma }}{\partial x^{\rho }}}-{\frac {\partial g_{\rho \sigma }}{\partial x^{\mu }}}\right)\quad$(Christoffel-Funktionen)

$R_{\mu \nu }={\frac {\partial \Gamma _{\mu \rho }^{\rho }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial \Gamma _{\mu \nu }^{\rho }}{\partial x^{\rho }}}+\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }\Gamma _{\nu \rho }^{\sigma }-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }\quad$(Ricci-Tensor)

Ein "Operator" führt also vom Tensor g nach G:

$\mathbf {g} \mapsto \mathbf {G} \{\mathbf {g} \}=\mathbf {R} -{\frac {R}{2}}\cdot \mathbf {g} :\quad G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{\mu \nu }\cdot g^{\rho \sigma }R_{\rho \sigma }\;,{\text{ wo }}g_{\mu \rho }g^{\rho \nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.$

Symbol g mit Hoch-Indizes ist dual zum g-Tensor, siehe unten. Es gilt $\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }=g^{\mu \nu }\Gamma _{\nu \;\sigma \rho }.$

Die Feldgleichungen G{g} = κ·T sind nichtlineare partielle Differenzialgleichungen für g, wenn der Zustand der strömenden Materie, das Tensorfeld T, bekannt ist. Im linearen, statischen Vorgängermodell der Gravitation gab es statt T die einfache Dichteverteilung ρ und statt g das skalare Potenzial Φ. Und die Gleichung lautete –ΔΦ = (4πG)·ρ. Im neueren Modell spielt die Zeit mit. Das g-Feld hat Eigendynamik, Wellenausbreitung, Energietransport.

Anmerkung. Warum ist G so kompliziert? Ein zeitunabhängiger Δ-Operator ist nicht einmal Lorentz-invariant. Dagegen ist der Tensor-Operator G{·} allgemein kovariant (Pflicht!) und praktisch der einzige der nötigen (divergenzfreien) Art. Jemand musste ihn finden (Hilbert kurz vor Einstein, sagt man).

Die Schwarzschild-Metrik ist die kugelsymmetrische, statische Lösung der Differenzialgleichungen außerhalb der Materie (T = 0), die als Asymptote die flache Minkowski-Metrik hat.

Konvention: Griechische Indizes haben den Wertebereich {0,1,2,3} und die lateinischen {1,2,3}. In jedem Term wird über doppelt vorhandene Indizes summiert, wenn einer tief und der andere hoch steht.

Anmerkung. Faktoren wie $(dx^{\mu })$ werden gern hemdsärmelig als "kleine Abweichungen" behandelt, und so verstandene Berechnungen funktionieren. Streng mathematisch-technisch sind sie aber 1-Formen, äußere Ableitungen d der Koordinatenfunktionen.

Bewegung von Körpern im Gravitationsfeld

Der freie Fall, also die Bewegung bei Schwerelosigkeit, eines Testkörpers ('Raumsonde') verläuft auf einer zeitartigen geodätischen Kurve.

Vierevektor x(s) ist Funktion des reellen Parameters s.

${\frac {dx^{\mu }}{ds}}=u^{\mu }\quad$ (Vierergeschwindigkeit)

${\frac {du^{\mu }}{ds}}=-\Gamma _{\nu \rho }^{\mu }\cdot u^{\nu }\cdot u^{\rho }\quad$ (Viererbeschleunigung)

Die Γ=Γ(x(s)) sind abgeleitet von $g_{\mu \nu }(x(s))$.

$g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }>0\quad$ ist konstant als Funktion von s.

${\bar {x}}({\bar {s}})=x(s);\;{\bar {s}}=a\cdot s+b;\;a>0\quad$ löst die selbe Gleichung (s = affiner Parameter).

Mit der Anfangsbedingung $g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=1\;$ misst der Parameter s die Eigenzeit (mal c) an Bord der Raumsonde.

Längs einer allgemeinen zeitartigen Weltlinie x(s) (die Sonde verwendet Raketen, steht auf dem Mond, usw.) wächst die Eigenzeit mit

$\tau (t)=\int _{0}^{t}{\sqrt {g_{\mu \nu }(x(s))u^{\mu }(s)u^{\nu }(s)}}\;ds$

Beispiel, der ruhende Punkt in der Schwarzschild-metrik "verbraucht" weniger als die Koordinatenzeit.

$x(s)=(s,{\vec {r}})\;\Rightarrow \;\tau (t)=\int _{0}^{t}{\sqrt {g(u,u)}}\;ds=t/\gamma _{G}(r)<t$

Lichtstrahlen sind Null-Geodäten. Sie haben keine definierte 'Zeit'.

$x(s);\quad u^{\mu }=dx^{\mu }/ds;\;u^{\mu }g_{\mu \nu }u^{\nu }=0;\;(du^{\mu }/ds)=-\Gamma _{\nu \rho }^{\mu }u^{\nu }u^{\rho }$

Anmerkung. Die Geodäten der Riemannschen Geometrie lösen das Variationsproblem, Punkte mit Linien kleinster Länge zu verbinden. Zeitartige Geodäten der Gravitation allerdings sind oft lokale Extrema mit maximaler Eigenzeit! Das Zwillingsphänomen oder: Bewegung hält jung. Bob, der schwerelos ohne sich zu regen von A nach B kommt, altert mehr als Alice, die nach Beschleunigungen, Umwegen, gefühlter Erdanziehung, zum Treffpunkt B gelangt.

Motivation. In rotierenden und allgemein in beschleunigten Systemen benutzt die nichtrelativistische Mechanik die massen-proportionalen Trägheitskräfte wie Zentrifugal- und Coriolis-Kraft. Sie werden Scheinkräfte genannt, da sie in Inertialsystemen verschwinden. Die Gleichheit von schwerer und träger Masse führte der Entdecker der ART darauf zurück, dass auch die Gravitation eine Art Scheinkraft ist. Im frei fallenden Aufzug gleich Null. Trägheits- und Schwerkräfte werden äquivalent und formen zusammen die Bahnbewegung geometrisch, also zwangsweise koordinaten-kovariant. Die Geodätenformel leistet genau das.

Varianten der Schwarzschild-Metrik

$\gamma _{G}(r)=\left(1-{\frac {r}{r_{S}}}-{\frac {\lambda r^{2}}{3}}\right)^{-1/2}$

enstpricht einer Einstein-Gleichung mit kosmologischem Term

$R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

Anmerkung. In Dimension 4 unter sehr schwachen Voraussetzungen sind dies die einzig möglichen Tensor-Differenzialgleichungen, die ein Extremalproblem lösen mit der Eigenschaft:

• Allgemein-relativistisch ( = koordinaten-kovariant = geometrisch ).

Anmerkung. Erhaltungssätze machen die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors zu Null. Einsteins Gleichung koppelt die Metrik an den divergenzfreien Tensor so einfach wie es geht, besagt folgender Satz von Weyl/Cartan:

Wenn eine lokale Tensorfunktion T(g) eines (0,2)-Tensors g kovariant-divergenzfrei ist und zweite Ableitungen von g höchstens linear enthält, dann ist T(g) eine Linearkombination aus dem Einstein-Tensor G(g) und g selbst.

Reissner-Nordström-Metrik: Die Modifikation

$\gamma _{G}(r)=\left(1-{\frac {r}{r_{S}}}+{\frac {q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1/2}$

entspricht einer elektrisch geladenen zentralen Masse und erfüllt die gekoppelten Einstein-Maxwell-Gleichungen.

Die innere Schwarzschild-Lösung füllt eine Kugel mit idealem druckfreiem Medium, kosmischem Staub. Sie hat keine Singularität am Ursprung und die Form

$ds^{2}=(a-b\;f(r))^{2}(c\;dt)^{2}-(1/f)^{2}(dr)^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;d\phi ^{2})$

An die Vakuum-Metrik außen anschließen kann man mit drei Radien $r_{X}>r_{*}>r_{S}:$

$r_{S}$ : Divergenz der Vakuum-Schwarzschild-Lösung

$r_{*}$ : Stern-Radius, Stetigkeitspunkt für Außen- und Innenlösung

$r_{X}$ : Divergenz der Innenraum-Lösung, Funktion von $(r_{S},r_{*})$

$f(r)=(1-(r/r_{X})^{2})^{1/2}$

$1-r_{S}/r_{*}=1-r_{*}^{2}/r_{X}^{2}=(a-b\;f(r_{*}))^{2}$

$b=1/2;\quad a=(3/2)\cdot f(r_{*});\quad r_{X}=r_{*}\cdot {\sqrt {r_{*}/r_{S}}}$

Eigenschaften des metrischen Feldes

• Ist zugleich Gravitationspotenzial und Maß für Länge, Zeit, Höchstgeschwindigkeit.

• $g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }$; Signatur der Eigenwerte von g: (+ – – –).

• Das Newtonsche Potenzial der schwachen Gravitation $(\Phi ({\vec {r}})<0;\;\Phi (\infty )=0)$ steckt im metrischen Tensor:

$x=(t,{\vec {r}});\quad g_{00}(x)=1+2\Phi ({\vec {r}})/c^{2}={\gamma _{G}}^{-2}.$

• Zu jedem Raumzeit-Punkt x gibt es 'lokal-inertiale' Koordinaten, so dass genau für x die Minkowski-Metrik zutrifft ('freier Fall'):

$g_{\mu \nu }(x)={\text{diag}}(1,-1,-1,-1);\quad \Gamma _{\mu \nu }^{\rho }(x)=0.$

Solche Bezugssysteme heißen Normalkoordinaten am Pol x.

