Beweisarchiv: Topologie: Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum

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Beweisarchiv: Topologie

Satz von Tychonoff, Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum, Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle, Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.


Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum[Bearbeiten]

Dieser klassische Satz für stetige reellwertige Funktionen auf Kompakta wird in Topologie und Analysis auf die Tatsache zurückgeführt - vgl. etwa Schubert, S. 62, und Forster, S. 32 - dass das stetige Bild eines Kompaktums stets eine kompakte Teilmenge der reellen Zahlen , also nach dem Satz von Heine-Borel-Lebesgue immer abgeschlossen und beschränkt innerhalb ist und dass damit die Bildmenge einer stetigen reellwertigen Funktion zwingend ihr Supremum und genauso ihr Infimum enthalten muss.

Diese Argumentation stellt die Hausdorffeigenschaft, also die Separiertheit von in Rechnung, denn aus dieser folgt, dass kompakte Teilmengen von notwendig abgeschlossen sind.

Der weierstraßschen Satz lässt sich jedoch unabhängig von allen Separiertheitsbetrachtungen mit Hilfe eines einfachen Widerspruchsbeweises beweisen, wobei sich zeigt, dass dabei die Hausdorffeigenschaft von ohne Belang ist und dass auch die meisten der anderen charakteristischen Eigenschaften von (wie etwa die Vollständigkeit) zum Beweis nicht benötigt werden.

Vielmehr zeigt sich, dass der weierstraßschen Satz im Wesentlichen aus ordnungstheoretischen und logischen Gründen gilt. Dies ergibt sich aus der folgenden allgemeinen Proposition (Proposition über Maximalstellen), welche sogar allgemeiner oberhalbstetige Abbildung einbezieht.

Proposition über Maximalstellen[Bearbeiten]

Sie lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben seien nichtleere topologische Räume und mit Topologien bzw. .
sei quasikompakt.
Zudem sei eine strikt geordnete Menge und die Ordnungsrelation sei mit der Topologie verträglich - in dem Sinne, dass alle Ordnungsideale der Gestalt   offen in sein sollen.
Weiter sei eine oberhalbstetige Abbildung.
Dann gilt:
(B) Die Bildmenge hat in der Relativordnung stets ein maximales Element.

Duale Proposition über Minimalstellen[Bearbeiten]

In dualer Weise gilt:

Gegeben seien nichtleere topologische Räume und mit Topologien bzw. .
sei quasikompakt.
Zudem sei eine strikt geordnete Menge und die Ordnungsrelation sei mit der Topologie im dualen Sinne verträglich, also so , dass alle Ordnungsfilter der Gestalt   offen in sein sollen.
Weiter sei eine unterhalbstetige Abbildung.
Dann gilt:
(B) Die Bildmenge hat in der Relativordnung stets ein minimales Element.

Beweis der Propositionen[Bearbeiten]

Es ist aus Dualitätsgründen ausreichend, von den beiden Propositionen die erstere für den Fall der Maximalstellen von oberhalbstetigen Abbildungen zu beweisen.

Dazu wird die folgendes Annahme (A) zum Widerspruch geführt:

(A) Die Bildmenge hat bezüglich kein maximales Element .

Aus (A) ergibt sich dann die folgende Identität :

(I)   .

Denn (A) ist gleichbedeutend damit, dass für ein beliebiges stets ein derart existiert, dass erfüllt ist und damit auch und schließlich   .

Nun ist weiter zu berücksichtigen, dass die vorausgesetzte Oberhalbstetigkeit von bedeutet, dass die Mengen in der Vereinigungsmenge auf der rechten Seite von (I) durchweg offen in sind.

In Verbindung mit der Quasikompaktheit von ergibt sich dann mit der Borel-Lebesgueschen Überdeckungseigenschaft, dass sogar schon für eine nichtleere endliche Teilmenge

(II)

gültig ist.

Da nun eine endliche geordnete Menge und ebenfalls nichtleer ist, muss darin ein maximales Element, etwa

für ein

existieren.

Wegen (II) gibt es jedoch ein mit

 .

Das aber bedeutet

und daher

 .

Letztere Ungleichung ist jedoch mit der Maximalität von in unvereinbar.

Folglich kann (A) nicht gelten und statt dessen muss (B) wahr sein.

Korollar: Der Satz vom Maximum und Minimum[Bearbeiten]

Dieser Satz folgt aus den obigen Propositionen aufgrund dessen, dass einerseits eine stetige reelle Funktion immer gleichzeitig oberhalb- und unterhalbstetig ist und dass andererseits linear geordnet ist.

Es gilt demnach:

Für jeden quasikompakten topologischen Raum und jede stetige reelle Funktion werden auf der Bildmenge in der von den reellen Zahlen induzierten Relativordnung stets Maximum und Minimum angenommen.

Historie und Gewichtung des Resultats[Bearbeiten]

Gemäß einem Papier von S. P. Franklin aus dem Jahre 1965 treten die beiden obigen Propositionen auch schon in der 1948er Ausgabe der Lattice Theory des amerikanischen Mathematikers Garrett Birkhoff auf. Franklin spricht hier vom theorem of Birkhoff. Wie Franklin zeigt, können die Aussagen beider Propositionen als charakteristisch für quasikompakte Räume betrachtet werden.

Hintergrundliteratur[Bearbeiten]

  • Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
  • S. P. Franklin: Compactness and semi-continuity. In: Israel Journal of Mathematics. 3, 1965, S. 13–14 ([1]). MR0184195