• g definiert einen affinen Zusammenhang. Eine kovariante Ableitung, deren Null-Richtungen anzeigen, wo auf Vektorfeldern Längen und Winkel ($\simeq g_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu }$ ) erhalten bleiben:

$D_{\mu }a^{\nu }=:a_{;\mu }^{\nu }=(\partial a^{\nu }/\partial x^{\mu })+\Gamma _{\rho \mu }^{\nu }a^{\rho }$

• g definiert geodätische Kurven: die kovariante Ableitung der Tangenten ('Vierergeschwindigkeit') in ihrer eigenen Richtung ist Null.

• g definiert Tensor-Transformationen (Heben und Senken von Indizes).

Definition $g^{\mu \nu }\;:\quad g^{\mu \rho }g_{\rho \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }=g_{\nu \rho }g^{\rho \mu }.$

(dualer Tensor, ist rechnerisch die inverse Matrix)

Die Metrik bindet zu jedem Index ein duales Tensorpaar T, hier mit unbeteiligten Indexmengen A,B:

$T_{B}^{A\mu }=g^{\mu \nu }T_{B\nu }^{A};\quad T_{B\mu }^{A}=g_{\mu \nu }T_{B}^{A\nu }.$

• Die kovariante Ableitung wird per Produktregel erweitert auf Tensoren jeden Typs und bildet (r,s)-Tensoren auf (r,s+1)-Tensoren ab:

$D_{\rho }T_{B\nu }^{A\mu }=:T_{B\nu ;\rho }^{A\mu }=(\partial T_{B\nu }^{A\mu }/\partial x^{\rho })+\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }T_{B\nu }^{A\sigma }+...-\Gamma _{\nu \rho }^{\sigma }T_{B\sigma }^{A\mu }-...$

(Addition für jeden hohen, Subtraktion für jeden tiefen Index)

• g definiert ein vierdimensionales Volumen-Maß für koordinaten-unabhängige Integrale,

$d^{4}v:={\sqrt {|\det[g_{\mu \nu }]|}}\;dx^{0}\;dx^{1}\;dx^{2}\;dx^{3}$

Der Faktor wird abgekürzt notiert als ${\sqrt {-g}}$, denn $g=\det[g_{\mu \nu }]<0.$

• Aus Bianchi-Identitäten folgt: Die kovariante Divergenz des Einstein-Tensors ist Null,

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}g_{\mu \nu }\cdot R;\quad G_{\nu }^{\mu }:=g^{\mu \rho }G_{\rho \nu };\quad D_{\mu }G_{\nu }^{\mu }=G_{\nu ;\mu }^{\mu }=0.$

• Rechenregel zwischen gewöhnlicher und kovarianter Divergenz und dem Maß-Faktor:

${\sqrt {-g}}\;D_{\mu }\,T_{B}^{A\mu }=\partial _{\mu }\;[{\sqrt {-g}}\;T_{B}^{A\mu }]$

Anmerkung. Gewöhnliche Ableitungen allein zerstören die Koordinaten-Kovarianz, definierende Eigenschaft eines Tensorfeldes.

Die kovariante Ableitung von Skalaren ist die gewöhnliche, ihr Gradient.

Für die kovariante Ableitung, hier entweder mit "D"-Präfix oder mit Semikolon-verziertem Index notiert, kommt in der Literatur mancherlei andere Symbolik vor.

Anmerkung. Schon ohne Metrik sind duale ('kontragredient' transformierende) Vektor- und Tensorräume an jedem Punkt angeheftet.

• Tangentialraum mathematisch = Menge der Richtungsableitungen $a^{\mu }\partial _{\mu },$

• Sein Dualraum mathematisch = Menge der Pfaffschen 1-Formen $b_{\mu }\;dx^{\mu }.$

Ein Tensor vom Typ (r,s) am Punkt x ist ein Element des Tensorprodukts aus r Faktoren Tangentialraum und s Faktoren Dualraum. Tensoren sind die Bausteine der Theorie, weil sie unabhängig von Koordinaten existieren. Nur ihre Darstellung wird linear transformiert.

Anmerkung. Die Γ-Christoffel-Symbole enthalten Schwerkraft-plus-Trägheitskräfte. Sie sind keine Tensoren und können in passenden Bezugssystemen an gezielten Punkten verschwinden: Äquivalenzprinzip, Schwere=Träge Masse, Gravitation = verformte Geometrie statt traditionelle 'Kraft'.

Anmerkung. Die Gamma-Symbole folgen eindeutig aus zwei Forderungen

• $\Gamma _{\nu \rho }^{\mu }=\Gamma _{\rho \nu }^{\mu }\;$ (Symmetrie)
• $D_{\rho }g_{\mu \nu }=0\;$ (Kovariante Ableitung von g = Null)

Die Krümmung

Anders als die gewöhnlichen partiellen Ableitungen vertauschen die kovarianten nicht. Jedoch ist ihr Kommutator eine lineare Abbildung im Tangentialraum, ein Tensor vom Typ (1,3).

Mit Tangentialvektoren $a,b,c\in T_{x}(M):$

$(D_{a}c)^{\mu }=a^{\nu }(\partial c^{\mu }/\partial x^{\nu }+\Gamma _{\rho \nu }^{\mu }c^{\rho })$

(kovariante Richtungsableitung ist linear in a, nicht in c)

$[D_{a},D_{b}]c:=D_{a}D_{b}c-D_{b}D_{a}c$

$([D_{a},D_{b}]c)^{\mu }=:a^{\nu }b^{\rho }\cdot R_{\sigma \nu \rho }^{\mu }c^{\sigma }\quad$ (Krümmungstensor, multilinear)

$R_{\nu \rho \sigma }^{\mu }=(\partial \Gamma _{\nu \rho }^{\mu }/\partial x^{\sigma })-(\partial \Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }/\partial x^{\rho })+\Gamma _{\tau \rho }^{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\tau }-\Gamma _{\tau \sigma }^{\mu }\Gamma _{\nu \rho }^{\tau }.$

Der Ricci-Tensor, die Kontraktion (= Spurbildung, Verjüngung) über den ersten und letzten Index des Riemannschen Krümmungstensors, ist symmetrisch.

$R_{\mu \nu }=R_{\mu \nu \rho }^{\rho };\quad R_{\mu \nu }=R_{\nu \mu }$

Bianchi-Identität. Eine zyklische Summe von kovarianten Ableitungen über das antisymmetrische Indexpaar des Krümmungstensors ist Null.

$D_{\tau }R_{\nu \rho \sigma }^{\mu }+D_{\rho }R_{\nu \sigma \tau }^{\mu }+D_{\sigma }R_{\nu \tau \rho }^{\mu }=0$

Der affine Zusammenhang erlaubt es, Vierervektoren a 'möglichst starr' entlang von Kurven x(s) zu transportieren mittels der Vektor-Differenzialgleichung

$u^{\mu }=dx^{\mu }/ds;\quad 0=Da^{\mu }/ds:=(da^{\mu }/ds)+\Gamma _{\nu \rho }^{\mu }a^{\nu }u^{\rho }$

Speziell ist 0=Du/ds die Gleichung von geodätischen Kurven x(s).

Die Krümmung verschwindet genau dann, wenn der Vektor-Transport über geschlossene Kurven stets die Identität ergibt. Andernfalls erzeugen solche Transporte eine nichttriviale Gruppe von linearen Transformationen. Je nach Topologie der Mannigfaltigkeit kann diese Gruppe deutlich größer sein für globale als für lokale Kurven.

Eine Lösung der Transportgleichung wird als Menge von parallelen Vektoren längs der Kurve interpretiert. Nur im flachen Räum gibt es einen globalen Parallelismus.

Definition Konstante Krümmung.

Eine Raumzeit hat konstante Krümmung, wenn der Krümmungstensor eindeutig durch den Ricci-Skalar bestimmt ist.

$R_{\mu \nu \rho \sigma }=g_{\mu \tau }R_{\nu \rho \sigma }^{\tau }=(1/12)\cdot R(g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }-g_{\mu \sigma }g_{\nu \rho })$

Äquivalent: $R_{\mu \nu }={\tfrac {1}{4}}Rg_{\mu \nu }$

Äquivalent: der Weyl-Tensor ist Null. Formel?

Aus kontraktierten Bianchi-Identitäten folgt:

• R ist konstant auf der Raumzeit. Die Raumzeit ist homogen.
• Einstein-Tensor $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}g_{\mu \nu }=-{\tfrac {1}{4}}Rg_{\mu \nu }$
• Die Raumzeit ist ein Vakuum mit der kosmologischen Konstanten λ=R/4.

Der Fall R>0 heißt ein De-Sitter-Raum, R<0 ist ein Anti-De-Sitter-Raum.

Kruskal-Koordinaten

Die Schwarzschild Metrik (Zeit als ct in Metern, Winkelanteil als W abgekürzt) hat die Form

G = f(r)(dt)² - (1/f(r))(dr)² - r²·W.

f(r) = 1 - R/r hat eine störende Nullstelle bei r=R.

Mit vier Tricks geht es vom Koordinatenpaar (t,r) zu einem System (t',r') ohne die Divergenz bei R.

• Transformation r→s, so dass (dt)² und (ds)² den gleichen Faktor f(r) haben,

• Transformation (t,s)→(v,w) auf antidiagonale Metrik (dv)·(dw),

• Skalierung v'∝exp(v), w'∝exp(-w) so dass (dv')(dw')∝ function(r)·(dv)(dw),

• Rücktransformation auf Diagonalform ((dt')² - (dr')²).

Die nicht-statische Kruskal-Form der Metrik

G = F²(t',r')·[(dt')² - (dr')²] - r²(t',r')·W

erweitert stetig und glatt den Definitionsbereich auf alle r>0.

$(ds)=(1/f)(dr)\;\Rightarrow \;s(r)=\int dr'/f(r')=r+R\ln(r-R)$

$v=t+s,\;w=t-s\;\;\Rightarrow \;G=f(dt^{2}-ds^{2})-r^{2}W=f\cdot (dv)(dw)-r^{2}W$

$v'=\exp(v/2R),\;w'=-\exp(-w/2R)\;\Rightarrow \;\exp((v-w)/2R)=\exp(s/R)=(R-r)\cdot \exp(r/R)$

$(dv')(dw')=\exp((v-w)/2R)/(4R^{2})\cdot (dv)(dw)=:(dv)(dw)/F^{2}$

$t'={\tfrac {1}{2}}(v'+w'),\;r'={\tfrac {1}{2}}(v'-w');\quad (dv')(dw')=(dt')^{2}-(dr')^{2}$

$r=r(t',r'){\text{ wobei }}(t'^{2}-r'^{2})=v'w'=-(r-R)\exp(r/R)$

$F^{2}=F^{2}(t',r')=\exp(-r/R)\cdot 4R^{2}/r$

Die zwei Quadranten r'>|t'| und r'<-|t'| sind abgebildet auf Schwarzschild-Außenzonen r>R, die anderen auf Innenräume. Zwei Exemplare Raumzeit sind über gesperrte Brücken (Horizont) verbunden, sozusagen.

Zentrale Masse in Rotation (Kerr-Metrik)

Diese Metrik mit Koordinatenzeit-unabhängigen Termen ist anzuwenden außerhalb eines Himmelskörpers in Drehbewegung. Sie hat zwei Parameter a,b von der Dimension Länge. a misst den Drehimpuls und b entspricht dem Schwarzschild-Radius. Die Formel ist

1. symmetrisch um eine z-Achse

2. nicht statisch sondern stationär: hat Mischterme '(dt)(dx)' etc.

$ds^{2}=(c\;dt)^{2}-(dx)^{2}-(dy)^{2}-(dz)^{2}-{\frac {br^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\times$

$\left((c\;dt)+{\frac {z}{r}}(dz)+{\frac {r[x(dx)+y(dy)]-a[x(dy)-y(dx)]}{r^{2}+a^{2})}}\right)^{2}$

Die Variable r=r(x,y,z) ist eine Lösung von

$r^{4}-(x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2})r^{2}-a^{2}z^{2}=0.$

An einen Ring auf der xy-Ebene divergiert die Metrik mit r=0. Die Lösungsmannigfaltigkeit hat zwei Sätze von xyz-Koordinaten, die an der zentralen Scheibe wechselseitig verklebt sind.

Energie-Impuls-Tensor des Maxwell-Feldes

Alle wichtigen Feldgleichungen können mit der Variationsrechnung als Kriterium für eine stationäre Wirkung dienen. Damit ergibt sich automatisch, wie etwa Materie und Elektromagnetismus ein Gravitationsfeld anregen und wie ein g-Feld umgekehrt auf diese Partner einwirkt. Dass Probemassen auf Geodäten entlang fliegen, folgt aus dem selben Wirkungsprinzip wie die Einstein-Gleichungen. Systematisch enthält solcher Code die ganze Wechselwirkung, gegenseitige Einflussnahme.

Das stationäre Funktional der Felder ist ein koordinaten-invariantes Integral $S=\int d^{4}x\;L$ über eine Dichte, die aus Feldkomponenten und ihren Ableitungen gebaut ist. Das g-Feld selbst hat mit ${\sqrt {-g}}$ einen Dichtefaktor, und im Ricci-Skalar R sind seine Ableitungen verpackt. Also ist

$L_{g}:=R\cdot {\sqrt {-g}}$

ein brauchbarer Integrand, nämlich die Einstein-Hilbert-Lagrangedichte. Die Euler-Lagrange-Variation $\delta S/\delta g_{\mu \nu }$ liefert den Einstein-Tensor. Dessen Verschwinden ergibt die Einstein-Gleichungen im Vakuum.

Die Variation der Feldkomponente f einer Lagrange-Dichte

${\bar {L}}(x)=L(x,\;f(x),\;\partial _{\mu }f(x),\;\partial _{\mu }\partial _{\nu }f(x)),\quad S=\int d^{4}x\;{\bar {L}}(x),$

ist die reellwertige Dichte, an jedem Punkt x auszuwerten:

${\frac {\delta S}{\delta f}}={\frac {\partial L}{\partial f}}-\partial _{\mu }\,{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }f)}}+\partial _{\mu }\partial _{\nu }\,{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }f)}}.$

Zusatzterme zum g-Feld-Integranden wären skalare Funktionen anderer Felder, mal ${\sqrt {-g}}$, womit sie unweigerlich an die Gravitation koppeln. Die Feldfunktionen haben mindestens Quadratisches, linear allein gibt die Variation solcher Felder zu wenig her.

Die Eigendynamik des g-Feldes steckt in $L_{g}$, also in R. An die anderen Felder soll g koppeln ohne seine Ableitungen in Dichten $L_{k}(g,\;a,b,...)$. Die Euler-Lagrange-Variation

$\delta S_{k}/\delta (g_{\mu \nu })=\partial L_{k}/\partial g_{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\cdot T^{\mu \nu }$

ist dann per Definition der Energie-Impuls-Tensor (mal ${\sqrt {-g}}$) der Felder, die Gravitation erzeugen.

(Rechenregel am Rande: Wird nach einer Größe mit Tief-Index abgeleitet, erhält die andere Seite der Gleichung einen Hoch-Index. Und umgekehrt. Daher auch die Operator-Notation $\;\partial _{\mu }f:=\partial f/\partial x^{\mu }.$)

Beispiel Vektorfeld a. Es soll eine Kinetik haben, also mit Ableitungen auftreten. Quadratisch, so einfach es geht. Sei a eine 1-Form $a_{\mu }\;dx^{\mu }$. Nun gilt, dass Gradientenfelder ($\,\partial _{\mu }a_{\nu }=\partial _{\nu }a_{\mu }$) nicht zu invarianten Lagrange-Dichten beitragen. Also baut man die Dichte aus Termen

$f_{\mu \nu }=\partial _{\mu }a_{\nu }-\partial _{\nu }a_{\mu }.$

Das ist ein Tensor, nämlich die 2-Form da, äußere Ableitung der Form a. (Auf der Grassmann-Algebra der k-Formen ist allgemein dieser d-Operator automatisch kovariant, ohne Hilfsgrößen Γ). Ansatz

$L_{k}=-{\sqrt {-g}}\cdot [(f_{\mu \nu }f^{\mu \nu })/(16\pi )-a_{\mu }j^{\mu }].$

Der Faktor entspricht Maßeinheiten, deren Einzelheiten hier übergangen werden. Probeweise koppelt noch ein Strom-Feld j linear an. Das g-Feld fließt implizit über das Heben der Indizes ein und ermöglicht einen invarianten bilinearen Skalar.

Der Energie-Impuls-Tensor des Vektorfelds a hat die Formel

$T_{\mu \nu }=(1/4\pi )\cdot [-f_{\mu \rho }f_{\nu \sigma }g^{\rho \sigma }+{\tfrac {1}{4}}(f_{\rho \sigma }f^{\rho \sigma })g_{\mu \nu }].$

Die Variation des Lagrange-Funktionals S nach $a_{\nu }$ ergibt die Feldgleichung

$D_{\mu }f^{\mu \nu }=-4\pi j^{\nu },$

und die Geschlossenheit (df=0) der exakten 2-Form f (=da) bedeutet

$\partial _{\rho }f_{\mu \nu }+\partial _{\mu }f_{\nu \rho }+\partial _{\nu }f_{\rho \mu }=0.$

In der Minkowski-Metrik und nach Raum und Zeit aufgeschlüsselt bekommen die Gleichungen folgende Form:

$f_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-H_{z}&H_{y}\\-E_{y}&H_{z}&0&-H_{x}\\-E_{z}&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}};\quad {\vec {E}}=(E_{x},E_{y},E_{z}),\;{\vec {H}}=(H_{x},H_{y},H_{z}).$

Ladungs- und Stromdichte: $\;j^{0}=\rho ,\quad {\vec {j}}=(j^{1},j^{2},j^{3}).$

Skalare Invariante: $\;f_{\mu \nu }f^{\mu \nu }={\vec {H}}^{2}-{\vec {E}}^{2}$

Pseudoskalare Invariante: $\;\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }f_{\mu \nu }f_{\rho \sigma }=({\vec {E}}\cdot {\vec {H}});$

${\begin{cases}{\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=\partial _{t}{\vec {E}}+4\pi {\vec {j}};\;&{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\partial _{t}{\vec {H}};\\({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})=4\pi \cdot \rho ;&({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}})=0.\end{cases}}\quad$(Maxwell-Gleichungen)

$\partial _{\mu }j^{\mu }=({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}})+\partial _{t}\rho =0\quad$ (Ladungserhaltung).

Komponenten des Energie-Impuls-Tensors mit i,j,k = 1,2,3 = x,y,z:

$T^{00}=W=(1/8\pi )({\vec {E}}^{2}+{\vec {H}}^{2})\;$ Energiedichte,

$T^{0i}={\vec {S}}=(1/4\pi )\cdot {\vec {E}}\times {\vec {H}}\;$ Poynting-Vektor, Energiefluss,

$T^{jk}=\sigma _{jk}=(1/4\pi )[-E_{j}E_{k}-H_{j}H_{k}+{\tfrac {1}{2}}\delta _{jk}({\vec {E}}^{2}+{\vec {H}}^{2})]\;$ Maxwellscher Spannungstensor.

Fazit. Das Maxwellfeld und seine Energien und Impulse sind wohl die unvermeidliche Folge einer Variationsrechnung, die Vektorfeld und metrisches Tensorfeld vermischt. Die Einstein-Maxwell-Gleichungen gehören praktisch zur reinen Mathematik, Kapitel Geometrische Variationsprobleme in Dimension 4.

Regeln für Energie-Impuls-Tensoren. Ableitungen $\;(\partial X/\partial g_{\mu \nu })$ sind zu berechnen, als wären die 16 Komponenten unabhängige Variablen. Sonst würden in Summen bei Kettenregeln die nicht-diagonalen Terme irrtümlich verdoppelt.

$g:=\det[g_{\mu \nu }],\,g<0\;\Rightarrow \;\partial g/\partial g_{\mu \nu }=g\cdot g^{\mu \nu }\;\Rightarrow \;\partial {\sqrt {-g}}/\partial g_{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\cdot g^{\mu \nu };$

$L={\sqrt {-g}}\cdot \ell \;\Rightarrow \;\partial L/\partial g_{\mu \nu }={\sqrt {-g}}\cdot [{\tfrac {1}{2}}g^{\mu \nu }\cdot \ell +(\partial \ell /\partial g_{\mu \nu })].$

Anmerkung. Ein allgemeines Funktional der Form

$S=\int d^{4}x\;{\sqrt {-g}}\cdot \ell (g,\,\partial _{\mu }g,\,...)$

mit einer invarianten skalaren Funktion definiert den Tensor T:

${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\cdot T^{\mu \nu }:=(\delta S\,/\,\delta g_{\mu \nu }).$

Dieser ist kovariant-divergenzfrei, was aus der Invarianz von S unter allen "infinitesimalen Koordinatentransformationen" hergeleitet wird. Streng formuliert, sind das die Vektorfelder a(x), die lokale Ein-Parameter-Gruppen von Diffeomorphismen erzeugen über Differenzialgleichungen

$x\mapsto {\bar {x}}(t,x);\;\partial _{t}{\bar {x}}^{\mu }(t,x)=a^{\mu }({\bar {x}}(t,x)).$

Anmerkung. In Abwesenheit von Gravitation wird aus Lagrangedichten der Form $\,L(f_{i}(x),(\partial _{\mu }f_{i})(x))$ der kanonische Energie-Impuls-Tensor gebildet,

$\Theta _{\nu }^{\mu }=\delta _{\nu }^{\mu }\cdot L-\sum \nolimits _{i}\;(\partial L/\partial (\partial _{\mu }f_{i}))\cdot (\partial _{\nu }f_{i}).$

Für Felder mit stationärer Wirkung ist er genau dann divergenzfrei, $\,\partial _{\mu }\Theta _{\nu }^{\mu }=0$, wenn L nicht explizit von x abhängt. Diese vier Kontinuitäts-Gleichungen, nämlich für Energiedichte und Impulsdichte, sind ein Beispiel der Korrespondenz Symmetrien ←→ Erhaltungsgrößen: Die Translations-Invarianz in Zeit und Raum bedingt die Energie- und Impulserhaltung des Feldes {f}. Ein kanonischer Tensor ist leider nicht symmetrisch und braucht eine antisymmetrische, divergenzfreie Korrektur, bevor er an die Gravitation koppelt.

Energie-Impuls-Tensor des idealen Fluids

Ein Massenpunkt mit Vierergeschwindigkeit

$u^{\mu }\;(g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=1)$,

hat den Energie-Impuls-Vektor $(\,m\,u^{0},m\,{\vec {u}})$, wenn Einheiten mit c=1 gelten. Ein Schwarm solcher Punkte soll kontinuierlich approximiert werden. Es gebe einen Dichteskalar ρ(x) und ein normiertes zeitartiges Vektorfeld u(x), so dass

$J^{\mu }={\sqrt {-g}}\,\rho (x)\,u^{\mu }(x)={\sqrt {-g}}\;j^{\mu }$

die Dichte der Masse und ihre Strömung an jedem Ort angibt. Der Volumenfaktor sorgt für invariante Integrale. Wegen der Erhaltung von Teilchenzahl soll die Kontinuitätsgleichung $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ gelten. Nach den Rechenregeln bedeutet das kovariant:

$D_{\mu }(\rho \cdot u^{\mu })=D_{\mu }j^{\mu }=0$.

Im Minkowski-Ruhesystem ist ρ die gewohnte Dichte, gleich Dichte der Ruheenergie. Bewegt sich der Schwarm ohne innere Wechselwirkung, beschreibt $\rho \cdot u^{\mu }$ die relativistische kinetische Energie und den Impuls.

Das Modell sieht abstoßende Teilchen vor, die sich mit Druck gegen die Verdichtung stemmen. Die totale Energiedichte bei Ruhe ist

$m(x)=\rho (x)\cdot (1+\epsilon (\rho (x))),$

die potenzielle Energie macht die Teilchen schwerer. Die Kompressions-Energiedichte ε hat mit dem Druck p standardmäßig die Beziehung:

$p=\rho ^{2}\,(d\epsilon /d\rho ).$

Die Zustandsgleichung ε=ε(ρ) bzw. p=p(ρ) sei isentrop alias adiabatisch: es gebe keinen Wärmetausch, Temperatur sei irrelevant.

(Leider sind die Buchstaben "p" und "rho" zu ähnlich in Wiki-Typografie, bitte scharf hinsehen.)

Das Wirkungsprinzip nimmt eine stationäre Dichte der Gesamtenergie dieses idealen flüssigen Mediums an, in der Form:

$L_{f}(g,\rho ,u)={\sqrt {-g}}\cdot m={\sqrt {-g}}\cdot \rho (1+\epsilon ).$

Die Dichte L benutzt implizit ein Geschwindigkeitsfeld u mit

$D_{\mu }(\rho \,u^{\mu })=0,\quad g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=1.$

$(dm/d\rho )=1+\epsilon +p/\rho =(m+p)/\rho \quad \Rightarrow$

$D_{\mu }(m\,u^{\mu })=(dm/d\rho )(D_{\mu }\rho )u^{\mu }+m(D_{\mu }u^{\mu })=$

$((m+p)/\rho )(-\rho \,D_{\mu }u^{\mu })+m\,D_{\mu }u^{\mu }=-p(D_{\mu }u^{\mu })\;\Rightarrow$

$(m+p)\;D_{\mu }u^{\mu }+(D_{\mu }m)\,u^{\mu }=0.$

Die leicht kniffelige Variationsrechnung geht über Felder von "Stromlinien". Eine beliebige Schar von Bahnkurven wird mit einem Tangenten-Vektorfeld $\;v^{\mu }(x)\;$ beschrieben. Mit einem metrischen Tensor g wird daraus das normierte $\;u^{\mu }=v^{\mu }/{\sqrt {g(v,v)}}$ projiziert. Dann werden $\;j^{\mu }(x),\;\rho (x)$ durch Zeit-Integration erzeugt von:

$D_{\mu }j^{\mu }=0,\;j^{\mu }=\rho \;u^{\mu },$

aus Anfangsbedingungen auf raumartiger Hyperfläche zur Zeit t=0.

Der gesuchte Tensor

${\tfrac {1}{2}}T^{\mu \nu }=(\partial m/\partial g_{\mu \nu })+(m/2)\;g^{\mu \nu }=(m+p)/\rho \cdot (\partial \rho /\partial g_{\mu \nu })+(m\;g^{\mu \nu })/2$

wird mit einer magischen Formel berechnet.

$(1/\rho )(\partial \rho /\partial g_{\mu \nu })=(1/2)\cdot (u^{\mu }u^{\nu }-g^{\mu \nu })\;\Rightarrow$

$T^{\mu \nu }=2\cdot [(m+p)\cdot (u^{\mu }u^{\nu }-g^{\mu \nu })/2+(m\;g^{\mu \nu })/2],$

$T^{\mu \nu }=m\;u^{\mu }u^{\nu }+p(u^{\mu }u^{\nu }-g^{\mu \nu }).$

Beweis der Formel. Man definiert

$h^{\mu }:={\sqrt {-g}}\cdot j^{\mu }={\sqrt {-g}}\cdot \rho \cdot u^{\mu };$

$D_{\mu }j^{\mu }=0\;\Leftrightarrow \;\partial _{\mu }h^{\mu }=0.$

Bei gegebenem Stromlinienfeld v ist die Integration von h möglich, etwa von Anfangsbedingungen mit Minkowski-Metrik weit in der Vergangenheit. Differenzialgleichung:

$\partial _{0}h^{0}=-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {h}};\;{\vec {h}}=(h^{0}/v^{0})\;{\vec {v}}.$

Also ist h unabhängig von der Metrik,

$\partial h^{\mu }/\partial g_{\sigma \rho }=0.$

$1=u^{\mu }g_{\mu \nu }u^{\nu }=h^{\mu }g_{\mu \nu }h^{\nu }/(-g\cdot \rho ^{2}),$

$\rho ^{2}\;g=-h^{\mu }g_{\mu \nu }h^{\nu },\quad (g=\det[g_{\mu \nu }]),$

$2\rho (\partial \rho /\partial g_{\mu \nu })g+\rho ^{2}(\partial g/\partial g_{\mu \nu })=-h^{\mu }h^{\nu },$

$2\rho (\partial \rho /\partial g_{\mu \nu })g+\rho ^{2}\,g\,g^{\mu \nu }=g\,\rho ^{2}\,u^{\mu }u^{\nu },$

$2(\partial \rho /\partial g_{\mu \nu })/\rho =(u^{\mu }u^{\nu }-g^{\mu \nu }).$

Resultat. Aus der Variation des g-Tensors, bei fest gehaltenen Stromlinien, ergibt sich ein Energie-Impuls-Tensor der Form

$T^{\mu \nu }=(m+p)u^{\mu }u^{\nu }-p\,g^{\mu \nu }.$

Die kovariante Divergenz $\;D_{\nu }T^{\mu \nu }\;$ sei Null, denn das Materiefeld (ρ,u) soll Quelle der Gravitation sein. Folglich, mit

$(D_{\mu }m)u^{\mu }+(m+p)D_{\mu }u^{\mu }=0\quad (\Leftrightarrow \;D_{\mu }j^{\mu }=0),$

$(m+p)u^{\nu }D_{\nu }u^{\mu }+(-g^{\mu \nu }+u^{\mu }u^{\nu })D_{\nu }p=0.$

Der Gradient des Drucks p ist die Ursache einer Beschleunigung $\;u^{\nu }D_{\nu }u^{\mu }$, mit der die Stromlinien von Geodäten abweichen.

Der Teilchenschwarm sei noch mit einer Ladungsdichte σ(x) versehen. Die Viererstromdichte ($\sigma \,u^{\mu }$) koppelt an ein Vektorpotenzial $\,a_{\mu }$; auch dieser Strom erfüllt die Kontinuitätsgleichung. Dann kann eine Lagrangedichte mit allem Luxus geschrieben werden, Gravitation, Maxwell-Feld, Massenfeld, Ladungsfeld:

$(-L)={\sqrt {-g}}\cdot {\big [}(R/2\kappa )+(1/16\pi )f_{\mu \nu }f^{\mu \nu }-\rho (1+\epsilon )+(\sigma \,u^{\mu })a_{\mu }{\big ]}.$

Alles erzeugt Gravitation und wird von ihr abgelenkt. Das volle Gleichungssystem mit g,a,m,u,p,ρ,σ lautet

$G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },\quad f_{\mu \nu }=D_{\mu }a_{\nu }-D_{\nu }a_{\mu }=\partial _{\mu }a_{\nu }-\partial _{\nu }a_{\mu },$

$m=\rho \,(1+\epsilon (\rho )),\quad p=\rho ^{2}\,(d\epsilon /d\rho ),$

$T^{\mu \nu }=(m+p)u^{\mu }u^{\nu }-p\cdot g^{\mu \nu }-(1/4\pi )[f_{\rho }^{\mu }f^{\nu \rho }-{\tfrac {1}{4}}g^{\mu \nu }f_{\rho \sigma }f^{\rho \sigma }],$

$D_{\nu }f^{\mu \nu }=-4\pi \,\sigma \,u^{\mu },$

$(m+p)\,u^{\nu }D_{\nu }u^{\mu }=-(D_{\nu }p)(-g^{\mu \nu }+u^{\mu }u^{\nu })+f_{\nu }^{\mu }\,\sigma \,u^{\nu }.$

Kosmischer Staub

Wenn kein Druck aufgebaut wird, heißt das Modell der kräftefreie Staub. Sein Energie-Impuls-Tensor hat (mit ρ>0) die einfache Form

$T^{\mu \nu }=\rho \,u^{\mu }u^{\nu }$.

Wegen der vorausgesetzten Kontinuität $\,D_{\mu }(\rho u^{\mu })=0\,$ und der Produktregel ist das Verschwinden der kovarianten Divergenz von T dann äquivalent dazu, dass die Stromlinien x(s) Geodäten sind.

$u^{\mu }D_{\mu }u^{\nu }=0,\;(d/ds)x^{\mu }=u^{\mu };\;(d/ds)(Z(x(s))=u^{\mu }\partial _{\mu }Z,$

mit $\,Z=u^{\nu }:\;(d/ds)u^{\nu }=-\Gamma _{\mu \rho }^{\nu }u^{\mu }u^{\rho }.$

Modelle von homogenen Universen

In diesem Abschnitt sind zeitartige Koordinaten als (ct) in Metern zu lesen. Der Faktor $\;\kappa =8\pi G/c^{4}\;$ kommt vor. Theorie-lastige Texte eichen auch ihn hinweg und verkleiden Energien-Impulse-Massen als Längen.

Seit Kopernikus spielen Erdlinge keine Sonderrolle mehr im Kosmos. Gemittelt über große Entfernungen, sieht es vermutlich überall und in allen Richtungen gleich aus. Ein solches Modell des Weltalls ist räumlich homogen und isotrop.

Definition Isometrie und konforme Abbildung.

Seien M, M' Mannigfaltigkeiten mit Bilinear-Formen g,g' . Eine glatte, bijektive Abildung $A:M\to M':x\mapsto x'\;$ induziert die linearen Abbildungen $A^{*}:T_{x}\to T_{x'}$ der Tangential-Vektorräume.

In Koordinaten $\;{x'}^{\mu }=A^{\mu }(x):\;(A^{*}a)^{\mu }=(\partial {x'}^{\mu }/\partial x^{\nu })a^{\nu }$.

A ist eine Isometrie, wenn die 'Metrik' erhalten bleibt,

$g'(x')(A^{*}a,A^{*}b)=g(x)(a,b)\;\forall x\in M,\;\forall a,b\in T_{x}.$

A ist eine konforme Abbildung, wenn es auf M ein skalares Feld s(x)>0 gibt mit

$g'(x')(A^{*}a,A^{*}b)=s(x)\cdot g(x)(a,b)\;\forall x\in M,\;\forall a,b\in T_{x}.$

Robertson-Walker-Metrik

Satz von Walker. Aus der Isotropie, also Kugelsymmetrie an jedem Punkt, folgt räumliche Homogenität. Eine 6-Parameter-Gruppe von Isometrien ist transitiv auf raumartigen (3D-)Hyperflächen, die eine Riemann-Metrik mit konstanter Krümmung K∈{-1,0,+1} besitzen.

Es gibt (zunächst lokal) Koordinaten mit Robertson-Walker-Metrik:

$ds^{2}=dt^{2}-S^{2}(t)\cdot ((dr)^{2}-f^{2}(r)\cdot W);\quad W:=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;d\phi ^{2}$

${\begin{array}{llll}f(r)=\sin r&(K=+1)&0<r<\pi &{\text{ Raum }}\equiv S^{3}\\f(r)=r&(K=0)&0<r<\infty &{\text{ Raum }}\equiv \mathbb {R} ^{3}\\f(r)=\sinh r&(K=-1)&0<r<\infty &{\text{ Raum }}\equiv \mathbb {R} ^{3}\end{array}}$

S³ ist die 3-Sphäre, Kugelfläche im 4D-euklidischen Raum. Da ist r kein Radius, sondern eine Winkel-Koordinate. Ein positiv gekrümmter Raum ist kompakt, hat endliches Volumen.

Der Skalenfaktor S²(t) verfolgt räumliche Abstände in einem Universum, das zeitlich sich aufbläht oder schrumpft.

Eine alternative radiale Koordinate vermag den Raumanteil euklidisch- konform darzustellen:

$ds^{2}=(dt)^{2}-{\frac {S(t)^{2}}{q^{2}({\bar {r}})}}[(d{\bar {r}})^{2}+{\bar {r}}^{2}\cdot W];\quad q({\bar {r}})=1+K\cdot {\bar {r}}^{2}/4$

$r=\int _{0}^{\bar {r}}{\frac {dr'}{q(r')}}={\begin{cases}2\arctan({\bar {r}}/2)&K=1\\{\bar {r}}&K=0\\2{\text{ artanh}}({\bar {r}}/2)&K=-1\end{cases}}$

Gleichungen für S(t) folgen aus den Einstein-Gleichungen mit dem kosmologischen Parameter λ und zwei Materie-Variablen p,ρ. Ein ideal fluides Medium füllt homogen den Raum und hat mitbewegte Fluss-Linien, Vierergeschwindigkeit u=(1,0,0,0). Druck p(t) und Dichte ρ(t) hängen nur von t ab. Komponenten des Energie-Impuls-Tensors:

$T_{00}=\rho (t),\;T_{ik}=p(t)\cdot g_{ik},\;(i,k=1,2,3).$

Gleichungen, nach Friedmann und Raychaudhury:

${\dot {\rho }}=-3(\rho +p)({\dot {S}}/S)\quad$ (Energie-Erhaltung)

$\kappa (\rho +3p)/2-\lambda =-2({\ddot {S}}/S)$

$3{\dot {S}}^{2}=S^{2}(\kappa \rho +\lambda )-3K$ (Integral der vorigen)

Mit ρ>0, p≥0 folgt, dass S bei λ=0 nicht konstant sein darf. Alle Modelle mit (ρ+3p)>0 und λ<λ(max) haben expandierende Lösungen mit einer Singularität am Zeitpunkt t=0, wo die Dichte unendlich hoch wird. Der Urknall.

Modell ohne kosmologischen Term

Speziell sei p=0. Dann wird ρ eine Potenz von S:

$\kappa \rho /6=M/S^{3}\quad$ mit Konstante M, Massenerhaltung.

Mit λ=0 ergibt sich zusätzlich

$3{\dot {S}}^{2}-6M/S=-3K=:E/M$

E ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie.

E≥0 ⇒ K≤0 ⇒ S(t) wächst monoton

E<0 ⇒ K>0 ⇒ S(t) hat ein Maximum, fällt danach gegen 0.

Die Friedmann-Gleichung für S wird gelöst mit neuem Parameter τ, (dt)=S(t)·(dτ),

$ds^{2}=S^{2}(\tau )\cdot [(d\tau )^{2}-(dr)^{2}-f^{2}(r)\cdot W]$

${\begin{array}{lll}K=-1&S=(E/3)(\cosh \tau -1)&t=(E/3)(\sinh \tau -\tau )\\K=0&S=\tau ^{2}&t=\tau ^{3}/3\\K=1&S=(-E/3)(1-\cos \tau )&t=(-E/3)(\tau -\sin \tau )\end{array}}$

K=0 ist das Einstein-de-Sitter-Universum, $S(t)\simeq t^{2/3}.$

Mit negativem λ expandiert die Raumzeit aus einer Singularität und bricht später in einer zweiten Singularität zusammen. Mit positivem λ und nichtpositiver Krümmung dehnt sich die Welt auf Dauer aus.

Das statische Modell

Bei positiver Raumkrümmung K=1 und p=0 gibt es kritische Werte (λ, κρ, S) wo alle Zeitableitungen verschwinden:

κρ = 2λ, λ·S² = 1.

Hier liegt Einsteins Statisches Universum dS/dt=0. Mit S=1, κρ=2, λ=1 lautet die Statische Metrik

ds² = (dt)² -(dr)² - sin²r·W.

Die flache Minkowski-metrik hätte r² statt sin²r.

Robertson-Walker-Metriken lassen sich konform auf die Statische Metrik abbilden. Denn mit dem Parameter τ als Zeit, dτ/dt = 1/S,

• $ds^{2}=S^{2}(\tau )[-d\tau ^{2}+dr^{2}+f^{2}(r)\cdot W]$
• K=1: f=sin r, die eckige Klammer ist die statische Metrik.
• K=0: f=r, die Metrik ist konform zur flachen Raum
• K=-1: die Metrik wird konform auf ein Gebiet im Statischen Raum wie folgt abgebildet.

$t'=\arctan(\tanh((\tau +r)/2))+\arctan(\tanh((\tau -r)/2))$

$r'=\arctan(\tanh((\tau +r)/2))-\arctan(\tanh((\tau -r)/2))$

Satz. Ein Robertson-Walker-Raum kann nicht (mit Transformation seiner Teile zu neuen Koordinaten) weiter ausgedehnt werden. Die Urknall-Singularität ist im Rahmen der ART unheilbar.

Realitätsnahes Modell

Ist irgendein realistisches Szenario dabei? Ja. Das Gleichungspaar

${\dot {\rho }}=-3(\rho +p)\cdot ({\dot {S}}/S);\;{\dot {S}}^{2}+K=S^{2}(\kappa \rho +\lambda )/3$

wird im Spezialfall p=0, K=0:

$3({\dot {S}}/S)^{2}=\kappa \rho +\lambda ;\;({\dot {\rho }}/\rho )=-3({\dot {S}}/S)\;\Rightarrow$

${\dot {\rho }}^{2}=(\kappa /3)\rho ^{3}+(\lambda /3)\rho ^{2}$

Angenommen eine Lösung ρ(t) sei da, dann

$({\dot {\rho }}/\rho )=-3({\dot {S}}/S)\;\Rightarrow \;S(t)=S_{0}\cdot \rho (t)^{-1/3}.$

Ein Ansatz $\rho =y^{z}\;$ macht den Dritte-Potenz-Term der Differenzialgleichung für ρ konstant, mit z= -2:

${\dot {y}}^{2}=(\kappa /12)+(\lambda /12)y^{2}.$

Das riecht nach Trignonometrie, sin, cos, sinh, cosh? In der Tat.

${\dot {y}}^{2}=a+by^{2}=0,\;y=g\cdot \sinh(ft)\;\Rightarrow \;g={\sqrt {a/b}};\;f={\sqrt {b}};\;\rho =y^{-2}.$

Einsetzen ergibt das Skalenfaktor-Verhalten mit Urknall bei t=0:

$S(t)=S_{1}\cdot \sinh(ft)^{2/3};\quad f={\sqrt {\lambda /12}}$

Die Kosmologie studiert die Hubblesche Beinahe-Konstante $H(t)={\dot {S}}(t)/S(t)$ und ihre Zeitentwicklung. Das homogen-isotrope Modell mit Krümmung=Null und Druck=Null passt zur Beobachtung.

• Das Universum ist auf beschleunigtem Expansionskurs
• Der Urknall war vor etwa 13,5 Milliarden Jahren
• Derzeitiges Verhältnis 3:7 der Terme in (κρ+λ).

Ausgedrückt als Energiedichten, gibt es 30% Materie und 70% Dunkle Energie. (Der Großteil der 30% ist auch noch dunkel, reagiert nicht mit dem wahrnehmbaren Rest.) Mehr dazu im Kapitel Kosmologie von

Formelsammlung Physik: Astronomie.

Näherungsweise Berechnungen

Planetenbahnen

Bewegung im Zentralpotenzial

Die Koordinaten i=(0,1,2,3) der kugelsymmetrischen Metrik seien (t,r,θ,φ) genannt, wo t=ct meint. Mit dem Schwarzschild-Radius R und q:= (1–R/r) hat die Metrik die Matrix

g = diag(q, –1/q, –r², –r²·sin²θ)

Inverse ist: diag(1/q, –q, –1/r², –1/(r²·sin²θ))

Die nichtverschwindenden Christoffel-Symbole sind so zu berechnen, ohne Summierung über Index i:

$\Gamma _{jk}^{i}=({g^{-1}}_{ii}/2)\cdot (\partial _{j}g_{ik}+\partial _{k}g_{ij}-\partial _{i}g_{jk}).$

$\Gamma _{tr}^{t}=R/(2r^{2}q),$

$\Gamma ^{r}={\text{ diag}}(Rq/(2r^{2}),-R/(2r^{2}q),-rq,-rq\sin ^{2}\theta ),$

$\Gamma _{r\theta }^{\theta }=1/r,\quad \Gamma _{\phi \phi }^{\theta }=-\sin \theta \cos \theta ,$

$\Gamma _{r\phi }^{\phi }=1/r,\quad \Gamma _{\theta \phi }^{\phi }=\cot \theta .$

Gesucht sind Geodäten mit Eigenzeit-Parameter s und speziell eine Bahnkurve auf Äquatorebene: θ=π/2, (dθ/ds) = 0.

Ableitungen nach s sind ab hier mit Strichen notiert.

${x^{i}}''+\Gamma _{jk}^{i}\;{x^{j}}'{x^{k}}'=0\quad \Rightarrow$

$0=t''+(R/r^{2}q)\;r't'=t''+(q'/q)t'{\text{ mit }}q'=(R/r^{2})\,r'.$

$0=\phi ''+(2/r)\;r'\phi '$

$0=r''+(Rq/2r^{2})\cdot (t')^{2}-(R/2r^{2}q)\cdot (r')^{2}-rq\cdot (\phi ')^{2}$

Die zwei Gleichungen vom Muster y" + a (z'/z) y'=0 haben erste Integrale der Form $(z^{b}\;y')=$ const, also $(z^{b}\;y')'=$0. Denn:

$(z^{b}\;y')'=b\,z^{b-1}z'y'+z^{b}\,y''=z^{b}(y''+b\,(z'/z)\,y')=0\;\Rightarrow \;a=b.$

Anwendung auf die zwei Fälle t' und φ' :

$r^{2}\cdot \phi '=H,\quad q\cdot t'=C\;\Rightarrow$

$r^{2}\;d\phi /dt=r^{2}\;\phi '/t'=(H/C)\cdot (1-R/r)$

Solange r sehr viel größer als R bleibt, ergibt sich der Keplersche Flächensatz. In gleichen Zeiten überstreicht die Bahn Sektoren gleicher Fläche.

Nun zur Gleichung (mit θ'=0) der konstanten Norm 1 der Vierergeschwindigkeit, $g_{ik}{x^{i}}'{x^{k}}'=1:$

q(t')² – (1/q)(r')² – r²(φ')² = 1.

Einsetzen t'=C/q und dies hier einbauen: 1=(φ' r²/H)².

$\left({\frac {C^{2}}{q}}-1\right)(r^{2}/H)^{2}{\phi '}^{2}={r'}^{2}/q+r^{2}{\phi '}^{2}$

Daraus mit Teilen durch φ'² eine Bahngleichung für r=r(φ):

$\left({\frac {dr}{d\phi }}\right)^{2}=r^{4}{\frac {C^{2}-1}{H^{2}}}+r^{3}{\frac {R}{H^{2}}}-r^{2}+rR$

Von den Potenzen 1...4 mit der Variablen u=1/r auf 0...3 runter transformieren:

$\left({\frac {du}{d\phi }}\right)^{2}=Ru^{3}-u^{2}+{\frac {R}{H^{2}}}u+{\frac {C^{2}-1}{H^{2}}}$

Beide Seiten nach φ ableiten und durch 2(du/dφ) teilen:

${\frac {d^{2}u}{d\phi ^{2}}}={\frac {3}{2}}Ru^{2}-u+{\frac {R}{2H^{2}}}$

Näherung Perihel-Anomalie

Es folgt eine Herleitung auf die Schnelle, Hau-Ruck-Methoden ohne Fehleranalyse.

(Ru)=R/r ist winzig. Daher dominiert die lineare Gleichung ohne quadratischen Term. Mit der Konstanten U:= R/(2H²):

${\frac {d^{2}u}{d\phi ^{2}}}=-u+U.\quad$ Hat eine trigonometrische Lösung

$u(\phi )=(1+e\cos \phi )/p;\quad p=a\cdot (1-e^{2})=1/U$

Die Kurve ist eine Kepler-Ellipse, p eine Art mittlerer Bahnradius. Parameter sind 0≤e<1, p>0 und ein (unterschlagener) Start-Winkel.

Zur Vereinfachung nun φ=x, Ableitungen als Striche.

u" = U – u + ku² mit kleinem quadratischen Term, k:= (3R/2).

Ansatz u = v + w(x) + z(x), wo (v+w) den linearen Teil löst.

Im quadratischen Term wird das kleine z(x) vernachlässigt.

k u² ≈ k(v+w)² ≈ k·(v² + 2vw)

Das Quadrat des variablen Terms w² wird auch brutal entfernt!

(v+w)"= U – (v+w) + kv² (beschreibt eine Kepler-Ellipse).

z"= –z + 2kvw (linear-inhomogene Gleichung für den Rest z).

v = (1/p), w(x) = e·cos(x)/p; 1/p = U+kv² = U+k/p² (Gleichung für p)

Exzentrizität e sei klein, um w²≈0 zu rechtfertigen.

z"= –z + (2ke/p²) cos x hat eine Lösung: z(x)= (ke/p²)·x·sin x.

Zusammen: u = v+w+z = (1/p)·(1+e·cos x + (3Re/2p)·x·sin x).

Trick: $(\cos x+(3R/2p)x\sin x)\approx \cos((1-3R/2p)\cdot x)$

Nach einem Umlauf x=2π der ungestörten Lösung hat die verbesserte Kurve also ein Phasendefizit von 3π·R/p. Das ist die Periheldrehung einer Planetenbahn.

Präzession der Koordinaten

Die Bahn um ein Zentralgestirn als Funktion der Zeit gehorcht in der Newtonschen Mechanik folgender Gleichung in Polarkoordinaten, wenn die Zeit als Länge ct und die Gravitation über den Schwarzschild-Radius R gemessen wird.

$r{\ddot {\phi }}+2{\dot {r}}{\dot {\phi }}=0$

${\ddot {r}}-r{\dot {\phi }}^{2}+R/(2r^{2})=0$

Was ist nun die relativistische Korrektur in niedrigster Ordnung? Aus der geodätischen Bewegung im Zentralpotenzial folgen Gleichungen für das Paar (r,φ) als Funktion der Koordinatenzeit t. Verglichen mit der alten Mechanik ergibt sich eine zusätzliche "Kraft" in der Bahnebene, proportional und senkrecht zur Geschwindigkeit des Satelliten. An den Haaren herbeigezogene Deutung: Die ungefähre Kreisbewegung verformt das klassisch ruhende Inertialsystem in ein leicht mit-rotierendes System, der Satellit spürt dessen Coriolis-Kraft.

Umformung der Geodäten-Gleichungen, wenn Radius und Winkel nur indirekt über die Koordinatenzeit Funktion des affinen Parameters sind.

$0=t''+(R/(r^{2}q))r't',\quad (q=1-R/r)\quad \Rightarrow \;qt'=C,$

$0=r''+(Rq/2r^{2})\cdot (t')^{2}-(R/2r^{2}q)\cdot (r')^{2}-rq\cdot (\phi ')^{2},$

$0=\phi ''+(2/r)r'\phi ',$

${\begin{array}{lll}r(s)={\bar {r}}(t(s))&r'={\dot {r}}t'&r''={\ddot {r}}{t'}^{2}+{\dot {r}}t''\\\phi (s)={\bar {\phi }}(t(s))&\phi '={\dot {\phi }}t'&\phi ''={\ddot {\phi }}{t'}^{2}+{\dot {\phi }}t''\end{array}}\quad \Rightarrow$

${\begin{array}{lll}r{\ddot {\phi }}+2{\dot {r}}{\dot {\phi }}&=R/(rq)\cdot {\dot {r}}{\dot {\phi }}&\approx (R/r)\cdot {\dot {r}}{\dot {\phi }}\\{\ddot {r}}-r{\dot {\phi }}^{2}+R/(2r)&={\tfrac {3}{2}}R{\dot {r}}^{2}/(r^{2}q)-R{\dot {\phi }}^{2}+R^{2}/(2r^{3})&\approx -R{\dot {\phi }}{\dot {\phi }}\end{array}}.$

Bei der Näherung wird angenommen r>>R ⇒ q≈1, der Term in R² vernachlässigt und auch ${\dot {r}}<<(r{\dot {\phi }})$, also die radiale Bewegung sei viel langsamer als jene senkrecht zum Radius. Mit einer tangentialen Koordinate s stellt es sich wie folgt dar.

${\begin{array}{ll}{\dot {s}}:=r{\dot {\phi }},&{\ddot {s}}={\dot {r}}{\dot {\phi }}+r{\ddot {\phi }},\\{\ddot {r}}-{\dot {s}}^{2}/r+R/(2r^{2})&\approx (R{\dot {s}}/r^{2})\cdot (-{\dot {s}}),\\{\ddot {s}}+({\dot {r}}/r){\dot {s}}&\approx (R{\dot {s}}/r^{2})\cdot ({\dot {r}}).\end{array}}$

Der relativistische "Störterm" bewirkt wie angekündigt eine Beschleunigung senkrecht und proportional zur Geschwindigkeit.

Lichtablenkung

Die Null-Geodäten ergeben mit den gleichen Rechenschritten wie bei der Perihel-Anomalie die Bahngleichung

u" + u = ku² mit u:= 1/r, k:= 3R/2, x=φ.

Näherung: u = v+w; v"+v = 0; w"+w = kv² ⇒ u"+u ≈ k u².

Die Lösung v= (cos φ)/p beschreibt die Gerade r·cos φ = p, mit r= 1/v, die beim Winkel Null den Mindestabstand p zur Sonne hat und für r→±∞ die Winkel ±π/2 tangiert.

Linear-inhomogene Gleichung für w:

w" + w = k/p² cos²φ =k/(2p²)·(1+ cos 2φ).

Passende Lösung: w = k/(2p²)(1 – (1/3)·cos 2φ)

u = (cos φ)/p + k/(2p²)(1 – (1/3)·cos 2φ)

Für u→0 wird ein kleiner Winkel φ = π/2 + ε erwartet. Approximation:

u=0, cos φ ≈ –ε, cos 2φ ≈ –1, ⇒ ε = 2k/3p = R/p.

Dieser Winkel gilt für den Strahl vom Minimal-Abstand p bis Unendlich und ist zu verdoppeln. Das Licht aus großer Entfernung, das sich der Sonne bis zum Radius p nähert und weit entfernt beobachtet wird, wird also um den Winkel 2R/p abgelenkt.

Nichtrelativistische Gravitation

Approximation für langsame Bewegung im schwachen statischen Feld: Gegeben seien Koordinaten mit näherungsweiser Minkowski-Metrik.

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\quad \eta ={\text{ diag}}(1,-1,-1,-1).$

Komponenten $\;|h|<<1,\partial h/\partial x^{0}=0\quad$ (statisch, x°=ct)

Langsame zeitartige Kurven, $\;dx^{k}/ds<<dx^{0}/ds,\quad k=1,2,3\quad (\Leftrightarrow \;v<<c)$

Christoffel-Funktionen für die Geodäten:

$\Gamma _{\tau \,\mu \nu }=[(\partial h_{\tau \mu }/\partial x^{\nu })+(\partial h_{\tau \nu }/\partial x^{\mu })-(\partial h_{\mu \nu }/\partial x^{\tau })]/2$

Speziell $\;\Gamma _{\tau \,00}=-(\partial h_{00}/\partial x^{\tau })/2$

$\Gamma _{00}^{k}\approx -\Gamma _{k\,00}\quad (k=1,2,3),\;$ (in erster Ordnung von h)

$d^{2}x^{\tau }/ds^{2}=-\Gamma _{\mu \nu }^{\tau }(dx^{\mu }/ds)(dx^{\nu }/ds)\approx -\Gamma _{00}^{\tau }(dx^{0}/ds)^{2}$

$d^{2}x^{0}/ds^{2}=0$

Kurve mit x° parametrieren: $x^{k}(s)={\bar {x}}^{k}(x^{0}(s))$

$dx^{k}/ds=(d{\bar {x}}^{k}/dx^{0})(dx^{0}/ds)$

$d^{2}x^{k}/ds^{2}=(d^{2}{\bar {x}}^{k}/(dx^{0})^{2})(dx^{0}/ds)^{2}+(d{\bar {x}}^{k}/dx^{0})(d^{2}x^{0}/ds^{2})=(d^{2}{\bar {x}}^{k}/(dx^{0})^{2})(dx^{0}/ds)^{2}$

Vergleich mit dem Ausdruck weiter oben ergibt

$(d^{2}{\bar {x}}^{k}/(dx^{0})^{2})=-\Gamma _{00}^{k}=+\Gamma _{k\,00}=-(\partial h_{00}/\partial x^{k})/2.$

Mit x°=ct folgt die Bewegung im Skalar-Potenzial (k=1,2,3),

${\ddot {x}}^{k}=-\partial \Phi ({\vec {x}})/\partial x^{k};\quad \Phi =c^{2}\cdot h_{00}/2;$

$g_{00}({\vec {x}})=1+2\cdot \Phi /c^{2}.$

Der Ricci-Tensor, wenn quadratische Terme in Γ sehr klein sind:

$R_{\mu \nu }\approx \partial _{\nu }\Gamma _{\rho \mu }^{\rho }-\partial _{\rho }\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }.$

Fürs Indexpaar 00 bleibt hier nur der zweite Teil mit ρ=1,2,3:

$R_{00}\approx -\partial _{k}\Gamma _{00}^{k}=-\partial _{k}\partial _{k}\,h_{00}=-\Delta h_{00}/2.$

Im Vakuum verschwindet der Ricci-Tensor des g-Feldes, denn die Einstein-Gleichungen lassen sich wie folgt umformulieren:

$R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=\kappa T_{\mu \nu },\quad {\text{ Überschieben mit }}\;g^{\mu \nu }\;\Rightarrow$

$R-2R=-R=\kappa g^{\mu \nu }T_{\mu \nu }=:\kappa T\;\Rightarrow$

$R_{\mu \nu }=\kappa (T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)$

Speziell folgt im Vakuum die Potenzialgleichung des Newtonschen Modells,

$-\Delta h_{00}/2=R_{00}=0,\;h_{00}=2\Phi /c^{2}\;\Rightarrow \;\Delta \Phi =0.$

Der einfachste Energie-Impuls-Tensor ist die Energiedichte einer im Bezugssystem ruhenden Masse, $T_{00}=\rho ({\vec {x}})c^{2}$; alle anderen Komponenten = 0. Der Skalar T ist $g^{00}T_{00}$. In der betrachteten Approximation ist $g_{00}\cdot g^{00}\approx 1\;$ und daher:

$-\Delta h_{00}/2=R_{00}\approx \kappa (T_{00}-{\tfrac {1}{2}}g_{00}T)=\kappa \rho c^{2}/2.$

Das Newton-Potenzial Φ geht korrekt aus der Massendichte hervor,

–ΔΦ = 4π·G·ρ,

wenn der Einstein-Faktor κ den passenden Wert hat.

$h_{00}=2\Phi /c^{2}\;\Rightarrow \;\quad \kappa =8\pi \cdot G/c^{4}.$

Gravitationswellen

Die Einstein-Gleichungen sind 10 Differenzialgleichungen für die 10 Komponenten des symmetrischen g-Tensors. Doch nur 6 Gleichungen sind unabhängig, weil die kovariante Divergenz des Einstein-Tensors Null ist. Eine Lösung, etwa von Anfangsbedingungen auf einer raumartigen Hyperfläche längs einer zeitartigen Koordinate entwickelt, braucht 4 zusätzliche Gleichungen. Das ist die normale Folge der Koordinaten-Kovarianz. Die Integration berechnet den g-Tensor und muss zugleich festlegen, wie sein Koordinatensystem weiter geht.

Die folgende lineare Näherung fordert vier solcher Nebenbedingungen ein, um verwickelte Terme zu entfernen. Sie wechselt besser gesagt zu äquivalenten Raumzeit-Koordinaten, wo die Terme verschwinden.

In dieser Näherung soll das g-Feld als Hintergrund einen langsam veränderlichen Teil haben, dessen Ableitungen vernachlässigt werden. Die kleinen Auslenkungen von diesem Hintergrund werden linear approximiert. Im Ricci-Tensor entfällt der in Christoffel-Funktionen quadratische Teil.

$g_{\mu \nu }={\bar {g}}_{\mu \nu }+h_{\mu \nu };\quad h<<{\bar {g}}$

$R_{\mu \nu }\approx {\tfrac {1}{2}}g^{\rho \sigma }[\partial _{\rho }\partial _{\sigma }h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }h_{\rho \sigma }-\partial _{\rho }\partial _{\nu }h_{\mu \sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\sigma }h_{\rho \nu }]$

Weitere Approximationen und Definitionen:

$g^{\rho \sigma }\approx {\bar {g}}^{\rho \sigma }\quad$ als Faktor von h-Termen

$\square f(x):={\bar {g}}^{\rho \sigma }\partial _{\rho }\partial _{\sigma }f(x)$

$\gamma :={\bar {g}}^{\rho \sigma }h_{\rho \sigma };\quad \gamma _{\mu }^{\sigma }:={\bar {g}}^{\rho \sigma }h_{\mu \rho }$

$R_{\mu \nu }\approx {\tfrac {1}{2}}\square h_{\mu \nu }+[\partial _{\mu }\partial _{\nu }\gamma -\partial _{\rho }\partial _{\nu }\gamma _{\mu }^{\rho }-\partial _{\mu }\partial _{\sigma }\gamma _{\nu }^{\sigma }]$

$R_{\mu \nu }\approx {\tfrac {1}{2}}\square h_{\mu \nu }+\partial _{\nu }[{\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\gamma -\partial _{\rho }\gamma _{\mu }^{\rho }]+\partial _{\mu }[{\tfrac {1}{2}}\partial _{\nu }\gamma -\partial _{\sigma }\gamma _{\nu }^{\sigma }]$

$R_{\mu \nu }\approx {\tfrac {1}{2}}\square h_{\mu \nu }+\partial _{\nu }\beta _{\mu }+\partial _{\mu }\beta _{\nu };\quad \beta _{\mu }:={\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\gamma -\partial _{\rho }\gamma _{\mu }^{\rho }$

Die vier beta-Funktionen werden nun durch den zulässigen Wechsel der Koordinaten auf Null verschoben. Dann bleibt als Ricci-Tensor und Skalar

$R_{\mu \nu }\approx {\tfrac {1}{2}}\square h_{\mu \nu };\quad R\approx {\bar {g}}^{\mu \nu }R_{\mu \nu }\approx {\tfrac {1}{2}}\square \gamma$

Im Vakuum gilt dann eine homogene Wellengleichung für Tensor h:

$0=R_{\mu \nu }\approx {\tfrac {1}{2}}\square h_{\mu \nu }$

Auf dem flachen Minkowski-Hintergrund ergibt der Operator ebene Wellen:

$\square f=\partial _{t}^{2}f/c^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}f=0;\quad f=\exp(i\cdot ({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t));\quad |{\vec {k}}|=\omega /c$

die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.

Der Einstein-Tensor und die inhomogene Feldgleichung angenähert:

$R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\approx {\tfrac {1}{2}}\square [h_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}{\bar {g}}_{\mu \nu }\gamma ]$

$\square \gamma _{\mu \nu }=2\cdot \kappa T_{\mu \nu };\quad \gamma _{\mu \nu }:=h_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}{\bar {g}}_{\mu \nu }\gamma$

Das Materiefeld T funktioniert als ein Erreger von Wellen. Mit einer retardierten 'Green-Funktion' zum Quadrat-Operator kann folgende Lösung angeschrieben werden. Das 'schwingende' Gravitationspotenzial am Punkt $x=(t,{\vec {r}})$ hängt ab von allen Werten, die der erzeugende Energie-Impuls-Tensor auf dem Rückwärts-Lichtkegel des Punktes hat. Die Anregung hat also genau die universelle Geschwindigkeit c.

$\gamma _{\mu \nu }(t,{\vec {r}})=-{\frac {2\kappa }{4\pi }}\int {\frac {d^{3}r'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}T_{\mu \nu }(t-|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c,{\vec {r}}')$

Allgemein

Weblinks

• Formelsammlung Relativitätstheorie auf Formel-Sammlung.de

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